【原】小乐数学科普：解密非周期单瓦片——克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）访谈

zzllrr小乐 2023-05-10 发布于江苏

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作者：Tim Chartier教授 2023-5-4

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2023-5-10

2023年3月20日星期一，一篇论文《一种非周期单瓦片》（An aperiodic monotile）出现在 arXiv上 https:///abs/10798.13 。它介绍了一个称为“帽子”（hat）的十三边形，该多边形非周期地平铺平面。简单地说，此研究成果是巨大的。这个消息不仅在数学家中迅速传播，而且还传播到广大公众。很快，一篇文章出现在《纽约时报》上，并在吉米·金梅尔（Jimmy Kimmel）晚间秀的开场对话中进行了讨论。为了更多地了解这一结果及其发现之旅，Math Values采访了其中一位研究人员克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）。有关此发现的更多信息和 Zoom 活动，请访问页面：https:///the-hat/

Tim Chartier：首先，你能解释一下什么是非周期性瓦片，为什么它被称为“爱因斯坦”瓦片吗？

克雷格·卡普兰：“爱因斯坦”（einstein）这个名字是Ludwig Danzer（路德维希·丹泽尔）给的一个双关语，字面意思是德语中的“一块石头”，但大致翻译为“一种形状”或“一块瓷砖”。更正式地说，“爱因斯坦”是“非周期单瓦片”（aperiodic monotile）；让我们逐字逐句看一下。

每个平行四边形（parallelogram）都以非常简单的方式平铺平面，通过将平行四边形的副本排列成无限的行和列，形成一种倾斜的网格。周期性平铺（periodic tiling）是一种以相同模式重复的平铺：它由一些有限的瓦片块的副本组成，由两个平移向量以固定的间隔无限地铺压得到。

现在，给定一组形状，它们可能或不能周期性平铺，并且可能或不能非周期性平铺。当一组形状可以平铺，但其中没有一个形状有上述的周期性时，称为非周期性的（aperiodic）。也就是说，这些形状表现良好，允许无限平铺，但总是破坏平移对称（translational symmetry）的规律性。请注意，非周期性是一组形状的属性，并不是它们所有可能的平铺的属性。

“单瓦片”（monotile）和“爱因斯坦”（einstein）一样，只是“一种形状”的意思。几十年来，我们已经知道非周期形状集合，但我们的工作是率先展示出大小为1的一组，因此是“非周期单瓦片”。

Tim Chartier：您能给我们大致概述一下寻找非周期性平铺的历史吗？

克雷格·卡普兰：直到 1960 年代，王浩（1921.5.20-1995.5.13，美籍华人数学家、数理逻辑学家，zzllrr小乐译注）构思出一组非周期性形状的想法，并立即宣布它们是不可能的（这在当时是完全合理的假设！）几年后，罗伯特·伯杰（Robert Berger）展示出第一个非周期性集合，其中包含超过20000种不同的形状。从那时起，数学家们自然就开始寻求更小的非周期集合。对Berger工作的优化将最少数量缩减到100个左右，然后在1971年Raphael Robinson缩减到更易处理的6个。

https://ksuweb./~sedwar77/tile/aperiodic/penrose/penrose2.htm

彭罗斯著名的“风筝和飞镖”（kite and dart）瓷砖以一组数目为2的形状彻底改变了这个领域。从那以后，发现了其他各种大小的小型非周期集合，包括Robert Ammann，我的合著者Chaim Goodman-Strauss和其他人的两数量形状集合。甚至如Joan Taylor和Joshua Socolar提出的奇妙非周期六边形，是单瓦片，但这些需要额外的约束条件，不能单独用一种形状来表达。总的来说，这些集合中的每一个都是一个新鲜的、一次性的发现。我们很少有一般的原则或技术告诉我们如何以及在哪里寻找非周期性。

50年来，对小的非周期集合的研究停滞在了数量2，数学家们想知道非周期单瓦片的可能性。

Tim Chartier：瓷砖是如何找到的？你怎样感觉到它可能是非周期性的，或者最初的暗示？

克雷格·卡普兰：大卫·史密斯喜欢以尝试形状作为一种爱好。他会选择一个简单的形状，比如通过将某个单元细胞的副本粘合在一起而制成的多形（polyform），并研究使该形状平铺在平面上的视觉上吸引人的方法。通常，他会使用计算机控制的工艺切割机从纸上切割形状的副本并手工操作它们。

在实践中，大多数形状要么以简单的方式平铺（例如，只需要其中一两个就可以创建一个通过平移在网格中平铺的补丁），要么无法以简单的方式平铺（例如，形状边界上有一点，不能放置形状的相邻副本）。大卫立即注意到“帽子”没有遵循这种模式：他能够组装大量的“帽子”补丁，而从未在其中辨别出明显的周期性图案。他玩这个游戏的经验足够多，他知道正在发生一些有趣的事情，这就是为什么他开始接触别的（形状）。

立即引起我注意的是大卫手工建造的补丁中稀疏均匀的反射瓷砖间距，具有各种方向。很明显，有隐藏的规则在起作用，让他偶尔注入反射瓷砖，以便可以继续向外建造。这是我以前从未见过的，而且非常可疑。我开始通过计算生成更大的补丁，它们表现出相同的模式，这是令人信服的证据，证明我们正在看到一些真正新的东西。

Tim Chartier：所以，大卫·史密斯发现了一个行为奇怪的瓷砖，并与你建立了联系。随着时间的推移，你请来了约书亚·塞缪尔·迈尔斯（Joshua Samuel Myers）和哈伊姆·古德曼-施特劳斯（Chaim Goodman-Strauss）。您能给我们介绍一下这种不断发展的合作中的时刻吗？

克雷格·卡普兰：大卫在11月17日第一次联系我，询问我早期所做的一些工作，计算所谓的“Heesch 数” （希什数，一种衡量不平铺平面的形状复杂性的度量，因德国数学家Heinrich Heesch海因里希·希什的研究得名，zzllrr小乐译注）。他想知道我创建的软件是否可以用来自动计算大片“帽子”。我的第一反应是拖延时间---我快要结束学期了，想在注意力转向他的形状之前完成教学！幸运的是，他坚持不懈，给我发了他制作的纸补丁的照片，很快我就对“帽子”发烧了。11月24日，他大胆地提出这个形状可能是“爱因斯坦”，从那时起，我几乎把每一个空闲时间都花在了通过计算和数字绘图来探索这个“帽子”上。我恳求大卫让我在假期里继续独自制作这顶“帽子”，只是为了多品味一会儿，我们会在新的一年里联系其他人。

我们在一月初联系了Chaim Goodman-Strauss，在一月中旬联系了Joseph Myers。到那时，我已经到达了一个可以用“帽子”平铺“飞机”的结构，但我们肯定需要更多的数学肌肉来完成非周期性的完整证明。幸运的是，我们没有等待那么久。在我们联系他八天后，1月25日，约瑟夫回来了，根据我的构造，他得到了一个完整的非周期性证明！我仍然感到惊讶的是，这项工作的所有部分都如此迅速地到位---这当然不是我以前经历过的，也不是我们在数学研究中应该期待的。

Tim Chartier：在你的结果之前，我们不知道是否有一个“爱因斯坦”瓷砖。你的论文展示了一个连续统（continuum）。您能概述一下该发现的步骤吗？

克雷格·卡普兰：早在十二月，大卫给我发了一封电子邮件，提到他正在试验第二种形状，这种形状的行为也很奇怪。另一个形状是由十个风筝形细胞组成的乌龟形组合（而不是构成帽子的那八个）。我的反应是把这个形状放在次要位置；它看起来很有趣，但在转向它之前，我自然应让我们对“帽子”的研究正常进行下去。我确实计算了一些大片的，但大多数情况下，当我玩“帽子”时，我尽量不让它困扰我。

喜欢玩“形状”的退休印刷技术员——大卫·史密斯（David Smith）

一月份，大卫与哈伊姆和约瑟夫分享了“乌龟”（turtle），他们很高兴不像我那样不屑一顾！随之而来的是约瑟夫的一系列惊人的启示。首先，也是非周期性的，因为它的平铺方式相当于“帽子”。其次，“帽子”和只是属于等价非周期单瓦片连续体的两个点。第三（如果这还不够的话），可以利用连续统本身来产生一种全新的非周期性证明风格！这些想法确实将成果提升到了一个更高的复杂水平。

Tim Chartier：您的论文在arXiv上发布，并迅速引起了远远超出您所在领域的人的关注。你能分享一下媒体报道是什么样的吗？

克雷格·卡普兰：反应令人振奋，令人心动，而且有点压倒性。

我想，只要一个长期存在的开放问题得到解决，它都是有新闻价值的（例如，在我们发表论文的前一周，有很多关于拉姆齐理论重大进展的头条新闻，参阅小乐数学科普：图论非常大的“一小步”（拉姆齐数上界从4ᵏ改进到3.993ᵏ）——译自量子杂志Quanta Magazine）。但最重要的是，我认为我们的工作可能会有额外的公众吸引力。结果是即时的：任何人都可以检查瓷砖的绘图并看到其异常行为，不受抽象或符号层次的阻碍。此外，还有一个业余爱好者最初发现的诱人故事。我希望大卫能激励其他人仅仅因为好玩而尝试数学思想。

我也喜欢与来自世界各地的科学传播者和其他记者交谈和合作。一般来说，他们对这个话题充满热情，渴望了解我们论文的细节，并决心忠实地向公众展示这项工作。我对此心存感激。

Tim Chartier：人们创造了艺术品。有什么可以分享的吗？看到您的作品如此迅速地激励了全世界这么多人是什么感觉？

克雷格·卡普兰：尽管这项工作的重点是纯粹的数学，但我的大部分学术研究都是跨学科的，涉及数学和计算在艺术和设计中的应用。因此，看到这么多人受到启发，根据“帽子”创作自己的艺术，我感到非常兴奋。许多人正在制作自己的“帽子”（另一所大学的朋友抱怨说，他无法使用3D打印机，因为它们被预订给了打印帽子的学生）。（使用“帽子”平铺）革新浴室地砖的威胁有很多，我期待着第一个实现它的人。

有太多有趣的艺术实验让我跟不上（这很棒！），但这里有一些引起了我的注意：

罗伯特·法索尔（Robert Fathauer）和荒木义明（Yoshiaki Araki，日本曲面细分设计协会会长）的一些可爱的埃舍尔（艾舍尔）式绘画：