一.判断下列命题是否正确,若正确给出证明,若错误举出反例. ECNU202001 的充分必要条件是对任意的正整数,存在,当时,有 解 正确. , ,当时,有. ECNU202002 若在的某邻域内有定义,且存在,则存在. 解 错误.反例如下: ,有 但不存在.ECNU202003 若在上可积,则在上有原函数. 解 错误.反例如下: 在上可积,但是没有原函数. ECNU202004 若在上连续,且,则. 解 正确.反证如下,若不恒为0,则存在,使得,由局部保号性知,使得对,都有,于是有 这与矛盾,原命题得证. ECNU202005 若级数与都收敛,则也收敛. 解 错误.反例如下: . ECNU202006 设是的一个极小值点,则一定存在,使得在上单调递减,在上单调递增. 解 错误.反例如下: 其中此时对任何的, 在内不单增,同时在内不单减. 二.计算题. ECNU202007 计算积分. 解 计算可知 ECNU202008 求极限 解 计算可知 ECNU202009 求级数的部分和. 解 由于幂级数在内一致收敛,故交换积分与求和次序,有 代入,得到ECNU202010 计算 其中是抛物面在平面与之间的部分,方向取下侧. 解 令曲面,由Gauss公式知 ECNU202011 已知,求 解 由定积分的性质得到 由于,于是对任给的,存在,使得当时,有 于是三.证明题. ECNU202012 设, , ,证明:与敛散性相同. 证明 先考虑若收敛,则, 由比较判别法得收敛; 若发散,则 而对于任意给的, ,于是,当时, ,于是, 由Cauchy准则知发散.ECNU202013 已知数列非负且有界,证明:. 证明 记,于是对任给的,存在充分大的正整数,使得,当时,有 由于的任意性,有ECNU202014 设 证明:对任意的以及任意的, 在上无界. 证明 任给, 由有理数的稠密性知存在,使得,于是有,使得,有. ECNU202015 设在上连续,且, 设在上收敛于,证明: 在上有最小值. 证明 记,由于,故关于单调递减收敛于,不妨设,下说明存在,使得,由归结原则知存在数列,使得,不妨考虑数列收敛,若,则由于,由局部保号性知存在,使得,进一步由于得到,存在,当时,有,于是,但,矛盾,故是在上的最小值. ECNU202016 证明:设是定义在上的非负函数且可微,满足收敛,证明:存在趋于正无穷的数列使得 证法1(感谢娄本东教授提供) 反证.假设不存在满足题意的数列,则必存在,以及,成立下式: 该式表明对任意的,只要,就有,从而有或.假设前者成立,即表明严格单调递减,随着减小,只要其仍为正值,则它越小意味着(取值为负)的绝对值越大,直至变为负值,这与假设矛盾.因此只能是,这表明只要减小到之下, 就会严格递增,进而阻止的进一步减小,结论就是当时,有,这与在上可积是矛盾的. 证法2 若存在,则,于是对任意的,都有,使得,此时有,故 若不存在,则存在,使得对任意的,都有,使得,取,则存在,使得,取,则存在,使得,以此类推得到趋向于无穷的数列,记在上的最小值为,下说明对任意的子列,都有趋于0,这是因为若不然,则 矛盾,故此时是在上的最小值,此时仍然有 |
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