2019北京四十一中初二（下）期中数 学一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝5cm
，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）A．1 cmB．2 cmC．3 cmD．4 cm2．如图，在矩形
ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（ ）A．85°B．80°C
．75°D．70°3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O
，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）A．8B．8C．4D．64．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2
），（1，y3）都在直线y＝﹣x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y3
＞y1＞y2D．y3＞y1＞y25．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）A．图象必经过（﹣2，1）B．y随x的增大而增
大C．图象经过第一、二、三象限D．当x＞时，y＜06．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割
成（ ）个三角形．A．6B．5C．8D．77．直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一坐标系中的大致位置是（ ）A
．B．C．D．8．已知下列命题①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行
且两条对角线相等的四边形是矩形；④两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．其中正确的命题的个数是（ ）A．0B．1C．2D．39．
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（ ）A
．6B．8C．10D．1210．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD
的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是 ．12．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx
交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．13．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．则AC的长为
．14．在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线上一点，并且CD＝CA＝2cm，∠ADC＝15°，则BC＝ cm．15．
如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝ °．16．在平行四
边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝ ．17．如图的三角形纸片
中，AB＝6，AC＝7，BC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 ．18
．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
19．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向
，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于 千米．（结果保留根号）20．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式为 ．三．解
答题（共8小题，满分40分，每小题5分）21．平行四边形如图，直线过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）．（1）求直线AB
的解析式和a的值；（2）求△AOP的面积．22．平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于
点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．（1）求证：DE＝BF；（2）求证：四边形MFNE是平行四边形．23．平行四边形如图
，在平行四边形ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMD
N是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．24．平行四边形如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的
点，且AE＝BF．求证：AF⊥DE．25．平行四边形在一节数学课上，老师布置了一个任务：如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，用
尺规作图作矩形ABCD．同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图②，他向同学们分享了作法：①分别以点A、C为圆心，大于AC长
为半径画弧，两弧分别交于点E、F，连结EF交AC于点O；②作射线BO，在BO上取点D，使OD＝OB；③连结AD、CD．则四边形AB
CD就是所求作的矩形．老师说：“小亮的作法正确．”阅读上面的材料，请写出小亮的作图依据．26．平行四边形甲、乙两人相约周末登花果山
，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度
是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面
的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？27．平行四边形定义：我
们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．（1）请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．（2）如图1，E，F，G，H分别是
四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，已知四边形EFGH是菱形，求证：四边形ABCD是和美四边形；（3）如图2，四边形A
BCD是和美四边形，对角线AC，BD相交于O，∠AOB＝60°，E、F分别是AD、BC的中点，请探索EF与AC之间的数量关系，并证
明你的结论．28．平行四边形已知：如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，线段DE与菱形对角线AC交于点F，点O是AC的中点，EO
的延长线交边DC于点G（1）求证：∠AED＝∠FBC；（2）求证：四边形DEBG是平行四边形．四．解答题（共1小题）29．如图，在
正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，连接AE，DE．（1）求证：AE＝DE（2）过点D作DF⊥AE，垂足为F，若AB＝2cm
，求DF的长．2019北京四十一中初二（下）期中数学参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据平行四
边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的长．【解答】解：∵AD
∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝AB＝3cm，∵BC＝AD＝
5cm，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当
出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．2．【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，再由角平分线得出△AB
E是等腰直角三角形，得出AB＝BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO＝60°，OB＝AB，得出OB＝BE，由三角形内角和定理
和等腰三角形的性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝B
D，∴OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠EAO＝15°，∴∠BAO
＝45°+15°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，OB＝AB，∴∠OBE＝90﹣60°＝30°，OB＝BE，∴
∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．3．【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质
可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠AB
O＝30°，即∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解
答】解：如图，连接BO，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠DCB＝90°∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，∠AO
E＝∠FOC∠FCO＝∠EAOAE＝CF，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，OA＝OC，∵BF＝BE，∴BO⊥EF，∠BOF＝9
0°，∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，∴∠EAO＝∠EOA，∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，在RT△BFO和RT△BFC
中，BF＝BFFO＝FC∴RT△BFO≌RT△BFC，∴BO＝BC，在RT△ABC中，∵AO＝OC，∴BO＝AO＝OC＝BC，∴△
BOC是等边三角形，∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴
EB＝EF＝4，∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC＝30°是解题的关键．4．【
分析】先根据直线y＝﹣x+b判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．【解答】解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜
0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y＝k
x+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．5．【分析】根据一次函数的性质，依次分析选项可得答
案．【解答】解：根据一次函数的性质，依次分析可得，A、x＝﹣2时，y＝﹣2×﹣2+1＝5，故图象必经过（﹣2，5），故错误，B、k
＜0，则y随x的增大而减小，故错误，C、k＝﹣2＜0，b＝1＞0，则图象经过第一、二、四象限，故错误，D、当x＞时，y＜0，正确；
故选：D．【点评】本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系．6．【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其
余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．【解答】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个
七边形分割成7﹣2＝5个三角形．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．7
．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依
次分析选项可得：A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；
B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＞0，b的取值相矛盾，故本选项错误；C、由图可得，y1
＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，k的取值相一致，故本选项正确；D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞
0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要
掌握它们的性质才能灵活解题．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．8．【分析】（1）本题根据平行
四边形的判定方法即可得出结论．（2）本题根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．（3）本题根据矩形的判定方法得出结论．（4）本题根
据菱形的判定方法得出结论．【解答】解：（1）∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；∴故本选项正确．（2）∵两条对角线互相垂直且
相等的四边形不一定是平行四边形，∴故本选项错误．（3）∵一组对边平行且两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形．∴故本选项错误．④∵两
条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．∴故本选项正确．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的判定，解题时要注意判定方法的综合应用．
9．【分析】先过点D作DE⊥AC于点E，由在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，可求得OD的长，又由对角线AC、BD相交成的
锐角α为30°，求得DE的长，△ACD的面积，则可求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，∵在平行四边形ABCD中，AC＝
8，BD＝6，∴OD＝BD＝3，∵∠α＝30°，∴DE＝OD?sin∠α＝3×＝1.5，∴S△ACD＝AC?DE＝×8×1.5＝6
，∴S平行四边形ABCD＝2S△ACD＝12．故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角函数的知识．注意准确作出辅助线是
解此题的关键．10．【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求
出相应的函数关系式，然后选择答案即可．【解答】解：分三种情况：①当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，y＝AP?h，∵AP随x
的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C和D不正确；②当P在边BC上时，如图2，y＝AD?h，AD和h都不变，∴在这个
过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y＝PD?h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵
P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项B正确；故选：B．【点评】本题考查了动点
问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．二．填空题（共10小题，满分30分
，每小题3分）11．【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．【解答】解：新直
线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的，∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．∵经过点（1，1），则1×3+b
＝1，解得b＝﹣2，∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2；故答案为：y＝3x﹣2．【点评】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直
线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．12．【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．【解
答】解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），∴关于x，y的二元一次方程组的解为．故答案为．【点评】本题考查了
一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．13．【分析】在△ABD中，根据勾股定理的逆定理即可
判断AD⊥BC，然后根据线段的垂直平分线的性质，即可得到AC＝AB，从而求解．【解答】解：∵AD是中线，AB＝13，BC＝10，∴
BD＝BC＝5，∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵BD＝CD，∴AC＝A
B＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理与线段的垂直平分线的性质，关键是利用勾股定理的逆定理证得AD⊥BC．1
4．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠CDA＝∠D＝15°，推出∠ACD＝30°即可解决问题；【解答】解：∵CA＝CD，∴∠CAD
＝∠D＝15°，∴∠ACB＝∠CAD+∠D＝30°，∵∠ABC＝90°，AD＝2cm，∴AB＝AC＝1cm，∴BC＝＝＝cm，故答
案为．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】由菱形及
菱形一个内角为120°，易得△ABC与△ACD为等边三角形．CE⊥AD可由三线合一得CE平分∠ACD，即求得∠ACE的度数．再由C
E＝BC等腰三角形把∠E度数求出，用三角形内角和即能去∠EFC．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°∴AB＝BC＝CD
＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△ACD是等边三角形∵CE⊥AD∴∠ACE＝∠ACD＝30°∴
∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°∵CE＝BC∴∠E＝∠CBE＝45°∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣3
0°＝105°故答案为：105°【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形及三线合一，三角形内角和．按照题目给的条件逐步综合信息即能
求出答案．16．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DAE，推出AB＝BE，根据已知
条件推出∠ADF＝∠ADC，得到∠DFC＝∠CDF，推出CF＝CD，于是得到结论．【解答】解：①如图1，在平行四边形ABCD中，∵
BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴
∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°
，∴∠ADF＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵
EF＝4，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣4＝10，∴AB＝7；②如图2，在平行四边形ABCD中，∵BC＝AD＝1
0，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠D
AE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝
∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵EF＝4，∴B
C＝BE++EF+CF＝2AB+EF＝2AB+4＝10，∴AB＝3；综上所述：AB的长为7或3．故答案为：7或3．【点评】本题考查
了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE＝CF＝CD．17．【分析】由题意可得：
CD＝DE，BC＝BE＝5，即可求AE＝1，则可求△AED的周长．【解答】解：∵折叠∴CD＝DE，BC＝BE＝5∵AE＝AB﹣BE
∴AE＝6﹣5＝1∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+DC+1＝AC+1＝7+1＝8故答案为：8【点评】本题考查折叠问题，熟
练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．【分析】知道四边形ABCD是菱形和菱形的对角线，要在菱形的
对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件．【解答】解：根据对角线相等
的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°；故添加的条件为：AC＝BD或∠A
BC＝90°．故答案为AC＝BD或∠ABC＝90°．【点评】本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，
解答时熟悉正方形的判定方法是关键．19．【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在Rt△B
CD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离．【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60
°＝30°，∴CD＝AC?sin∠CAD＝4×＝2（km），AD＝AC?cos30°＝4×＝2（km），∵Rt△BCD中，∠CDB
＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2（km），故答案是：（2+2）．【点评】本题考查了解直
角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．20．【分析】根据运算程序，可得函数关系式．【解答】解：由
运算程序，得y＝3x﹣5，故答案为：y＝3x﹣5．【点评】本题考查了函数关系式，利用运算程序得出y与x的关系是解题关键．三．解答题
（共8小题，满分40分，每小题5分）21．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再利用二次函数
图象上点的坐标特征即可求出a的值；（2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，
根据三角形的面积公式及S△AOP＝S△AOD+S△POD可求出△AOP的面积．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（
k≠0），将A（﹣1，5），B（3，﹣3）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3．当x＝2时，y＝﹣2
x+3＝﹣1，∴点P的坐标为（2，﹣1），即a的值为﹣1．（2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，如图所示．当x＝0时，y
＝﹣2x+3＝3，∴点D的坐标为（0，3）．S△AOP＝S△AOD+S△POD＝OD?|xA|+OD?|xP|＝×3×1+×3×2
＝．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利
用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）利用分割图形求面积法，求出△AOP的面积．22．【分析】（1）根据平行四边形对边平行可得A
D∥BC，然后求出四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形对边相等证明即可；（2）求出AE＝CF，然后根据一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形得到四边形AFCE是平行四边形，根据平行四边形对边平行可得AF∥CE，最后根据平行四边形的定义证明即可．【解答】证
明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF；（2）在平行四边形ABCD
中，AD∥BC且AD＝BC，∵DE＝BF，∴AD﹣DE＝BC﹣BF，即AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵四
边形BFDE是平行四边形，∴DF∥BE，∴四边形MFNE是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形
的性质以及平行四边形的判定方法是解题的关键．23．【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要证明△CEM≌△AF
N，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD
∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN
，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5
，在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠ADE＝∠BAF，进而
得出∠AGE＝90°．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，∴
△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠FAE+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°
，∴AF⊥DE．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△DAE≌△ABF是解题关键．25．【分析】
根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断EF垂直平分AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BO＝OA＝O
C，则由OD＝OB得到BO＝OA＝OC＝OD，从而根据矩形的判定方法可判断四边形ABCD就是所求作的矩形．【解答】解：由作法得EF
垂直平分AC，则OA＝OC，则BO为Rt△ABC斜边上的中线，所以BO＝OA＝OC，因为OD＝OB，所以BO＝OA＝OC＝OD，所
以四边形ABCD为矩形．所以小亮的作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；对
角线互相平分且相等是矩形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和
基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的
判定．26．【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x＜2和x≥2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程
中y关于x的函数关系式，令二者做差等于70得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y
关于x的函数关系式＝70，得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（30
0﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，
y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间
x（分）之间的函数关系式为y＝；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0
≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10
；当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．【
点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度＝初始高度+速度×时间找
出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．27．【分析】（1）根据矩形的对角线相等解答；（2）根据
三角形的中位线定理得；EH＝BD＝FG，EF＝AC＝HG，由菱形EFGH四边相等可得：AC＝BD，所以四边形ABCD是和美四边形；
（3）作辅助线，构建平行四边形MABD，再证明△AMC是等边三角形，根据三角形中位线定理得：EF＝CM＝AC．【解答】解：（1）∵
矩形的对角线相等，∴矩形是和美四边形；（2）如图1，连接AC、BD，∵E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA
的中点，∴EH＝BD＝FG，EF＝AC＝HG，∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝EF＝FG＝GH，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是和
美四边形；（3）EF＝AC，证明：如图2，连接BE并延长至M，使BE＝EM，连接DM、AM、CM，∵AE＝ED，∴四边形MABD是
平行四边形，∴BD＝AM，BD∥AM，∴∠MAC＝∠AOB＝60°，∴△AMC是等边三角形，∴CM＝AC，△BMC中，∵BE＝EM
，BF＝FC，∴EF＝CM＝AC．【点评】本题考查的是和美四边形的定义、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、矩形和菱形的性
质，正确理解和美四边形的定义、作辅助线是解题的关键．28．【分析】（1）首先证明△CBF≌△CDF，从而得到∠FBC＝∠FDC，然
后由平行线的性质可知∠FDC＝∠AED，从而可证得∠AED＝∠FBC；（2）连接BD，由菱形的性质可知；OB＝OD，然后再证明OG＝OE，从而可证得四边形DEBG是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCF＝∠BCF，DC＝BC．在△DCF和△BCF中，，∴△DCF≌△BCF，∴∠FBC＝∠FDC．∵DC∥AB，∴∠FDC＝∠AED．∴∠AED＝∠FBC．（2）如图，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，∴OD＝OB．∵DC∥AB，∴∠GCO＝∠EAO．在△GCO和△EAO中，，∴△GCO≌△EAO，∴OE＝OG．∴四边形DEBG是平行四边形．【点评】本题主要考查的是菱形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，证得OG＝OE是解题的关键．四．解答题（共1小题）29．【分析】（1）证明△ABE≌△DCE，可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据等腰三角形的性质得∠BCG＝30°，∠DEF＝30°，利用正方形的边长计算DE的长，从而得DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，（1分）∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，∵△BCE是等边三角形，∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，（2分）即∠ABE＝∠DCE＝150°，∴△ABE≌△DCE，∴AE＝DE；平行四边形（2）解：过点E作EG⊥CD于G，（6分）∵DC＝CE，∠DCE＝150°，∴∠CDE＝∠CED＝15°，∴∠ECG＝30°，（7分）∵CB＝CD＝AB＝2，∴EG＝1，CG＝，（8分）在Rt△DGE中，DE＝＝＝+，（9分）在Rt△DEF中，∠EDA＝∠DAE＝90°﹣15°＝75°∴∠DEF＝30°，∴DF＝DE＝（cm）．（10分）【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性很好，难度不大． 1 / 1 |
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