|
|
| 2020北京清华附中初二（上）期中数学（教师版） |
|
|
|
|
2020北京清华附中初二（上）期中数 学(清华附中初19级)2020.11一.选择题(共10小题，每小题3分，共30分)下面各题均有四个选
项，其中只有一个是符合题意的.1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线"，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契
螺旋线图案.下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）2.已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形
的面积为（ ）A.B.C.D.a+13.如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、Ｃ、D在同一直线上，且CE=5，AC
=7，则BD的长为（ ）A. 12B. 7C. 2D. 144.下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5.用一条长为18c
m的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）cm.A. 5B. 6.5C. 5或6.5D.
6.5或86.如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）A. PD=PEB. OD=OEC
. ∠DPO=∠EPOD. PD=OD7.如图，若△A’B’C’与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（ ）A.
(0，1)B. (0，-3)C. (3，0)D. (2，1)8.已知a+b=3，ab=1，则多项式的值为（ ）A.-1B.0C.3
D.69.已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺
设路线最短的是（ ）10.设a，b是实数，定义的一种运算如下：，则下列结论有：①若ab=0，则a=0且b=0②ab=ba③
a(b+c)=ab+ac④ab=(-a)(-b)正确的有（ ）个.A.1B.2C.3D.4二.填空题(共8小题，每小题3
分，共24分)11.______________.12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠DBC=25°，且BD⊥AC，则∠A=_
__________.12题图13题图13.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B，C重合)，只需添加一个条件即可
证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是___________(写出一个即可)，14.若x+m与2-x的乘积中不含x的一次项，则实数
m的值为__________.15.一个长方形的面积为，若一边长为3ab，则它的另一边长为_________16.如图，在△ABC
中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为__
__________.17.如图，在正方形网格内(每个小正方形的边长为1)，有一格点三角形ABC(三个顶点分别在正方形的格点上)，
现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，
并在网格图中标注.18.如图，在△ABC中，∠C=30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE上，OA=OB，OD=
1，OE=2，则BE的长为_____________.三.解答题(共7小题，19题5分，20-21每题9分，22-24每题5分，2
5题8分，共46分)19.(本题5分)已知如图，AB-AD，AC-AE，∠BAD-∠CAE.求证：∠E=∠C.20.(每小题3分，
共9分)计算.(1)(2)(3m-n)(m+2n)(3)21.(每小题3分，共9分)分解因式.(1)(2)(3).22.(本题5分
)如图，在△ABC中，∠C=90°.(1)用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等：(保留作图痕迹，不写作法和证明)(
2)当满足(1)的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.23.(本题5分)先化简，再求值，，其中x=-2，24.(本题5分)
阅读下列材料：已知，求的值.解：∵∴∴根据上述材料的做法，完成下列各小题：(1)若，则2(a+4)(a-5)的值为________
____.(2)若，求代数式的值.25.(本题8分)如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α(0°<α<90°)，点B关于直
线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F.(1)①依题意补全图形；②求∠BPC的度数；(2)用等
式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明.(3)若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数.附加题(26、27每题3分，28
、29每题4分，30题6分，共20分)26.如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的
等式是（ ）A. B. C. D. 27.已知x=3y+5，且，则的值为（ ）A.0B.1C.5D.1228.如图，四边形ABCD
中，AB=AD，点B关于AC的对称点B’恰好落在CD上，若∠BAD=α，则∠ACB的度数为__________(用含α的代数式表示
)29.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：
①AF=BC：②∠DEB=45°；③AE=CE+2BD；④若∠CAE=30°，则，，正确的有__________.(填序号)30.
如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连结BE，在BE的下方作等边△BEF，连结DF.当△BDF的周
长最小时，求∠DBF的度数.2020北京清华附中初二（上）期中数学参考答案一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均
有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图
形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】依据新正方形的边长为a+1，
即可得到新正方形的面积．【解答】解：新正方形的边长为a+1，∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，故选：A．【点评】本题
主要考查了完全平方公式的运用，解决问题的关键是掌握完全平方公式．3．【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，△
ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝
BC+CD＝12．故选：A．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．【分析】直接利用同
底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a6?a2＝a8，故此选项错误；B、a
6÷a2＝a4，故此选项错误；C、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故此选项错误；D、（a6）2＝a12，正确．故选：D．【点评】此题主
要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．【分析】分已知边5cm是腰长和底边两
种情况讨论求解．【解答】解：5cm是腰长时，底边为18﹣5×2＝8，∵5+5＞8，∴5cm、5cm、8cm能组成三角形；5cm是底
边时，腰长为（18﹣5）＝6.5cm，5cm、6.5cm、6.5cm能够组成三角形；综上所述，它的腰长为6.5或5cm．故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．6．【分析】由已知条件认真思考，
首先可得△POE≌△POD，进而可得PD＝PE，∠1＝∠2，∠DPO＝∠EPO；而OD，OP是无法证明是相等的，于是答案可得．【解
答】解：A、∵∠POB＝∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，正确，故本选项错误；B、∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PE
O＝∠PDO＝90°，∵OP＝OP，PE＝PD，∴由勾股定理得：OE＝OD，正确，故本选项错误；C、∵∠PEO＝∠PDO＝90°，
∠POB＝∠POA，∴由三角形的内角和定理得：∠DPO＝∠EPO，正确，故本选项错误；D、根据已知不能推出PD＝OD，错误，故本选
项正确；故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的
距离相等．7．【分析】根据对称的性质可知点C和对称点C′到直线AB的距离是相等的则易解．【解答】解：∵△A''B''C''与△ABC关于
直线AB对称，∴通过网格上作图或计算可知，C’的坐标是（2，1）．故选：D．【点评】主要考查了坐标的对称特点．解此类问题的关键是要
掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标．8．【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体
代入即可求解．【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a
+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．9
．【分析】方案A中求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；方案C中，如图1，AD⊥BC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，
由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；由垂线段最短得方案B中光缆比方案C中长；方案D中，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高
AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，A、铺设的
电缆长为a+a＝2a；C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴D为BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝a，在Rt△ABD中，
根据勾股定理得：AD＝＝＝，则铺设的电缆长为a+a＝a；B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；D、如图2所示，∵△ABC为
等边三角形，且O为三角形三条高的交点，∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，故x2+（ ）2＝（2x）2，解得：x＝a，则BO＝a，
则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，∵a＜a＜2a，∴方案D中光缆最短；故选：D．【点评】此题考查了等边三角形的性质、作
图﹣应用与设计作图、垂线段最短以及勾股定理等知识，是一道方案型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．10．【分析】根据新定
义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．【解答】解：∵ab＝0，ab＝（a+b）2，∴（a+b
）2＝0，即：a+b＝0，∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，ab＝（a+b）2，ba＝（b+a）2，因此②符合题意，a（
b+c）＝（a+b+c）2，ab+ac＝（a+b）2+（a+c）2，故③不符合题意，∵ab＝（a+b）2，（﹣a）（﹣b）
＝（﹣a﹣b）2，∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，∴ab＝（﹣a）（﹣b）故④符合题意，因此正确的个数有2个，故选：B．【点评
】考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．二.填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11
．【分析】根据非0数的0指数幂为1来解答．【解答】解：（﹣）0＝1．【点评】解答此题要熟知，任何非0数的0次幂等于1．12．【分析
】据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵BD是AC边上的高，∴∠DBC+∠C＝90°，∠DBC＝25°
，∴∠C＝65°，∵AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2∠C＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查等腰三角形的
性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝A
C，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD
与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案为：BD＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是
本题的关键．14．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：
根据题意得：（x+m）（2﹣x）＝2x﹣x2+2m﹣mx，∵x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，∴m＝2；故答案为：2．【点评】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：由题意可知：（
12ab2﹣9a2b）÷3ab＝4b﹣3a，故答案为：4b﹣3a．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，
本题属于基础题型．16．【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，
求出即可．【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴
∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝M
B+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案为：10【点评】
此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据全等三角形的判定依据题目要求画出
图形即可．【解答】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．18．【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出CE，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角
形的三线合一解答即可．【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，DE＝OD+OE＝3，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝
2DE＝6，∠OEF＝60°，∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在R
t△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝1，∴CF＝CE﹣EF＝5，∴BC＝10，∴BE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解
题的关键．三.解答题（共7小题，19题5分，20-21每题9分.22-24每题5分，25题8分，共46分）19．【分析】先通过∠B
AD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE，从而证明△ABC≌△DAE，得到∠E＝∠C．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+
∠DAC＝∠CAE+∠DAC．即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，AC＝AE，∴△ABC≌△DAE（SAS）．∴∠E＝∠C．【点
评】考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA
、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20．【分析】（
1）根据单项式乘单项式法则计算可得答案；（2）利用多项式乘多项式法则计算即可；（3）先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再
合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3y4；（2）原式＝3m2+6mn﹣mn﹣2n2＝3m2+5mn﹣2n2；（3）原式
＝a2b2﹣2ab+1+2ab﹣a＝a2b2﹣a+1．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算
法则．21．【分析】（1）利用平方差公式分解因式；（2）提公因式后，利用完全平方公式分解因式；（3）先将x2﹣9分解为（x+3）（
x﹣3），再提公因式分解因式即可．【解答】解：（1）9m2﹣4＝（3m+2）（3m﹣2）；（2）2ax2+12ax+18a＝2a（
x2+6x+9）＝2a（x+3）2；（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9＝（x+3）（x﹣5）+（x﹣3）（x+3）＝（x+3）（
x﹣5+x﹣3）＝（x+3）（2x﹣8）＝2（x+3）（x﹣4）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解
的方法是解本题的关键．22．【分析】（1）画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；（2）由点P到AB、BC的距离相等
可得出PC＝PD，结合BP＝BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根据全等三角形的性质可得出BC＝BD，结合AB＝2BD及
∠C＝90°，即可求出∠A的度数．【解答】解：（1）依照题意，画出图形，如图所示．（2）∵点P到AB、BC的距离相等，∴PC＝PD
．在Rt△BCP和Rt△BDP中，，∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），∴BC＝BD．又∵PD垂直平分AB，∴AD＝2BD＝2B
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴∠A＝30°．【点评】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判
定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握尺规作图；（2）通过证全等三角形找出AB＝2BC．23．【分析】
直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，即可得出答案．【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2+9y2+1
2xy﹣4x2+9y2＝18y2+12xy，当x＝﹣2，y＝时，原式＝18×（）2+12×（﹣2）×＝18×﹣8＝2﹣8＝﹣6．【
点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．24．【分析】（1）将a2﹣a﹣10＝0变形为a2＝a+10，
再将2（a+4）（a﹣5）利用多项式乘以多项式运算展开，然后将a2＝a+10代入降次化简即可．（2）由x2+4x﹣1＝0，得出x2
＝1﹣4x，然后利用提取公因式法对2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1变形，并将x2＝1﹣4x代入化简即可．【解答】解：（1）∵a2﹣
a﹣10＝0，∴a2＝a+10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（a+10﹣a﹣20）＝2×（﹣10）＝﹣20，
故答案为：﹣20．（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2＝1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x
+1＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2×（﹣1）﹣8x+1＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．【点评】本题考查了因式分解在简算中的应用及多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解及整式乘
法运算的法则并具有整体思想是解题的关键．25．【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②点B关于直线AD的对称点为P，得到AP＝AB
，设∠APC＝∠ACP＝x，则∠PAC＝180°﹣2x，用x的代数式表示∠APB即可解决问题．（2）结论：CF＝AF+2EF．如图
1中，连接BF，在CP上取一点T，使得FA＝FT，连接AT．证明△FAB≌△TAC（SAS），可得结论．（3）分二种情形：①如图2
﹣1中，当BP＝BC时．②如图2﹣2中，当PB＝PC时，利用等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）①图形如图所示：②连接AP
，∵P，B关于AD对称，∴AP＝AB＝AC，∴可以假设∠APC＝∠ACP＝x，则∠PAC＝180°﹣2x，∵∠BAC＝60°，∴∠
PAB＝180°﹣2x﹣60°＝120°﹣2x，∵AP＝AB，∴∠APB＝∠ABP＝[180°﹣（120°﹣2x）]＝30°+x．
∴∠CPB＝30°+x﹣x＝30°．（2）结论：CF＝AF+2EF．理由：如图1中，连接BF，在CP上取一点T，使得FA＝FT，连
接AT．∵B，P关于AD对称，∴AE⊥PB，PF＝BF，∵∠EPF＝30°，∴∠PFE＝∠AFT＝60°，BF＝PF＝2EF，∵F
A＝FT，∴△AFT是等边三角形，∴∠AF＝AT，∠FAT＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠FAT＝60
°，∴∠FAB＝∠TAC，在△FAB和△TAC中，，∴△FAB≌△TAC（SAS），∴CT＝BF，∴CF＝ET+CT＝AF+BF＝
AF+2EF，∴CF＝AF+EF．（3）①如图2﹣1中，当BP＝BC时，α＝∠BAD＝30°．②如图2﹣2中，当PB＝PC时，α＝
∠BAD＝75°．综上所述α的值为：30°，75°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，
等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．四、附加题（26、27每题3分,28.29每题4分
,30题6分，满分20分）26．【分析】分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．【解答】解：甲图中阴影部分的
面积为：a2﹣2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：（a﹣b）2，所以a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故选：C．【点评】本题考查
了完全平方公式，解决本题的关键是分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积．27．【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9
y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值．【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3
y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy
（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式
，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．28．【分析】连接AB''，BB''，过A作AE⊥CD于E，依据
∠BAC＝∠B''AC，∠DAE＝∠B''AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠
ACB''＝90°﹣∠BAD．【解答】解：如图，连接AB''，BB''，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B''恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB''，∴AB＝AB''，∴∠BAC＝∠B''AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB''，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B''AE
，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB''＝∠AOB''＝90°，∴四边形AOB''E中，∠EB''O＝180°﹣α，∴∠ACB''＝∠E
B''O﹣∠COB''＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB''＝90°﹣α，故答案为90°﹣α．【点评】本题主要考查
了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB''E，解题时注意：如果两个图形关于某
直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．29．【分析】①②只要证明△ADF≌△CDB即可解决问题．③如图1中，作
DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，想办法证明AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE
＝2DN＜2BD，即可．④如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．想办法证明△BFH是等边三角形，AC＝AH即可解
决问题．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DCB，在△ADF和
△CDB中，，∴△ADF≌△CDB（ASA），∵AF＝BC，DF＝DB，故①正确，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，取BF的中点O，连
接OD、OE．∵∠BDF＝∠BEF＝90°，∴OE＝OF＝OB＝OD，∴E、F、D、B四点共圆，∴∠DEB＝∠DFB＝45°，故②
正确，如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，∴MF＝BN，EM＝EN，∴EF
+EB＝EM﹣FM+EN+NB＝2EM＝2DN，∵AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD，∴AE﹣CE＜2BD，
即AE＜EC+2BD，故③错误，方法二：如图2中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N．易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形
，∴FM＝BN，EM＝EN＝DN，∴EF+EB＝EM﹣MF+EN+BN＝2EN＝2DN≤2BD，∵AE﹣EC＝ADF+EF﹣EC＝
BC_EF﹣EC＝EF+BE≤2BD，∴AE≤EC+2BD，故③错误，如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．∵∠
CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，∵∠DFB＝45°，∴∠AFB＝120°
，∴∠BFH＝60°，∵FH＝BF，∴△BFH是等边三角形，∴BF＝BH，∵BC⊥FH，∴FE＝EH，∴CF＝CH，∴∠CFH＝∠
CHF＝∠AFD＝75°，∴∠ACH＝75°，∴∠ACH＝∠AHC＝75°，∴AC＝AH，∵AF+FB＝AF+FH＝AH，∴AF+BF＝AC，∴＝1，故④正确，故答案为：①②④．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．30．【分析】连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到∠DBF的度数．【解答】解：如图，连接CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等边三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBF＝∠DGB＝∠CDG＝30°．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 1 / 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
