2013-2022北京中考真题数学汇编新定义一、解答题1．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右
或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”。(1)如图，点点在线段的延长线
上，若点点为点的“对应点”。①在图中画出点；②连接交线段于点求证：(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的
“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）2．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，
的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”。（1
）如图，点的横?纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，
点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应
的长。3．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB
，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”。（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为
1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上
，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围。4．（
2019·北京·中考真题）在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，
下图中是△ABC的一条中内弧。（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在
平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点。 ①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC中
存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围。5．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系
中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，
记作（，）。已知点（，6），（，），（6，）。（1）求（点，）；（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；（3
）的圆心为（t，0），半径为1．若（，），直接写出t的取值范围。6．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系中的点P和图形M，
给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点。（1）当⊙O的半径为2时，①在点
中，⊙O的关联点是_______________。②点P在直线y=-x上，若P为⊙O 的关联点，求点P的横坐标的取值范围。（2）
⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横
坐标的取值范围。7．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，，若P，Q为
某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图。（
1）已知点A的坐标为（1，0）。①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关
矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为
正方形，求m的取值范围。8．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于
⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C
的反称点P′的示意图。特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0。（1）当⊙O的半径为1时。①分别判断点M（2，1），N（，0
），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在
x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存
在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围。9．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下
定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中
的函数是有界函数，其边界值是1。（1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数的边界值是2，且这个函数
的最大值也是2，求的取值范围；（3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？10．（2013·北京
·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的
关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是 ；②过点F作直线交
y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆
的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。参考答案1．(1)见解析(2)【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称
点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON，即可求出；（2）连接PO并延长至S，
使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则。（1）解：①点Q如下图所示。∵点，∴点向右平移1个单位长度
，再向上平移1个单位长度，得到点，∴，∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：，∴点，在坐标系内找出该点即可；②证明：
如图延长ON至点，连接AQ，∵ ，∴，在与中，，∴，∴，∵ ，，，∴，，，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，连接PO并延长至S，使，
延长SQ至T，使，∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴，∵点关于点的对称点为，∴，又∵，∴，∴N
M为的中位线， ∴，，∵，∴，∴，?在中，，结合题意，，，∴，即长的最大值与最小值的差为。【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全
等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键。2．（1）；（
2）；（3）当时，此时；当时，此时。【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；（2）由旋转的性质可得
是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然
后由题意可根据图象来进行求解即可。【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕
点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半
轴上时，如图所示：设与y轴的交点为D，连接，易得轴，∴，∴，，∴，∴；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，∴；（3
）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运
动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，∴，∴，∴；由以上情况可知当点三点共线时，OA的值
为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，∴，设，则有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；综上所述：当时
，此时；当时，此时。【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三
角函数及等边三角形的性质是解题的关键。3．（1）平行，P3；（2）；（3）【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A
为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围。【详解
】解：（1）平行；P3；（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦
CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴。由垂径定理得：，∴；（3）线段AB的位置变换
，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为。如图，平移距离的最小值即点
A到⊙O的最小值：；平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2
A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=, A2M=,∴MA=3,AA2= ,∴的取值范围为：。【点睛】本
题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键。4．（1）；（2
）①P的纵坐标或；②.【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为
直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求
，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值。
【详解】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是
AB，AC的中点，，∴弧；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥
AC交FP于G，①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴
m≥1，∵OA=OC，∠AOC=90°∴∠ACO=45°，∵DE∥OC∴∠AED=∠ACO=45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG
=EF=根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；综上所述，或m≥1．②图4，设圆心P在AC上
，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=，∵DE∥BC∴∠ADE=∠AOB=90°，∵PD=PE，∴∠AE
D=∠PDE∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP由三角形中内弧定义知，PD≤PM，AE≤3，即，
解得：【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解
新概念，并应用新概念解题．5．（1）2；（2）或；（3）或或。【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即
可.（2）分和两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围。详解：（1）如下图所示：∵（，），（6，）
∴（0，）∴（，）（2）或（3）或或．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念
是解题的关键.6．（1）①P2、P3，②－≤x≤－或 ≤x≤；（2）－2≤x≤1或2≤x≤2 .【详解】试题分析：（1）①由题意得
，P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由 的值可知为⊙O的关联点；②满足条件的P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即
可，所以P横坐标范围是－ ≤x≤－ 或 ≤x≤；（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点
A，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析： （1），点 与⊙的最小距离为 ，点 与⊙的最小距离为1，点与⊙的最小距离为
，∴⊙的关联点为和．②根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意； ∴ 设点P的坐标为P (x ，
-x) ，?当OP=1时，由距离公式可得，OP= ，解得 ，当OP=3时，由距离公式可得，OP= ，，解得，∴ 点的横坐标的取值范
围为－ ≤x≤－ 或 ≤x≤ （2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，?令得
x=0得，y=0， ∴A(1，0) ，B (0，1) ， 分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，∴ 点C坐标为，C ( -2
，0) ?如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ，?又∵直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，∴ 直线AB与x轴形成的
夹角是45°， ∴ RT△ACD中，CA= ， ∴ C点坐标为 (1-，0) ∴???C点的横坐标的取值范围为；-2≤ ≤1-，
如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点 B 时，连接 BC ，此时 BC =3，在 Rt△OCB中，
由勾股定理得OC= ， C点坐标为 (2，0)。∴ C点的横坐标的取值范围为2≤ ≤2 ； ∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－
≤≤－ 或 ≤≤。【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解
题的关键.7．（1）①2；② 或；（2）1≤m≤5 或者。【详解】试题分析：（1）①易得S=2；②得到C的坐标可以为（3，2）或者
（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b，将A、C分别代入AC的表达式即可得出结论；（2）若⊙O上存在点N，使MN的相关矩形为正
方形，则直线MN的斜率k=±1，即过M点作k=±1的直线，与⊙O相切，求出M的坐标，即可得出结论。试题解析：（1）①S=2×1=2
；②C的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b，将A、C分别代入AC的表达式得到：或，解得：或，则直线
AC的表达式为 或；（2）若⊙O上存在点N，使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1，即过M点作k=±1的直线，与⊙O有
交点，即存在N，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O相切，如图与，直线与⊙O切于点N，ON=，∠ONM=90°，∴与y交于（0，-2
）．（，3），∴，∴=-5，∴（-5，3）；同理可得（-1，3）；当k=1时，极限位置是直线与（与⊙O相切），可得（1，3）， （
5，3）。因此m的取值范围为1≤m≤5或者。考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力。8．（1）①见解析；②0＜x＜2
；（2）圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8。【分析】（1） ①根据反称点的定义画图得出结论；②∵CP≤2r＝2，CP2≤4， P
（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤，2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，把x＝2
和x=0代入验证即可得出，P（2，0），P′（2，0）不符合题意P（0，2），P′（0，0）不符合题意，∴0＜x＜2（2）求出A，
B的坐标，得出OA与OB的比值，从而求出∠OAB=30°，设C（x，0）①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2
，∴AC≤4，得出 C点横坐标x≥2． （当x＝2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；②当C在A点右侧
时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，∴C点横坐标x≤8，得出结论.【详解】解： （1）解：①M（2，1）关于⊙O的反称
点不存在，存在，关于⊙O的反称点存在，反称点存在，关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）。②∵OP≤2r＝2，OP2≤4， P
（x，－x＋2）， OP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤42x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，当x＝2
时，P（2，0），P′（2，0）不符合题意当x＝0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意，∴0＜x＜2（2）解：由题意得：A（
6，0），，∴，∴∠OAB＝30°，设C（x，0）①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4， C点横
坐标x≥2。（当x＝2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长
，AC最大值为2，∴C点横坐标x≤8综上所述：圆心C的横坐标的取值范围2≤x≤8。考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数
的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；9．（1）不是有界函数，是有界函数，边界值是3；（2）；（3）或。【分析】（1）分析题意
，结合已知中有界函数的定义可进行判断；（2）根据一次函数的性质可得的增加性，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取
值范围；（3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可
求得的取值范围。【详解】解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，边界值是3；（2）中，随的增大而减小，当
时，，故。当时，，根据题意可得：，；（3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故。当时，
，即过，当时，，即过，将，都向下平移个单位，得到，，根据题意可得：或，或，或。【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新
定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质。10．（1）①D，E②0≤m≤（2）r≥1【详解】解：（1）①根据关联点的定
义，得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系：如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，∵⊙O的半径为1，∴RO=1。
∵EO=2，∴∠OER=30°。根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°。∴E点是⊙O的关联点。∵D（，），E（0，－2），F（2，0），∴OF＞EO，DO＜EO。∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°．故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E。②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°。由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，连接BC，则，∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r。由（1），考虑临界点位置的P点，如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，则。∴∠OGF=60°。∴OH=OGsin60°=，。∴∠OPH=60°．可得点P1与点G重合。过点P2作P2M⊥x轴于点M，可得∠P2OM=30°，∴OM=OP2cos30°=。∴若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上。∴0≤m≤。（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点．考虑临界情况，如图4，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，此时，r=1。∴若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1。 1 / 1 |
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