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复旦大学2022年推荐免试直博生笔试(数学分析高等代数)试题选解

 小朱的读书笔记 2023-05-29 发布于上海

(1)上的二次连续可微有界下凸函数,

(a)证明:存在,成立.

(b)计算反常积分: .

证明 (a)由题意可知,故是单调递增的.故存在,使得.于是

此时与题意矛盾.若对任意的都成立.再由单增以及有上界可知存在,不妨记为.下证,若不然,则,此时存在,使得,其中,此时
.矛盾,故单调递减,故存在,成立.

(b)由分部积分计算可知

下面来证明.由于收敛,故由Cauchy收敛准则可知,对任意的,存在,使得对任意的,有
故当时,有

(2),且个不同的特征值,设中全体形如的矩阵全体构成的子空间.求.

.由题意可知存在非异阵,使得

其中全体特征值,则
注意到命题结论在相似变换下不改变,不妨记,同样地
计算可知
由于的特征值互不相同,故

(3),定义上的线性变换,

(a)求的所有特征值(记代数重数)的和.

(b)证明: 是幂零变换当且仅当其中至少一个是幂零阵.

的特征值为,对应的特征向量为.再设的特征值为,对应的特征向量为.有

于是
的全体特征值,对应的全体特征向量为, .故

注记 我们也可以用Kronecker积的性质求解.注意到在以全体基础矩阵为基下的表示矩阵为,于是

(b)若其中有一个幂零阵,则不妨设是幂零阵.此时的特征值全是,进而的特征值全是.反之,若的特征值全为,则要么或者,其中.这时候是幂零阵.

(4)是可逆矩阵,证明:存在唯一的正交阵和唯一的实对称阵,使得.并若当且仅当.

证明 注意到是正定实对称阵,故存在唯一的正定阵,使得.即.令,我们来说明是正交阵,即

注记1 这里的唯一性是算术平方根的唯一性所赋予的.

注记2 极分解(OS分解)也可以用奇异值分解得到,即,其中是正交阵, 是对角元为特征值的对角矩阵.考虑

其中是正交阵,而为正定阵.

进一步,若,此时

反之,若,故,又

.即,即.

注记3 这里用到了实矩阵是零矩阵等价于.

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