(1) 设是上的二次连续可微有界下凸函数, (a)证明:存在,成立. (b)计算反常积分: . 证明 (a)由题意可知,故是单调递增的.故存在,使得.于是 此时与题意矛盾.若对任意的都成立.再由单增以及有上界可知存在,不妨记为.下证,若不然,则,此时存在,使得,其中,此时故.矛盾,故单调递减,故存在,成立.(b)由分部积分计算可知 下面来证明.由于收敛,故由Cauchy收敛准则可知,对任意的,存在,使得对任意的,有故当时,有故 (2) 设,且有个不同的特征值,设是中全体形如的矩阵全体构成的子空间.求. 解 记.由题意可知存在非异阵,使得 其中是全体特征值,则注意到命题结论在相似变换下不改变,不妨记为,同样地(3) 设,定义上的线性变换, (a)求的所有特征值(记代数重数)的和. (b)证明: 是幂零变换当且仅当和其中至少一个是幂零阵. 解 设的特征值为,对应的特征向量为.再设的特征值为,对应的特征向量为.有 于是故为的全体特征值,对应的全体特征向量为, .故注记 我们也可以用Kronecker积的性质求解.注意到在以全体基础矩阵为基下的表示矩阵为,于是 (b)若和其中有一个幂零阵,则不妨设是幂零阵.此时的特征值全是,进而的特征值全是.反之,若的特征值全为,则要么或者,其中.这时候或是幂零阵. (4) 设是可逆矩阵,证明:存在唯一的正交阵和唯一的实对称阵,使得.并若当且仅当. 证明 注意到是正定实对称阵,故存在唯一的正定阵,使得.即.令,我们来说明是正交阵,即 注记1 这里的唯一性是算术平方根的唯一性所赋予的. 注记2 极分解(OS分解)也可以用奇异值分解得到,即,其中是正交阵, 是对角元为特征值的对角矩阵.考虑 进一步,若,此时 反之,若,故,又 故.即,即. 注记3 这里用到了实矩阵是零矩阵等价于. |
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