中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、．（2011山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）
A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成、、、四个三角形．OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是A．和相似B．和相似C．和相似D．和相似
4．现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2015?锦州）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）
二、填空题
7. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．
如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长，面积．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝，BC＝，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．（2015?连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ．
，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有________．
三、解答题
13. 已知线段OAOB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，=时，求tanBPC；
（2016?静安区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF?EC．
（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；
（2）求证：AF?AD=AB?EF．
15
(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
(3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.
16.如图，，，，（，），，．，（），；（），？，；，．
【答案与解析】4．【答案】．
∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选：．．
8．【答案】90，270．
9．【答案】１:3;
【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
10．【答案】4，．
【解析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到，设BF=x，则CF=8-x，即可求出x的长，得到BF的长
11.【】如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．
∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，
∴tan∠BAC==．
∵直线l1∥l2∥l3，
∴EF⊥l1，EF⊥l3，
∴∠AEB=∠BFC=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，
∴△BFC∽△AEB，
∴==．
∵EB=1，∴FC=．
在Rt△BFC中，
BC===．
在Rt△ABC中，sin∠BAC==，
AC===．
故答案为．
【】，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD． 故必有甲和丙相似．
三.综合题
13．【解析】
（1）过C作CEOA交BD于E，则BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再由ECP∽△DAP得；（2）过C作CEOA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，由BCE∽△BOD得CE=OD=x，再由ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，
则BPC=∠DPA=∠A，tanBPC=tan∠A=。证明：（1）∵BD=AD=AC，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，
∵AE2=EF?EC，
∴，
∵∠E=∠E，
∴△EAF∽△ECA，
∴∠EAF=∠ECA，
∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；
（2）∵△EAF∽△ECA，
∴，即，
∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，
∴△FAE∽△ABC，
∴，
∴FA?AC=EF?AB，
∵AC=AD，
∴AF?AD=AB?EF．
（1）作O，点O为圆心，OA长为半径作圆.
（2）CD⊥AC,∴∠ACD=90°.
∴AD是O的直径
连结OC，A=∠B=30°,
∴∠ACB=120°,
又OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°,
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.
∴BC⊥OC,
∴BC是O的切线.
（3）存在.
=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B,即DB=DC.
又Rt△ACD中，DC=AD,
∴BD=.
①过点D作DP1//OC，则P1DB∽△COB,，
∵BO=BD+OD=,
∴P1D=×OC=×=.
②过点D作DP2⊥AB,则BDP2∽△BCO,
∴，
∵BC＝
∴.
16．【解析】（），，=4，．，=10-12．（），，．，=2．=2，．，．，，．
A
B
C
D
O
①
②⊙o⊙
③⊙o⊙
④⊙o⊙
图 1
图 2
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