2019北京七中初三（上）期中数 学一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）A. （
1，3）B. （－1，3）C. （1，－3）D. （－1，－3）2. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 3. 二次函数y=x2-2x+3最小值是（ ）A. -2B. 2C. -1D. 14. 如图，四边形AB
CD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）A. 130°B. 120°C. 80°D. 60
°5. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130°，则∠D等于（）A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6. 已知二次函
数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A. a＞0B. 当x＞1时，y随x的增大而增大C. c＜0
D. 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，点B，C，D
在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（ ）A. △DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B. △DEF是△AB
C绕点O逆时针旋转90°得到的C. △DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的D. △DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°
得到的8. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别
以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A.
∠COM=∠CODB. 若OM=MN，则∠AOB=20°C. MN∥CDD. MN=3CD9. 某商品现在的售价为每件60元，每星
期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额
为y元，则y与x的关系式为（ ）A. y＝60（300+20x）B. y＝（60﹣x）（300+20x）C. y＝300（60﹣
20x）D. y＝（60﹣x）（300﹣20x）10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下
表所示：x…01234…y…41014…点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1
与y2的大小关系正确的是( )A. y1＞y2B. y1＜y2C. y1≥y2D. y1≤y2二、填空题（共7小题，每小题
2分，共12分）11. 如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为________．12.
抛物线y＝3x2+2x﹣3与y轴的交点坐标为_____．13. 如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（
a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，则关于x的方程kx+n＝ax2+bx+c的解为_____．14. 如图，将绕点
按顺时针方向旋转某个角度得到，使，，的线相交于点，如果，那么__________．15. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB
=100°，则∠ACB=________度．16. 如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方
程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为_____．17. 下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如
图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经
过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的
直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是________________________________
______．三、解答题（本题共66分，每题6分）18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点
．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB
′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．19. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣
4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．20.
抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…0430…（1）把表格填写完整；
（2）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是 和 ；②在对称轴右侧，y随x增大而 ；③当﹣2＜x＜2时，则y的取值范
围是 ．（3）确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；21. 如图，是的弦，是的直径，，垂足为．，．（1）求的半径．（2）求的
长．22. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CO⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D．（2）若CD＝4，AE＝2
，求⊙O半径．23. 学校要围一个矩形花圃, 其一边利用足够长的墙, 另三边用篱笆围成, 由于园艺需要, 还要用一段篱笆将花圃分隔
为两个小矩形部分（如图所示）, 总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD）,
矩形花圃ABCD 的面积为S平方米．（1）求S与之间的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积
最大, AB边的长应为多少米？24. 如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O
于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O半径及MN的长．2
5. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请
补充完整：(1)函数y＝的自变量x的取值范围是 ；(2)下表是y与x的几组对应值．x﹣2﹣﹣1﹣1234…y0﹣﹣1﹣m…求m
的值；(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；(4)结合函数的图
象，写出该函数的一条性质： ．26. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），抛物线y＝mx2+4mx+5m的对称轴与x轴交
于点B．（1）求点B的坐标；（2）当m＞0时，过A点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（C在D左侧），C、D横坐标分别为x
1、x2，且x2﹣x1＝2，求抛物线的解析式；（3）若抛物线与线段AB恰只有一个公共点，则请结合函数图象，直接写出m的取值范围．2
7. 在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB
=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论
）；②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．28. 定义：在平面直角坐标系
中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的
“特征值”(1)①点A(1,3) 的“坐标差”为 ．②抛物线y=－x2+3x+3“特征值”为 ．(2)某二次函数y=－x2+bx+
c(c≠0) 的“特征值”为1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接
写出m= (用含c的式子表示)②求此二次函数的表达式．(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直
线y=x相交于点D、E请直接写出⊙M的“特征值”为 ．参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 二次函数
的图象的顶点坐标是（ ）A. （1，3）B. （－1，3）C. （1，－3）D. （－1，－3）【答案】A【解析】【分析】直接根
据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．【详解】∵ ，∴ 其顶点坐标为(1，3)，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，
正确理解知识点是解题的关键．2. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解
析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：
A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与
原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项错误；C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心
对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项正
确．故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3. 二次函数y=x2-2x
+3的最小值是（ ）A. -2B. 2C. -1D. 1【答案】B【解析】【详解】试题解析：因为原式=x2-2x+1+2=（x-
1）22，所以原式有最小值，最小值是2．故选B．4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°
，那么∠B等于（ ）A. 130°B. 120°C. 80°D. 60°【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵四边形ABCD内接于
⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．考点：圆内接四边形的性质．5. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130°，则∠D等于（
）A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=180°-∠
AOC=180°-130°=50°，∴∠D=∠BOC=×50°=25°．故选A考点: 圆周角定理6. 已知二次函数y＝ax2＋bx
＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A. a＞0B. 当x＞1时，y随x的增大而增大C. c＜0D. 3是方程ax
2＋bx＋c＝0的一个根【答案】D【解析】【详解】由开口方向可知a，故A选项错误；观察图像可知当x＞1时y随x的增大而减小，故B选
项错误；观察图像可知，故C选项错误；抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）故3是方程ax2＋bx＋c=0的一个根．故选：D．7. 如
图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（
）A. △DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B. △DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C. △DEF是△A
BC绕点O顺时针旋转60°得到的D. △DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的【答案】A【解析】【分析】根据△ABC和△D
EF为等边三角形，AB=DE，得出△ABC≌△DEF，由点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上得出A与D是对应点，进而得出△D
EF与△ABC位置关系．【详解】解：∵△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，∵点B，C，D在x轴上，点
A，E，F在y轴上得出A与D是对应点，∴△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的，故选A．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，
熟练掌握旋转的性质是解题关键．旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，
对应点与旋转中心的夹角等于旋转角.8. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB
于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下
列结论中错误的是（ ）A. ∠COM=∠CODB. 若OM=MN，则∠AOB=20°C. MN∥CDD. MN=3CD【答案】D【
解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM
=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB
=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，∴∠OCD=∠OCM= ，∴∠MCD=，又∠CMN=∠
AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3C
D＞MN，故D选项错误；故选D．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．9. 某商品现
在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后
，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）A. y＝60（300+20x）B. y＝（60﹣x）（300+20x
）C. y＝300（60﹣20x）D. y＝（60﹣x）（300﹣20x）【答案】B【解析】【分析】根据降价x元，则售价为元，销售
量为件，由等量关系：总销售额=销量×售价，列出函数解析式即可．【详解】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，根据题意得，，故选：B
．【点睛】本题考查二次函数应用，掌握等量关系：总销售额=销量×售价，是解决本题的关键.10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，
其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…01234…y…41014…点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，
则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A. y1＞y2B. y1＜y2C. y1≥y2D.
y1≤y2【答案】B【解析】【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1与y2的大小
．【详解】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，∴y1＜y2．故选B．二、填空题（共7小题，每小题
2分，共12分）11. 如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为________．【答案】
【解析】【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移方式确定平移后的顶点坐标，最后直接写出抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线的
顶点坐标为（1,0）∴向左平移2个单位，再向上平移1个单位后抛物线的顶点坐标为（-1,1）∴平移后抛物线解析式为．故答案为．【点睛
】本题主要考查的了二次函数图象的平移变换，理解二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”成为解答本题的关键．12. 抛物线y＝3x2
+2x﹣3与y轴的交点坐标为_____．【答案】（0，﹣3）【解析】【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．【
详解】解：把x＝0代入y＝3x2+2x﹣3得y＝﹣3，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．故答案为（0，﹣3）．【点睛】本题
考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令x=0或y=0即可．13. 如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线
y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，则关于x的方程kx+n＝ax2+bx+c的解为____
_．【答案】x1＝-1，x2＝2．【解析】【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，即可求得方程kx+n＝ax2+bx+c的解．【详
解】解：∵直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3），当 y1＝y
2时，即kx+n＝ax2+bx+c，x的值是x＝﹣1或x＝2．∴关于x的方程kx+n＝ax2+bx+c的解为x1＝﹣1，x2＝2，
故答案为x1＝﹣1，x2＝2．【点睛】本题考查了二次函数与方程关系，读懂函数图像是解题的关键.14. 如图，将绕点按顺时针方向旋转
某个角度得到，使，，的线相交于点，如果，那么__________．【答案】28°【解析】【详解】分析：先根据平行线的性质，由AB′
∥CB得到∠B′AC=∠D=28°，然后根据旋转的性质求解．详解：∵，∴，∵且，∴．∵旋转，∴．故答案为28°.点睛：本题考查了旋
转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．15. 如图，A、B、C是⊙
O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=________度．【答案】50.【解析】【详解】∠ACB=∠AOB=×100°=50
°．考点：圆周角定理．16. 如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0
（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为_____．【答案】-2【解析】【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交
点可得答案．【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，∴当x＝4时，y＝ax2+bx﹣3＝5，∵抛物线
y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴当x＝﹣2时，y＝ax2+bx﹣3＝5，即关于x的方程ax2+bx﹣3＝5的
两根为4和﹣2，故答案为﹣2．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．17. 下面是
“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点
C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条
直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是_____________
_________________________．【答案】90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线【解析】【详解】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判
断直线AD就是过点A的圆的切线．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．点睛：本题考
查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何
图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．三、解答题（本题共66分，每题6分）18. 如图，正方形网格
中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转
90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．【答案】（
1）见解析；（2）π．【解析】【分析】（1）分别作出点、绕点按顺时针方向旋转得到的对应点，再顺次连接可得；（2）根据扇形的面积公式
列式计算可得．【详解】（1）解：如图所示：△AB′C′即为所求 （2）解：∵AB= =5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域
的面积为：=π【点睛】本题主要考查作图以及旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．19. 已知二次
函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次
函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1；（2）见解析;（3）当x＜1或x＞3，y＞0．【解
析】【分析】（1）利用配方法得到y=（x-2）2-1；（2）先确定抛物线与x和y轴的交点坐标，再确定抛物线的顶点坐标，然后描点得到
二次函数的图象；（3）利用函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣
1；（2）抛物线的顶点坐标为（2，1），当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，x2
﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；如图，（3）由图像可知，当x＜1或x＞3
时，y＞0．【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，抛物线与x轴的交点，以及利用图像解不等式. 抛物线与x轴的交点问题就是
把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性
质．20. 抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…0430…（1）把表格
填写完整；（2）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是 和 ；②在对称轴右侧，y随x增大而 ；③当﹣2＜x＜2时，则
y的取值范围是 ．（3）确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；【答案】（1）见解析；（2）①（﹣3，0）和（1，0）；②y随
x增大而减小；③﹣5＜y≤4；（3）y＝﹣x2﹣2x+3.【解析】【分析】（1）利用表中对应值的特征和抛物线的对称性得到抛物线的对
称轴为直线x=-1，则x=0和x=-2时，y的值相等，都为3；（2）①根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0即可求出抛物线与x轴的交点坐
标；②设交点式y=a（x+3）（x-1），再把（0，3）代入求出a得到抛物线解析式为y=-x2-2x+3，则可判断抛物线的顶点坐标
为（-1，4），抛物线开口向下，然后根据二次函数的性质解决问题；③由于x=-2时，y=3；当x=2时，y=-5，结合二次函数的性质
可确定y的取值范围；（3）由（2）得抛物线解析式．【详解】解：（1）∵x＝﹣3，y＝0；x＝1，y＝0，∴抛物线的对称轴为直线x＝
﹣1，∴x＝0和x＝﹣2时，y＝3；（2）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）和（1，0）；②设抛物线解析式为y＝a（x+3）（
x﹣1），把（0，3）代入得3＝﹣3a，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3，抛物线的
顶点坐标为（﹣1，4），抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y随x增大而减小；③当x＝﹣2时，y＝3；当x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣
5，当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是﹣5＜y≤4．（3）由（2）得抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，故答案为（﹣3，0）、（1
，0）；减小；﹣5＜y≤4．【点睛】此本题考查了二次函数的图像与性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握二
次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式是解答本题的关键.21. 如图，是的弦，是的直径，，垂足为．，．（1）求的半径．（2）求
的长．【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）求出CD，即可得出答案；（2）求出OA、OE，根据勾股定理求出AE，根据垂径
定理求出AB=2AE，即可求出答案．【详解】解：（1）∵CE=1，ED=3，∴CD=CE+DE=4，∴⊙O的半径为2；（2）∵直径
CD⊥AB，∴AB=2AE，∠OEA=90°，连接OA，则OA=OC=2，OE=OC-CE=2-1=1，在Rt△OEA中，由勾股定
理得：AE=，∴AB=2AE=2．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能根据垂径定理求出AB=2AE是解此题的关键．22.
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CO⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D．（2）若CD＝4，AE＝2，求⊙O的
半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由，利用等边对等角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，等量代换即可得
证；（2）由弦与直径垂直，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，设圆的半径，，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求
出方程的解即可得到圆的半径的值．【详解】解：（1），．，；（2）是的直径，且于点，，在中，，设的半径为，则，，，解得：，的半径为3
．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及同弧所对的圆周角相等，熟练掌握定理是解本题的关键．23. 学校要围一个矩形花圃, 其一
边利用足够长的墙, 另三边用篱笆围成, 由于园艺需要, 还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示）, 总共36米的篱笆恰
好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD）, 矩形花圃ABCD 的面积为S平方米．（1）求S与之
间的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大, AB边的长应为多少米？【答案】（1）S=-
3x2+36x，0 值．【详解】（1） （2）当且仅当时，取最大值108． 答：AB为6米时，矩形花圃面积最大．【点睛】本题主要考察的是二次函数的应
用，掌握二次函数的性质是解题的关键.24. 如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO
交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN
的长．【答案】(1)见解析;(2)4.8cm,MN＝9.6cm．【解析】【分析】?（1）先由切线长定理和平行线的性质可求出∠OBC
+∠OCB＝90°，进而可求∠BOC＝90°，然后证明∠NMC=90°，即可证明MN是⊙O的切线；（2）连接OF，则OF⊥BC，根
据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，通过证明△NMC∽△BOC，即可求出MN的长.【详解】（
1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DC
B＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝18
0°﹣90°＝90°.∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOC＝90°，即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线；（2）解：
连接OF，则OF⊥BC，由（1）知，△BOC是直角三角形，∴BC＝＝＝10，∵S△BOC＝?OB?OC＝?BC?OF，∴6×8＝1
0×OF，∴OF＝4.8cm，∴⊙O的半径为4.8cm，由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，∴△NMC∽△
BOC，∴，即＝，∴MN＝9.6（cm）．【点睛】本题主要考查的是切线的判定与性质，切线长定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定
与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等有关知识.熟练掌握各知识点是解答本题的关键.25. 有这样一个问题：探究函数y＝图象
与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：(1)函数y＝的自变量x的取值
范围是 ；(2)下表是y与x的几组对应值．x﹣2﹣﹣1﹣1234…y0﹣﹣1﹣m…求m的值；(3)如图，在平面直角坐标系xOy
中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．【答案
】（1）x≥－2且x≠0；（2）1.（3）详见解析.（4）当－2≤x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小.【解析】【分析】（1）根据
被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；（2）将x=2代入函数解析式中求出m值即可；（3）连
点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．【详解】解：（1）由题意得：，解得x≥－2且x≠0
；故答案为x≥－2且x≠0； (2)当x＝2时，m＝＝1.(3)图象如图所示. （4）观察函数图象发现：当-2≤x＜0或x＞0时，
y随x增大而减小．故答案为当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，描点法画函数图象及从
函数图像获取信息，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），抛物线y＝mx2+4mx+
5m的对称轴与x轴交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当m＞0时，过A点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（C在D左侧），
C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝2，求抛物线的解析式；（3）若抛物线与线段AB恰只有一个公共点，则请结合函数图象，直接
写出m的取值范围．【答案】(1)（﹣2，0）；(2) y＝x2+4x+5；(3) 0＜m＜或m＝．【解析】【分析】（1）利用对称轴
公式求得对称轴，即可求得B的坐标；（2）先根据对称轴求出x1+x2＝﹣4，结合x2﹣x1＝2，即可求出x1和x2的值，从而可求出C
（﹣3，2），D（﹣1，2），然后用待定系数法求解即可；（3）当m<0时不合题意；当m＞0，分两种情况讨论，结合图象即可求得．【详
解】解：（1）∵抛物线y＝mx2+4mx+5m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴对称轴与x轴交点B的坐标为（﹣2，0）；（2）由题意可
知，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，且C在D的左边，∴＝﹣2，∴x1+x2＝﹣4，∵x2﹣x1＝2，∴x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵
A（0，2），且过A的直线l平行于x轴，∴C（﹣3，2），D（﹣1，2），将D点代入抛物线，得m﹣4m+5m＝2，解，得m＝1，∴
抛物线的解析式为y＝x2+4x+5；（3）∵A（0，2），B（﹣2，0），∴线段AB在x轴上方，直线AB＝x+2，函数y＝mx2+
4mx+5m中，△＝（4m）2﹣4m?5m＝﹣4m2＜0，∴抛物线与x轴无交点，当m＜0时，抛物线开口向下，顶点在x轴下方，与线段
AB为交点，当m＞0时，抛物线开口向上，顶点在x轴上方，若抛物线与AB有一个交点，有两种情况：①如图1，抛物线与AB相切时，则mx
2+4mx+5m＝x+2整理得，mx2+（4m﹣1）x+5m﹣2＝0，△＝（4m﹣1）2﹣4m（5m﹣2）＝0，解得m＝或m＝﹣（
舍去），②抛物线与y轴的交点在O、A之间，即0＜5m＜2，解得0＜m＜，综上所述，m的取值范围是 0＜m＜或m＝．【点睛】本题考查
了二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与一元二次方程的关系，分类讨论思想的运用是解题的关键．27. 在
△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB=AC，
∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；②当
点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．【答案】（1）线段CE，BD之间的位置
关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．（2）线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．【解析】【分析】
①线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠
ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．②结论仍然成立．证明的方法与（1）类似．【详
解】解：①结论：CE=BD，CE⊥BD．理由如下：如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到A
E，∴AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD
，∠ACE=∠B，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．②结
论仍然成立．理由如下：如图2中，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AE=AD，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=
90°，∴∠CAE=∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，所以线段CE，BD之间的位置
关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于
旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等及相似的判定与性质28. 定义：在平面直角坐标系中，图
形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征
值”(1)①点A(1,3) 的“坐标差”为 ．②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 ．(2)某二次函数y=－x2+bx+c(
c≠0) 的“特征值”为1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出
m= (用含c的式子表示)②求此二次函数的表达式．(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y
=x相交于点D、E请直接写出⊙M的“特征值”为 ．【答案】（1）① 2； ② 4； （2）① m= －c ; ②；（3）【解析
】【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差；②由坐标差的定义可得：二次函数y=－x2+3x+3图象
上点的坐标差为：，将此关系式配方即可求得y-x的最大值，从而得到抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”；（2）①由题意可得：0-m=c-0，由此可得：m=-c；②由m=-c可得点B的坐标为（-c，0），把点B的坐标代入中可得，由可得，即；再由的特征值为1可得：，两者即可解得b何c的值，由此即可得到二次函数的解析式；（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，由已知条件易得直线PF的解析式为y=-x+5；由直线y=x上的所有点的坐标差为0，且坐标平面内在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差越大可知在⊙M上距离直线y=x最远的点是点P，设点P的坐标为（x，y）由点P到M的距离为2，可得到关于x、y的方程，和y=-x+5组合即可解得点P的坐标，这样就可得到⊙M的特征值了.【详解】（1）① ∵点A的坐标为（1，3），∴点A的坐标差为：3-1= 2； ② ∵二次函数的解析式为：y=－x2+3x+3，∴该二次函数图象上所有点的坐标差都满足：，∵，即该二次函数图象上点的坐标差的最大值为4，∴该二次函数图象的特征值为：4；（2）① 由已知易得点C的坐标为（0，c），而B的坐标为（m，0），∴点C的坐标差为：c-0，点B的坐标差为：0-m，又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴c-0=0-m，∴m=－c；② ∵m=－c，∴B（－c，0），将其代入 中，得， ，∵c≠0，∴ ，∴ ① ，∴ 的“坐标差”为： ， ∵“特征值”为1，∴ ②，将①代入②中，得： ∴ ，∴抛物线的表达式为 ；（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，∵直线DE的解析式为：y=x，点M的坐标为（2，3），∴直线PF的解析式为y=-x+5，∵直线y=x上所有点的坐标差都等于0，而在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差就越大，而⊙M上点P距离直线y=x最远，∴点P的坐标差就是⊙M的“特征值”，设点P的坐标为（x，y），∵点P到点M（2，3）的距离为2，∴有，又∵点P（x，y）在直线y=-x+5上，∴，解得：，∴对应的：，∴点P的坐标为，∴点P的坐标差为：，∴⊙M的“特征值”为：.点睛：解本题第3小题的要点有：（1）直线y=x上所有点的坐标差为0，坐标平面内，距离直线y=x越远的点的坐标差的绝对值就越大；（2）⊙M上距离直线y=x最远的点是图中的点P；（3）点P（x，y）到点M（2，3）的距离为定值2，则由两点间距离公式可得：. 1 / 1 |
|
