群延时、群延时色散和三阶色散

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色散与啁啾

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色散与非色散脉冲传输（来源：Jacopo Bertolotti）

当一个无啁啾脉冲在光学材料中传输时，群速度色散会引入啁啾，当脉冲低频分量的传播速度大于高频分量，称为正常色散，否则称为反常色散。

我们知道，一个宽光谱脉冲可以看作是由若干中心波长不同的窄光谱子脉冲叠加而成；由于材料的色散，这些子脉冲以不同的群速度传输,因而造成互相之间的群延时，导致叠加后的整体脉冲变长，也同时导致不同的频率出现在脉冲的不同时间位置，产生啁啾现象。

下图为带宽极限脉冲和啁啾脉冲示意图：

　   图(a)中的载波电场强度E(t)为：

      其中ω₀为载波圆（角）频率，光脉冲时间频率v₀=ω₀/2π

(a)初始相位为0，Δt=5fs，载波电场强度在0时刻达到最大值，载波电场呈余弦分布，此时没有载波包络偏移(CEO)；(b)初始相位为-π/2，电场分布E(t)=A(t)sin(ω₀t)，在t=0时，载波振荡的最大值与包络A(t)的最大值不重合，存在载波包络相位(CEP)，因此E(t)的最大值小于余弦脉冲0时刻的最大值；(c)上啁啾脉冲；(d)下啁啾脉冲。

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透明介质的色散理论

超短光脉冲在空间定点的E(t)可分解为不同单色波的叠加：

       一般来说，叠加后的光谱分布可由傅里叶变换得到：

       在通常情况下，光谱强度分布在中心频率ω₀附近，因此我们可以将累计光谱相位在ω₀处展开为泰勒级数：

其中：

上式中：

当光脉冲通过长度为L，折射率为n(ω)的介质后，其累计光谱相位为：

      实际上，知道了Φ(ω)就能算出色散对脉冲的影响。以下图例表示不同阶色散对光脉冲的影响：左图阴影部分表示脉冲的时域强度I(t)，Φ_a(t)表示附加时间相位，ω(t)表示瞬时频率；右图阴影部分表示脉冲的光谱强度I(ω)、Φ(ω)表示光谱相位，T_g(ω)表示群延迟:

      下面我们逐一讨论Φ(ω)展开式中各项的物理意义及对脉冲的影响：

2.1 光谱相位第一项——零阶项Φ(ω₀)

第一项为常数项，可称为绝对相位（Absolute phase）,在其他项都为零的情况下，其描述了脉冲包络和载波之间的相位差，此时存在载波包络相位CEP，这种情况只需在少周期超短脉冲中考虑。零阶项Φ(ω₀)不会导致脉冲时间展宽。

10fs无啁啾（带宽极限）高斯激光脉冲

2.2 光谱相位第二项系数——一阶项Φ'(ω₀)

第二项的系数对应于群延时（Group-delay, GD），其表示脉冲包络通过色散介质所需的时间，描述了脉冲包络传输一段距离后而产生的延时。群延时等于脉冲在介质中的传输距离除以群速度。

光谱相位的一阶导数具体写为：

      这里v_g表示群速度，一阶导数T_g称为群延时GD。通常折射率n(ω)也是波长λ的函数，所以上式还可以写为：

      同光谱相位的常数项对脉冲时间包络的影响，一阶项Φ'(ω₀)（线性项）同样不会导致脉冲的时间包络发生变化，但其改变了脉冲的时间位置。

由于光谱域中的线性相位项，10fs无啁啾（带宽极限）脉冲在时域上偏移到了-20fs (φ'=−20fs)

2.3 光谱相位第三项系数——二阶项Φ''(ω₀)

第三项的系数为群延时色散（Group-delay dispersion, GDD），等于群速度色散和传输距离之积。

窄光谱子脉冲以不同的群速度运动，在时域上光脉冲包络发生展宽，对于二阶色散，我们可得到群延时色散（GDD）：

       Φ^''_ｍ将导致脉冲包络在时间轴上对称展宽，对于正常色散（GDD＞0），将得到线性上啁啾光脉冲。群时延色散（GDD）通常是指一些光学元件或者一定长度的介质（如光纤）。单位长度的GDD（单位为s²/m）就是群速度色散(Group-Velocity dispersion GVD)。

GVD*L=GDD

光谱相位二阶导数Φ''=200fs²，脉冲包络对称增宽

对于一个带宽极限高斯脉冲，若只考虑其二阶色散，则展宽后的脉冲宽度τ_Out与初始带宽极限脉冲宽度τ_In具有以下关系：

2.4 光谱相位第四项——三阶项Φ'''(ω₀)

光谱相位的第四项系数描述三阶色散(Third-Order Dispersion, TOD)。三阶色散（TOD）表示为：

     对于一个初始零啁啾脉冲，正（负）的三阶色散在脉冲的后（前）沿产生振幅逐渐衰减的旁瓣。

光谱相位三阶导数Φ'''=1000fs³，导致二次群延时

对一个初始零啁啾脉冲，四阶色散（FOD）在脉冲的前沿和后沿会产生基座，四阶色散量越大，所产生的基座越长。

2.5 光谱相位的综合作用——Φ(ω)

各光谱相位系数对光脉冲的综合作用结果

色散一般主要考虑二阶色散（群速度色散GVD或群延时色散GDD）和三阶色散（TOD）。严格来说，它们的单位分别为[fs²/rad]和[fs³/rad²]，但通常简化为[fs²]和[fs³]。当处理非常宽的光谱时，有时必须考虑四阶甚至五阶和六阶等高阶色散。

该表是根据Sellmeier方程计算得来，其计算了光束通过L=1mm常见光学材料后的色散参数，具体包括：n，dn/dλ，d²n/dλ²，d³n/dλ³，Tg，GDD和TOD。

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模拟展示

下面我们用MATLAB中的一个APP (APP名称:Femtosecond pulse dispersion simulation)逐一模拟展示光谱相位中的各项对光脉冲的影响。

我们设定初始脉冲的包络为高斯形，半高全宽FWHM为6fs，中心波长在800nm。

3.1 相速度PV=10

展示了光谱相位泰勒展开中的第一项——绝对相位的影响。如前所述，绝对相位描述了脉冲包络和载波之间的相位差

3.2 群速度=10fs

展示了光谱相位泰勒展开中的第二项——群延时Tg的影响。如前所述，群延时不会改变脉冲的形状

3.3 群速度色散GVD=10fs²

展示了光谱相位泰勒展开中的第三项——群延时色散GDD的影响。如前所述，群延时色散对称展宽了脉冲包络

3.4 三阶色散TOD=100fs³

展示了光谱相位泰勒展开中的第四项——三阶色散TOD的影响。如前所述，三阶色散将在脉冲的一个沿附近形成非对称的振荡结构

3.5 四阶色散FOD=1000fs⁴

展示了光谱相位泰勒展开中的第五项——四阶色散FOD的影响。如前所述，四阶色散将在脉冲的前沿和后沿产生基座

3.6 各阶色散综合作用结果

各阶色散对光脉冲的综合作用结果

二阶色散(GDD)决定着脉冲展宽或压缩的程度，三阶（TOD）、四阶（FOD）色散等高阶色散将引起脉冲形状的失真或畸变。

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参考资料：

Springer Handbook of Lasers and Optics-Springer (2007)