问题 正弦函数的麦克劳林公式可以写成 的形式吗,其中余项 答 可以,但不推荐这样写。 首先我们知道,在同济七版高数教材中正弦函数sinx的麦克劳林公式的余项为 其中. 但事实上,如果我们直接代入麦克劳林公式余项的计算式,直接就可以得到公式(1)也是正确的,它是的阶麦克劳林公式。 现在的问题就在于,上面的两个公式,或者具体地,两个形式的余项,哪一个要更优越一点呢? 其实如果我们注意到正弦函数是奇函数,那么它的麦克劳林公式中的偶次项的系数都是0,于是在(1)式中,因为次的系数为,我们完全可以视为麦克劳林公式已经展开到2m次,在这个基础上求余项,因此两个公式其实都算正确。 但是在我们估计截断误差时,用显然比要更加精确一些,这是因为(2)的精确度提高了一阶,因此一般地说(2)的误差要更小一些,所以我们教材中正弦函数的麦克劳林公式的余项一般都是写成(2)的形式。 相应地,正弦函数带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式一般写成 即余项一般写成的形式,而不是的形式。 最后,类似地对于偶函数,希望大家也能多注意以下我上面提出的问题,得出较优的表达式。 |
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