数学分析学习笔记1——数列极限的概念

数列实质上就是一个从正整数集 到实数集 的一个函数

我们常将一个数列看作是按照一定顺序排列的一列数：

一个数列通常记为, 其中称为通项.

对于数列, 若当无限增大时, 能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列, 常数称为它的极限. 更为精确的定义, 我们用语言描述.

定义

设是一个数列, 若存在常数, 使得, 当时, 有

则称数列收敛于, 并称为该数列的极限, 记作

或

若数列没有极限, 则称为发散数列.

的任意性

正数 的作用是衡量数列通项与定数的接近程度, 越小, 表示接近得越好. 极限定义中正数 的可以任意小, 说明与可以接近到任意程度.

的相应性

一般来说, 极限定义中的与有关, 越小所需的就会越大. 极限定义中强调的是存在性.

数列极限的几何意义

极限定义中的不等式

可以写成(勘误：下式应该去掉中间的 “-a”)

这就说明, 若数列收敛于, 则无论怎样小, 数列自某项之后的所有项都要落在区间内.

用定义证明极限

用定义来证明极限的过程, 实际上就是对于相对确定的正数去找相应的正整数的过程. 换句话说就是, 对于任意给定的, 去找一个相应的正整数, 在找的过程中, 是相对固定的, 而找的过程实质上就是解不等式的过程.

为了使所解的不等式尽可能的简单, 需要将所估计的量做适当的放大, 即先找的一个函数, 使得成立, 然后再对每一个, 证明存在, 使得当时, .

例题   按定义证明下列极限:

解:  对任意,

于是, 对 只要取, 则当时, 就有

对任意,

因此, 对 只要取, 则当时, 就有

令, 则有

整理得  因此, 对 只要取 则当时, 就有

当时, 对任意,

因此, 对 只要取, 则当时, 就有

当时,

注意到, 是常数, 记  因此, 对 只要取 则当时, 就有

写在最后

由于数学分析以及许多后续的分析课程都是建立在极限理论的基础上, 因此理解和掌握数列极限的定义无疑是及其重要的.  很多初学者, 在一开始对数列极限的定义往往很不容易理解, 或者表面上理解了, 但并不会用它来解决一些简单问题.  实际上这是完全正常的现象, 因为微积分的历史说明了极限概念的正确形成很不容易, 有一个很长的发展过程. 多做一些带有理论性质的习题, 就可以逐步理解极限的真正意义和用法.

您的点赞和关注是我们的动力！既然都看到这儿了，还等什么呢？点下方的名片关注和支持呗！