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编者注： 大自然是用数学语言书写的。 一一伽利略 上帝是个狡猾的数学家。 一一爱因斯坦 纯粹数论是量子物理学的。 一一马客思考2043 黎曼猜想自1859年“诞生”以来，经过了一百多年的历史，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。 德国数学家戴维·希尔伯特在1900年的第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或者其推广形式）的成立为前提。 一、黎曼几何与广义相对论 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的，它是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，标志着黎曼几何的诞生，并开创了几何学的一片新的广阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。 60年后，黎曼几何为爱因斯坦创立广义相对论提供了最有力最强大的数学工具。 所以，黎曼几何与广义相对论之间存在着极其深刻的神奇联系。 二、黎曼猜想与量子力学 1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。 黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数又称质数。质数是像2、3、5、7、11、13、17、19那样大于1且除了1和自身以外不能被其他正整数整除的自然数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的合。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。质数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。 黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了质数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对质数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。 黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。复平面上使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点，这些零点分布有序、 性质简单，被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。 在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。即黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上（Re(s)表示复数s的实数部分）。 2023年，美国科学家马客发现了素数在复数平面中的分布密度与电子1/2自旋在复数相空间中的分布概率是完全等价的。也就是说素数和合数在复数相空间中是处于叠加态的，素数和合数的叠加态坍缩后的分布概率符合公式P=1/2+it。 所以，黎曼猜想与量子力学中电子1/2自旋态之间也存在着极其深刻的神奇联系。 三、数学问题和物理问题是完全等价的吗？ 如果纯粹数学问题和量子物理学问题是完全等价的话，那么我们猜想应用人工智能chatGPT技术、量子计算机模拟技术和量子力学就一定能够在2023年底之前证明黎曼猜想。 未完待续。 |
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