圆锥曲线压轴小题一、单选题1.(2022·浙江·高三开学考试)已知椭圆x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若3IB??+4IA??+5IF2?? =0?，则该椭圆的离心率是(????)A. 55 B. 23 C. 34 D. 12【答案 】A【解析】因为 3IB??+4IA??+5IF2?? =0?，所以 38IB??+ 58IF2?? =- 12IA??，如图， 在 BF2上取一点 M，使得 BM? ?:MF2? ? =5:3，连接 IM， 则 IM??=- 12IA??，则点 I为 AM上靠近点 M的三等分点 ，所以 S△IAF2:S△IBF2:S△IBA=3:4:5，所以 AF2? ?:BF2? ?:AB? ? =3:4:5，设 AF2? ? =3x，则 BF2? ? =4x,AB? ? =5x，由椭圆定义可知： AF2? ? + BF2? ? + AB? ? =4a，即 12x=4a，所以 x= a3 ，所以 AF2? ? =a， BF2? ? = 43a,AB? ? = 53a， AF1? ? =a故点 A与上顶点重合，在 △ABF2中，由余弦定理得：cos∠BAF2= AB? ? 2+ F2A? ? 2- F2B? ? 22AB? ? ? F2A? ? = 259 a2+a2- 169 a22× 53a2 = 35 ，在 △AF1F2中 ， cos∠BAF2= a2+a2-4c22a2 = 35 ，解得： ca = 55 ，所以椭圆离心率为 55 .故选： A2.(2022·河南·模拟预测(文))已知M a,3? ?是抛物线C：x2=2py p>0? ?上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4，过点P 4,2? ?向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则AF?? ?BF?? =(????)A. -1 B. 1 C. 16 D. -12【答案】B【解析】如示意图，由抛物线的定义可知点 M到抛物线准线 y=-p2 的距离为 4，则 3+ p2 =4?p=2，即抛物线 C:x2=4y，则 F 0,1? ? .设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ，则 AF?? ?BF?? =FA?? ?FB??= x1,y1-1? ? ? x2,y2-1? ? =x1x2+y1y2- y1+y2? ? +1=x1x2+ x1x2? ? 216 - 14 x21+x22? ? +1= x1x2? ? 216 -14 x1+x2? ? 2+ 32x1x2+1.由 y= x24 ?y?= 12x，则 kAP= 12x1,kBP= 12x2，所以 lAP:y-y1=x12 x-x1? ? ?x1x-2y+2y1-x21=0?x1x-2y-2y1=0， lBP:y-y2=
x22 x-x2? ? ?x2x-2y+2y2-x22=0?x2x-2y-2y2=0，因为点 P 4,2? ? 在这两条直线上， 所以 x1?4-2?2-2y1=0x1?4-2?2-2y1=0??? ? 4x1-2y1-4=04x2-2y2-4=0??? ，于是点 A,B都在直线4x-2y-4=0上，即 lAB:y=2x-2，代入抛物线方程并化简得： x2-8x+8=0，由根与系数的关系可知x1+x2=x1x2=8.于是 AF?? ?BF?? = 8216 - 14 ×82+ 32 ×8+1=1.故选： B.3.(2022·广东茂名·二模)已知抛物线E：y2=2x的焦点为F，A、B、C为抛物线E上三点，当FA?? +FB??+FC??=0?时，称△ABC为“特别三角形”，则“特别三角形”有(????)A. 1个B. 2个C. 3个D.无数个【答案】D【解析】 当 FA?? +FB??+FC?? =0? 时，易知 F为 △ABC的重心，连接 AF并延长至D，使 FD= 12AF， 当 D在抛物线内部时，设 D x0,y0? ? ，若存在以 D为中点的弦 BC， 这样的 △ABC即满足要求 .设 B x1,y1? ? ,C x2,y2? ? ，则 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0，又 y21 =2x1y22 =2x2??? ，两式相减可得 y1+y2? ? y1-y2x1-x2 =2，即 kBC= 1y0 ，所以总存在以 D为中点的弦 BC， 即这样的三角形有无数个.故选： D.4.(2022·重庆市天星桥中学一模)已知椭圆C：x29 + y28 =1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=9上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，k1，k2分别为直线BP，QF的斜率，则k1k2的取值范围是(????)A. -∞，98? ? B. (-∞,-1)∪(-1,0) C. -∞，34? ? D. (-∞,0)∪ 0, 34? ?【答案 】D【解析】对椭圆 C， a=3,b=2 2,c=1，右焦点 F 1,0? ? ，易知 PA⊥PB，则 k1=- 1kAP， k1k2 = - 1kAPk2 =- 1kAPk2 ，设 Q 3cosθ,2 2sinθ? ? θ≠kπ,k∈Z ? ，则 kAPk2= 2 2sinθ3cosθ+3 ? 2 2sinθ3cosθ-1 = 8sin2θ9cos2θ+6cosθ-3= 8 1-cos2θ? ?9cos2θ+6cosθ-3，设 t=cosθ,t∈ -1,1? ? ，则 kAPk2= 8 1-t2? ?9t2+6t-3，所以 k1k2 = 9t2+6t-38 t2-1? ? = 34 t-1? ?+ 98 ，因为 t∈ -1,1? ? ，所以 t-1∈ -2,0? ? , 1t-1 ∈ -∞,- 12? ? ，所以 k1k2 ∈ -∞, 34? ? ，易知 k1≠0， 于是，k1k2 ∈ -∞,0? ? ∪ 0, 34? ? .故选： D.5.(2022·全国·高三专题练习)已知点P为抛物线y2=4x上一动点，A 1,0? ?，B 3,0? ?，则∠APB的最大值为(????)
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案 】B【解析】根据抛物线的对称性，不妨设 P x,y? ? y>0 ? ，若 x=1，则 P 1,2? ? ， |PA|=2， |AB|=2，所以 tan∠APB= 22 =1?∠APB= π4 ；若 x=3，则 P 3,2 3? ? ， |PB|=2 3， |AB|=2，所以 tan∠APB= 22 3 = 33 ?∠APB= π6 ；若 x≠1且 x≠3，此时 y≠2且 y≠2 3，kPA= yx-1,kPB= yx-3，所以 tan∠APB= yx-3 - yx-11+ yx-3 ? yx-1 = 2yx2-4x+3+y2 ，因为 y2=4x,所以 tan∠APB= 2y116y4+3 = 2116y3+ 3y = 2116y3+ 1y + 1y + 1y ≤ 24 4 116y3? 1y ? 1y ? 1y =1，则 0<∠APB≤ π4 ，当且仅当 116y3= 1y ?y=2时取“ =” ，而 y≠2，所以 0<∠APB< π4 .综上： ∠APB的最大值为 π4 .故选： B.6.(2022·全国·高三专题练习(理))在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，|AF|=4，圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则OM??? ?ON??的取值范围是(????)A. -6325,9??? ? ? ? B. -3,21? ? C. 6325,21??? ? ? ? D. 3,27? ?【答案 】B【解析】由题意，设 A 3, 6p? ? ，所以 |AF|=3+ p2 =4，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x， A 3,2 3? ? ， B 3,-2 3? ? ， F(1,0)，所以直线 AF的方程为 y= 3(x-1)，设圆心坐标为 (x0， 0)，所以 (x0-1)2=(3-x0)2+12，解得 x0=5，即 E(5,0)，∴圆的方程为 (x-5)2+y2=16，不妨设 yM>0，设直线 OM的方程为 y=kx，则 k>0，根据 |5k|1+k2 =4，解得 k= 43 ，由 y= 43x(x-5)2+y2=16??? ，解得 M 95 ,125? ? ，设 N(4cosθ+5,4sinθ)，所以 OM??? ?ON?? = 365 cosθ+ 485 sinθ+9= 125 (3cosθ+4sinθ)+9，因为 3cosθ+4sinθ=5sin(θ+φ)∈ -5,5? ? ，所以 OM??? ?ON?? ∈ -3,21? ? ．故选： B．
7.(2022·全国·高三专题练习(理))已知直线l与椭圆C1:x28 + y24 =1切于点P，与圆C2:x2+y2=16交于点AB，圆C2在点AB处的切线交于点Q，O为坐标原点，则ΔOPQ的面积的最大值为A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1【答案】A【解析】设 P(x0， y0)， Q(m,n)，由 AQ⊥AO， BQ⊥BO，可得四点 Q， A， O， B共圆，可得以 OQ为直径的圆，方程为 x- m2? ? 2+ y- n2? ? 2= m2+n24 ，联立圆 C2:x2+y2=16， 相减可得 AB的方程为 mx+ny-16=0，又 AB与椭圆相切，可得过 P的切线方程为 x0x8 + y0y4 =1，即为 2x0x+4y0y-16=0，由两直线重合的条件可得 m=2x0， n=4y0，由于 P在椭圆上，可设 x0=2 2cosα， y0=2sinα， 0≤α<2π，即有 m=4 2cosα， n=8sinα，可得 OP?? ?OQ?? =mx0+ny0=16cos2α+16sin2α=16，且 |OP?? |= 8cos2α+4sin2α=2 1+cos2α， |OQ?? |=32cos2α+64sin2α=4 2 1+sin2α，即有 SΔOPQ= 12 |OP?? |?|OQ?? |?sin=12 (|OP?? |?|OQ?? |)2-(OP?? ?OQ?? )2= 12 128(1+cos2α)(1+sin2α)-256= 12 128(2+sin2αcos2α)-256= 12 32sin22α=2 2|sin2α|≤2 2，当 sin2α=±1即 α= π4 或 3π4 或 5π4 或 7π4 时，SΔOPQ的面积取得最大值 2 2．故选 A．8.(2022·全国·高三专题练习(理))F1,F2是双曲线C:x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点为F1?，且点F1?在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A. 2 B. 5 C. 2 D. 3【答案 】B【解析】因为直线 l为双曲线 C的一条渐近线，则直线 l:y= bax因为 F1,F2是双曲线 C的左、 右焦点所以 F1(-c， 0)， F2(c， 0)因为 F1关于直线 l的对称点为 F1?，设 F1? 为 (x， y)则 y-0x+c ? ba =-1,y+02 = ba ? x-c2解得 x= b2-a2c ,y=-2abc所以 F1? 为 b2-a2c ,-2abc? ?因为 F1? 是以 F2为圆心， 以半虚轴长 b为半径的圆，则圆的方程为 x-c? ? 2+y2=b2将以 F1? 的 b2-a2c ,-2abc? ? 代入圆的方程得 b2-a2c -c? ? 2+ -2abc? ? 2=b2
化简整理得 5a2=c2 ， 所以 e= c2a2 = 5所以选 B9.(2022·河南信阳·高三阶段练习(理))已知双曲线E:x2a2 - y2b2 =1的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，△ABM为等腰三角形，且外接圆面积为3πa2，则双曲线E的离心率为A. 2 B. 2+1 C. 3 D. 3+1【答案 】C【解析】不妨设 M在第二象限，由外接圆面积得其半径，设 ∠ABM=∠AMB=θ，利用正弦定理求出 sinθ，从而可得 sin2θ,cos2θ，然后求得 M点坐标，把 M点坐标代入双曲线方程可得 a,b关系式，化简后可求得离心率．详不妨设 M在第二象限，则在等腰 ΔABM中， AB? ? = AM? ? =2a，设 ∠ABM=∠AMB=θ，则 ∠F1AM=2θ， θ为锐角．ΔABM外接圆面积为 3πa2，则其半径为 3a， ∴2 3a= 2asinθ，∴sinθ= 33 ， cosθ= 63 ，∴sin2θ=2× 33 × 63 = 2 23 ， cos2θ=2× 63? ? 2-1= 13 ，设 M点坐标为 (x,y)，则 x=-a- AM? ?cos2θ=-5a3 ， y= AM? ?sin2θ= 4 23 a，即 M点坐标为 -5a3 ,4 2a3? ? ，由 M点在双曲线上， 得 -5a3? ? 2a2 - 4 2a3? ? 2b2 =1，整理得 b2a2 =2，∴e= ca = 1+ b2a2 = 3．故选 C．10.(2022·天津市第四十七中学模拟预测)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PA? ? =mPF? ?，若m取最大值时，点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A. 3+1 B. 2+1 C. 5+12 D. 2+12【答案 】B【解析】过 P作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义可得 |PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∴|PA |=m|PN|?? ∴ 1m = |PN||PA| ，设 PA的倾斜角为 α， 则 sinα= 1m，当 m取得最大值时， sinα最小 ，此时直线 PA与抛物线相切，设直线 PA的方程为 y=kx-1，代入 x2=4y，可得 x2=4(kx-1)，即 x2-4kx+4=0，∴△=16k2-16=0， ∴k=±1， ?? ∴P(2， 1)，
∴双曲线的实轴长为 PA-PB=2( 2-1)， ∴双曲线的离心率为 22( 2-1) = 2+1．故选 B．11.(2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测)已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，它们的离心率分别为e1、e2，点P为它们的一个交点，且∠F1PF2= 2π3，则e21+e22的范围是(????)A. 1+ 32 ,+∞??? ? B. 2+ 32 ,+∞??? ? C. 2,+∞? ? D. 3,+∞? ?【答案 】C【解析】设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长 a2，焦距 2c，点 P为第一象限交点．则 |PF1|+|PF2|=2a1， |PF1|-|PF2|=2a2，解得 |PF1|=a1+a2， |PF2|=a1-a2，如图：在 △F1PF2中, 根据余弦定理可得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|?cos2π3 ，整理得 4c2=3a21+a22，即 3e21 + 1e22 =4，设 t1=e21,t2=e22, 则有 01，所以 34 2，即： e21+e22>2.故选： C.12.(2022·江西·丰城九中高三开学考试(文))已知F1,F2分别为双曲线C:x24 - y212 =1的左?右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限)，设M,N分别为△AF1F2,△BF1F2的内心，则ME? ? - NE? ?的取值范围是(????)A. -∞,-4 33? ? ∪ 4 33 ,+∞? ? B. -4 33 ,4 33? ?C. -3 35 ,3 35? ? D. - 53 , 53? ?【答案 】B
【解析 】设 AF1,AF2,F1F2上的切点分别为 H?I?J，则 |AH|=|AI|,F1H? ? = F1J? ?,F2J? ? = F2I? ? .由 AF1? ? - AF2? ? =2a，得 |AH|+HF1? ?? ? - |AI|+IF2? ?? ? =2a，∴ HF1? ? - IF2? ? =2a，即 JF1? ? - JF2? ? =2a.设内心 M的横坐标为 x0，由 JM⊥x轴得点 J的横坐标也为 x0，则c+x0? ? - c-x0? ? =2a，得 x0=a，则 E为直线 JM与 x轴的交点，即 J与 E重合.同理可得 △BF1F2的内心在直线 JM上，设直线 AB的领斜角为 θ，则 ∠EF2M= π-θ2 ,∠EF2N= θ2 ，|ME|-|NE|=(c-a)tanπ-θ2 -(c-a)tanθ2=(c-a)? cosθ2sinθ2 - sinθ2cosθ2???? ? ? ? ? =(c-a)2cosθsinθ =(c-a) 2tanθ，当 θ= π2 时， |ME|-|NE|=0；当 θ≠ π2 时， 由题知， a=2,c=4,ba = 3，因为 A， B两点在双曲线的右支上，∴ π3 <θ< 2π3 ，且 θ≠ π2 ，所以 tanθ<- 3 或 tanθ> 3，∴- 33 < 1tanθ < 33 且 1tanθ ≠0，∴|ME|-|NE|= 4tanθ ∈ -4 33 ,0? ? ∪ 0,4 33? ? ，综上所述， |ME|-|NE|= 4tanθ ∈ -4 33 ,4 33? ? .故选： B.13.(2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试(理))设双曲线C:x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左?右焦点分别为F1,F2，过点F1作斜率为33的直线l与双曲线C的左?右两支分别交于M,N两点，且F2M??? +F2N???? ? ?MN?? =0，则双曲线C的离心率为(????)A. 2 B. 3 C. 5 D. 2【答案】A【解析】如图，设 D为 MN的中点，连接 F2D.易知 F2M??? +F2N??? =2F2D?? ，所以 F2M??? +F2N???? ? ?MN?? =2F2D?? ?MN?? =0，所以 F2D⊥MN.因为 D为 MN的中点，所以 F2M? ? = F2N? ? .设 F2M? ? = F2N? ? =t，因为 MF2? ? - MF1? ? =2a，所以 MF1? ? =t-2a.因为 NF1? ? - NF2? ? =2a，所以 NF1? ? =t+2a.所以 MN? ? = NF1? ? - MF1? ? =4a.因为 D是 MN的中点 ， F1D? ? = F1M? ? + MD? ? ，所以 MD? ? = ND? ? =2a,F1D? ? =t.在 Rt△F1F2D中， F2D? ? = 4c2-t2；在 Rt△MF2D中 ， F2D? ? = t2-4a2.
所以 4c2-t2 = t2-4a2，解得 t2=2a2+2c2.所以 F2D? ? = 2c2-2a2,F1D? ? =t= 2a2+2c2.因为直线 l的斜率为 33 ，所以 tan∠DF1F2= F2D? ?F1D? ? = 2c2-2a22a2+2c2 = 33 ，所以 c2-a2a2+c2 = 13 ,c2=2a2，c= 2a，所以离心率为 ca = 2.故选： A14.(2022·江西·高三阶段练习(理))已知抛物线C：y2=2px p>0? ?的焦点为F，准线为l1，过F的直线交C于A，B两点，作AM⊥l1，BN⊥l1，垂足分别为M，N，若MF? ? =4 5，NF? ? =2 5，直线l2分别与以AF，BF为直径的圆相切于P，Q两点，则PQ? ? =(????)A. 252 B. 152 C. 5 D. 52【答案 】C【解析】如图所示，由抛物线方程得 l1： x=-p2 ， F p2 ,0? ? ，由对称性不妨设A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，其中 y1>0， y2<0， 直线 AB： x=my+ p2 ，则 M -p2 ,y1? ? ，N -p2 ,y2? ? ，由 y2=2pxx=my+ p2??? ，得 y2-2pmy-p2=0，所以 y1y2=-p2，因为MF? ? 2=p2+y21 =80， NF? ? 2=p2+y22 =20，所以 y1y2? ? 2=p4=80-p2? ? 20-p2 ? ，解得 p=4， y1=8， y2=-2，所以 x1=8， x2= 12 ，即 A 8,8? ? ，B 12 ,-2? ? ，又 F 2,0? ? ，所以 AF的中点坐标为 5,4? ? ，其到 y轴的距离为 5， 又AF? ? =10， 所以以 AF为直径的圆与 y轴相切. 同理，以 BF为直径的圆也与 y轴相切. 因为直线 l2分别与以 AF， BF为直径的圆切于 P， Q两点，所以 PQ? ? = 12 y1-y2? ? =5.故选： C15.(2022·四川·成都七中模拟预测(理))已知双曲线C：x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x=a上，且满足PH?? =λ PF1??PF1??? ? + PF2??PF2??? ???? ? ? ? ?，λ∈R.若5HP?? +4HF2?? +3HF1?? =0?，则双曲线C的离心率为(????)A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】因为 PH?? =λ PF1??PF1??? ? + PF2??PF2??? ???? ? ? ? ? ，所以 PH是 ∠F1PF2的角平分线，又因为点 H在直线 x=a上，且在双曲线中，点 P是双曲线 C右支上异于顶点的点，则 △PF1F2的内切圆圆心在直线 x=a上，即点 H是 △PF1F2的内心，如图，作出 △PF1F2，并分别延长 HP、 HF1、 HF2至点 P?、 F?1、 F?2，使得 HP?=5HP，HF?1=3HF1， HF?2=4HF2，可知 H为 △P?F?1F?2的重心，设 S△HPF
1=m， S△HPF2=n， S△HF1F2=p，由重心性质可得 15m=20n=12p，
即 m:n:p=4:3:5，又 H为 △PF1F2的内心 ，所以 F1F2? ?:PF1? ?:PF2? ? =5:4:3，因为 F1F2? ? =2c，所以 PF1? ? = 45 F1F2? ? = 8c5 ， PF2? ? = 35 F1F2? ? =6c5 ，则 2a= PF1? ? - PF2? ? = 2c5 ，所以双曲线 C的离心率 e= ca = 2c2a = 2c2c5 =5.故选： C.16.(2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测(文))已知抛物线：x2=2py p>0? ?的顶点为O，焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A、B，且OA?? ?OB?? =-3，过抛物线上一点P(非原点)作抛物线的切线，与x轴、y轴分别交于点M、N，PH⊥l．垂足为H．下列命题：①抛物线的标准方程为x2=4y②△OMN的面积为定值③M为PN的中点④四边形PFNH为菱形其中所有正确结论的编号为(????)A.①③④B.①④C.①②③D.②③【答案】A【解析】设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，可知 F 0,p2? ? ，直线 AB的方程为 y=kx+ p2 ，联立 x2=2pyy=kx+ p2??? ，化为 x2-2pkx-p2=0，则 x1+x2=2pk， x1x2=-p2，而 y1y2= (x1x2)24p2 = p24 ，所以 OA?? ?OB?? =x1x2+y1y2=- 34p2=-3，所以 p=2， 故抛物线方程为 x2=4y，故①正确；设 P x0,y0? ? ，抛物线方程为 y= x24 ，则 y?= 12x，则在 P点处取得的切线方程斜率为 y? x=x0= x02 ，?所以以 P点为切点的切线方程为 y= x02 x-y0，切线与 x轴?y轴分别交于点 M?N，所以 M 2y0x0 ,0? ? ， N 0,-y0? ? ，所以 S△OMN= 12 OM? ? ON? ? = 12 × 2y0x0? ? × -y0? ? = x024? ? 2x0? ? =x0316? ? ，故面积不为定值 ，故②错误；因为 M 2y0x0 ,0? ? 、 P x0,y0? ? 、 N 0,-y0? ? ，可知 ，2? 2y0x0 = x02x0 =x0+02?0=y0+(-y0)??? ，
所以 M为 PN的中点 ，故③正确；因为 PH⊥l，垂足为 H ，所以 H x0,-1? ? 、 N 0,-y0? ? 、 F 0,1? ? 、 P x0,y0? ? ，因此 FN? ? = PH? ? 且 FN?PH，所以四边形 PFNH为平行四边形，又根据抛物线定义 PH? ? = PF? ? ，故四边形 PFNH为菱形，故④正确.故正确结论编号为：①③④. 故选： A.17.(2022·全国·二模(理))已知双曲线C:x2a2 - y2b2 = 1 a>0,b>0? ?与椭圆x24 + y23 = 1．过椭圆上一点P -1, 32? ?作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为(????)A. 132 B. 13 C. 32 D. 3【答案 】A【解析】由题意得：渐近线方程为 y=±bax，设切线方程为 y- 32 =k x+1? ? ，联立 x24 + y23 =1得：3+4k2? ?x2+8k k+ 32? ? x+4k2+12k-3=0，由 Δ=64k2 k+ 32? ? 2-4 3+4k2? ? 4k2+12k-3 ? =0得： 2k-1? ? 2=0，解得： k= 12 ，所以切线方程为 y= 12x+2，令 y=0得： x=-4，所以 M -4,0? ? ，联立 y= bax与 y= 12x+2，解得 ： xQ= 4a2b-a，联立 y=-bax与 y= 12x+2，解得 ： xN=- 4a2b+a，因为 N为 MQ的中点 ，所以 - 4a2b+a = 12 4a2b-a -4? ? ，解得： ba = 32 ，所以离心率为 1+ ba? ? 2 = 132故选： A18.(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线C:x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得PF2?? =λF2Q?? 0<λ<1? ?．A为左支上一点且满足F1A?? +F2P?? = 0?，F1F2?? = 23AF2?? + 13AQ??，△AF2P的面积为b2，则双曲线C的离心率为(????)A. 33 B. 2 C. 102 D. 3【答案 】C【解析】如图所示： 因为 F1A?? +F2P?? =0?，所以四边形 PF1AF2是平行四边形，
因为 PF1? ? 2+ PF2? ? 2-2PF1? ? PF2? ?cos∠F1PF2= F1F2? ? 2，PF1? ? - PF2? ?? ? 2+2PF1? ? PF2? ? 1-cos∠F1PF2? ? = F1F2? ? 2，4a2+2PF1? ? PF2? ? 1-cos∠F1PF2? ? =4c2PF1? ? PF2? ? = 2b21-cos∠F1PF2 .所以 S△AF2P=S△F1F2P= 12 × 2b21-cos∠F1PF2 ×sin∠F1PF= b2sin∠F1PF1-cos∠F1PF2 = b2×2sin∠F1PF2 cos∠F1PF22sin2 ∠F1PF2 = b2tan∠F1PF22 =b2可得 ∠F1PF2= π2 ．过点 A作 x轴的平行线交 PQ于点 B， 可知四边形 F1F2BA是平行四边形，因为 F1F2?? = 23AF2?? + 13AQ?? ，所以 AB?? = 23AF2?? + 13AQ?? = 23AF2?? + 13 AF2?? +F2Q??? ? =AF2?? + 13F2Q?? ，又 AB?? =AF2?? +F2B?? ，所以有 F2B?? = 13F2Q?? ．设 PF2? ? =m，则 PF1? ? =m+2a， AF1? ? = F2B? ? =m， F2Q? ? =3m，F1Q? ? =3m+2a， PQ? ? =4m．在 Rt△PF1Q中 ，由 PF1? ? 2+ PQ? ? 2= F1Q? ? 2，解得 m=a．在 Rt△PF1F2中，由 PF1? ? 2+ PF2? ? 2= F1F2? ? 2，得 10a2=4c2，所以离心率 e= ca = 102 ，故选： C19.(2022·山东潍坊·三模)已知双曲线C:x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ?的左，右顶点分别是A1，A2，圆x2+y2=a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为(????)A. 2 B. 2 C. 3 D. 5【答案 】B【解析】联立 y= baxx2+y2=a2??? 且 M在第一象限， 可得 M a2c ,abc? ? ，而 A1(-a,0)，A2(a,0)，所以 |MA1|2= a2c +a? ? 2+ abc? ? 2=2a2 1+ ac? ? ， |MA2|2= a2c -a? ? 2+abc? ? 2=2a2 1- ac? ? ，由题设， ∠A1MA2=∠PMA2=90°，故 △MPA2是等腰直角三角形，所以 ∠MA2P=45°，而 ∠PA2M的内角平分线与 y轴平行，所以 ∠MA1A2=22.5°，又 tan45°= 2tan22.5°1-tan222.5° =1，可得 tan22.5°= 2-1，则 tan2∠MA1A2= |MA2||MA1|? ? 2= 1- ac1+ ac =( 2-1)2，可得 e-1e+1 =3-2 2，所以 e= 2.故选： B
20.(2022·上海市实验学校模拟预测)已知P为椭圆x24 +y2=1的左顶点．如果存在过点M x0,0? ? , x0>0? ?的直线交椭圆于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOP，则x0的取值范围为(????)A. 1,2? ? B. 1, 3? ? C. 3,2? ? D. 1,+∞? ?【答案 】A【解析】记 Q为椭圆的右顶点，将坐标系横向压缩到原来的 12 ，椭圆变为圆 x2+y2=1，则 M x02 ,0? ? ， P -1,0? ? ， Q 1,0? ? ，面积比， 线段长度比，不随坐标系拉升而改变，设 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? y1>0,y2<0 ? ，S△AOB=2S△AOP? x02 ? y1-y2? ? =2y1?y2= x0-4x0 y1?BM= 4-x0x0 AM?? y2<0? ?又由圆的相交弦定理： PM?QM=AM?BM，得 1+ x02? ? 1- x02 ? =AM2? 4-x0x0 BM= 4-x0x0 AM? ? ，故 AM2= x0 1+ x02? ? 1- x02 ?4-x0 ，又由于 1- x02? ? 0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C左、右支分别交于A，B两点，若|AB|= BF2? ?，△BF1F2的面积为33 b2，双曲线C的离心率为e，则e2=(????)A. 3 B. 2 C. 2+ 3 D. 5+2 3【答案 】D【解析】如图，由双曲线的定义可知： BF1? ? - BF2? ? =2a， AF2? ? - AF1? ? =2a，因为 |AB|= BF2? ? ，所以 AF1? ? =2a，代入 AF2? ? - AF1? ? =2a中， 可得： AF2? ? =4a，因为 F1F2? ? =2c，所以在三角形 AF1F2中 ，由余弦定理得： cos∠F1AF2= AF1? ? 2+ F2A? ? 2- F1F2? ? 22AF1? ? ? F2A? ? = 4a2+16a2-4c22×2a×4a =5a2-c24a2 ，因为 ∠F1AF2+∠BAF2=π，所以 cos∠BAF2= c2-5a24a2 ，
则 sin∠BAF2= 1- c2-5a24a2? ? 2， tan∠BAF2= 10a2c2-c4-9a4c2-5a2取 AF2的中点 M， 连接 BM，因为 |AB|= BF2? ? ，所以 BM⊥AF2， AM? ? = MF2? ? =2a，所以 BM? ? = 2a 10a2c2-c4-9a4c2-5a2 ，SABF2= 12 AF2? ? ? BM? ? = 4a2 10a2c2-c4-9a4c2-5a2 ，又因为 SAF1F2= 12 AF2? ? ? AF1? ?sin∠F1AF2= 10a2c2-c4-9a4，所以 4a2 10a2c2-c4-9a4c2-5a2 + 10a2c2-c4-9a4 = 33 b2，化简得： 13a4+c4-10a2c2=0，同除以 a4得： e4-10e2+13=0，解得： e2=5+2 3 或 e2=5-2 3<0(舍去)故选： D22.(2022·全国·模拟预测)已知椭圆C:x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?，点P是C上任意一点，若圆O:x2+y2=b2上存在点M、N，使得∠MPN=120°，则C的离心率的取值范围是(????)A. 0, 32? ? ? ? ? B. 32 ,1??? ? C. 0, 12? ? ? ? D. 12 ,1??? ?【答案 】C【解析】连接 OP，当 P不为椭圆的上、下顶点时，设直线 PA、 PB分别与圆 O切于点 A、 B， ∠OPA=α，∵存在 M、 N使得 ∠MPN=120°， ∴∠APB≥120°，即 α≥60°，又 α<90°， ∴sinα≥sin60°，连接 OA，则 sinα= OA? ?OP? ? = bOP? ? ≥ 32 ， ∴ OP? ? ≤ 2b3 ．又 P是 C上任意一点， 则 OP? ? max≤ 2b3 ，又 OP? ? max=a， ∴a≤ 2b3 ，则由 a2=b2+c2，得 e2≤ 14 ，又 0b>0)的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得|PA|=3b，则e2的最小值是(????)A. 5+2 636 B. 4+ 1518 C. 3+ 56 D. 17+2 3036【答案 】C【解析】易知 A(0,b)，设 P x0,y0? ? ，则 x20a2 + y20b2 =1，所以 |PA|2=x20+ y0-b? ? 2=a2 1- y20b2? ? + y0-b? ? 2=-c2b2y20 -2by0+a2+b2=9b2，
即 c2b2y20 +2by0+8b2-a2=0，即方程 c2b2x2+2bx+8b2-a2=0在区间 [-b,b]上有解，令 f(x)= c2b2x2+2bx+8b2-a2，因为 f(-b)=5b2>0， f(b)=9b2>0，所以只需 Δ=4b2- 4c2b2 8b2-a2? ? ≥0-b≤-b3c2 ≤b??? ，即 9e4-9e2+1≥0e2≥ 12???解得： e2≥ 3+ 56 .故选： C.24.(2022·河北·模拟预测)已知双曲线C:x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F1，离心率为e，直线y=kx(k≠0)分别与C的左?右两支交于点M，N.若△MF1N的面积为3，∠MF1N=60°，则e2+3a2的最小值为(????)A. 2 B. 3 C. 6 D. 7【答案】D【解析】连接 NF2,MF2，有对称性可知：四边形 MF1NF2为平行四边形，故 NF2? ? = MF1? ?,NF1? ? = MF2? ? ，∠F1NF2=120°， S△F1NF2=S△MF1N= 3，由面积公式得： 12 NF1? ? ? NF2? ?sin120°= 3，解得 ： NF1? ? ? NF2? ? =4，由双曲线定义可知： F1N? ? - F2N? ? =2a，在三角形 F1NF2中 ，由余弦定理得： cos120°= F1N2+F2N2-4c22F1N?F2N = F1N-F2N? ? 2+2F1N?F2N-4c22F1N?F2N= 2F1N?F2N-4b22F1N?F2N =- 12 ，解得： F1N? ? ? F2N? ? = 4b23 ，所以 4b23 =4，解得 ： b2=3，故 e2+3a2=1+ 3a2 +3a2≥1+2 3a2 ?3a2 =7，当且仅当 3a2 =3a2，即 a2=1时 ，等号成立.故选：D25.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左?右焦点分别为F1,F2，M为右支上一点，∠MF2F1=120°,△MF1F2的内切圆圆心为Q，直线MQ交x轴于点N，|MQ|=2|QN|，则双曲线的离心率为(????)A. 54 B. 43 C. 3 D. 2【答案 】A
【解析 】如图，设内切圆 Q与 △MF1F2的三边分别切于 D,E,G三点，过 M作MP⊥x轴于 P点，易得 MD? ? = MG? ?,F1D? ? = F1E? ?,F2E? ? = F2G? ? ，又由双曲线定义得 MF1? ? - MF2? ? =2a，即 MD? ? + DF1? ? - MG? ? -GF2? ? = MD? ? = F1E? ? - F2E? ? =2a，又 F1E? ? + F2E? ? =2c，故 F1E? ? =a+c，即 Q点横坐标为 a， 又 ∠MF2F1=120°，则 ∠QF2P=120°，故直线 QF2的方程为 y=- 3(x-c)，代入 x=a，解得 y=- 3(a-c)= 3(c-a)，即 QE? ? = 3(c-a)，又 |MQ|=2|QN|，则 MP? ?QE? ? = MN? ?QN? ? =3，故 MP? ? =3 3(c-a)，又 ∠MF2P=60°， 则 MF2? ? =6(c-a)， MF1? ? =6(c-a)+2a=6c-4a，在 △MF1F2中，由余弦定理得cos∠MF2F1= F2M? ? 2+ F2F1? ? 2- F1M? ? 22F2M? ? F2F1? ? ，即 - 12 = 2c? ? 2+ 6c-6a? ? 2- 6c-4a? ? 22 2c? ? ? 6c-6a? ? ，化简得 4c2-9ac+5a2=0，即 4? ca? ? 2-9? ca +5=0，解得 ca=1或 ca = 54 ，又离心率大于 1， 故离心率为 54 .故选： A.26.(2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习(理))已知点P为双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)上任意一点，F1?F2为其左?右焦点，O为坐标原点.过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M?N，则下列所述错误的是(????)A. |PM|?|PN|为定值B. O?P?M?N四点一定共圆C.PF1?? ·PF2??的最小值为-b2D.存在点P满足P?M?F1三点共线时，P?N?F2三点也共线【答案】D【解析】设 P x0,y0? ? ，点 P x0,y0? ? 到渐近线 y= bax的距离为 PM? ? =bx0-ay0? ?α2+b2 ，同理 |PN|= bx0+ay0? ?a2+b2 ，则 PM? ? ? PN? ? = b2x20-a2y20? ?a2+b2 ，∵ x20a2 - y20b2 =1，即 b2x20-a2y20 =a2b2，∴ PM? ? ? PN? ? = a2b2a2+b2 (定值) ，故 A正确 ；∵∠OMP=∠ONP=90°， ∴△OMP和 △ONP均为直角三角形， M， N两点在以 OP为直径的圆上，故 B正确；由双曲线的对称性可知 PF1?? ?PF2?? = PO?? +OF1??? ? ? PO?? -OF1??? ? =|PO?? |2-OF1??? ? 2=|PO?? |2-c2，其中 c2=a2+b2，∵|PO?? |2≥a2∴PF1?? ?PF2?? ≥a2-c2=-b2成立，故 C正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线 F1N垂直一条渐近线，垂足为 N；直线 F2M垂直另一条渐近线且交双曲线于点 P，易知直线 F1N与直线 F2M的
交点始终落在 y轴上， 故 D不正确.故选： D.27.(2022·江苏省滨海中学模拟预测)已知双曲线C；x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若a=c?sin∠AFO且FB??=3FA??，则C的离心率为(????)A. 2 B. 213 C. 2 63 D. 3【答案 】D【解析】因为 FB??=3FA?? ，画出示意图如图，设 ∠AOF=α，因为 a=csin∠AFO，所以 sin2∠AFO= a2c2 ，所以 cos2∠AFO=1- a2c2 = b2c2 ，所以 tan∠AFO= ab.又 tanα= ba，所以 ∠AFO+α= π2 ，所以 AB⊥OA，所以 OA? ? =a， FA? ? =b.又因为 FB??=3FA?? ，所以 AB? ? =2b.在 Rt△AOB中， tan∠AOB=tan π-2α? ? = 2ba ，所以 tan2α=-2ba = 2tanα1-tan2α = 2ba1- b2a2 ，化简得： b2a2 =2，所以 c2a2 =3， e= ca = 3.故选： D28.(2022·河南洛阳·三模(理))已知点M是椭圆C：x24 + y23 =1上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为MF1的中点，∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，则四边形MF1PF2的面积的最大值为(????)A. 1 B. 2C. 3 D. 2 2【答案 】B【解析】由图， a2=4,b2=3， c= a2-b2 =1，故 F1F2=2， MF1+MF2=4，又 MP平分 ∠F1MF2，则 P到 MF1、 MF2的距离相等，设为 h，则 SMF
1PF2= 12 MF1+MF2? ?h=2h
设 MF2=t， 则 MF1=4-t， cos∠MF2F1= 22+t2- 4-t? ? 24t =2- 3t ，由 OE是 △F1MF2的中位线，易得 2h=F1F2?sin∠MF2F1=2 1- 2- 3t? ? 2，即 SMF1PF2=2 1- 2- 3t? ? 2，由椭圆性质易知 ，存在点 M为椭圆 C上异于顶点的动点，使 t= 32 ，此时 SMF1PF2最大 ，且为 2故选：B二、多选题29.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线y2 = 4x的焦点为F，过点F的直线交该抛物线于A x1,y1? ?，B x2,y2? ?两点，点T(-1，0)，则下列结论正确的是(????)A.y1y2=-4B. 1AF? ? + 1BF? ? =1C.若三角形TAB的面积为S，则S的最小值为4 2D.若线段AT中点为Q，且AT? ? =2BQ? ?，则AF? ? - BF? ? =4【答案 】 ABD【解析】将直线 AB： x=my+1与 y2=4x联立得： y2-4my-4=0设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,x1≥x2>0，则 y1+y2=4my1y2=-4??? ，故 A正确 ；由抛物线的定义可知： AF? ? =x1+1， BF? ? =x2+1，则 1AF? ? + 1BF? ? = 1x1+1 + 1x2+1 = 1my1+2 + 1my2+2 = m y1+y2? ? +4m2y1y2+2m y1+y2? ? +4= 4m2+4-4m2+8m2+4 =1， B正确；S= 12 TF? ? y1-y2? ? = y1+y2? ? 2-4y1y2 = 16m2+16≥4，当且仅当 m=0时等号成立 ，故 S的最小值为4， C错误；由 AT? ? =2BQ? ? 可得： ∠TBF=90°，即 BT?? ?BF?? =0，所以 -1-x2,-y2? ? ? 1-x2,-y2? ? =x22-1+y22 =x22-1+4x2=0，解得： x2= 5-2或 x2=- 5-2(舍去) ，又因为 x1x2= y21y2216 =1，所以 x1= 5+2，因此 AF? ? - BF? ? =x1+1- x2+1? ? =4， D正确.故选： ABD30.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆E：x24 + y23 =1，过椭圆E的左焦点F1的直线l1交E于A，B两点(点A在x轴的上方)，过椭圆E的右焦点F2的直线l2交E于C，D两点，则(????)A.若AF1?? =2F1B??，则l1的斜率k= 62B. AF1? ? +4BF1? ?的最小值为274C.以AF1为直径的圆与圆x2+y2=4相切D.若l1⊥l2，则四边形ADBC面积的最小值为28849【答案 】 BCD
【解析 】易知： F1(-1,0),F2(1,0)，对于 A，若 AF1?? =2F1B?? ，显然直线 l1的斜率存在且大于 0，设直线 l1y=k(x+1)(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2)，联立椭圆方程 y=k(x+1)x24 + y23 =1??? ，化简整理得 (4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0，显然 Δ>0， x1+x2= -8k24k2+3,x1x2= 4k2-124k2+3 ，又 AF1?? =(-1-x1， -y1),F1B?? =(x2+1， y2)，故 -1-x1=2 x2+1? ? ，整理得 x1+2x2=-3，由 x1+x2= -8k24k2+3x1+2x2=-3x1x2= 4k2-124k2+3??????? 解得 k2= 54 ，又 k>0， 故 k= 52 ， A错误；对于 B， 易知直线 l1的斜率不为 0，设直线 l1:x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2)，联立椭圆方程 x=my-1x24 + y23 =1??? ，化简整理得 3m2+4? ?y2-6my-9=0，显然 Δ>0， y1+y2= 6m3m2+4,y1y2= -93m2+4，由点 A在 x轴的上方 ，显然 y1>0,y2<0，又 AF1? ? = x1+1? ? 2+y21 = 1+m2 ?y1,BF1? ? = x2+1? ? 2+y22 =- 1+m2 ?y2，1AF1? ? + 1BF1? ? = 11+m2 ?y1 - 11+m2 ?y2 = y2-y11+m2 ?y1?y2 = - y2+y1? ? 2-4y1?y2? ?1+m2 ?y1?y2 =12(1+m2)3m2+49(1+m2)3m2+4 = 43 ，故 AF1? ? +4BF1? ? = 34 1AF1? ? + 1BF1? ?? ? AF1? ? +4BF1? ?? ? = 34 5+ 4BF1? ?AF1? ? + AF1? ?BF1? ?? ? ≥34 5+2 4BF1? ?AF1? ? ? AF1? ?BF1? ?? ? = 274 ，当且仅当 4BF1? ?AF1? ? = AF1? ?BF1? ? ，即 AF1? ? =2BF1? ? 时取等， B正确 ；对于 C，设 A(x1,y1)， AF 1的中点为 P，则 P x1-12 ,y12? ? ，又 OP? ? = x1-1? ? 24 + y214 = AF2? ?2 ，由椭圆定义知 ： AF2? ?2 + AF1? ?2 =2，即 OP? ? =2- AF1? ?2 ，又 x2+y2=4的圆心为 O(0,0)，半径为 2，故以 AF1为直径的圆与圆 x2+y2=4内切， C正确；对于 D，当直线 l1的斜率存在时，由上知： AB? ? = x1-x2? ? 2+ y1-y2? ? 2 = 1+k2 ? x1+x2? ? 2-4x1x2 =1+k2 ? -8k24k2+3? ? 2-4? 4k2-124k2+3 = 12 k2+1? ?4k2+3 ，同理 CD? ? = 12 - 1k? ? 2+1??? ? ? ?4 - 1k? ? 2+3 = 12 1+k2? ?4+3k2 ，故四边形ADBC面积为 S= 12 AB? ? ? CD? ? = 12 ? 12 k2+1? ?4k2+3 ? 12 1+k2? ?4+3k2 = 72 1+k2? ? 24k2+3? ? 4+3k2 ? ，令 t=k2+1(t>1)，则 S= 72t24t-1? ? 1+3t ? = 72- 1t2 + 1t +12 = 72- 1t - 12? ? 2+ 494 ，又 0< 1t <1，故 12<- 1t - 12? ? 2+ 494≤ 494 ，故 28849 ≤S<6；又当直线 l1的斜率不存在时 ，直线 l2的斜率为 0，易得 AB? ? =4,CD? ? =3，此时 S=12 ×4×3=6，故 S∈ 28849 ,6??? ? ? ? ， D正确.故选： BCD.31.(2022·全国·高三专题练习)双曲线C:x2a2 - y2b2 =1(a,b>0)的虚轴长为2，F1,F2为其左右焦点，P,Q,R是双曲线上的三点，过P作C的切线交其渐近线于A,B两点.已知△PF1F2的内心I到y轴的距离为1.下列说法正确的是(????)
A. △ABF2外心M的轨迹是一条直线B.当a变化时，△AOB外心的轨迹方程为x2+a2y2= (a2+1)24C.当P变化时，存在Q,R使得△PQR的垂心在C的渐近线上D.若X,Y,Z分别是PQ,QR,PR中点，则△XYZ的外接圆过定点【答案】 AD【解析】因为已知 △PF1F2的内心 I到 y轴的距离为 1，双曲线 C:x2a2 - y2b2 =1(a,b>0)的虚轴长为 2，所以 △PF1F2的内心 I横坐标 |x0|=1?2a=|PF1-PF2|=|x0+c-(c-x0)|=|2x0|=2， a=1，双曲线方程： x2-y2=1， F1 - 2,0? ? ,F2 2,0? ? ，渐近线 y=±x.设 P x0,y0? ? ,A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ,Q x3,y3? ? ,R x4,y4? ? .当点 P x0,y0? ? 在双曲线 x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ? 上时：设直线 y=kx+m与双曲线 x2a2 - y2b2 =1 a>0,b>0? ? 交两点 x1?,y1?? ? , x2?,y2?? ?b2x2-a2y2-a2b2=0y=kx+m??? ?? ?(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0b2-a2k2≠0Δ=4k2m2a4+4(b2-a2k2)a2(m2+b2)=4a2b2(b2-a2k2+m2)>0x1?+x2?= 2a2kmb2-a2k2y1?+y2?=k x1?+x2?? ? +2m= 2b2mb2-a2k2?????????当直线与双曲线相切时 Δ=0?b2-a2k2+m2=0，此时切点 Q x0,y0? ? 满足：x0= x1?+x2?2 = a2km-m2 =-a2kmy0= y1?+y2?2 = b2m-m2 =-b2m??? ? m=-b2y0k= x0b2y0a2???切线 y=kx+m?y= x0b2y0a2x- b2y0 ? x0xa2 - y0ya2 =1设直线 y=kx+m与渐近线 x2a2 - y2b2 =0交两点 A? x3?,y3?? ? ,B? x4?,y4?? ?b2x2-a2y2=0y=kx+m??? ?? ?(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0x3?+x4?= 2a2kmb2-a2k2 =x1?+x2?=2x0y3?+y4?=y1?+y2?=2y0???切点 Q x0,y0? ? 正是线段 AB的中点 ，∴kAB= b2x0a2y0 ；线段 AB中垂线是 y-y0=-a2y0b2x0 x-x0? ? .中垂线与 y轴交于点 ，且 TA? ? = TB? ? .x0xa2 - y0yb2 =1y= bax????? ? x= a2bbx0-ay0y= ab2bx0-ay0??? ?可设 A a2bbx0-ay0 , ab2bx0-ay0? ?一方面， kAF
2= ab2a2b-c bx0-ay0? ? ；另一方面 ，线段 AF2中点是 W a2b2bx0-2ay0 + c2 , ab22bx0-2ay0? ?
kWT= ab22bx0-2ay0 - y0c2b2a2b2bx0-2ay0 + c2 = ab4-c2 2bx0y0-2ay20? ?a2b3+cb2 bx0-ay0? ?kAF2?kWT= ab2a2b-c bx0-ay0? ? ? ab4-c2 2bx0y0-2ay20? ?a2b3+cb2 bx0-ay0? ? = a2b4-c2 2abx0y0-2a2y20? ?a4b2-c2 bx0-ay0? ? 2考虑到 a2b4-c2 2abx0y0-2a2y20? ?? ? + a4b2-c2 bx0-ay0? ? 2? ? =0∴kAF2?kWT=-1?AF2⊥WT? TA? ? = TF2? ?TA? ? = TB? ? = TF2? ? ，点 T???? 确系 △ABF2之外心 M！其轨迹是直线 x=0.选项 A正确！依 (1)设 A a2x0-ay0 , ax0-ay0? ? ;B a2x0+ay0 , -ax0+ay0? ?线段 OA、 OB中点是 a22x0-2ay0 , a2x0-2ay0? ? 、 a22x0+2ay0 , -a2x0+2ay0? ?线段 OA中垂线是 y- a2x0-2ay0 =-a x- a22x0-2ay0? ? ，即 x0-ay0= 1+a22 x+ ya? ?线段 OB中垂线是 y+ a2x0+2ay0 =a x- a22x0+2ay0? ? ，即 x0+ay0= 1+a22 x- ya? ?∴ 1+a22 x- ya? ? ? 1+a22 x+ ya? ? = x0+ay0? ? x0-ay0 ?1+a2? ? 24 x2- y2a2? ? =x20-a2y20 =a2，即 △OAB外心的轨迹方程为 x2- y2a2 = 1+a2? ? 24a2 .故选项 B错！(3)对 △PQR来讲 ，若垂心在渐近线上可设坐标是 u,u? ? ，进而 u-y0u-x0 =-y3+y4x3+x4 =-x3-x4y3-y4化简得 u= x0y3+y0x3? ? + x0y4+x4y0? ?x4+y4? ? + x3+y3? ? = x0x4+y0y4? ? - x0x3+y3y0? ?x4+y4? ? - x3+y3? ?u= x0y3+y0x3? ? + x0y4+x4y0? ?x4+y4? ? + x3+y3? ? = x0y3+y0x3? ? + x3y4+x4y3? ?x4+y4? ? + x0+y0? ? = x0y4+y0x4? ? + x3y4+x4y3? ?x3+y3? ? + x0+y0? ?u= x4x0+y4y0? ? - x3x0+y3y0? ?x4+y4? ? - x3+y3? ? = x0x3+y0y3? ? - x4x3+y4y3? ?x0+y0? ? - x4+y4? ? = x3x4+y3y4? ? - x0x4+y0y4? ?x3+y3? ? - x0+y0? ?u= x0y4+x4y0? ? - x3y4+x4y3? ?x3+y3? ? - x0+y0? ? = x0y4+y0x4? ? + x3y4+x4y3? ?x3+y3? ? + x0+y0? ? = x0y4+y0x4x3+y3∴u= x0y4+x4y0x3+y3 = x0y3+x3y0x4+y4 = x3y4+x4y3x0+y0把 x3+y3= x0y4+x4y0ux4+y4= x0y3+x3y0u??? 代入 u= x4x0+y4y0? ? - x3x0+y3y0? ?x4+y4? ? - x3+y3? ? 并化简得：x0-y0? ? x3-y3? ? - x4-y4? ?? ? =0考虑到 P x0,y0? ? 不在渐近线上得 x0-y0? ? ≠0，故 x3-y3=x4-y4∴kQR= y3-y4x3-x4 =1，这不可能！垂心不能在 y=x上 ，同理不能在 y=-x上，选项 C错误；(4)设 O 0,0? ? ,X x0+x32 ,y0+y32? ? ,Y x3+x42 ,y3+y42? ? ,Z x4+x02 ,y4+y02? ?
tan∠ZXY=tan∠R= kQR-kPR1+kQR?kPRkQR= b2a2 ? x3+x4y3+y4 = x3+x4y3+y4kPR= b2a2 ? x0+x4y0+y4 = x0+x4y0+y4???????tan∠ZXY= x3+x4y3+y4 - x0+x4y0+y41+ x3+x4y3+y4 ? x0+x4y0+y4 = x3+x4? ? y0+y4 ? - x0+x4? ? y3+y4 ?y3+y4? ? y0+y4 ? + x3+x4? ? x0+x4 ?tan∠ZOY= kOY-kOZ1+kOY?kOZ = y3+y4x3+x4 - y0+y4x0+x41+ y3+y4x3+x4 ? y0+y4x0+x4 = x0+x4? ? y3+y4 ? - x3+x4? ? y0+y4 ?y3+y4? ? y0+y4 ? + x3+x4? ? x0+x4 ?tan∠ZXY+tan∠ZOY=0?∠ZXY+∠ZOY=π?O,Z,X,Y共圆！△XYZ的外接圆过定点原点，选项 D对.故选： AD32.(2022·江苏省滨海中学模拟预测)已知直线l过抛物线C：x2=4y的焦点F，且直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设A x1,y1? ? ,B x2,y2? ?，则下列选项正确的是(????)A.x1?x2=-4 B.以线段AF为直径的圆与y=- 32相切C.GF⊥AB D.当AF?? =2FB??时，直线l的斜率为±2 2【答案 】 AC【解析】 对于 A，抛物线的焦点 F(0,1)，准线方程 y=-1，设直线 l的方程 y=kx+1，与抛物线方程联立得 x2-4kx-4=0， ∴x1?x2=-4，正确；对于 B， AF=y1+1，以线段 AF为直径的圆圆心为 x12 ,y1+12? ? ，到直线 y=- 32 的距离为 y1+42 ≠ AF2 ，所以以线段 AF为直径的圆不与 y=- 32 相切， 错误；对于 C， y= 14x2,y?= 12x，点 A处的切线方程为 y-y1=x12 x-x1? ? ，即 y= x12 x- x124 ，点 B处的切线方程为 y= x22 x-x224 ，联立得 G x1+x22 ,x1?x24? ? ，即 G 2k,-1? ? ， GF?? = -2k,2? ? ,AB?? = x2-x1,y2-y1? ? = x2-x1,kx2-kx1? ? ， GF?? ?AB?? =0，故 GF⊥AB，正确； 对于 D， AF?? =2FB??， -x1=2x2， x1?x2=-4， 解得 x2=± 2，当 x2= 2 时， x1=-2 2,k= y2-y1x2-x1 =x22-x214x2-x1 = x2+x14 =- 24 ，错误.故选 ： AC.33.(2022·全国·高三专题练习)阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线
弓形(抛物线与其弦AB所在直线围成的图形)面积等于此弓形的内接三角形(内接三角形ABC的顶点C在抛物线上，且在过弦AB的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上)面积的43 .现已知直线y=-x+ 32p与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段AB的中点为D，直线DC?x轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是(???)A.若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6B.切线l的方程为2x-2y+p=0C.若4n-1?An=SΔABC n∈N? ?，则弦AB对应的抛物线弓形面积大于A1+A2+?+An-1+ 43An n≥2? ?D.若分别取AC，BC的中点V1，V2，过V1，V2且垂直y轴的直线分别交E于C1，C2，则SΔACC1+SΔBCC2=14SΔABC【 答案】 ABD【解析】 A选项：内接三角形的面积 8× 34 =6，正确 ；B选项： y2=2pxy=-x+ 32p??? ，解得 x1= p2y1=p??? , x2= 9p2y2=-3p??? ，又 A为第一象限的点 ， ∴A p2 ,p? ? ，y= 2px,y?= 2p2 x， y? x=p2? =1，故切线方程为 y-p=x- p2 ，即2x-2y+p=0，正确；C选项：由 4n-1?An=SΔABC n∈N? ? ，得 A1=4A2，令 n=2， SΔABC=4?A2，弓形面积为 43SΔABC= 163 A2=4A2+ 43A2=A1+ 43A2，所以不等式不成立， 错误；D选项：由 A p2 ,p? ? ,B 9p2 ,-3p? ? 知 D 5p2 ,-2p? ? ， DC?x轴 ， C p2 ,-p? ? ，又 AC， BC的中点 V1， V2，易求V1 p2 ,0? ? ,V2 5p2 ,-2p? ? ,C1 0,0? ? ,C2 2p,-2p? ? ， S△ACC1= 12 ×C1V1×2p= p22 ， S△BCC2= 12 ×C2V2×2p=p22 ， S△ABC= 12 ×CD×4p=4p2， 因此 SΔACC1+SΔBCC2= 14SΔABC成立 ，正确.故选： ABD.34.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x24 + y2b2 =1 0
所以短轴长为 2 3， A错误； 此时 AF2? ? = BF2? ? ， B正确； e= ca =12 ， C正确； 对 D，设 A x1,y1? ? ,B x2,y2? ? ， lAB:x=ty-1，代入椭圆方程得：ty-1? ? 24 + y23 =1? 34t2+1? ? y2- 32ty- 94 =0，则y1+y2= 32t34t2+1y1y2= - 9434t2+1??????? ，所以 |y1-y2|= y1+y2? ? 2-4y1y2 = 32t34t2+1???? ? ? ? ? 2+ 934t2+1 = 3 t2+134t2+1 ，记 u= t2+1≥1,|y1-y2|=3u34u+ 14 = 123u+ 1u ，于是 S△ABF2= 12 ×|F1F2|×|y1-y2|= 12 ×2× 123u+ 1u = 123u+ 1u ，由对勾函数的图象和性质可知 ：函数 y=3u+ 1u 在 [1,+∞)上是增函数 ，则函数 y= 123u+ 1u 在 [1,+∞)上是减函数 .于是，当 u=1，即 t=0时， △ABF2面积最大值为 3.故 D错误.故选： BC.35.(2022·全国·高三专题练习)已知F1?F2是椭圆x29 + y2b2 =1 0b>0? ? ，则过椭圆上一点 P acosθ,bsinθ? ? 的切线为： xcosθa + ysinθb=1，因此切线的斜率 k=-bcosθa2sinθ，因此 tan∠PMF2=-k= bcosθasinθ，因为 kPF
1= bsinθacosθ+c =tan∠PF1M， kPF2= bcosθasinθ-c =tan∠PF2M，所以 tan∠MPF2=-tan ∠PMF2+∠PF2M? ? =- tan∠PMF2+tan∠PF2M1-tan∠PMF2?tan∠PF2M
=- bcosθasinθ + bsinθacosθ-c1- bcosθasinθ ? bsinθacosθ-c = bcsinθ，同理 tan∠MPN=tan ∠PMF2+∠PF1M? ? = basinθ，因此 ∠MPF2=∠MPN，即 P点处的切线平分 △F1PF2的外角.结论 2： PA、 PB为椭圆的两条切线，切点为 A、 B，则 PF2平分 ∠AF2B.证明：如图，作 F1关于 PA的对称点 F1?， F2关于 PA的对称点 F2?，由结论 1易知， F1、 B、 F2? 三点共线， F1?、A、 F2 三点共线.因为 PF1?=PF1， PF2?=PF2，且 F1F2?=BF1+BF?2=BF1+BF2=2a， F1?F2=AF1?+AF2=AF1+AF2=2a，所以 △PF2F1? 与 △PF?2F1全等，因此 ∠PF2?B=∠PF2A，又因为 △PBF2? 与 △PBF2全等，所以 ∠PF2?B=∠PF2B，所以 ∠PF2A=∠PF2B，因此 PF2平分 ∠AF2B.对于本题，结合题意，作出如下图形，其中点 A为椭圆 x29 + y2b2 =1 0
1F2+S△PF1F2= 12 ? F1F2? ? ? TA? ? + 12 ? F1F2? ? ? y0? ? = 12 ×2 5×2+ 12 ×2 5×2=4 5≠6，即三角形 TF1F2与三角形 PF1F2面积之和不为定值 6， 因此 C错.故选： AB.36.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点
F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点(其中A在B的上方)，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.则(????)A. PM? ? = NQ? ?B.若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2 2C.若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有PQ? ? > OQ? ?D.若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有NQ? ? > OQ? ?【答案 】 AB【解析】抛物线 C:y2=4x的焦点为 F(1,0)，准线 l:x=-1设直线 AB方程为 y=k(x-1)， k>0， A(x1,y1),B(x2,y2)，联立 y=k(x-1)y2=4x??? ，消去 y得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0， Δ>0由韦达定理得： x1+x2= 2k2+4k2 ， x1x2=1，∴xM= x1+x22 =1+ 2k2 ， yM=k(xM-1)= 2k，直线 MN方程为 y= 2k，对于 A， ∵O,P,A共线， ∴ xPx1 = yPy1 ， xP= x1yPy1 = 2x1ky1 = y212ky1 = y12k，同理 xQ= y22k，xP+xQ= y1+y22k = yMk = 2k2 ， xM+xN=1+ 2k2 -1= 2k2 =xP+xQ，∴xM-xP=xQ-xN，即 MP? ? = NQ? ? ，故 A正确 ；对于 B，若 P， Q是线段 MN的三等分点，则 PQ? ? = 13 MN? ? ， ∴ y1-y22k = 13 1+ 2k2 -(-1)? ? =13 2+ 2k2? ? ，即 y1-y2= 4(k2+1)3k ，又 y1+y2=2yM= 4k， y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2(x1x2-x1-x2+1)=-4，∴y1-y2= (y1+y2)2-4y1y2 = 16k2 +16， ∴ 16k2 +16=4(k2+1)3k ，又 k>0， 解得： k=2 2，故 B正确 ；对于 C，由 k2x2-(2k2+4)x+k2=0得 x= k2+2±2 k2+1k2 ， ∴B k2+2-2 k2+1k2 ,2-2 k2+1k? ? ， ∴xQ= y22k = 1- k2+1k2 ， yQ=yM= 2k， ∴ OQ? ? =1- k2+1k2? ? 2+ 2k? ? 2 = 5k2+2-2 k2+1k2 ，又 PQ? ? = y1-y22k = 2 1+k2k2 ， ∴ OQ? ? 2- PQ? ? 2= 5k2+2-2 k2+1-4(1+k2)k4 =( k2+1+1)( k2+1-3)k4 ，当 k>2 2 时， OQ? ? > PQ? ? ，故 C错 ；对于 D，由图可知 NQ? ? ≤1，而 OQ? ? ≥yQ= 2k，只要 01> NQ? ? ，故 D错．故选 ： AB．三、填空题
37.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点A，B(A，B在同一象限内)，且满足F1A=AB．联结AF2，满足AF2⊥BF1．若该双曲线的离心率为e，求e2的值_______．【答案】 12-4 7【解析 】不妨设 A x0,y0? ? (x0<0,y0>0)，由 AF2⊥BF1得 y0x0-c ? y0x0+c =-1， 化简得 y02+x02-c2=0(1)， ∵A在双曲线上，所以 x02a2 - y02b2 =1，即 x02=a2+ a2y02b2 ， 代入 (1)解得 y0= b2c ，∵F1A=AB,∴B 2x0+c,2y0? ? ，又 ∵B在渐近线 y=-bax上， ∴2y0=-ba 2x0+c? ? ，即 -2bx0=2ay0+bc．两边平方得 4b2x02=4a2y02+b2c2+4abcy0(2)将 x02=a2+ a2y02b2 和 y0= b2c 代入 (2)得 4a2b4c2 +b2c2-4ab3=4a2b2+ 4a2b4c2化简得 3a2-4ab-b2=0， 解得 a= 7+23 b，即 a2= 11+4 79 c2-a2? ? ． 化简得 e2=12-4 7故答案为： 12-4 738.(2022·全国·高三专题练习)已知平面向量x?，y?，z?，|x?|= 12 |y?|=|z?|=x??y?=1，则12x?+z?? ? + 12 y?-z?? ?的取值范围是__________．【答案】 [ 3, 7]【解析 】设 x?， y?的夹角为 θ， ∵|x?|= 12 |y?|=|z?|=x??y?=1， ∴cosθ= x??y?x?? ? ? y?? ? = 12 ，∵θ∈ 0,π? ? ， ∴θ= π3 .如图， 由题可设 x?=OA?? =(1,0)， y?=OB?? =(1, 3)， z?=OC?? =(x,y)，其中 O为原点， C在单位圆上，记 E - 12 ,0? ? ，假设存在一点 F x0,y0? ? ，使得 CE= 12CF则有 x+ 12? ? 2+y2= 14 [(x-x0)2+(y-y0)2]∴4 x2+x+ 14? ? +y2=x2-2x?x0+x02+y2-2y?y0+y02，∴3x2+3y2+(4+2x0)x+2y0y+1-x02-y02=0又 ∵x2+y2=1， ∴ 4+2x03 =02y03 =0x02+y02-13 =1????????? 解得 x0=-2y0=0??? .所以存在点 F(-2,0)，使得 CE= 12CF.∴ 12x?+z?? ? + 12 y?-z?? ? =|-OE?? +OC?? |+ 12 |OB?? -OC?? |= EC??? ? +12 CB??? ? = |CF|+|CB|2 ，且直线 BF的方程为 y= 33 (x+2)，即 x- 3y+2=0，圆心 O到直线的距离为 1.所以 BF与圆相切，所以当 B,C,F三点共线时， |CF|+|CB|2 取得最小
值为 BF? ?2 = 3，如图， C在 C1位置时 ， 因为 BF? ? =2 3， |C1B|+|C1F|=2 7，且 2 7>2 5，由椭圆定义可知， 此时 C1在以 B， F为焦点的椭圆上，当 C在其他位置时， C在椭圆内部，所以 (|CB|+|CF|)的最大值为 |C1B|+|C1F|=2 7，即 |CF|+|CB|2 的最大值为 7.∴ 12x?+z?? ? + 12 y?-z?? ? ∈[ 3, 7].故答案为： [ 3, 7]．39.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线G的方程x216 - y29 =1，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点P坐标为4,2? ?，双曲线G上点Q x0,y0? ?，x0>0,y0>0? ?满足QF1?? ?PF1??QF1??? ? = F2F1?? ?PF1??F2F1??? ?，则S△F1PQ-S△F2PQ=______．【答案】 8【解析】如图，设 △QF1F2的内切圆与三边分别相切于 D,E,G，可得 QD=QG,F1D=F1E,F2E=F2G，又由双曲线定义可得QF1-QF2=2a=8，则 QD+DF1- QG+GF2? ? =DF1-GF2=EF1-EF2=2a，又 EF1+EF2=2c，解得 EF1=a+c，则 E点横坐标为 a，即内切圆圆心横坐标为 a.又 QF1?? ?PF1??QF1??? ? = F2F1?? ?PF1??F2F1??? ? ，可得 QF1??? ? ? PF1??? ?cos∠PF1QQF1??? ? =F2F1??? ? ? PF1??? ?cos∠PF1F2F2F1??? ? ，化简得 cos∠PF1Q=cos∠PF1F2，即∠PF1Q=∠PF1F2，即 PF1是 ∠QF1F2的平分线，由于 P 4,2? ? ， a=4，可得 P即为 △QF1F2的内心，且半径 r为 2，则 S△F1PQ-S△F2PQ= 12r(QF1-QF2)= 12 ×2×8=8.故答案为： 8.40.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆x2a2+ y2b2 =1 a>b>0? ?上任意一点P x0,y0? ?的切线方程为x0xa2 + y0yb2 =1．若已知△ABC内接于椭圆E：x2a2 + y2b2 =1 a>b>0? ?，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则S△DEFS△ABC =______．【答案】 4【解析】若 A(x1,y1)、 B(x2,y2)、 C(x3,y3)，则 AB,BC,AC的中点 G x1+x22 ,y1+y22? ? 、 H x2+x32 ,y2+y32? ? 、I x1+x32 ,y1+y32? ? ，由 O为 △ABC的重心 ，则 kOG=kOC、 kOH=kOA、 kOI=kOB，所以 y1+y2x1+x2 = y3x3 、 y2+y3x2+x3 = y1x1 、 y1+y3x1+x3 = y2x2 ，可得 x1y3-x3y1=x3y2-x2y3=x2y1-x1y2，
由题设， 过 A,B,C切线分别为 x1xa2 + y1yb2 =1、 x2xa2 + y2yb2 =1、 x3xa2 +y3yb2 =1，所以 D a2(y1-y2)x2y1-x1y2 ,b2(x2-x1)x2y1-x1y2? ? ， E a2(y3-y1)x1y3-x3y1 ,b2(x1-x3)x1y3-x3y1? ? ，F a2(y2-y3)x3y2-x2y3 ,b2(x3-x2)x3y2-x2y3? ? ，所以 a2(y1-y2)x2y1-x1y2 + a2(y3-y1)x1y3-x3y1 + a2(y2-y3)x3y2-x2y3 =0，同理 b2(x2-x1)x2y1-x1y2 +b2(x1-x3)x1y3-x3y1 + b2(x3-x2)x3y2-x2y3 =0，即 △DEF重心也为 O，又 x21a2 + y21b2 =1、 x22a2 + y22b2 =1、 x23a2 + y23b2 =1，可得 y2-y1x2-x1 =-b2(x2+x1)a2(y2+y1) =-b2x3a2y3 、 y3-y1x3-x1 =-b2(x3+x1)a2(y3+y1) =-b2x2a2y2 、 y3-y2x3-x2 =-b2(x3+x2)a2(y3+y2) =-b2x1a2y1 ，所以 kOD=-b2(x2-x1)a2(y2-y1) = -b2a2? ? × -a2y3b2x3? ? = y3x3 =kOC，同理可得 kOE=kOB、 kOF=kOA，所以 D,O,C、 E,O,B、 F,O,A共线，综上， C,B,A分别是 EF,DF,DE的中点，则 S△DEFS△ABC =441.(2022·山东聊城·一模)在矩形ABCD中，E是AB的中点，AD=1,AB=2，将△ADE沿DE折起得到△A?DE，设A?C的中点为M，若将△A?DE绕DE旋转90°，则在此过程中动点M形成的轨迹长度为___________.【答案】 2π8 【解析 】如图，设 AC的中点为 M0， △A?DE绕 DE旋转 90°，此时平面 A?DE⊥平面 ABCD，取 CD中点 P， CE中点 Q， PQ中点 N，连接 PQ,MP,MQ,MN,M0P,M0Q,M0N.MP=M0P= 12AD= 12 ,MQ=M0Q= 12AE= 12 ， PQ= 12DE=22 ， △MPQ和 △M0PQ是等腰直角三角形，且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点 M的轨迹是以 N为圆心，12PQ为半径的一段圆弧 ，又 MP∥A?D,MP?面 A?DE，A?D?面 A?DE， ∴MP∥面 A?DE，同理 MQ∥面 A?DE，又 ∵MP∩MQ=M， ∴面 MPQ∥面 A?DE，又平面 A?DE⊥平面 ABCD，故面 MPQ⊥面 ABCD，又面 MPQ∩面 ABCD=PQ， MN⊥PQ，故 MN⊥面 ABCD，又 M0N?面ABCD， ∴MN⊥M0N，故动点 M形成的轨迹长度为 14 π?PQ= 2π8 .故答案为： 2π8 .42.(2022·全国·高三专题练习)参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学
习，他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e=______.【答案】 79【解析 】以 A为原点建立平面直角坐标系，则 P(0,4)， R(-3,0)，直线PR的方程为 y = 43x+4设 M(n,1),Q(n,0)由 M到直线 PR的距离为 1，得 43n+4-1? ?1+ 43? ? 2 =1，解之得 n=- 72 或n=-1(舍 )则 M - 72 ,1? ? ， Q - 72 ,0? ?又设直线 PN的方程为 y=kx+4由 M到直线 PN的距离为 1，得 - 72k+4-1? ?1+k2 =1，整理得 454 k2-21k+8=0则 k1k2= 3245，又 kPR= 43 ，故 kPN= 815则直线 PN的方程为 y= 815x+4， N -152 ,0? ?故 NQ=- 72 + 152 =4=a+c， RQ=-3+ 72 = 12 =a-c由 a+c=4a-c= 12??? ，解得 a= 94c= 74??? ，故椭圆的离心率 e= ca = 7494 = 79故答案为： 7943.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x24 + y23 =1，F1，F2为其左右焦点，动直线l为此椭圆的切线，右焦点F2关于直线l的对称点P x1,y1? ?，S= 3x1+4y1-24? ?，则S的取值范围为_____________．【答案】 7,47? ?【解析 】因为 c2=4-3=1，所以 c=1，故 F2 1,0? ? ，因为右焦点 F2关于直线 l的对称点 P x1,y1? ? ，设切点为A x0,y0? ? ， 由椭圆的光学性质可得： P， A， F1三点共线，直线 l方程为 x0x4 + y0y3 =1，则点 F2P中点 B在切线方程上 ，其中 B x1+12 ,y12? ? 代入切线方程中， 得：x0 x1+1? ?8 + y0y16 =1①， 由 P， A， F1三点共线可得： kAF
1=kPF1，即 y1x1+1 = y0x0+1 ②， 联立①②可得： x0= 4x1-47-x1 ， y0=3y17-x1 ，因为 A x0,y0? ? 在椭圆方程上， 可得： x024 + y023 =1③， 把x0= 4x1-47-x1 ， y0= 3y17-x1 代入③中， 解得： x1+1? ? 2+y12=16，即点 P x1,y1? ? 的轨迹方程是以 -1,0? ? 为圆心， 半径为 4的圆，
圆心 -1,0? ? 到直线 3x+4y-24=0的距离为 -3-24? ?9+16 = 275 ，则圆上的点到直线 3x+4y-24=0的距离最小值为 275 -4= 75 ，最大值为 275 +4= 475 ，则 S= 3x1+4y1-24? ? ∈ 75 ×5,475 ×5??? ? ? ? ，即 S∈ 7,47? ?故答案为： 7,47? ?44.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x216 + y24 =1的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为k1,k2，满足k1?k2=-2，则直线MN经过的定点为___________．【答案】 -289 ,0? ?【解析 】由题意，椭圆的左顶点为 (-4,0)，设 lOM:y=k1 x+4? ? ,lON:y=k2 x+4? ? ，由 x216 + y24 =1y=k1 x+4? ???? ?xM= 4-16k211+4k21 ，则 yM= 8k11+4k21 ，由 x216 + y24 =1y=k2 x+4? ???? ?xN= 4-16k221+4k22 ,因为 k1k2=-2， 所以 xN= 4-16k221+4k22 = 4k21-64k21+16 ，则 yN= -16k116+k21 ，所以 kMN= yN-yMxN-xM = 18k1 k21+2? ?8 4-k41? ? = 9k14 2-k21? ? ，于是 lMN:y- 8k11+4k21 = 9k14 2-k21? ? x- 4-16k211+4k21? ? ，化简得 ： lMN:y= k12-k21 94x+7? ? ，令 94x+7=0?x=-289 ，所以直线 MN经过 x轴上的定点 -289 ,0? ? .故答案为： -289 ,0? ? .四、双空题45.(2022·全国·高三专题练习(文))祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图①是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图②中的实线图形，两段曲线是椭圆x29 + y2a2 =1的一部分，若瓷凳底面圆的直径为4，高为6，则a2=__________；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为__________【答案】 ???? 815【解析 】第一空：如图以椭圆 x29 + y2a2 =1的中心建立坐标系， 瓷凳底面圆的直径为 4，高为 6，易得图中 A(2,3)，故 49 + 9a2 =1，解得 a2= 815 ；第二空： 如图，图1为 x29 + 5y281 =1旋转形成椭圆球形的一半， 图2为圆柱挖去等底等高圆锥形成的几何体，其底面半径为 3，高和半椭圆球形相等.设 OO1=h，即点 P纵坐标为 h，代入椭圆方程 x29 + 5h281 =1，解得 x2=9-5h29 ，故圆 O1的面积 S1= 9- 5h29? ? π；
圆柱中大圆的半径为 CA=3， 由 CB3 = h95 可得小圆的半径 CB=53 h，故圆环的面积 S2= 9- 5h29? ? π，易得 S1=S2，根据祖暅原理可得图 1半椭圆球形的体积等于图2几何体的体积 .又该瓷凳底面圆的直径为 4，高为 6，即 O1P=2,O1O=3， CB= 5，故体积为 π×32×3- 13 π× 5? ? 2×3=22π，故该瓷凳的体积为 22π×2=44π.故答案为： 815 ； 44π.
|
|
