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平面几何里“翻折”是图形变换的其中之一（轴对称图形）。如果能适当利用，则在求解相应问题时会显得既巧妙又简捷，现在就一道“角格点”的经典问题，通过从三个不同的角度将图形翻折，一起来说说其的求解思路： 【例一】（如图）在△ABC中，∠ABC=20º，∠ACB=50º，其内一点E，连EA、EB、EC，且：∠EAC=40º，∠ECB=30º，求∠EBA的度数  【分析】 （1）已知得：AE⊥BC，设垂足为D（如图），∴∠BAD=70º，∠CED=60º，∠ECA=20º （2）将△ABC沿边BC翻折得△BGC和△BFC，A.E.D.F.G共线，△CEF为正三角形，BE=BF，∠EBC=∠FBC，∠BGE=70º，∠AGC=40º，∠ECG=80º （3）再将△BEG沿BG边翻折得到△BGH，∴BE=BH，GE=GH，∠BGH=∠BGE=70º，得：∠HGC=180º，即：H.G.C三点共线，连EH得：∠HEG=∠EHG=40º/2=20º （4）由上得：∠CEH=20º＋60º=80º=∠ECH，∴HE=HC，从而易证得：△EHF≌△CHF，∴∠EHF=∠CHF=10º （5）由上可得：BE=BF=BH，∴点B为△EFH的外心，得：∠EBF=2∠EHF=20º，∴∠EBC=10º，∴∠EBA=20º－10º=10º 【例二】（如图）△ABC中，AD⊥BC垂足为D，点P在AD上，且满足：∠PBA=∠PBD=10º，∠CAD=40º，求：∠PCD的度数  【分析一】 （1）将△PBC沿BC翻折得△BCE，连DE，则：A.P.D.E共线，∠EBC=10º，∠PCD=∠ECD，由已知可得：∠ACB=50º，∠BAE=70º，∠ABE=30º （2）以BE为边向上作正△BEF，连接FA，由上得：∠FBA=30º=∠EBA，∴AB为EF边的中垂线，∴AE=AF，∠FAB=∠EAB=70º，∴∠FAC=180º，即：F.A.C三点共线 （3）由：∠FBC=30º＋20º=50º=∠ACB，∴FB=FC，∴FB=FE=FC，点F为△BCE的外心，∴∠BCE=60º/2=30º，即：∠PCD=∠BCE=30º 【分析二】（如下图）  （1）将△BCP沿BP边翻折得△BEP（如图），由已知∠ABP=∠CBP，∴点B.A.E共线，连PE、EC，则：∠PEB=∠PCB，BE=BC，BP为边CE的中垂线，交边AC于点M，连ME，∴ME=MC （2）由已知得：∠BAD=70º，∠DPB=80º，∠ACD=50º，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEC=80º，∠MCE=30º=∠MEC，∴∠AME=60º （3）（如图）作∠PAN=60º交ME于点N，则：∠NAE=50º，∵∠NEA=∠ACD=50º，∴NA=NE，∠ANE=80º=∠DPB=∠APM，∴A.P.M.N四点共圆，∴∠APN=∠AMN=60º （4）得：△APN为正三角形，∴NP=NA=NE，∴点N为△APE的外心，∴∠AEP=∠ANP/2=30º，∴∠PCD=30º （5）此题亦可：将△ABP沿BP边翻折 以上三种之分析，“道听度说”供参考。 |
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