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我们曾经提到 Lebesgue 积分是 Riemann积分的推广然而对广义 Riemann积分来说,Riemann 可积性并不意味着 Lebesgue 可积性,这从前面的例子已经看到那么通常意义下的 Riemann 可积性是否意味着 Lebesgue 可积性呢?如果不是,就不能认为 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的自然推广幸运的是,答案是肯定的，即我们有： 若有界函数在闭区间上Riemann可积，则必然Lebesgue 可积，且两者积分相等。 同时可以得到，有界函数在闭区间上Riemann可积的充要条件是其不连续点集为零测集。 另一方面，却存在有 Ｒ 不可积，但却 Ｌ 可积的函数，例如我们已经提到过的 迪利克雷 函数就是 Ｒ 不可积， 但它却是 Ｌ 可积的．但值得注意的是，我们知道 Ｌ 可积是一种绝对收敛积分，而 Ｒ 反常积分不一定绝对收敛， 可见 Ｌ 积分是 Ｒ 积分的推广但却不是 Ｒ 反常积分的推广。
相关文献资料： 勒贝格积分与黎曼积分的关系* 张永立１ ，黄 芳１ ，王学军２ ，范志勇１ （１ 焦作师范高等专科学校 数学学院，河南 焦作 ４６４０００；２ 山西大学 计算机与信息技术学院 ，山西 太原 ０３００００） 摘要：勒贝格积分与黎曼积分作为分析数学的重要工具，它们之间既有区别又有联系．本文通过对勒贝格积分与黎 曼积分的分析比较，指出二者之间的关系，并给出勒贝格可积函数是黎曼可积的条件． 关键词：黎曼积分；勒贝格积分；连续性；可加性；极限定理 中图分类号：Ｏ１７２．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２ －３４６５（２０２０）０１ －００７０ －０４
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