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第1讲 功、功率 机车启动问题
考点一 恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素 (1)作用在物体上的力． (2)物体在力的方向上发生位移． 2．公式W＝Flcos α (1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移． (2)该公式只适用于恒力做功． 3．功的正负 (1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功． (2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功． (3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．( × ) 2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．( √ ) 3．作用力做正功时，反作用力一定做负功．( × ) 4．力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的．( √ )
1．是否做功及做功正负的判断 (1)根据力与位移的方向的夹角判断； (2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功． 2．计算功的方法 (1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算． (2)合外力做的功 方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功． 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功． 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
A．合外力对磁铁做正功 B．AB对磁铁的作用力不做功 C．AB对磁铁的弹力不做功 D．AB对磁铁的摩擦力不做功 答案 B 解析 由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误．
(1)斜面对物体的支持力所做的功； (2)斜面对物体的摩擦力所做的功； (3)物体重力所做的功； (4)合外力对物体所做的功． 答案 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0 解析 物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－G＝0 代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N x＝vt＝20 m (1)斜面对物体的支持力所做的功 WN＝FNxcos θ＝300 J (2)斜面对物体的摩擦力所做的功 Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J (3)物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J (4)合外力对物体做的功 方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0 方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0. 考点二 变力做功的分析和计算求变力做功的五种方法
A. B．2 C. D．4 答案 B 解析 将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·R＝π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为2，故选B.
A．2 m/s B．2 m/s C．5 m/s D．4 m/s 答案 A 解析 根据F－x图像的面积表示功， 则物体从0运动到7 m过程拉力做的功为W＝3×4 J＋×4 J＝40 J，由动能定理得W＝mv2－0，解得v＝2 m/s，故选A.
A. B. C．ρgL2 D．ρgL4 答案 B 解析 设浸入的深度为x，则浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2x，可见浮力与进入水中的位移成正比．由平均值法知克服浮力做的功为W＝×L＝L＝，故选B. 考点三 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比． 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢． 3．公式： (1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢． (2)P＝Fv ①v为平均速度，则P为平均功率． ②v为瞬时速度，则P为瞬时功率． ③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率．( × ) 2．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率．( √ ) 3．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大．( × )
1．平均功率的计算方法 (1)利用＝. (2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，F与的夹角α不变． 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化． (2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
A．48 W 24 W B．24 W 48 W C．24 W 12 W D．12 W 24 W 答案 B 解析 木块所受的合外力 F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N 木块的加速度a＝＝2 m/s2 前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22m＝4 m 所以重力在前2 s内做的功为 W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J 重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W 木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s 2 s末重力的瞬时功率 P＝mgvsinθ＝2×10×4×0.6 W＝48 W， 故选项B正确．
A．第1 s内，F对滑块做的功为3 J B．第2 s内，F对滑块做功的平均功率为4 W C．第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率为1 W D．前3 s内，F对滑块做的总功为零 答案 C 解析 由题图可知，第1 s内，滑块位移为1 m，F对滑块做的功为2 J，A错误；第2 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为4.5 J，平均功率为4.5 W，B错误；第3 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为1.5 J，第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率P＝Fv＝1 W，C正确；前3 s内，F对滑块做的总功为8 J，D错误． 考点四 机车启动问题1．两种启动方式
2.三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝. (2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝<vm＝. (3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
答案 AD 解析 开始时汽车做匀速运动，则F0＝Ff.由P＝Fv可判断，P＝F0v0，v0＝＝，当汽车功率减小一半，即P′＝时，其牵引力为F′＝＝＜Ff，汽车开始做减速运动，F1＝＝，加速度大小为a＝＝－，由此可见，随着汽车速度v减小，其加速度a也减小，即汽车做加速度不断减小的减速运动，最终以v＝做匀速直线运动，故A正确，B错误；同理，可判断出汽车的牵引力由F′＝最终增加到F0，故D正确，C错误．
(1)该汽车的额定功率P； (2)当速度为25 m/s时，汽车加速度大小； (3)汽车在0～t2时间内的位移大小x. 答案 (1)80 kW (2)0.6 m/s2 (3)2 800 m 解析 (1)由题图可知，汽车的最大速度为vm＝40 m/s，汽车达到最大速度时满足F＝Ff＝0.1mg 汽车的额定功率为P＝Fvm＝8×104W＝80 kW (2)当速度为v＝25 m/s时，汽车牵引力为F＝＝3 200 N 由牛顿第二定律得F－Ff＝ma′ 解得a′＝0.6 m/s2 (3)0～t1时间内汽车通过的位移为x1＝t1＝200 m 汽车在t1至t2期间，根据动能定理得P(t2－t1)－Ffx2＝mvm2－mv12 代入数据解得x2＝2 600 m 所以0～t2时间内汽车通过的总位移大小为x＝x1＋x2＝2 800 m. 课时精练
1．(2023·广东惠州一中月考)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止．下列关于做功的判断中正确的是( )
A．图甲中支持力对人做正功 B．图甲中摩擦力对人做负功 C．图乙中支持力对人做正功 D．图乙中摩擦力对人做负功 答案 A 解析 题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误． 2．水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F做的功和平均功率的大小关系是( ) A．W1＝W2，P1>P2 B．W1>W2，P1＝P2 C．W1>W2，P1>P2 D．W1＝W2，P1＝P2 答案 A 解析 根据功的定义，两次水平恒力F做的功相等，即W1＝W2；第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同样大小的力F，第一次的加速度较大，由x＝at2可知，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次需要的时间较短，根据功率的定义，可知第一次的平均功率较大，即P1>P2，选项A正确． 3.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A. B. C. D. 答案 B 解析 在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理 －Ff·2πL＝0－mv02 可得摩擦力的大小Ff＝，故选B. 4．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止向上做匀加速运动，物体速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21 N C．4 s末F的功率为42 W D．0～4 s内F的平均功率为42 W 答案 C 解析 v－t图像的斜率表示物体加速度，由题图乙可知，a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；0～4 s内物体上升的高度h＝at2＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误． 5．(多选)(2022·广东卷·9)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶．已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力．下列说法正确的有( )
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J 答案 ABD 解析 小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W， 代入数据解得F＝40 N，故A正确； 依题意，小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为Ff1＝F＝40 N， 则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J， 则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确； 依题意，从P到Q，重力势能增加量为 ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误； 依题意，小车从P到Q，摩擦力大小为Ff2，有 Ff2＋mgsin 30°＝， 摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ， 联立解得W2＝－700 J， 则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确． 6．(2023·黑龙江佳木斯市高三模拟)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( ) A．(－1)d B．(－1)d C. D.d 答案 B 解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝d＝d，W＝d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d，故A、C、D错误，B正确．
7．(2023·山东烟台市高三检测)一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，汽车先保持牵引力F0不变，当速度为v1时达到额定功率Pe，此后以额定功率继续行驶，最后以最大速度vm匀速行驶．若汽车所受的阻力Ff为恒力，汽车运动过程中的速度为v、加速度为a、牵引力为F、牵引力的功率为P，则下列图像中可能正确的是( )
答案 C 解析 因为汽车先保持牵引力F0不变，由牛顿第二定律可得F0－Ff＝ma，又因为汽车所受的阻力Ff为恒力，所以开始阶段汽车做匀加速直线运动，所以v－t图像开始应有一段倾斜的直线，故A错误；因为当速度为v1时达到额定功率Pe，此后以额定功率继续行驶，则满足Pe＝Fv，即F与v成反比，F与成正比，所以F－v图像中v1～vm段图像应为曲线，F与图像中～段图像应为直线，故B错误，C正确；因为当速度为v1之前，保持牵引力F0不变，则功率满足P＝F0v，即P与v成正比，所以P－v图像中0～v1段图像应为过原点的直线，故D错误． 8.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面．某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，质量相等．不考虑摩擦阻力和空气阻力．对于第①次和第②次提升过程，下列说法正确的有( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5 B．电机的最大牵引力之比为2∶1 C．电机输出的最大功率之比为2∶1 D．电机所做的功之比为4∶5 答案 AC 解析 由题图可得，变速阶段的加速度大小a＝，设第②次所用时间为t2，根据速度－时间图像与时间轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝[t2＋(t2－t0)]×v0，解得：t2＝，所以第①次和第②次矿车上升所用时间之比为2t0∶＝4∶5，选项A正确．由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误．由功率公式，P＝Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确．加速上升过程的加速度a1＝，加速上升过程的牵引力F1＝ma1＋mg＝m(＋g)，减速上升过程的加速度a2＝－，减速上升过程的牵引力F2＝ma2＋mg＝m(g－)，匀速运动过程的牵引力F3＝mg.第①次提升过程做功W1＝F1××t0×v0＋F2××t0×v0＝mgv0t0；第②次提升过程做功W2＝F1××t0×v0＋F3×t0×v0＋F2××t0×v0＝mgv0t0，两次做功相同，选项D错误． 9．(2021·湖南卷·3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是( ) A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变 B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动 C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2－Pt 答案 C 解析 对动车组由牛顿第二定律有F牵－F阻＝ma， 动车组匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而增大，故A错误； 若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误； 若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv， 而以额定功率匀速行驶时，有＝kvm， 联立解得v＝vm，故C正确； 若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm， 由动能定理可知4Pt－W克阻＝mvm2－0， 可得动车组克服阻力做的功为 W克阻＝4Pt－mvm2，故D错误． 10.一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图所示．若汽车的质量为1.2×103kg，阻力恒定，汽车的最大功率恒定，则以下说法正确的是( )
A．汽车的最大功率为5×104W B．汽车匀加速运动阶段的加速度为 m/s2 C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动 D．汽车从静止开始运动12 s内的位移是60 m 答案 A 解析 由图可知，汽车在前4 s内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，4～12 s内汽车的牵引力逐渐减小，则车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到车的速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在4 s末汽车的功率达到最大值；汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力Ff＝2×103N，前4 s内汽车的牵引力为F＝5×103N，由牛顿第二定律F－Ff＝ma可得a＝2.5 m/s2,4 s末汽车的速度v1＝at1＝2.5×4 m/s＝10 m/s，所以汽车的最大功率P＝Fv1＝5×103×10 W＝5×104 W，A正确，B、C错误；汽车在前4 s内的位移x1＝at12＝×2.5×42m＝20 m，汽车的最大速度为vm＝＝ m/s＝25 m/s，汽车在4～12 s内的位移设为x2，根据动能定理可得Pt－Ffx2＝mvm2－mv12，代入数据可得x2＝42.5 m，所以汽车的总位移x＝x1＋x2＝20 m＋42.5 m＝62.5 m，D错误． 11．质量为1.0×103kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求： (1)汽车做匀加速运动的时间； (2)汽车所能达到的最大速率； (3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，汽车从坡底到坡顶所需时间． 答案 (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s 解析 (1)由牛顿第二定律得 F－mgsin 30°－Ff＝ma 设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv v＝at1，解得t1＝7 s. (2)当达到最大速度vm时，加速度为零， 有Fm＝mgsin 30°＋Ff 则有P＝Fmvm＝(mgsin 30°＋Ff)vm 解得vm＝8 m/s. (3)汽车匀加速运动的位移x1＝at12，在后一阶段对汽车由动能定理得 Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝mvm2－mv2 又有x＝x1＋x2，解得t2≈15 s 故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s.
12.一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力恒定，赛车到达终点前已达到最大速度．下列说法中正确的是( )
A．赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动 B．赛车的质量为20 kg C．赛车所受阻力大小为500 N D．赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2 答案 C 解析 由牛顿第二定律有－Ff＝ma，可知赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，将公式整理得＝a＋，可见－a图像的斜率恒定为，与纵轴的截距为，可得＝0.05 s/m，＝ s3/m2，解得m＝25 kg，Ff＝500 N，将v＝5 m/s代入公式，解得a＝60 m/s2，故C正确，A、B、D错误． |
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