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题目1：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上（除B、C外）的任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F。求证:AE=EF。  解题思路：过点F作FG⊥BG（图2），根据一线三垂直模型，只要证明EG=AB=BC即可求证AE=EF。  设BE=x，EC=y，CG=FG=z，AB=x+y，EG=y+z。 易证Rt△ABE∽Rt△EGF（一线三垂直模型），则 AB/EG=BE/FG，（x+y）/（y+z）= x / z，整理后得: yx=yz，因y≠0，则x=z，EG= y+z= y+x= AB， 易证Rt△ABE≌Rt△EGF，AE=EF成立。 附常规几何解法见图3。  题目2：在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且BE=CD。求证AB=AC。  解题思路：设BC=a、AC=b、AB=c，BE=CD=x，则 AE=c-x，AD=b-x。 根据角平分线性质得： AB/BC=AD/DC, c/a=(b-x)/x, x=ab/(a+c); AC/BC=AE/EB, b/a=(c-x)/x, x=ac/(a+b),则 ab/(a+c)= ac/(a+b)，整理后得： （a+b+c）（b-c）= 0，（a+b+c）≠0， b-c=0，b=c， AB=AC成立。 题目3：如图，在等边三角形ABC中，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PQ⊥BC、QR⊥AC、RP⊥AB。求证：△PQR是等边三角形。  解题思路：分别设BQ=b，CR=c，AP=a，根据30°直角三角形性质，将相应边长标于图中。 ∵AB=AC=BC， ∴a+2b=b+2c=c+2a,整理后得： a=b=c，即√3 a=√3 b=√3 c，PR=PQ=QR。 故△PQR是等边三角形。 题目4：在△ABC中，AB=AC，过点C作△ABC外接圆的切线交AB的延长线于点D，过D作DE垂直于AC的延长线于点E。求证BD=2CE。  解题思路：已知AB=AC，根据切割线定理及勾股定理得： BD·DA=DC²=DE²+CE²=（DA²-AE²）+CE² =（BD+AB）²-（AC+CE）²+CE² =BD²+AB²+2BD·AB – AC²-CE²-2AC·CE+CE²， BD·DA = BD² + 2BD·AB - 2AC·CE， BD·DA- BD² = 2BD·AB - 2AC·CE， BD（DA- BD）= 2 AB（BD - CE）， BD·AB= 2 AB（BD - CE）， BD = 2（BD - CE）， BD =2 CE。 题目5：如图，在△ABC中，AD垂直且等于BC，BE垂直AC，垂足分别为D、E，H是AD、BE的交点，M为BC的中点。求证：DH+HM=1/2 BC。  解题思路：设BM=MC=x，MD=y，则 AD=BC=2x，DC=x-y。 易证Rt△BDH∽Rt△ADC，则有 DH/DC=BD/AD， DH/（x-y）=（x+y）/2x， DH=[（x-y）（x+y）] /2x， DH =(x²-y²)/2x， DH ²=(x²-y²)²/4x ²。根据勾股定理有： HM ² =MD ² +DH ² =y ²+(x²-y²)²/4x ²,整理后得： HM=(x²+y²)/2x。 DH+HM=(x²-y²)/2x+(x²+y²)/2x=x。 故DH+HM=1/2 BC成立。 |
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