创新是人的创造性行为,需要对常规思维或已有知识进行再创造,是对知识的广度和深度进行更高的观察和思考,是一个人实现自我发展的基本路径。因此,培养学生的创新能力是数学教学的主要目的。 如,在学习体积单位时,学生对“棱长为1米的正方体的体积就是1立方米,棱长为1分米的正方体的体积就是1立方分米,棱长为1厘米的正方体的体积就是1立方厘米等”体积单位的认识是孤立的,是存有疑问的,必须要与他们的已有知识体系相结合,进行再创造、再融合,实现其知识体系的发展与完善。 在长度测量中,人们规定:光在1/29979245秒内所走的长度,称为“1米”。在此基础上,其它的长度单位也就应运而生了。当人们用“米”作单位去测量较远的距离时,发现测量速度太慢,测量单位太小,于是便尝试用“十米”、“百米”、“千米”等作单位去测量,确实快了许多。但是,用单位“米”去测量不满整米数的物体长度时,遇到了麻烦,必须要用比“米”小的单位才能去测量。于是,人们就把1米的长度等分十份,每一份的长度称为1分米,再把1分米的长度等分十份,每份的长度为1厘米,把1厘米的长度等分十份,每份长度为1毫米等。 人们在一维的长度测量单位基础上,接着怎样去创造二维的平面测量单位呢? 由于已经规定了长度单位“米”,于是人们就据此规定了一个测量面积的标椎单位“平方米”,即边长为1米的正方形面积就是1平方米。按此逻辑进行推理,边长为1分米的正方形面积就是1平方分米,边长为1厘米的正方形面积就是1平方厘米,等。显然,1平方米是由1米乘1米得到的,1平方分米是由1分米乘1分米得到的,等。可见,两个相同的长度单位相乘,可以得到一个测量二维平面的面积单位,并且由此也可以推导出相邻两个面积单位之间的大小关系。如:1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米。 按照这种方法便可以推导出测量三维空间的体积单位。人们先规定了一个标准的体积单位“立方米”,即棱长为1米的正方体的体积就是1立方米,那么棱长为1分米的正方体的体积就是1立方分米,棱长为1厘米的正方体的体积就是1立方厘米等。同样,三个相同的长度单位相乘,便可以得到一个测量三维空间的体积单位,并且由此也可以推导出相邻两个体积单位之间的大小关系。如:1立方米=1米×1米×1米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米。 运用这种结构化的视角,去探索长度单位、面积单位及体积单位之间的产生与联系,不但可以理解单位产生的道理,单位与单位之间的联系,而且还可以起到整合知识体系,使之达到融会贯通的作用,真正实现创新认知、提高解决问题能力的目的。 再如,有一张边长为24厘米的的正方形纸板,从它的四个角上分别剪去一个边长为整厘米数的相同小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒。如果要使做成的纸盒的体积最大,那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米? 读完题后,多数学生是这样思考的:在周长相等的前提下,正方形面积要比长方形面积大。按照这种解题经验,这道题是不是做成正方体无盖纸盒时,体积最大呢?即:24÷3=8cm,8³=512cm³。 这只是一种猜想,正确与否还需要进行验证。 下面他们通过归纳推理进行验证: 我们可以从剪去边长1厘米的小正方形算起,去寻找到答案。 边长为1厘米时:24-1-1=22(厘米),22×22×1=484(立方厘米); 边长为2厘米时:24-2-2=20(厘米),20×20×2=800(立方厘米); 边长为3厘米时:24-3-3=18(厘米),18×18×3=972(立方厘米); 边长为4厘米时:24-4-4-16(厘米),16×16×4=1024(立方厘米); 边长为5厘米时:24-5-5=14(厘米),14×14×5=980(立方厘米); …… 从剪去边长为5厘米的小正方形开始,纸盒体积越来越小。 所以,要使做成的纸盒体积最大,剪去的小正方形的边长应为4厘米。这与我们假设剪去的小正方形的边长应为8厘米,是完全不同的结论,说明猜想是错误的。 这种方法也不失为是一种好的解答方法,那么为什么剪去小正方形的边长应为4厘米时,做成的纸盒体积才最大呢?其中有什么道理吗?提出质疑,激发创新。 不妨假设正方形纸片的四角分别剪去一个边长为X厘米的小正方形,则折成长方体体积=(24-2X)(24-2X)X 这是三个数的乘积,要使积最大,就要让这三个数最接近或等于他们的平均值。但是,(24-2X)、(24-2X)、X三个数的和未知,无法找到他们的平均值。所以就要对(24-2X)(24-2X)X进行变形,与已知条件“24”取得联系。 (24-2X)(24-2X)X =2(12-X)2(12-X)X =2(12-X)(12-X)2X 因为因数“2”是定值,只要(12-x)(12-x)2x乘积最大,长方体体积就最大。 又因为(12-X)+(12-X)+2X=24,要想乘积最大,可以使12-X=12-X=2X,所以12-X=2X=8,即X=4。 则(24-2X)(24-2X)X =(24-2×4)×(24-2×4)×4 =256×4 =1024(立方厘米) 所以剪去小正方形的边长应为4厘米时,做成的纸盒体积才最大。 虽然从归纳推理的角度可以解决这个问题,但是并不明白“剪去小正方形的边长应为4厘米时,做成的纸盒体积最大”的理由。如果用字母去表示数,得到纸盒体积的表达式,转化为乘积最值问题进行解答,不但能解决问题而且可以说出小正方形边长为4cm的道理,真正做到“不但知其然,而且知其所以然”。能从这样的高度去分析问题、解决问题,对创新思维能力的发展也是大有裨益的。 亚里士多德曾经说过:思维从疑问和惊奇开始。培养学生质疑能力的方法很多,关键在于引导学生主动参与学习的全过程,让他们对所学知识感到有疑问可想、有疑问可提、有疑问可议,并进行有针对性的训练以不断提高质疑的能力。待学生学会了质疑之后,再去培养创新精神与创造能力也就落到了实处。
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