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我们在第一次接触数学分析的时候，拼死拼活地学习黎曼积分，历经九九八十一难，掌握它地各种性质，等我们接触实变函数的时候，又被告知，不好意思，勒贝格的更加广泛，性质也更加优越。你不如重新学习一下。
但是对于为什么这个积分更优越，书上却只字未提，我记得我在学习这部分内容的时候，有一种问候它全家的亲切感。
我试着说服自己，有一种常见的说服我的手段就是黎曼积分处理不了像是黎曼函数这样一类在无理点处处不连续的函数，它是黎曼不可积的。可是我一直认为这并不算黎曼积分一个真正的失败，我们之所以处理不了，究其原因是因为它太糟糕了，不值得处理。
事实上是有一个更重要的理由说服我的。那就是在黎曼积分的意义下，我们并不能使我们的空间完备。所谓的完备性，就是指空间里面的柯西列会收敛。这里可以参考柯西列。
完全可以举出实例来说明，例如连续的实值函数空间C[a,b],配备黎曼积分下定义的内积，由这个内积可以自然诱导一个距离。
但是这个距离空间并不是完备的，当然不仅仅是连续函数形成的空间，我们甚至可以考虑更一般的所有黎曼可积函数形成的空间，仍然可以证明不是完备的。 这实际上是偏微分方程研究的大问题，特别是对拉普拉斯或者泊松方程，如果你对这类问题感兴趣，你可以阅读狄利克雷问题的历史，会对你有所帮助的。 魏尔斯特拉斯首先指出，空间缺乏完备性导致前面数学家的处理是不严谨的，而这个问题在20世纪，由希尔伯特终结，即所谓的索博列夫空间。 但是这些并没有消除我们对黎曼积分的担忧。我们都知道黎曼积分在逐点收敛点情况下表现的很差，即如果我们有一列黎曼可积的函数，但其极限函数却不一定可积。好在勒贝格积分克服了这样的缺点。我们通过三个著名的收敛定理，单调收敛定理，法图引理，和控制收敛定理，弥补了这样的缺陷，有了各种完备的空间，如lp空间等等。 勒贝格积分（关于勒贝格测度）是黎曼积分的严格推广。所以，黎曼积分能做的任何事情，勒贝格都能做到，甚至更多。这是勒贝格积分相对于黎曼积分的主要好处。
现在，在得出勒贝格积分和测度的概念之后，人们可以说，嘿，勒贝格测度的概念显然可以从更抽象的角度进行研究。与其过多地关注积分（分配给每个合适函数的线性映射），不如关注度量本身。这也是一个很自然的想法，这给了我们抽象测度理论。我们只是以一些基本的原始概念作为我们的起点（一个集合，一个西格玛代数，这样我们就可以方便地玩弄这些集合，以及一个度量，我们就可以为这些集合分配数字）。
一旦引入测度理论，我们感兴趣的各种自然事物就可以更正式、更精确、更系统、更普遍地研究。一个最明显的实例就是整个现代概率都建立在这个基础上，从而有样本空间、概率测度等等。 到这里我们就可以进行总结了，首先使用勒贝格积分定义为我们提供了大量巴拿赫空间的（完备空间）的例子，其次，许多实际问题可以在巴拿赫空间背景下重新表述，而在巴拿赫空间中，我们有着许多强大定理能够使用。 而且，与许多人可能说的相反，勒贝格积分可能会容易一些对于 Lebesgue，你采用简单的函数，以明显的方式定义它们的积分，然后通过采用适当的限制，拓展定义到更广泛的函数类。对于黎曼/达布积分：划分区间，考虑上/下/黎曼和，然后取一个合适的极限（上确界和或下和下确界）。所以严格地谈论黎曼积分，那么就必须引入ε，δ，sup，inf等等，所以在这方面黎曼积分也不是看起来那么容易。
勒贝格积分在实线上的主要技术难点是在于证明勒贝格测度的存在（或者更一般地说，它是在卡拉西奥多里的扩展定理卡拉西奥多扩张定理中）。正是这种技术性（以及它的巨大普遍性）阻止了我们首先引入勒贝格积分。 勒贝格积分（以及伴随的测度论）在每个数学方面都优于黎曼积分;唯一阻碍它的是学生通常还没有准备好。人们必须明白，作为微积分一年级的学生，他们还没有成熟到足以理解一般度量和完整性的必要性，一些学生甚至不理解黎曼积分，这也是为什么我们至今仍就先学习黎曼积分的理由。
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