【原】四元数与向量分析(三)：用四元数定义的向量运算及其几何意义

    很多量既有大小又有方向，比如速度、位移、加速度，这样的量叫作向量。向量可以用有向线段表示(四元数与向量分析(二))。比如从点A到B的有线段表示的向量可记作

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当不需要强调起点和终点时也可以用一个小写字母表示，比如

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有向线段也可以看作向量的几何意义，在几何上通常画一个箭头来表示，其长度表示向量的大小，也叫向量的模，方向就表示向量的方向。

    对于三维向量(后文提到的向量都是三维向量，不再强调)，将表示向量的有向线段置于三维空间直角坐标系xyz(不妨取右手系，即x,y,z轴正方向满足右手定则)中，它在各个坐标轴上的投影(或者将有向线段起点平移到原点时终点的坐标)定义为向量的坐标，因此向量也可以用坐标表示。比如

要是将向量的坐标看作实部为零的四元数的三个虚部(虚单位i,j,k前的系数)，那么四元数就可以表示空间向量(四元数与向量分析)，比如

为了方便，后面就不再区分向量和表示向量的有向线段、坐标、四元数，都简称向量。

    既然向量可以用实部为零四元数表示，同样的，也可以按照四元数的加(减)法定义向量的加(减)法，即各虚部分别对应相加，用坐标表示的话就是向量的三个坐标分别相加，即

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此时，i,j,k也可以沿看作x,y,z轴正方向的单位向量。向量加法用坐标表示为

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可以证明，这样定义出来的向量加法在向量的几何表示下符合平行四边形法则(下图所示)

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或三角形法则(下图所示)

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向量减法可以看作加法的逆运算，或者根据

下式计算

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其中-b与b大小相等方向相反。

    还可以根据四元数的运算定义向量的内积(也叫点积或数量积)和外积(也叫叉积或向量积)运算(四元数与向量分析)

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内积和外积运算分别满足交换律和反交换律，即

    两个向量的内积为一标量

等于两向量四元数乘积实部的相反数(四元数与向量分析)。用余弦定理可以证明

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其中"| |"表示取向量的模，θ表示两向量之间的夹角。因此，

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分别表示向量a在b上的投影和向量b在a上的投影。因此a,b两向量的内积的几何意义是其中一个向量在另一个向量上的投影与另一个向量的模之积。当两向量相互垂直时，其内积为零。

    两个向量的外积为一向量

外积等于两向量四元数乘积的虚部(四元数与向量分析)。可以证明，其方向与a,b都垂直(用四元数运算证明外积与a,b的内积均为零即可)，其模等于向量a,b移到共同起点时所张成的平行四边形的面积，方向与a,b之间满足右手定则(四指由a开始，指向b，拇指的指向就是a×b的方向，垂直于a和b所在的平面)

    此外，还可以定义向量的标量三重积(混合积)

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或记为

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和向量三重积

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    标量三重积是一个标量，大小等于将三个向量移动到共同起点时所张成的平行六面体的体积，当a,b,c满足右手定则时，其符号为正，满足左手定则时符号为负，三向量共面时标量三重积为零。

    向量三重积还是一个向量，它垂直于

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因此跟向量a,b(平移到平移到共同起点后)共面，从而可以分解为向量a,b的线性组合：

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上式也叫拉格朗日恒等式。向量三重积通常不满足结合律。