【原】微分中值定理

    可微函数具有一些很好的性质，其中比较重要的就是可以根据函数的局部性质来推断区间(区域)上的整体性质，而微分中值定理就是能达到这一目的重要工具。这使得微分中值定理无论是在微积分的理论研究，还是在数学建模、数值计算等方面都有重要的应用。微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。

罗尔定理

若函数f满足如下条件：

（1）f在闭区间[a, b]上连续；

（2）f在开区间(a, b)上可导；

（3）f(a)=f(b)，

则在(a, b)上至少存在一点ξ，使得

罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一条连续曲线上，如果曲线两端点的高度相等，那么曲线上至少存在一条水平切线。

拉格朗日中值定理

若函数f满足如下条件：

（1）f在闭区间[a, b]上连续；

（2）f在开区间(a, b)上可导；

则在(a, b)上至少存在一点ξ，使得

显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)时的特殊情形。拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。

柯西中值定理

若函数f和g满足如下条件：

（1）在闭区间[a, b]上连续；

（2）在开区间(a, b)上可导；

（3）

不同时为零；

（4）

则在(a, b)上至少存在一点ξ，使得

显然，拉格朗日中值定理是是柯西中值定理在在g(x)=x时的特殊情形。柯西中值定理的几何意义是：在满足定理条件时，对于参数方程

在uOv直角坐标平面上确定的曲线，在a<x<b的曲线上至少存在一点使得该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。

泰勒中值定理

若函数f在[a, b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a, b)上存在(n+1)阶导函数，则对于任意给定的

至少存在一点

使得

上式等号右边最后一项叫做拉格朗日型余项，因此上式也叫带有拉格朗日型余项的泰勒公式。显然，拉格朗日中值定理是泰勒中值定理在n=0时的特殊情形。

    罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，三者主要用于定理的证明等理论研究和模型建立等。而泰勒中值定理除了有上述用途外，还在数值计算中有重要应用，并且可以根据它推导出带有佩亚诺型余项的泰勒公式，后者广泛用于求极限。此外泰勒中值定理还是将函数展开成幂级数的一般方法，而幂级数又是求解微分方程和证明某些定理(用幂级数证明欧拉公式)的重要工具。对于微分中值定理的具体应用，后面将适时介绍。