【原】留数与留数定理

留数

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为f(z)在点z₀处的留数，记作Res[f(z),z₀],即

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从而有

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上式说明，函数f(z)在点z₀的留数就是f(z)在以z₀为中心的去心邻域0＜|z-z₀|＜δ内展开的洛朗级数中(z-z₀)-1项的系数c_-1。

留数定理

若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析，在C的内部除有限个孤立奇点z₁,z₂,…,z_n外处处解析，则有

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根据复合闭路定理很容易证明留数定理。

    留数定理表明解析函数的积分可以转化为求奇点处的留数。而留数又是洛朗级数-1次项的系数。因此只要能通过其他方法将函数展开为洛朗级数，便可以进一步求积分。将函数展开为洛朗级数有很多间接方法，比如通过将所求函数拆分为易于求洛朗级数的函数的乘积。对于特殊的奇点，也有简便的计算留数的方法。由于很多实函数的定积分都可以转化为复变函数在特定封闭曲线上的积分，留数定理也适用于求某些难以直接在实数域上求解的定积分。