如图.在△ABC中.∠B=60°.AD.CE分别是∠BAC.∠BCA的平分线.AD.CE相交于点F．(1)请你判断FE和FD之间的数量关系.并说明理由,(2)求证:AE CD=AC． 题目和参考...

分析 （1）先证出∠CAF+∠ACF=60°，得出∠DFE=∠AFC=120°，证出∠ABC+∠DFE=180°，证出B、E、F、D四点共圆，得出ˆFE=ˆFD$\widehat{FE}=\widehat{FD}$，即可得出FE=FD；
（2）在AC上截取AG=AE，连接GF，先证明△AGF≌△AEF，得出FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，再证明△CFG≌△CFD，得出CG=CD，即可得出结论．

解答 （1）解：FE=FD；理由如下：连接BF，如图所示：
∵∠ABC=60°，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠CAF=12$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ACF=12$\frac{1}{2}$∠BCA，BF平分∠ABC，
∴∠CAF+∠ACF=12$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=60°，∠ABF=∠CBF，
∴∠DFE=∠AFC=120°，∠DFC=∠AFE=60°，
∴∠ABC+∠DFE=180°，
∴B、E、F、D四点共圆，
∴ˆFE=ˆFD$\widehat{FE}=\widehat{FD}$，
∴FE=FD；
（2）证明：在AC上截取AG=AE，连接GF，如图所示：
在△AGF和△AEF中，
⎧⎪⎨⎪⎩AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF$\{\begin{array}{ll}AG=AE& \\ \angle GAF=\angle EAF& \\ AF=AF& \end{array}$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，
∴FG=FD，∠GFC=120°-60°=60°，
在△CFG和△CFD中，
⎧⎪⎨⎪⎩FG=∠FD∠GFC=∠DFC=60°FC=FC$\{\begin{array}{ll}FG=\angle FD& \\ \angle GFC=\angle DFC=60°& \\ FC=FC& \end{array}$，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴CG=CD，
∴AE+CD=AG+CG=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、四点共圆、角平分线的定义、三角形内角和定理、圆周角定理；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明四点共圆和三角形全等才能得出结论．