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那天看到老朋友发了这么个题：
自己动了一下笔，觉得真是个好题，打算讲讲。 题目的意思是函数y=x^6-10x^5+29x^4-4x^3+ax^2的图像除了和y=bx+c在三个点相交以外，其余都位于直线的上方，求三个交点中的x的最大值。 为什么说这是个好题？因为对初中各个年级都有借鉴意义。 初三的同学可以从头开始看。六次函数显然是没有接触过的，但是这又是个初中的题，所以一定是化归。注意看，六次函数的图像除了三个点以外都在直线上方，意味着什么？ 想一想，仔细想一想。 六次的不会，二次的会不会？二次函数的图像（抛物线）始终在一条直线上方是什么情况？
不就是这样嘛！这意味着二次函数和直线的表达式联立之后得到的方程没有实根。但是注意到题目中说到六次函数的图像和直线仅仅有三个交点，而且整体在直线上方，对于二次函数和直线来说，什么情况最类似呢？ 相切！即直线和抛物线相切，此时有且仅有一个交点，并且抛物线在直线上方。换句话说，此时题目转化为x^6-10x^5+29x^4-4x^3+ax^2=bx+c这个方程有且仅有三个根，并且x^6-10x^5+29x^4-4x^3+ax^2≥bx+c恒成立。 然而有意思的是，题目只问你最大根是多少，但是对a,b,c的值只字不提——这意味着a,b,c的值可能不是那么重要（这个需要后面的解题过程来验证）。那么六次方程为什么恰好有三个根呢？合理的解释的就是这个六次方程可以写成一个三次多项式的完全平方，而这个三次多项式恰好有三个根。 你看，我们没接触过六次函数，但是对二次函数和一元二次方程相对比较熟悉，现在就是不断通过化归的思想把原题变成了一个二次方程相关的问题。 那么这个三次多项式应该是什么样的呢？注意到这个六次多项式已经有了四项的系数，所以用待定系数法是不是很自然的一件事？ 我们不妨设x^6-10x^5+29x^4-4x^3+ax^2-bx-c=(x^3+px^2+qx+r)^2=0，这时候只要对比两边系数（事实上只要对比前四项即可），很容易解得p=-5,q=2,r=8，于是x^6-10x^5+29x^4-4x^3+ax^2-bx-c=(x^3+px^2+qx+r)^2=0=(x^3-5x^2+2x+8)^2，解得x=-1,2和4，即选A。 题目做完，同时验证了我们之前的判断也是对的，即a,b,c三个参数的值对解题没有任何影响。这个题目把函数的图像、方程的根、待定系数法、因式分解考了个遍，也就是我们所谓的综合题了。 作为初三的学生，理论上整个过程都可以解决——当然，理论上。作为初一学生的家长，可以把前面函数部分可以略去，对题目做改编如下： 已知一元六次方程x^6-10x^5+29x^4-4x^3+ax^2=bx+c有且仅有三个二重根，求最大的二重根是多少？ 这种好题做一个，真是比机械地练二十个普通题效果要好得多的多——前提是要讲透、吃透。 |
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