【原】【2021新乡市九上期末23】【旋转】【倍长中线】

1

试题内容

【2021新乡市九上期末23】(11分)

如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边CA的延长线上,点E在边AB上,AD=AE,点M是BE的中点.

(1)观察猜想

线段AM与CD的数量关系是     ；

(2)类比探究

把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接AM,CD,判断线段AM和CD的数量关系,并说明理由；

(3)拓展延伸

将△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,∠ADC=90°,请直接写出线段DM的长.   

2

旋转法

第一问

旋转+等量代换

将线段AD绕点A顺时针旋转90°至线段AN，

由题意得：

AD=AE=AN，AB=AC，MB=ME，

∴CD=AC+AD=AB+AN

=MB+ME+AE+AN

=2ME+2AE=2AM，

∴AM=(1/2)CD.

第二问

第一问的类比迁移，旋转+中位线

将△ADC绕点A顺时针旋转90°至△ANB，

∴∠DAN=90°，AD=AN，CD=BN，

∵∠DAE=90°，AD=AE，

∴N、A、E三点共线，AN=AE，

∴点A是NE的中点，

∵点M是BE的中点，

∴AM是△ENB的中位线，

∴AM=(1/2)BN，

∴AM=(1/2)CD.

第三问

第一、二问的类比迁移，旋转+中位线

以点A为圆心，1/3AB的长为半径画圆；以AC为直径画圆；两圆交于D1，D2两点.

分类讨论

第一种情况：

根据题意补全图形(如左图)，

将△ADC绕点A顺时针旋转90°至△ANB(如右图)，

∴∠ADC=∠ANB=90°，

与(2)同理，可证：

AM是△ENB的中位线，

∴AM∥BN，

∴∠EAM=90°，

∵∠EAD=90°，

∴A、D、M三点共线，

在直角三角形ADC中，

根据勾股定理求得:CD=2√2，

∴AM=(1/2)CD=√2，

∴DM=AM-AD=√2-1；

第二种情况：

根据题意补全图形(如左图)，

将△ADC绕点A顺时针旋转90°至△ANB(如右图)，

∴∠ADC=∠ANB=90°，

与(2)同理，可证：

AM是△ENB的中位线，

∴AM∥BN，

∴∠EAM=90°，

∵∠EAD=90°，

∴A、D、M三点共线，

在直角三角形ADC中，

根据勾股定理求得:CD=2√2，

∴AM=(1/2)CD=√2，

∴DM=AM+AD=√2+1；

综上所述：线段DM的长为：√2-1或√2+1.

3

倍长中线法

第一问

倍长中线+等量代换

延长线段AM至点N，使MN=AM，

由题意得：

AD=AE，AB=AC，MB=ME，

∴BN=MN-MB=AM-ME=AE=AD，

∴CD=AC+AD=AB+BN=AN，

∵AM=(1/2)AN，

∴AM=(1/2)CD.

第二问

第一问的类比迁移，倍长中线+全等三角形

延长线段AM至点N，使MN=AM，连接BN、EN，

∵BE和AN互相平分，

∴四边形ABNE是平行四边形，

∴EN=AB=AC，EN∥AB

∵∠BAC=90°，

∴∠EOA=90°，

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

在△ADC和△EAN中，

AD=AE，∠1=∠2，AC=EN，

∴△ADC≅△EAN，

∴CD=AN，

∵AM=(1/2)AN，

∴AM=(1/2)CD.

第三问

第一、二问的类比迁移，倍长中线+全等三角形

以点A为圆心，1/3AB的长为半径画圆；以AC为直径画圆；两圆交于D1，D2两点.

分类讨论

第一种情况：

根据题意补全图形(如左图)，

延长线段AM至点N，使MN=AM，连接BN、EN，

与(2)同理，可证：

△ADC≅△EAN，

∴∠EAM=∠ADC=90°，

∵∠EAD=90°，

∴A、D、M三点共线，

在直角三角形ADC中，

根据勾股定理求得:CD=2√2，

∴AM=(1/2)CD=√2，

∴DM=AM-AD=√2-1；

第二种情况：

根据题意补全图形(如左图)，

延长线段AM至点N，使MN=AM，连接BN、EN，

与(2)同理，可证：

△ADC≅△EAN，

∴∠EAM=∠ADC=90°，

∵∠EAD=90°，

∴A、D、M三点共线，

在直角三角形ADC中，

根据勾股定理求得:CD=2√2，

∴AM=(1/2)CD=√2，

∴DM=AM+AD=√2+1；

综上所述：线段DM的长为：√2-1或√2+1.

————  e n d ————