【原】【2021中考模拟23】【手拉手相似】【特殊多边形】

中

考

2021

备考

难度系数

★★★★★

试题内容

如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,将边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α.过点D作DF⊥BC于点F,过点B作BE⊥直线B'D于点E,连接EF.

【探索发现】

(1)填空:当α=60°时,∠EBB'=     °,(EF/DB')的值是     ;

【验证猜想】

(2)当0°<α<360°时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图2的情形进行证明;若不成立,请说明理由;

【拓展应用】

(3)在(2)的条件下,若AB=2√(2),当△BDE是等腰直角三角形时,请直接写出线段EF的长.

解法分析

第一问

特殊情况→探索发现

连接BD，

当α=60°时，点B'与点C重合，

点D、C、E三点共线，

∴∠ECB=180°-∠DCB=60°，

∵BE⊥直线B'D于点E，

∴∠EBB'=30°，

易证△B'EB和△DFB都是含30°的直角三角形，

∴(EB/B'B)=(FB/DB)=(√3)/2，

易证△EBF∼△B'BD，

∴(EF/DB')=(EB/B'B)=(√3)/2.

第二问

一般情况→猜想验证

连接BD，由题意得：

∠BAB'=α，∠DAB'=120°-α，

AB=AB'=AD，

∴∠1=(180°-120°+α)/2=30°+(α/2)，

∠2=(180°-α)/2=90°-(α/2)，

∴∠3=180°-∠1-∠2=60°，

∵BE⊥直线B'D于点E，

∴∠EBB'=30°，

∴(EB/B'B)=(√3)/2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠FBD=(1/2)∠ABC=(1/2)(180°-∠BAD)=30°，

∵DF⊥BC于点F，

∴(FB/DB)=(√3)/2，

∵∠EBB'+∠B'BF=∠FBD+∠B'BF，

∴∠EBF=∠B'BD，

又∵(EB/B'B)=(FB/DB)，

∴△EBF∼△B'BD，

∴(EF/DB')=(EB/B'B)=(√3)/2.

第三问

特殊情况→拓展应用

作图部分：

①以BD为直径作圆O，

②过点O作BD的垂线交圆O于点E1、E2，

③以点A为圆心，AB长为半径作圆A，

④作直线DE1交圆A于点B'1，作直线DE2交圆A于点B'2；

如左图：

连接BE1，BB'1，

易得：BD=(√3)AB=2(√6)，

∴BE1=DE1=2(√3)，

∵∠E1BB'1=30°，

∴E1B'1=2，

∴DB'1=DE1-E1B'1=2(√3)-2，

∴E1F=DB'1×[(√3)/2]=3-(√3).

如右图：

连接BE2，BB'2，

易得：BD=(√3)AB=2(√6)，

∴BE2=DE2=2(√3)，

∵∠E2BB'2=30°，

∴E2B'2=2，

∴DB'2=DE2+E2B'2=2(√3)+2，

∴E2F=DB'2×[(√3)/2]=3+(√3).

∴EF的长为3-(√3)或3+(√3).

END