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中 考 2021 备考 难度系数   ★★★★☆  郑州二模10 如图,△ABC中,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,过点F作FN⊥CA,交CA的延长线于点N,连接FB,交DE于点P,给出以下结论: ①CN=FN+CD; ②∠ADC=∠ABF; ③四边形CBFN为矩形; ④∠AFB+∠FAB=135°; ⑤EF2=FP·BC,其中正确结论的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5
解法分析
根据同角的余角相等证明∠NAF=∠CDA， 根据AAS证明△NAF≅△CDA， 根据等量代换证明CN=FN+CD.
易证NF=CB，NF∥CB，∠C=90°， 证明四边形CBFN是矩形， 求得∠ABF=45°， ∴∠AFB+∠FAB=180°-∠ABF=135°， 根据三角形外角的性质证明∠ADC>∠ABD=45°， ∴∠ADC>∠ABF.
根据等量代换，将EF2=FP·BC转化为EF·AF=FP·FN. 简要证明： 根据等式性质1证明∠1=∠2， 根据两组对应角相等的两个三角形相似证明△NAF∼△EPF， ∴(AF/FP)=(FN/EF)， ∴EF·AF=FP·FN， 进而证明EF2=FP·BC. 综上所述：①③④⑤正确，②错误，此题选C. 平顶山二模15 如图,在矩形ABCD中,AD=√(2),AB=2,∠DAB的角平分线交边DC于点E,BG⊥AE于点G,连结DG并延长分别交BE、BG于点H、F.给出下列结论: ①AD=DE; ②△BEG≌△BEC; ③2GH=BE; ④CF=2(√2)-1. 其中正确的有 .
 解法分析
易证：三角形DAE是等腰直角三角形， ∴AD=DE.
易证：三角形AGB是等腰直角三角形， ∴BG=AB/(√2)=(√2)=BC， 根据HL可证明△BEG≌△BEC.
易证：AG=AD=(√2)，AB=AE=2， ∴∠1=∠2+∠3=67.5°，∠4=∠5=67.5°， ∴∠1=∠5， ∴EH=GH， ∵∠2=45°， ∴∠3=22.5°， ∵BG⊥AE于点G， ∴∠5+∠6=90°， ∴∠6=22.5°， ∴∠3=∠6， ∴BH=GH， ∴2GH=BE.
易求得：∠7=22.5°，∠8=22.5°， 在Rt△BCE中，EC=2-(√2)，BC=(√2)， ∴tan∠8=(√2)-1， 在Rt△DCF中，DC=2， tan∠7=tan∠8=CF/DC， ∴CF=2×[(√2)-1]=2(√2)-2. 综上所述：①②③正确. END |
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