2021 年 湖 南 娄 底 中 考 数 学 试 题 及 答 案一 、 选 择 题 ( 本 大 题 共 12小 题 , 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求的 , 请 把 你 认 为 符 合 题 目 要 求 的 选 项 填 涂 在 答 题 卡 上 相 应 题 号 下 的 方 框 里 )1. 2021的 倒 数 是 ( )A. 2021 B. - 2021 C. 12021 D.12021?【 答 案 】 C2. 下 列 式 子 正 确 的 是 ( )
A. 3 2a a a? ? B. ? ?32 6a a? C. 3 2 6a a a? ? D.? ?32 5a a?【 答 案 】 B3. 2021年 5 月 19 日 , 第 三 届 阿 里 数 学 竞 赛 预 选 赛 顺 利 结 束 , 本 届 大 赛 在 全 球 范 围 内 吸 引了 约 5万 名 数 学 爱 好 者 参 加 . 阿 里 数 学 竞 赛 旨 在 全 球 范 围 内 引 领 开 启 关 注 数 学 、 理 解 数 学 、欣 赏 数 学 、 助 力 数 学 的 科 学 风 尚 . 5 万 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A. 50.5 10? B. 45 10? C. 450 10? D. 55 10?【 答 案 】 B
4. 一 组 数 据 17,10,5,8,5,15的 中 位 数 和 众 数 是 ( )A. 5,5 B. 8,5 C. 9,5 D. 10,5【 答 案 】 C5. 如 图 , 点 ,E F 在 矩 形 ABCD的 对 角 线 BD所 在 的 直 线 上 , BE DF? , 则 四 边 形 AECF是 ( )
A. 平 行 四 边 形 B. 矩 形 C. 菱 形 D. 正 方 形【 答 案 】 A6. 如 图 , //AB CD, 点 ,E F 在 AC边 上 , 已 知 70 , 130CED BFC? ? ? ? ? ?, 则B D? ?? 的 度 数 为 ( )
A. 40? B. 50? C. 60? D. 70?【 答 案 】 C7. 从 背 面 朝 上 的 分 别 画 有 等 腰 三 角 形 、 平 行 四 边 形 、 矩 形 、 圆 的 四 张 形 状 、 大 小 相 同 的 卡片 中 , 随 机 抽 取 一 张 , 则 所 抽 得 的 图 形 既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 的 概 率 为 ( )A. 14 B. 12 C. 34 D. 1【 答 案 】 B8. 2,5,m是 某 三 角 形 三 边 的 长 , 则 2 2( 3) ( 7)m m? ? ? 等 于 ( )A. 2 10m? B. 10 2m? C. 10 D. 4
【 答 案 】 D9. 如 图 , 直 线 y x b? ? 和 4y kx? ? 与 x 轴 分 别 相 交 于 点 ( 4,0)A ? , 点 (2,0)B , 则04 0x bkx? ??? ? ?? 解 集 为 ( )
A. 4 2x? ? ? B. 4x?? C. 2x? D. 4x??
或 2x?【 答 案 】 A10. 如 图 , 直 角 坐 标 系 中 , 以 5为 半 径 的 动 圆 的 圆 心 A沿 x轴 移 动 , 当 ⊙ A与 直 线 5: 12l y x?只 有 一 个 公 共 点 时 , 点 A的 坐 标 为 ( )
A. ( 12,0)? B. ( 13,0)? C. ( 12,0)? D.( 13,0)?【 答 案 】 D11. 根 据 反 比 例 函 数 的 性 质 、 联 系 化 学 学 科 中 的 溶 质 质 量 分 数 的 求 法 以 及 生 活 体 验 等 , 判 定下 列 有 关 函 数 xy a x? ? ( a为 常 数 且 0, 0a x? ? ) 的 性 质 表 述 中 , 正 确 的 是 ( )① y 随 x 的 增 大 而 增 大 ; ② y 随 x 的 增 大 而 减 小 ; ③ 0 1y? ? ; ④ 0 1y? ?A. ① ③ B. ① ④ C. ② ③ D. ② ④
【 答 案 】 A12. 用 数 形 结 合 等 思 想 方 法 确 定 二 次 函 数 2 2y x? ? 的 图 象 与 反 比 例 函 数 2y x? 的 图 象 的交 点 的 横 坐 标 0x 所 在 的 范 围 是 ( )A. 0 10 4x? ? B. 01 14 2x? ? C. 01 32 4x? ? D.03 14 x? ?
【 答 案 】 D二 、 填 空 题 ( 本 大 题 共 6 小 题 )13. 函 数 1y x? ? 中 , 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 __________.【 答 案 】 1?x14. 如 图 所 示 的 扇 形 中 , 已 知 ?20, 30, 40OA AC AB? ? ? , 则 ?CD?________.
【 答 案 】 100.15. 如 图 , ABC? 中 , 2,AB AC P? ? 是 BC上 任 意 一 点 , PE AB? 于 点 ,E PF AC?于 点 F, 若 1ABCS ?△ , 则 PE PF? ?________.
【 答 案 】 116. 已 知 2 3 1 0t t? ? ? , 则 1t t? ?________.【 答 案 】 3.17. 高 速 公 路 上 有 一 种 标 线 叫 纵 向 减 速 标 线 , 外 号 叫 鱼 骨 线 , 作 用 是 为 了 提 醒 驾 驶 员 在 开 车时 减 速 慢 行 . 如 图 , 用 平 行 四 边 形 ABCD表 示 一 个 “ 鱼 骨 ” , AB平 行 于 车 辆 前 行 方 向 ,,BE AB CBE ?? ? ? , 过 B 作 AD的 垂 线 , 垂 足 为 A? ( A 点 的 视 觉 错 觉 点 ) , 若
sin 0.05, 300mmAB? ? ? , 则 AA??________mm.
【 答 案 】 15.18. 弧 度 是 表 示 角 度 大 小 的 一 种 单 位 , 圆 心 角 所 对 的 弧 长 和 半 径 相 等 时 , 这 个 角 就 是 1 弧 度角 , 记 作 1rad. 已 知 1rad, 60? ?? ? ?, 则 ? 与 ? 的 大 小 关 系 是 ? ________? .
【 答 案 】 ?三 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 2 小 题 )19. 计 算 : 10 1 1( 2021 ) 2cos4522 1? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? .【 答 案 】 2【 详 解 】 解 : 10 1 1( 2021 ) 2cos4522 1? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?
2 1 21 2 2 2( 2 1)( 2 1)?? ? ? ? ?? ?1 2 1 2 2? ? ? ? ?2? .20. 先 化 简 , 再 求 值 : 23 2 1011 9x xx x? ?? ?? ?? ?? ?? ?, 其 中 x 是 1,2,3中 的 一 个 合 适 的 数 .【 答 案 】 13xx?? , 15.【 详 解 】 解 : 23 2 1011 9x xx x? ?? ?? ?? ?? ?? ?
23 9 2 101 ( 3)( 3) ( 3)( 3)x x xx x x x x? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?23 2 11 ( 3)( 3)x x xx x x? ? ?? ?? ? ?23 ( 1)1 ( 3)( 3)x xx x x? ?? ?? ? ?13xx?? ? ,∵ 1x? , 3x?? ,
∴ 2x? ,原 式 2 1 12 3 5?? ?? .四 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 2 小 题 )21.“ 读 书 , 点 亮 未 来 ” , 广 泛 的 课 外 阅 读 是 同 学 们 搜 集 和 汲 取 知 识 的 一 条 重 要 途 径 . 学 校图 书 馆 计 划 购 进 一 批 学 生 喜 欢 的 图 书 , 为 了 了 解 学 生 们 对 “ A 文 史 类 、 B 科 普 类 、 C 生 活 类 、D其 它 ” 的 喜 欢 程 度 , 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查 ( 每 个 学 生 只 选 其 中 一 类 ) , 将 所得 数 据 进 行 分 类 统 计 绘 制 了 如 下 不 完 整 的 统 计 图 表 , 请 根 据 图 中 的 信 息 , 解 答 下 列 问 题 :统 计 表 :
频 数 频 率A历 史 50 m
类B科 普类 900 0.45C生 活类 n 0.20D其 它 20 0.10合 计
( 1) 本 次 调 查 的 学 生 共 _______人 ;( 2) m?_______, n?_______;( 3) 补 全 条 形 统 计 图 .
【 答 案 】 ( 1) 200; ( 2) 0.25, 40; ( 3) 见 解 析【 详 解 】 解 : ( 1) 本 次 调 查 的 学 生 有 : 90÷ 0.45=200( 名 ) ,故 答 案 是 : 200;( 2) m=50÷ 200=0.25, n=200× 0.2=40;( 3) 补 全 直 方 图 如 图 所 示 :
.22. 我 国 航 天 事 业 捷 报 频 传 , 天 舟 二 号 于 2021年 5月 29日 成 功 发 射 , 震 撼 人 心 . 当 天 舟 二号 从 地 面 到 达 点 A 处 时 , 在 P处 测 得 A点 的 仰 角 DPA? 为 30° 且 A 与 P 两 点 的 距 离 为 6千米 , 它 沿 铅 垂 线 上 升 75 秒 后 到 达 B处 , 此 时 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 DPB? 为 45?, 求 天 舟
二 号 从 A 处 到 B处 的 平 均 速 度 . ( 结 果 精 确 到 1m/s, 取 3 1.732, 2 1.414? ? )
【 答 案 】 29 /m s【 详 解 】 解 : 根 据 在 P 处 测 得 A 点 的 仰 角 DPA? 为 30° 且 A与 P两 点 的 距 离 为 6 千 米 知 ;在 Rt ADP△ 中 , 6, 30AP DPA? ? ? ?,1 32AD AP? ? ? (千 米 ),2 2 3 3 3 1.732 5.196DP AP AD? ? ? ? ? ? ? ,又 由 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 DPB? 为 45?,Rt BDP? ? 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,
BD DP? ? , 2.196AB BD AD? ? ? ? ( 千 米 ) ,?天 舟 二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均 速 度 为 : 2196 29 /75sv m st? ? ? ,答 : 天 舟 二 号 从 A 处 到 B处 的 平 均 速 度 为 29 /m s.五 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 2 小 题 )23. 为 了 庆 祝 中 国 共 产 党 建 党 一 百 周 年 , 某 校 举 行 “ 礼 赞 百 年 , 奋 斗 有 我 ” 演 讲 比 赛 , 准 备购 买 甲 、 乙 两 种 纪 念 品 奖 励 在 活 动 中 表 现 优 秀 的 学 生 . 已 知 购 买 1 个 甲 种 纪 念 品 和 2 个 乙 种纪 念 品 共 需 20 元 , 购 买 2 个 甲 种 纪 念 品 和 5 个 乙 种 纪 念 品 共 需 45元 .
( 1) 求 购 买 一 个 甲 种 纪 念 品 和 一 个 乙 种 纪 念 品 各 需 多 少 元 ;( 2) 若 要 购 买 这 两 种 纪 念 品 共 100个 , 投 入 资 金 不 少 于 766 元 又 不 多 于 800元 , 问 有 多 少种 购 买 方 案 ? 并 求 出 所 花 资 金 的 最 小 值 .【 答 案 】 ( 1) 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 10 元 , 乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元 ; ( 2) 共 有 7种 进货 方 案 ; 所 花 资 金 的 最 小 值 为 770元 .【 详 解 】 解 : ( 1) 设 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 x元 , 乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 y元 ,根 据 题 意 得 : 2 202 5 45x yx y? ??? ? ?? ,
解 得 : 105xy??? ?? ;答 : 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 10 元 , 乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元 ;( 2) 设 购 进 甲 种 纪 念 品 m 个 , 则 购 进 乙 种 纪 念 品 ( 100-m) 个 , 所 花 资 金 为 w元 ,∴ ? ?10 5 100 5 500w m m m? ? ? ? ? ,根 据 题 意 得 : 5 500 7665 500 800mm? ??? ? ?? ,解 得 : 53.2≤ m≤ 60.∵ m 为 整 数 ,
∴ m=54、 55、 56、 57、 58、 59或 60.∴ 共 有 7 种 进 货 方 案 ;∵ 5>0,∴ w随 m的 增 大 而 增 大 ,
∴ m=54时 , w有 最 小 值 , 最 小 值 为 770元 .24. 如 图 , 点 A在 以 BC为 直 径 的 ⊙ O上 , ABC? 的 角 平 分 线 与 AC相 交 于 点 E, 与 ⊙ O相交 于 点 D, 延 长 CA至 M, 连 结 BM, 使 得 MB ME? , 过 点 A 作 BM 的 平 行 线 与 CD的 延长 线 交 于 点 N.
( 1) 求 证 : BM 与 ⊙ O相 切 ;( 2) 试 给 出 , ,AC AD CN 之 间 的 数 量 关 系 , 并 予 以 证 明 .【 答 案 】 ( 1) 见 详 解 ; ( 2) 2AC AD NC? ? .【 详 解 】 ( 1) 如 图 所 示 ,
∵ MB ME? ,BD是 ABC? 的 角 平 分 线 ,
∴ MBE MEB?∠ ∠ , ABE EBC? ?? ,又 ∵ BC为 直 径 ,∴ 90BAC? ? ?,∴ 90ABE MEB? ? ?∠ ∠ ,∴ 90EBC MBE? ? ?∠ ∠ ,即 BM与 ⊙ O相 切 .( 2) ∵ ABE EBC? ?? ,∴ ? ?AD CD? ,
∴ AD CD? ,∴ DAC DCA? ?? ,∴ ADC? 为 等 腰 三 角 形 ,又 ∵ =90BDC? ?,∴ 90BDN? ? ?,∴ 90N+ NGD? ?∠ ∠ ,又 ∵ NGD BGF?∠ ∠ , 且 由 ( 1) 可 得 90MBC= ?∠ , NF BM? ,∴ 90NFB= ?∠ ,
即 N EBC= ABE= DCA?∠ ∠ ∠ ∠ ,∴ NAC△ 为 等 腰 三 角 形 ,在 ADC? 和 NAC△ 中 ,N DAC= DCA?∠ ∠ ∠ ,∴ ADC? ∽ NAC△ ,∴ AD DC ACNA AC NC? ? ,∴ 2AC DC NC? ? ,又 ∵ AD CD? ,
故 : 2AC AD NC? ? .六 、 综 合 题 ( 本 大 题 共 2 小 题 )25. 如 图 ① , E F、 是 等 腰 Rt ABC? 的 斜 边 BC上 的 两 动 点 , 45 ,EAF CD BC? ? ? ? 且CD BE? .
( 1) 求 证 : ABE ACD△ ≌ △ ;( 2) 求 证 : 2 2 2EF BE CF? ? ;( 3) 如 图 ② , 作 AH BC? , 垂 足 为 H, 设 ,EAH FAH? ?? ? ? ? , 不 妨 设 2AB? ,请 利 用 ( 2) 的 结 论 证 明 : 当 45? ?? ? ?时 , tan tantan( ) 1 tan tan? ?? ? ? ??? ? ? ? 成 立 .【 答 案 】 ( 1) 证 明 见 详 解 ; ( 2) 证 明 见 详 解 ; ( 3) 证 明 见 详 解 .【 详 解 】 ( 1) 证 明 : ∵ △ ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ,∴ AB=AC, ∠ BAC=90° ,
∴ ∠ ABC=∠ ACB=45° ,∵ CD⊥ BC,∴ ∠ DCB=90° ,∴ ∠ DCA=90° -∠ ACB=90° -45° =45° =∠ ABE,在 △ ABE和 △ ACD中 ,AB ACABE ACDBE CD???? ???? ?? ,
∴ △ ABE≌ △ ACD( SAS) ,( 2) 证 明 ∵ △ ABE≌ △ ACD,∴ ∠ BAE=∠ CAD, AE=AD,∵ ∠ EAF=45° ,∴ ∠ BAE+∠ FAC=90° -∠ EAF=90° -45° =45° ,∴ ∠ FAD=∠ FAC+∠ CAD=∠ FAC+∠ BAE=45° =∠ EAF,在 △ AEF和 △ ADF中 ,AE ADEAF DAFAF AF???? ???? ?? ,
∴ △ AEF≌ △ ADF( SAS) ,∴ EF=DF,在 Rt△ CDF中 , 根 据 勾 股 定 理 ,2 2 2DF CD CF? ? ,即 2 2 2EF BE CF? ? ;( 3) 证 明 : 将 △ ABE逆 时 针 绕 点 A旋 转 90° 到 △ ACD, 连 结 FD,∴ ∠ BAE=∠ CAD, BE=CD, AE=AD,∵ △ ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ,
∠ ACB=∠ B=∠ ACD=45° , ∠ DCF=∠ DCA+∠ ACF=45° +45° =90° ,∵ 2AB? ,∴ AC= 2AB? ,在 Rt△ ABC中 由 勾 股 定 理 ? ? ? ?2 22 2+ 2 + 2 2BC AB AC? ? ?∵ AH⊥ BC,∴ BH=CH=AH=1 12BC? ,∴ EF=EH+FH=AHtanα +AH tanβ = tanα + tanβ ,BE=BH-EH=1-tanα ,CF=CH-HF=1-tanβ ,
∵ ∠ EAF=45° ,∴ ∠ BAE+∠ CAF=90° -∠ EAF=45° ,∴ ∠ DAF=∠ DAC+∠ CAF=∠ BAE+∠ CAF=45° =∠ EAF,
在 △ AEF和 △ ADF中 ,AE ADEAF DAFAF AF???? ???? ?? ,∴ △ AEF≌ △ ADF( SAS) ,∴ EF=DF,在 Rt△ CDF中 , 2 2 2DF CD CF? ? 即 2 2 2EF BE CF? ? ,∴ ? ? ? ? ? ?2 2 2tan tan 1 tan + 1 tan? ? ? ?? ? ? ? ,
整 理 得 2tan tan 1 2tan +1 2tan? ? ? ?? ? ? ? ,即 tan tan 1 tan tan? ? ? ?? ? ? ? ,∴ tan +tan 1 tan tan? ? ? ?? ? ? ,∴ ? ?tan +tan 1=tan45 =tan +1 tan tan? ? ? ?? ? ? ?? ? ,∴ ? ? tan +tantan + =1 tan tan? ?? ? ? ?? ? .
26. 如 图 , 在 直 角 坐 标 系 中 , 二 次 函 数 2y x bx c? ? ? 的 图 象 与 x 轴 相 交 于 点 ( 1,0)A ? 和 点(3,0)B , 与 y轴 交 于 点 C.
( 1) 求 b c、 的 值 ;( 2) 点 ( , )P m n 为 抛 物 线 上 的 动 点 , 过 P 作 x 轴 的 垂 线 交 直 线 :l y x? 于 点 Q.① 当 0 3m? ? 时 , 求 当 P 点 到 直 线 :l y x? 的 距 离 最 大 时 m 的 值 ;② 是 否 存 在 m, 使 得 以 点 O C P Q、 、 、 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 , 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 ;若 存 在 , 请 求 出 m 的 值 .【 答 案 】 ( 1) b= 2? , c= 3? ; ( 2) ① 32m? ; ② 不 存 在 , 理 由 见 解 析【 详 解 】 解 : ( 1) ∵ 抛 物 线 y=-x
2+bx+c与 x轴 交 于 点 A( -1, 0) , B( 3, 0) ,∴ 1 09 3 0b cb c? ? ??? ? ? ?? ,解 得 : 23bc???? ??? ,∴ b= 2? , c= 3? ;( 2) ① 由 ( 1) 得 , 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 : y=x
2 2 3x? ? ,设 点 P( m, m2-2m-3) , 则 点 Q( m, m) ,∵ 0 2-2x-3,
∴ C( 0, -3) ,∴ OB=OC=3,由 题 意 , 点 P( m, m2-2m-3) , 则 点 Q( m, m) ,∵ PQ∥ OC,当 OC 为 菱 形 的 边 , 则 PQ=OC=3,当 点 Q在 点 P 上 方 时 ,
∴ PQ= 2 3 3 3m m? ? ? ? , 即 2 3 0m m? ? ? ,∴ ? ?3 0m m? ? ,解 得 0m? 或 3m? ,当 0m? 时 , 点 P与 点 O 重 合 , 菱 形 不 存 在 ,当 3m? 时 , 点 P与 点 B 重 合 , 此 时 BC= 2 3 2OC OC? ? , 菱 形 也 不 存 在 ;当 点 Q在 点 P 下 方 时 ,若 点 Q在 第 三 象 限 , 如 图 ,
∵ ∠ COQ=45° ,根 据 菱 形 的 性 质 ∠ COQ=∠ POQ=45° , 则 点 P与 点 A 重 合 ,此 时 OA=1?OC=3, 菱 形 不 存 在 ,若 点 Q在 第 一 象 限 , 如 图 ,
同 理 , 菱 形 不 存 在 ,综 上 , 不 存 在 以 点 O、 C、 P、 Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 .
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