2021 年 湖 南 娄 底 中 考 数 学 试 题 及 答 案一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求的 ， 请 把 你 认 为 符 合 题 目 要 求 的 选 项 填 涂 在 答 题 卡 上 相 应 题 号 下 的 方 框 里 ）1. 2021的 倒 数 是 （ ）A. 2021 B. － 2021 C. 12021 D.12021?【 答 案 】 C2. 下 列 式 子 正 确 的 是 （ ）
A. 3 2a a a? ? B. ? ?32 6a a? C. 3 2 6a a a? ? D.? ?32 5a a?【 答 案 】 B3. 2021年 5 月 19 日 ， 第 三 届 阿 里 数 学 竞 赛 预 选 赛 顺 利 结 束 ， 本 届 大 赛 在 全 球 范 围 内 吸 引了 约 5万 名 数 学 爱 好 者 参 加 ． 阿 里 数 学 竞 赛 旨 在 全 球 范 围 内 引 领 开 启 关 注 数 学 、 理 解 数 学 、欣 赏 数 学 、 助 力 数 学 的 科 学 风 尚 ． 5 万 用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ）A. 50.5 10? B. 45 10? C. 450 10? D. 55 10?【 答 案 】 B
4. 一 组 数 据 17,10,5,8,5,15的 中 位 数 和 众 数 是 （ ）A. 5,5 B. 8,5 C. 9,5 D. 10,5【 答 案 】 C5. 如 图 ， 点 ,E F 在 矩 形 ABCD的 对 角 线 BD所 在 的 直 线 上 ， BE DF? ， 则 四 边 形 AECF是 （ ）
A. 平 行 四 边 形 B. 矩 形 C. 菱 形 D. 正 方 形【 答 案 】 A6. 如 图 ， //AB CD， 点 ,E F 在 AC边 上 ， 已 知 70 , 130CED BFC? ? ? ? ? ?， 则B D? ?? 的 度 数 为 （ ）
A. 40? B. 50? C. 60? D. 70?【 答 案 】 C7. 从 背 面 朝 上 的 分 别 画 有 等 腰 三 角 形 、 平 行 四 边 形 、 矩 形 、 圆 的 四 张 形 状 、 大 小 相 同 的 卡片 中 ， 随 机 抽 取 一 张 ， 则 所 抽 得 的 图 形 既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 的 概 率 为 （ ）A. 14 B. 12 C. 34 D. 1【 答 案 】 B8. 2,5,m是 某 三 角 形 三 边 的 长 ， 则 2 2( 3) ( 7)m m? ? ? 等 于 （ ）A. 2 10m? B. 10 2m? C. 10 D. 4
【 答 案 】 D9. 如 图 ， 直 线 y x b? ? 和 4y kx? ? 与 x 轴 分 别 相 交 于 点 ( 4,0)A ? ， 点 (2,0)B ， 则04 0x bkx? ??? ? ?? 解 集 为 （ ）
A. 4 2x? ? ? B. 4x?? C. 2x? D. 4x??
或 2x?【 答 案 】 A10. 如 图 ， 直 角 坐 标 系 中 ， 以 5为 半 径 的 动 圆 的 圆 心 A沿 x轴 移 动 ， 当 ⊙ A与 直 线 5: 12l y x?只 有 一 个 公 共 点 时 ， 点 A的 坐 标 为 （ ）
A. ( 12,0)? B. ( 13,0)? C. ( 12,0)? D.( 13,0)?【 答 案 】 D11. 根 据 反 比 例 函 数 的 性 质 、 联 系 化 学 学 科 中 的 溶 质 质 量 分 数 的 求 法 以 及 生 活 体 验 等 ， 判 定下 列 有 关 函 数 xy a x? ? （ a为 常 数 且 0, 0a x? ? ） 的 性 质 表 述 中 ， 正 确 的 是 （ ）① y 随 x 的 增 大 而 增 大 ； ② y 随 x 的 增 大 而 减 小 ； ③ 0 1y? ? ； ④ 0 1y? ?A. ① ③ B. ① ④ C. ② ③ D. ② ④
【 答 案 】 A12. 用 数 形 结 合 等 思 想 方 法 确 定 二 次 函 数 2 2y x? ? 的 图 象 与 反 比 例 函 数 2y x? 的 图 象 的交 点 的 横 坐 标 0x 所 在 的 范 围 是 （ ）A. 0 10 4x? ? B. 01 14 2x? ? C. 01 32 4x? ? D.03 14 x? ?
【 答 案 】 D二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ）13. 函 数 1y x? ? 中 ， 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 __________．【 答 案 】 1?x14. 如 图 所 示 的 扇 形 中 ， 已 知 ?20, 30, 40OA AC AB? ? ? ， 则 ?CD?________．
【 答 案 】 100．15. 如 图 ， ABC? 中 ， 2,AB AC P? ? 是 BC上 任 意 一 点 ， PE AB? 于 点 ,E PF AC?于 点 F， 若 1ABCS ?△ ， 则 PE PF? ?________．
【 答 案 】 116. 已 知 2 3 1 0t t? ? ? ， 则 1t t? ?________．【 答 案 】 3．17. 高 速 公 路 上 有 一 种 标 线 叫 纵 向 减 速 标 线 ， 外 号 叫 鱼 骨 线 ， 作 用 是 为 了 提 醒 驾 驶 员 在 开 车时 减 速 慢 行 ． 如 图 ， 用 平 行 四 边 形 ABCD表 示 一 个 “ 鱼 骨 ” ， AB平 行 于 车 辆 前 行 方 向 ，,BE AB CBE ?? ? ? ， 过 B 作 AD的 垂 线 ， 垂 足 为 A? （ A 点 的 视 觉 错 觉 点 ） ， 若
sin 0.05, 300mmAB? ? ? ， 则 AA??________mm．
【 答 案 】 15．18. 弧 度 是 表 示 角 度 大 小 的 一 种 单 位 ， 圆 心 角 所 对 的 弧 长 和 半 径 相 等 时 ， 这 个 角 就 是 1 弧 度角 ， 记 作 1rad． 已 知 1rad, 60? ?? ? ?， 则 ? 与 ? 的 大 小 关 系 是 ? ________? ．
【 答 案 】 ?三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ）19. 计 算 ： 10 1 1( 2021 ) 2cos4522 1? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ．【 答 案 】 2【 详 解 】 解 ： 10 1 1( 2021 ) 2cos4522 1? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?
2 1 21 2 2 2( 2 1)( 2 1)?? ? ? ? ?? ?1 2 1 2 2? ? ? ? ?2? ．20. 先 化 简 ， 再 求 值 ： 23 2 1011 9x xx x? ?? ?? ?? ?? ?? ?， 其 中 x 是 1,2,3中 的 一 个 合 适 的 数 ．【 答 案 】 13xx?? ， 15．【 详 解 】 解 ： 23 2 1011 9x xx x? ?? ?? ?? ?? ?? ?
23 9 2 101 ( 3)( 3) ( 3)( 3)x x xx x x x x? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?23 2 11 ( 3)( 3)x x xx x x? ? ?? ?? ? ?23 ( 1)1 ( 3)( 3)x xx x x? ?? ?? ? ?13xx?? ? ，∵ 1x? ， 3x?? ，
∴ 2x? ，原 式 2 1 12 3 5?? ?? ．四 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ）21.“ 读 书 ， 点 亮 未 来 ” ， 广 泛 的 课 外 阅 读 是 同 学 们 搜 集 和 汲 取 知 识 的 一 条 重 要 途 径 ． 学 校图 书 馆 计 划 购 进 一 批 学 生 喜 欢 的 图 书 ， 为 了 了 解 学 生 们 对 “ A 文 史 类 、 B 科 普 类 、 C 生 活 类 、D其 它 ” 的 喜 欢 程 度 ， 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查 （ 每 个 学 生 只 选 其 中 一 类 ） ， 将 所得 数 据 进 行 分 类 统 计 绘 制 了 如 下 不 完 整 的 统 计 图 表 ， 请 根 据 图 中 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：统 计 表 ：
频 数 频 率A历 史 50 m
类B科 普类 900 0.45C生 活类 n 0.20D其 它 20 0.10合 计
（ 1） 本 次 调 查 的 学 生 共 _______人 ；（ 2） m?_______， n?_______；（ 3） 补 全 条 形 统 计 图 ．
【 答 案 】 （ 1） 200； （ 2） 0.25， 40； （ 3） 见 解 析【 详 解 】 解 ： （ 1） 本 次 调 查 的 学 生 有 ： 90÷ 0.45=200（ 名 ） ，故 答 案 是 ： 200；（ 2） m=50÷ 200=0.25， n=200× 0.2=40；（ 3） 补 全 直 方 图 如 图 所 示 ：
．22. 我 国 航 天 事 业 捷 报 频 传 ， 天 舟 二 号 于 2021年 5月 29日 成 功 发 射 ， 震 撼 人 心 ． 当 天 舟 二号 从 地 面 到 达 点 A 处 时 ， 在 P处 测 得 A点 的 仰 角 DPA? 为 30° 且 A 与 P 两 点 的 距 离 为 6千米 ， 它 沿 铅 垂 线 上 升 75 秒 后 到 达 B处 ， 此 时 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 DPB? 为 45?， 求 天 舟
二 号 从 A 处 到 B处 的 平 均 速 度 ． （ 结 果 精 确 到 1m/s， 取 3 1.732, 2 1.414? ? ）
【 答 案 】 29 /m s【 详 解 】 解 ： 根 据 在 P 处 测 得 A 点 的 仰 角 DPA? 为 30° 且 A与 P两 点 的 距 离 为 6 千 米 知 ；在 Rt ADP△ 中 ， 6, 30AP DPA? ? ? ?，1 32AD AP? ? ? (千 米 )，2 2 3 3 3 1.732 5.196DP AP AD? ? ? ? ? ? ? ，又 由 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 DPB? 为 45?，Rt BDP? ? 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
BD DP? ? ， 2.196AB BD AD? ? ? ? （ 千 米 ） ，?天 舟 二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均 速 度 为 ： 2196 29 /75sv m st? ? ? ，答 ： 天 舟 二 号 从 A 处 到 B处 的 平 均 速 度 为 29 /m s．五 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ）23. 为 了 庆 祝 中 国 共 产 党 建 党 一 百 周 年 ， 某 校 举 行 “ 礼 赞 百 年 ， 奋 斗 有 我 ” 演 讲 比 赛 ， 准 备购 买 甲 、 乙 两 种 纪 念 品 奖 励 在 活 动 中 表 现 优 秀 的 学 生 ． 已 知 购 买 1 个 甲 种 纪 念 品 和 2 个 乙 种纪 念 品 共 需 20 元 ， 购 买 2 个 甲 种 纪 念 品 和 5 个 乙 种 纪 念 品 共 需 45元 ．
（ 1） 求 购 买 一 个 甲 种 纪 念 品 和 一 个 乙 种 纪 念 品 各 需 多 少 元 ；（ 2） 若 要 购 买 这 两 种 纪 念 品 共 100个 ， 投 入 资 金 不 少 于 766 元 又 不 多 于 800元 ， 问 有 多 少种 购 买 方 案 ？ 并 求 出 所 花 资 金 的 最 小 值 ．【 答 案 】 （ 1） 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 10 元 ， 乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元 ； （ 2） 共 有 7种 进货 方 案 ； 所 花 资 金 的 最 小 值 为 770元 ．【 详 解 】 解 ： （ 1） 设 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 x元 ， 乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 y元 ，根 据 题 意 得 ： 2 202 5 45x yx y? ??? ? ?? ，
解 得 ： 105xy??? ?? ；答 ： 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 10 元 ， 乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元 ；（ 2） 设 购 进 甲 种 纪 念 品 m 个 ， 则 购 进 乙 种 纪 念 品 （ 100-m） 个 ， 所 花 资 金 为 w元 ，∴ ? ?10 5 100 5 500w m m m? ? ? ? ? ，根 据 题 意 得 ： 5 500 7665 500 800mm? ??? ? ?? ，解 得 ： 53.2≤ m≤ 60．∵ m 为 整 数 ，
∴ m=54、 55、 56、 57、 58、 59或 60．∴ 共 有 7 种 进 货 方 案 ；∵ 5>0，∴ w随 m的 增 大 而 增 大 ，
∴ m=54时 ， w有 最 小 值 ， 最 小 值 为 770元 ．24. 如 图 ， 点 A在 以 BC为 直 径 的 ⊙ O上 ， ABC? 的 角 平 分 线 与 AC相 交 于 点 E， 与 ⊙ O相交 于 点 D， 延 长 CA至 M， 连 结 BM， 使 得 MB ME? ， 过 点 A 作 BM 的 平 行 线 与 CD的 延长 线 交 于 点 N．
（ 1） 求 证 ： BM 与 ⊙ O相 切 ；（ 2） 试 给 出 , ,AC AD CN 之 间 的 数 量 关 系 ， 并 予 以 证 明 ．【 答 案 】 （ 1） 见 详 解 ； （ 2） 2AC AD NC? ? ．【 详 解 】 （ 1） 如 图 所 示 ，
∵ MB ME? ,BD是 ABC? 的 角 平 分 线 ，
∴ MBE MEB?∠ ∠ ， ABE EBC? ?? ，又 ∵ BC为 直 径 ，∴ 90BAC? ? ?，∴ 90ABE MEB? ? ?∠ ∠ ,∴ 90EBC MBE? ? ?∠ ∠ ，即 BM与 ⊙ O相 切 ．（ 2） ∵ ABE EBC? ?? ，∴ ? ?AD CD? ，
∴ AD CD? ,∴ DAC DCA? ?? ，∴ ADC? 为 等 腰 三 角 形 ，又 ∵ =90BDC? ?，∴ 90BDN? ? ?，∴ 90N+ NGD? ?∠ ∠ ，又 ∵ NGD BGF?∠ ∠ ， 且 由 （ 1） 可 得 90MBC= ?∠ ， NF BM? ，∴ 90NFB= ?∠ ，
即 N EBC= ABE= DCA?∠ ∠ ∠ ∠ ，∴ NAC△ 为 等 腰 三 角 形 ，在 ADC? 和 NAC△ 中 ，N DAC= DCA?∠ ∠ ∠ ，∴ ADC? ∽ NAC△ ，∴ AD DC ACNA AC NC? ? ，∴ 2AC DC NC? ? ，又 ∵ AD CD? ，
故 ： 2AC AD NC? ? ．六 、 综 合 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ）25. 如 图 ① ， E F、 是 等 腰 Rt ABC? 的 斜 边 BC上 的 两 动 点 ， 45 ,EAF CD BC? ? ? ? 且CD BE? ．
（ 1） 求 证 ： ABE ACD△ ≌ △ ；（ 2） 求 证 ： 2 2 2EF BE CF? ? ；（ 3） 如 图 ② ， 作 AH BC? ， 垂 足 为 H， 设 ,EAH FAH? ?? ? ? ? ， 不 妨 设 2AB? ，请 利 用 （ 2） 的 结 论 证 明 ： 当 45? ?? ? ?时 ， tan tantan( ) 1 tan tan? ?? ? ? ??? ? ? ? 成 立 ．【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 详 解 ； （ 2） 证 明 见 详 解 ； （ 3） 证 明 见 详 解 ．【 详 解 】 （ 1） 证 明 ： ∵ △ ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ，∴ AB=AC， ∠ BAC=90° ，
∴ ∠ ABC=∠ ACB=45° ，∵ CD⊥ BC，∴ ∠ DCB=90° ，∴ ∠ DCA=90° -∠ ACB=90° -45° =45° =∠ ABE，在 △ ABE和 △ ACD中 ，AB ACABE ACDBE CD???? ???? ?? ，
∴ △ ABE≌ △ ACD（ SAS） ，（ 2） 证 明 ∵ △ ABE≌ △ ACD，∴ ∠ BAE=∠ CAD， AE=AD，∵ ∠ EAF=45° ，∴ ∠ BAE+∠ FAC=90° -∠ EAF=90° -45° =45° ，∴ ∠ FAD=∠ FAC+∠ CAD=∠ FAC+∠ BAE=45° =∠ EAF，在 △ AEF和 △ ADF中 ，AE ADEAF DAFAF AF???? ???? ?? ，
∴ △ AEF≌ △ ADF（ SAS） ，∴ EF=DF，在 Rt△ CDF中 ， 根 据 勾 股 定 理 ，2 2 2DF CD CF? ? ，即 2 2 2EF BE CF? ? ；（ 3） 证 明 ： 将 △ ABE逆 时 针 绕 点 A旋 转 90° 到 △ ACD， 连 结 FD，∴ ∠ BAE=∠ CAD， BE=CD， AE=AD，∵ △ ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
∠ ACB=∠ B=∠ ACD=45° ， ∠ DCF=∠ DCA+∠ ACF=45° +45° =90° ，∵ 2AB? ，∴ AC= 2AB? ，在 Rt△ ABC中 由 勾 股 定 理 ? ? ? ?2 22 2+ 2 + 2 2BC AB AC? ? ?∵ AH⊥ BC，∴ BH=CH=AH=1 12BC? ，∴ EF=EH+FH=AHtanα +AH tanβ = tanα + tanβ ,BE=BH-EH=1-tanα ,CF=CH-HF=1-tanβ ，
∵ ∠ EAF=45° ，∴ ∠ BAE+∠ CAF=90° -∠ EAF=45° ，∴ ∠ DAF=∠ DAC+∠ CAF=∠ BAE+∠ CAF=45° =∠ EAF，
在 △ AEF和 △ ADF中 ，AE ADEAF DAFAF AF???? ???? ?? ，∴ △ AEF≌ △ ADF（ SAS） ，∴ EF=DF，在 Rt△ CDF中 ， 2 2 2DF CD CF? ? 即 2 2 2EF BE CF? ? ，∴ ? ? ? ? ? ?2 2 2tan tan 1 tan + 1 tan? ? ? ?? ? ? ? ，
整 理 得 2tan tan 1 2tan +1 2tan? ? ? ?? ? ? ? ，即 tan tan 1 tan tan? ? ? ?? ? ? ? ，∴ tan +tan 1 tan tan? ? ? ?? ? ? ，∴ ? ?tan +tan 1=tan45 =tan +1 tan tan? ? ? ?? ? ? ?? ? ，∴ ? ? tan +tantan + =1 tan tan? ?? ? ? ?? ? ．
26. 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 二 次 函 数 2y x bx c? ? ? 的 图 象 与 x 轴 相 交 于 点 ( 1,0)A ? 和 点(3,0)B ， 与 y轴 交 于 点 C．
（ 1） 求 b c、 的 值 ；（ 2） 点 ( , )P m n 为 抛 物 线 上 的 动 点 ， 过 P 作 x 轴 的 垂 线 交 直 线 :l y x? 于 点 Q．① 当 0 3m? ? 时 ， 求 当 P 点 到 直 线 :l y x? 的 距 离 最 大 时 m 的 值 ；② 是 否 存 在 m， 使 得 以 点 O C P Q、 、 、 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；若 存 在 ， 请 求 出 m 的 值 ．【 答 案 】 （ 1） b= 2? ， c= 3? ； （ 2） ① 32m? ； ② 不 存 在 ， 理 由 见 解 析【 详 解 】 解 ： （ 1） ∵ 抛 物 线 y=-x
2+bx+c与 x轴 交 于 点 A（ -1， 0） ， B（ 3， 0） ，∴ 1 09 3 0b cb c? ? ??? ? ? ?? ，解 得 ： 23bc???? ??? ，∴ b= 2? ， c= 3? ；（ 2） ① 由 （ 1） 得 ， 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 ： y=x
2 2 3x? ? ，设 点 P（ m， m2-2m-3） ， 则 点 Q（ m， m） ，∵ 0
2-2x-3，
∴ C（ 0， -3） ，∴ OB=OC=3，由 题 意 ， 点 P（ m， m2-2m-3） ， 则 点 Q（ m， m） ，∵ PQ∥ OC，当 OC 为 菱 形 的 边 ， 则 PQ=OC=3，当 点 Q在 点 P 上 方 时 ，
∴ PQ= 2 3 3 3m m? ? ? ? ， 即 2 3 0m m? ? ? ，∴ ? ?3 0m m? ? ，解 得 0m? 或 3m? ，当 0m? 时 ， 点 P与 点 O 重 合 ， 菱 形 不 存 在 ，当 3m? 时 ， 点 P与 点 B 重 合 ， 此 时 BC= 2 3 2OC OC? ? ， 菱 形 也 不 存 在 ；当 点 Q在 点 P 下 方 时 ，若 点 Q在 第 三 象 限 ， 如 图 ，
∵ ∠ COQ=45° ，根 据 菱 形 的 性 质 ∠ COQ=∠ POQ=45° ， 则 点 P与 点 A 重 合 ，此 时 OA=1?OC=3， 菱 形 不 存 在 ，若 点 Q在 第 一 象 限 ， 如 图 ，
同 理 ， 菱 形 不 存 在 ，综 上 ， 不 存 在 以 点 O、 C、 P、 Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 ．
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