高数问答94 伯努利不等式

今天我们学习著名的伯努利不等式，并利用它给出第二个重要极限的存在性的一个证明。

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所谓伯努利不等式，是指对任意的和任意正整数,有

证明：我们采用数学归纳法对它进行证明。当时上述不等式显然成立，假设我们已经证明了

那么

由数学归纳法原理，伯努利不等式成立。     

下面我们使用伯努利不等式证明第二个重要极限的存在性。

考查两个数列

首先对于任意的正整数，我们有

其次对任意正整数, 直接计算，又有

其中第三行的不等式就是应用伯努利不等式得到。

对于另外一个数列，通过直接计算我们又得到

其中第三行的不等式同样是根据伯努利不等式得到。于是由上面两个不等式，我们得到数列（严格）单调增加，而数列则是（严格）单调减少的数列，从而我们得到，对任意正整数，有

上述不等式只需要注意到的最大项为其第1项即可，于是我们有：数列单调增加且有上界4，根据单调有界定理，这个数列是收敛的，我们记这个极限为, 它就是著名的自然对数——数学中最重要的常数之一，以后我们可以证明它是无理数。

这样我们就给出了第二个重要极限的存在性的另一证明，它和华东师大教材中直接根据牛顿二项式展开证明单调性和有界性有所区别，也是一种很好的证法，大家可以好好参考、学习，后面适当的时候我还会给出这个极限的其他证明方法。

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最后提醒大家，根据上面我们证出的数列和的单调性，我们也得到，对于任意的正整数，成立不等式

两边取自然对数，得到

整理得到如下的著名不等式

这个不等式曾作为考研真题出现，当然后面学了用导数研究函数的方法（微分中值定理）之后，无论是伯努利不等式，还是上述不等式都有其他的证法。