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对数可以把乘法简化为加法，把除法变成减法，把平方根变成除法。 即3×3=9，可以变成log3+log3=0.447+0.447=0.954。在简单运算中不需要，但在大量复杂计算，涉及到大数乘除和开方时，在没有计算器的时代，这玩就太有用了。 如果没有对数法，开普勒是没有办法从第谷海量的行星运动数据中，提炼出三大定律公式的。 后来，人们还把1-100的对数刻到尺子上，形成了著名的对数刻度，即从1到100，数字的间距越来越小。然后，用一把圆规的一角对着尺子上的1，另一角指向任意刻度数字a，以此跨度为单位，当对着1的角移动到b时，那么原来指向a的角所指的刻度数字结果，就是a×b。 这个特性，让人们得以发明数学史和物理学史上著名的计算尺，真正的计算尺，圆规就换成了游标或者小窗口。 到18世纪，计算尺的精度可以达到3位小数，到19世纪，计算尺的精度达到5位有效小数，这在当时已经足够任何领域的应用了，好的计算尺甚至可以计算分数幂和平方根。 同时期的中国，不仅小数概念未能普及，更不用说计算的精度。在当时一直坚持走自己道路的国家看来，计算到小数点后几位实在是没什么蛋用。然后就在不知不觉中落后下去了。 计算尺一直被使用到1975年，几乎是此前所有重大发明和发现的关键计算工具。1972年惠普推出第一款电子计算器，才宣告了计算尺时代的结束。 即便已经消失了几十年，可至今还有一个领域在广泛使用计算尺——飞机驾驶。 飞行员都有专门的飞行计算尺，通过计算尺可以测量速度、距离、时间、油耗、温度等。 在已经高度计算机化和智能化的机舱里，何以还要使用计算尺？这是一种安全冗余的安排——飞行员通过计算尺的估算，可以验证计算机和设备的工作状态是否正常。 接着就是笛卡尔创造了解析几何，这是第一个把抽象思维与空间思维结合起来，并建成体系的人。 代数方程从此可以用几何图形来表示，反过来，复杂艰难的多元多次方程，常常可以用几何方式得到清晰简单的解答。最好玩的图形就是xn+yn=1，当n=2的时候，这是一个圆形；当n等于4的时候，这是一个圆角矩形，随着n越来越大，形状越来越接近正方形。 也就是说，之前大家琢磨了上千年的化圆为方，在解析几何里得到了清晰展现。 上述看起来又没什么用的东西，在19世纪的建筑学和工程建设中得到良好应用——圆角矩形因为它既具有直线和矩形的部分特征，又具有圆形的特征，可以在诸多场景中实现适用和美观。 魔方开始数学游戏。 最早的魔方据说是洛书，也就是3×3宫格里的1-9的数字排列，每行每列和对角线的数字之和都相同。之后，按照1-9的顺序移动，至今这个移动迈步的方式，在中国的道观中被称为“禹步”。 接着就开始出现各种各样，越来越多的魔方，它们都可以遵循不同的规则。这体现出人类独特的能力——用自创的虚构事物来制造谜题和取乐。历史上的魔方爱好者们都是聪明绝顶者，开启了很多有关纯数学的探索。 有趣的是，日本一个叫锻治真起的数学爱好者，居然凭空重新发明了一种新魔方——就是今天被称为数独的游戏。这个魔方就是只允许每行每列每个数字都只出现一次。从他发明这个游戏，到现在，已经有了约1亿个数独爱好者。 与魔方类似的数学游戏还有七巧板，这也起源于中国，之所以被称为tangram，是因为最早这个游戏被称为“唐图”。第一个系统总结并推出七巧板拼图的作品，是19世纪初一个叫“碧梧居士”的国人编辑出版的。 七巧板之所以能风靡世界，从形而上学角度上看，可能揭示了一个道理——事物并不真的就是你看上去的那样，而且看起来小小的一个差异，很可能是整个结构的不同造成。 19世纪中叶，一个叫萨姆·劳埃德的小伙，尝试着编制国际象棋谜题发表到报刊上赚钱，一发不可收拾，到17岁时，他已经成了当时世界上最有名的象棋谜题出题者之一。 劳埃德是典型的美国黄金时代的商人角色，他非常懂得炒作、经营，用各种方式把自己装扮成学者、成功商人，把很多前人发明的数学游戏都揽入自己囊中。 与他相对应的，就是保守刻板的同时代英格兰人杜德尼，两人虽然因为都是谜题大师而相识，但却都不喜欢对方。 杜德尼的重要发现，是杜德尼数——有六个数字，其立方根是组成它的各个数字之和。这六个数字是1、512、4913、5832、17576、19863。 就是说5832=18×18×18，同时，5+8+3+2=18。有且仅有这6个数是这样。 杜德尼另一个重要发明，就是图形切割，他把正方形切割成6块，然后组成了一个正五边形；他还把三角形切割成4块，拉开成一条奇怪形状的链条，向一侧翻滚折叠，可以组成三角形，向另一侧翻滚折叠，可以组成一个正方形！ 关于真正的立方体魔方，只提下纪录——19岁的荷兰小伙埃里克·阿克斯戴克2008年创造了2×2魔方、3×3魔方、4×4魔方、5×5魔方的所有纪录，经典的3×3魔方全部同色的纪录是7.08秒；5×5的高难度魔方是1分16.21秒。 这个神奇的小伙还能用脚翻魔方，用脚翻3×3的纪录是51.36秒，居然还只排在世界第四位。 更可怕的方式是蒙眼翻魔方，即先看一眼魔方的起始分布，然后凭手感和瞬时记忆来翻魔方，到你认为搞定了就停下。芬兰的维兰·塞佩宁创造了3×3魔方48.05秒的纪录。
还有最少步骤魔方，就是给你一个小时研究魔方分布，然后提出解法。目前的世界纪录是比利时的吉米·科尔，他用一个小时提出了3×3魔方的22步解法。 这个方式衍生出来一个数学问题——对于所有的魔方，解开它的通用最小步骤会是多少？因为魔方的排列有43×1018种，所以这被誉为是“上帝的数字”。 2008年数学家托马斯·罗吉奇在研究了20年之后，证明，这个数字是20-22，即解开任何一个魔方的最少步骤上限是22。 黄金分割。 我们都知道黄金分割比是1.618，最简单的定义，可能就是一个线段分成两段，长的那段与整条线段长度之比，等于短的那段与长的那段之比，那个点就是线段的黄金分割点。 与黄金分割联系密切的，是一个著名的数列——斐波那契数列。 斐波那契数列是一个简单的数列，从0，1开始，接下来每一项都是前两项的和。0，1，1，2，3，5，8……。 这个数列起源于一个数学题，一对兔子一个月成年，一个月生一对兔子，经过12个月后会有多少对兔子？ 第一个月，1对成年兔子；第二个月，1对成年兔子，1对幼兔；第三个月，2对成年兔子，1对幼兔；第四个月，3对成年兔子，2对幼兔……数列就出来了。 数列的特征是递归特点，所谓递归就是新出来的项，都源自前面的项。这无意中切合了自然的模式——几乎所有的植物叶片和花瓣数量，都遵从斐波那契数列；诸如菠萝、松果、向日葵、海螺的螺线数量也遵从斐波那契数列。 斐波那契数列，用后一项来比前一项，形成新的比值数列，就是一个不断逼近1.618的数列。 长宽比是黄金分割比的矩形，也可以被称为黄金矩形，按照宽边长切出一块正方形，剩下的小矩形也是黄金矩形，在小矩形上也可以进行如此切割。 每次在长边上的分割点为圆心，长的一边为半径划四分之一圆，一直画下去，越画越小，就可以连成一条完美的螺线。这条螺线遵从的是对数比，也成为对数螺线。 这个对数螺线也高度拟合自然——植物生长路线，以及叶片的分布，都遵从这个对数螺线；以至于大家发现鹰隼从高空袭击其它鸟类时，遵从的也是对数螺线下降。 这个螺线的旋转角度，也是对360°的黄金分割，即把一个正圆分成两部分，大小角度的比值为1.618。也就是137.5°。 比值1.618其实并不是有理数，而是一个无理数，无理数的特点就是让你转完一圈之后永远也回不到原来的那个点——换到植物的叶片生长上，就是叶片之间不会重叠，都能享受到阳光。 关于随机和概率。 随机并不是我们想象的那样随机，实际上，真正的随机发生，反而会让我们觉得有模式或者规律可循。那些让我们觉得没有什么模式或规律的现象，被人为操纵的可能性更大。 比如，随机抛硬币30次，有5次出现一面的情况，其实概率是很大的，但我们的天性会让我们觉得惊讶。 所以说，赌博游戏利用的，并不是我们的放任，而恰恰是我们的控制欲。 当然，也确实有牛人可以通过精心研究和计算，来赢得彩票。 这个人就是罗马尼亚经济学家斯特凡·曼德尔。他系统研究了罗马尼亚彩票，49选6的1400万种组合，使用了减缩方法，即如何保证6个数字中5个是对的，也就是瞄准二等奖来计算。他写满了8000张草稿纸，才算出来应该投注的数字。然后就中了头等奖。 拿了奖金之后曼德尔就移民到了澳大利亚——题外话，不论什么时候，哪个国家，人才都倾向于从集权体制流向分权体制。然后集权体制的人们说主要原因是这些人才都忽视了对自己三观的改造——总得有个解释吧。 他没有收手，而是继续研究，对比选择了弗吉尼亚的彩票，这个彩票只有700万种组合，而且奖金已经累积到了2800万美元。于是他开始计算，结果是，他不但再次中了头奖，而且还中了13万个二等奖。 拿了奖金之后，曼德尔干脆买了个南太平洋的岛，现在到那里生活去了。 与之相对应的就是21点专家，也就是《击败庄家》的作者爱德华·索普。此人的经历无须赘述，敝号在2020年随笔的《赌神数学家》中已有详述。 他在上世纪六十年代对21点的研究，开启了量化金融分析的先河。跟随在他之后的就是著名的布莱克-斯科尔斯。 后续一系列金融危机就因为这些量化金融分析产品而发生。当作者问到今天的索普是否对金融危机有什么感受，索普的回答很简单，他只是一个把数学应用到金融市场分析的科学家，金融危机与金融产品并没有关系，问题在于政治和管理。 这个本子读起来没有《烧掉数学书》那样的深度和持续需要验算的必要性，可也着实让人感受到数学之超脱的魅力。 |
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