|
最近几十年来，国内只出版了很少的几种关于大学数学课程的专业科普读物，这远不能满足广大学习数学的大学生们的迫切需要。与中学里教的初等数学相比，大学数学的内容实在是太丰富和太复杂了，它凝聚了四百多年来人类最聪明的大脑所创造出来的极其优美的智慧成果。与别的学科完全不同，数学主要研究的是抽象的“模式（pattern）”而不是具体实物或现象，它具有极其漫长的发展历史。大学数学作为自然科学和社会科学的基础，已经在很多领域里起着关键性的作用。 大学数学表面上比较严谨和枯燥的课程内容，往往掩盖了极其丰富的思想内涵。数学家卡斯蒂（J. L. Casti） 曾经说过：“在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。”在大学数学的教学中人们逐步发现，只有按照数学发展的顺序来学习和讲授数学，也就是将数学思想逐步演进的历史过程与数学课程体系中严格的逻辑推理过程有机地结合起来，补充上大量的具体例子，以及在数学理论形成过程中被舍弃的中间发展步骤，才能使初学者们真正理解在精炼抽象的数学概念与定理的背后的深刻思想内涵。数学史是学习与传播现代数学的极好途径。借助于数学史，可以让人们了解历史上数学家们朴素而又深刻的数学思想，是如何一步步发展成为今天蔚为大观、分支众多，且又十分抽象的现代数学理论的。 这就非常需要我们在常规的课堂教学之外，提供给大学生们一定数量的关于大学数学的专业科普读物，来加深他们对于教科书中深奥的数学思想的理解。本文所介绍的《数学概观》就是这样的一本关于大学数学的难得的优秀科普读物，它充分地运用了数学史的观点与材料，来讲解大学数学中最基本的数学思想。《数学概观》翻译自瑞典著名数学家戈丁（Lars Gårding）写的《Encounter with Mathematics（遭遇数学）》一书，这本书的英文原版由Springer-Verlag出版社在1977年出版。戈丁是一位分析学的大师，他在分析学领域有许多建树，例如在偏微分方程理论中有一个著名的不等式“戈丁不等式（Gårding’s inequality）”就是以他的名字命名的。高等教育出版社在2001年曾经翻译出版过戈丁写的另一本数学著作《分析学中的若干问题及其历史》。 《数学概观》的译者是我国著名数学史专家胡作玄先生。实际上，科学出版社早在1984年就出版了这个中译本，当时的封面（它比较接近英文原版的封面）是：
图1：《数学概观》1984年中译本封面 戈丁在《数学概观》的序言中，这样介绍了他写此书的目的： “ 在2001年，科学出版社正式将《数学概观》列入了“数学名著译丛”丛书，其封面变成了现在的封面：
图2：《数学概观》2001年版的封面 《数学概观》一共有12章，除了第一章和最后一章简要介绍了数学模型和数学教学方法，以及只叙述微积分历史的第六章外，其余的九章分别讲了初等数论、抽象代数、线性代数、泛函分析、拓扑学、微积分、微分流形、概率论和数值计算（数学应用）等课程中最基本的思想方法。下面按照该书章节的顺序，对《数学概观》中所介绍的内容，作一些简单的说明与分析。 一、数论的基本思想《数学概观》的第二章主要介绍了初等数论和代数数论中最基本的思想。该书先是以流畅的笔触介绍了素数定理、费马小定理和二次互反律等最经典的初等数论内容，然后以高斯整数为切入口，简单讲了代数数和代数整数等代数数论里最基本的概念，并且用线性方程组解的基本定理论证了代数数（代数整数）的整数倍、和以及乘积也都是代数数（代数整数）。 实际上，代数数论是初等数论最自然的推广，而代数数论又是抽象代数的一个直接的思想来源和应用场所。学生们在后面学习极其重要的抽象代数课程时，遇到的一个主要困难是感觉内容比较空洞与极端抽象，原因就是他们从来没有学过最基本的初等数论和代数数论，不了解抽象代数理论的直观背景。例如“原根”是初等数论里面一个很基本的概念，但是理解起来有些困难，但是如果从群论的角度来看原根，就变得比较简单和非常清楚了（原根是单位群的生成元）。反过来，原根的概念也可以帮助学生更好地学习和掌握群论的思想方法。 目前大多数大学的数学系在低年级都不开设数论方面的课程，这其实不利于学生在以后学习抽象代数以及其他现代数学方面的课程。正是因为这个原因，十多年前著名数学家冯克勤老师在担任清华大学数学系主任的时候，就制定了将初等数论课程作为一年级数学基础课程的教学计划。学生们学了初等数论后，就可以在以后进一步学习代数数论和解析数论这两门课程，从而为进入现代数学的殿堂作好准备。这是因为数论领域现在已经成为了大量现代数学理论的应用场所，用以检验这些数学理论的有效性，例如算术（代数）几何就是将代数几何的方法运用到数论里而产生的一个新的分支学科。又如在数论中研究著名的黎曼zeta函数的时候，需要运用复变函数论的方法等等。 二、抽象代数的基本思想《数学概观》的第三章主要介绍了抽象代数中最基本的思想方法。作者按照抽象代数历史发展的途径，先是简要讲述了与环论密切相关（也是比较容易理解）的多项式理论，从中得出环的基本概念与性质。与环类似的重要概念是域的概念，作者重点讲解了代数元素、理想、诺特环等最基本的概念，还介绍了在代数几何里很重要的希尔伯特零点定理。接下来，作者详细地介绍了群论中常用的一些基本概念和相关结论，甚至还讲了伽罗瓦理论中比较深奥的基本定理，使读者能够对群论的内容及其作用有一个初步的了解。 目前，抽象代数已经发展成为了现代数学中一个庞大的领域，它包括了线性代数、群论、环论、域论、模论、李群、交换代数、同调代数、表示论、范畴论等分支学科，它不仅为全部数学提供有力的工具，而且在物理学、化学、计算机科学、控制论等学科中有广泛的应用，因此抽象代数在整个数学系课程体系中的地位也变得越来越重要。 在上个世纪初，“代数学”一词主要是指经典的代数方程理论，而到了上世纪的中叶，代数学才分成了经典代数和抽象代数，前者就是代数方程理论，后者则包含了关于群、环和域等代数结构的理论。古典的代数方程理论在过去是数学系的一门课程，自从上世纪60年代抽象代数进入大学数学系的课程后，它就不再讲了，然而代数方程理论属于学生应该知道的近代数学知识，不了解这些知识就不能更好地理解抽象代数课程的内容。 在历史上，群论和域论的最基本概念都起源于对代数方程理论的研究。具体来说，群论和域论起源于法国数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表示问题时所作出的重要发现，他发现可以将复杂的扩域问题转化为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，从而彻底解决了5次及以上的代数方程何时有根式解的经典问题。与此同时，人们在研究数论（特别是证明费马大定理）的过程中，以戴德金为代表的一些数学家逐步形成了环的理想理论。到了20世纪的20年代末，数学家范德瓦尔登写出了经典名著《代数学》，它系统总结了抽象代数的基本理论，对现代数学的发展影响极大。然而遗憾的是，在范德瓦尔登的《代数学》中，并没有给出抽象代数理论的形成过程，很多后来写的抽象代数的教科书基本上延续了这种做法，这给学生们学习和理解抽象代数造成了不小的困难。目前国外已经有一些优秀的抽象代数教材开始纠正这种不讲来龙去脉的讲法，充分地解释抽象代数理论的各种思想来源和应用，例如由数学家M. 阿丁（M. Artin）编写的《Algebra（代数）》（有机械工业出版社的影印本和翻译本）就是这样的一本好教材。 三、线性代数（高等代数）的基本思想《数学概观》的第四章的前半部分主要介绍了线性代数中最基本的思想。作者在这一章的开头这样强调了线性代数的重要性：“如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。” 作者首先讲了线性代数的三个来源：欧氏几何、解析几何与线性方程组。该书用一种比较通俗的方法详细论证了关于线性方程组解的基本定理，然后讲了线性映射的概念，以及它们的矩阵表示，还介绍了逆矩阵、行列式和特征多项式等基本概念。对于最基本的线性空间概念，作者着重于讲解其中向量的线性关系，以及基向量的重要性。该书仔细地介绍了线性变换的基本理论，其中就包括了不变子空间和特征值等内容。 在国外，线性代数课程的内容大致分为了两大部分：第一部分（初等线性代数）包括了矩阵论、行列式、线性方程组等内容，第二部分（高等线性代数）则主要包括了线性空间、线性变换、欧氏空间等比较抽象的内容。国外的一些教材往往将第二部分放在抽象代数中来讲，例如前面提到的那本由M. 阿丁写的《Algebra（代数）》就是这样做的。这从一个侧面说明了学生们在学习第二部分时会遇到某些困难的真正原因：线性空间和线性变换是从各种具体的线性空间和线性变换中抽象出来的两个一般的代数概念，线性空间与线性变换的理论在本质上是一种代数结构的理论，具有一定程度的抽象性。 在历史上，线性空间与线性变换的理论大致出现在了20世纪初，人们在研究积分方程的求解问题以及相关的泛函分析问题时，逐渐产生了线性变换的特征值的概念，这个概念是矩阵特征值概念的深刻推广。例如在积分方程的研究中，需要计算类似 这样的线性变换的特征值，其所对应的特征向量可以用来构造相关的积分方程的解，这里的 就是函数空间上的一个线性变换。此时出于研究函数空间的需要，数学家们以高维欧氏空间 以及其上的线性变换为蓝本，提出了一般的线性空间和线性变换的理论，并且把 空间中的主轴定理推广到了一般的欧氏空间（也称为“内积空间”）中。和抽象代数的教学相类似，线性代数教学的一个主要误区也是往往只注重演绎证明，而不太重视介绍线性代数的思想来源和丰富的应用，特别是忽视对各种定理在低维（或低阶）情形时的讨论。 五、极限论与拓扑学的基本思想《数学概观》的第五章主要介绍了极限论与拓扑学中最基本的思想。作者在本章中首先介绍了德国数学家戴德金如何为实数理论建立了一个公理体系，从而为微积分和数学分析理论奠定了严格的逻辑基础。在数学分析的课本中，大多对无理数的戴德金分割定义讲得比较抽象，然而在本书中，作者却讲得比较通俗而清楚。有了实数的严格定义和最小上界（即上确界）公理，就能够顺理成章地给出数列极限的 定义和函数极限的 定义，并且推导出了几条常用的极限定理，如数列的单调有界定理、子列定理和柯西极限定理等，这样就为讨论函数的连续性做好了准备。作者还重点介绍了函数列的一致收敛概念，并且严格证明了一致收敛的连续函数列的极限函数也是连续的。 不仅如此，作者在本章还进一步介绍了与极限论密切相关的拓扑学方面最基本的一些知识，这其中就包括了开集、闭集和紧集的概念。该书用比较通俗的语言讲解了拓扑空间、邻域、同胚、连通等重要概念，并且作为拓扑学方法的示范，还仔细解释了代数学基本定理的拓扑证明方法和研究代数曲线的黎曼曲面方法。 之所以要在讲微积分前系统地讲清楚极限的理论，主要是想为整个微积分和数学分析课程打好一个坚实的数学理论推理的基础。历史上在微积分理论发展了将近两百年后，才慢慢出现了严格的极限理论。极限论的主要目的是为了解决在求微分或导数、求积分、以及判别级数的收敛性时出现的各种困难问题。例如，是不是连续函数都可微？若一个函数在每一点可微，那么它的导函数是否连续？在历史上还曾经出现过令人震惊的连续但不可微函数的例子。为此必须仔细地考察导数的定义及其基本性质，以及研究函数的连续性，而不是仅仅依赖于“连续”的直观形象。在此之前就必然要引入函数极限的严格定义，也就是函数极限的定义。这个定义把注意力集中在如何精确地表达“要多小就有多小”的问题上，从而可以彻底解决所有有关收敛性的困惑问题。这些令人困惑的收敛性问题还包括了像“连续函数的一个收敛级数的和函数是否一定连续”这样的经典问题，它的彻底解决依靠了一个从定义发展出来的一致收敛定义。 实际上， 的语言也为点集拓扑学的诞生开辟了道路。例如函数 连续就可以用拓扑学的语言表述为“ 是开集是开集”等。拓扑学的基本思想也来源于复变函数论（尤其是黎曼曲面）和经典代数几何，拓扑学主要研究在连续变形下几何形状的不变性质，它曾被数学家迪厄多内（J. Dieudonné ）誉为是现代数学中的“女王”。这主要是因为拓扑学的思想方法已经渗透到了现代数学的各个分支学科中，无论是数论、抽象代数和代数几何，还是微分方程与几何分析，都运用了很多拓扑学的理论与方法。而在现代数学和科学技术中要经常使用拓扑学方法的原因是：由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要，由此我们也可以将拓扑学看成是更抽象的现代意义上的几何学。 六、微分学与微分方程的基本思想在第七章讲微分学之前，《数学概观》专门安排了只讲历史的第六章“英雄世纪”，来简要讲述以牛顿和莱布尼茨为代表的一批17世纪数学家创造微积分的曲折过程，从中强调了微积分不是只有简单的微分与积分两种运算，而是具有从无穷细分再到无穷累加的极其精密的思维特征，并且还包含了几何学意义上的重大突破，这套十分优美的微积分理论是在解决大量的几何学与物理学研究问题的过程中艰难诞生的。 第七章的开头部分先讲了导数和微分法则，此时为了说明微分学的用处，作者介绍了一些关于常微分方程的内容，具体来说是通过解一些最简单的常微分方程，来推导出开普勒的行星三大定律，这充分显示了微积分在解决实际问题中的巨大威力，同时也读者能够比较深入地理解微分学方法的精髓。 然后作者仔细讲解了中值定理和反函数的可微性定理。有了中值定理，就可以用它和第四章讲的压缩映射定理，来严格地证明常微分方程解的存在性和唯一性定理，使读者看到了中值定理和压缩映射定理的真正用处。 接下来，作者讲了十分基本的多元函数微分法。运用中值定理就可以轻松地证明多元函数的所有二阶偏导数都相等。书中还介绍了很重要的多元函数的泰勒公式、链式法则和雅可比矩阵，以及它们的用处。 为了说明多元函数微分法的用途，作者还特别安排了一节来专门讲解偏微分方程的基本概念，这是十分大胆而又正确的做法。这是因为多元微积分中的许多内容其实主要就是在为解偏微分方程作准备的（当然也为其他一些数学课程作准备），例如联系曲线积分与曲面积分的高斯公式（即散度定理），就是研究调和方程解的性质的有力工具。适当地介绍一点偏微分方程的知识，可以有效地减少学生在学习多元微积分时的盲目性。在这里作者只讲了弦振动方程和热传导方程这两个最简单的线性方程，说明了它们的解的概念，以及解的基本性质，由此可以进一步激发起读者学习多元函数微分法的兴趣。 在历史上，很多涉及运动与演化的数学、物理和技术问题的研究都可以化归为微分方程的求解问题，这是因为反映自然规律的量与量之间函数关系往往不能直接写出来，而此时却比较容易建立这些变量与它们的导数（或偏导数）之间的关系式。虽然一般来说，绝大多数的微分方程都是比较难以求解的，但是对于学生来说，重要的是掌握一些处理微分方程问题最基本的思想方法，而不是着眼于求解某一类具体的微分方程。 七、积分学与实变函数论的基本思想《数学概观》的第八章主要介绍了积分学与实变函数论中的一些最基本的思想方法。在讲积分学时，作者首先从非常直观的计算面积和体积的问题开始讲起，先从曲边梯形面积的导数计算，直接得出牛顿-莱布尼茨公式。然后作者详细地展开关于黎曼积分的定义及其性质的论述，特别是常用的积分号下求导数、累次积分、广义积分等内容，重点是讲解积分号下求导数，以及控制收敛定理。接下来作者运用这个控制收敛定理和分部积分公式，来推导证明很基本的傅里叶反演公式，并且还介绍了与此相关的广义函数和调和分析的一些思想。 学生们在学习含参变量的积分这部分内容时，往往不理解像积分号下求导数这类运算究竟派什么用处。作者在这里所举的傅里叶反演公式的例子就是这方面的一个典型示范例子，学生们可以从中学到一些很有用的分析技巧。 在讲实变函数时，作者从高维空间 中的黎曼积分开始讲起，详细地给出了 中单位球体的n维体积的计算方法。书中接着指出，为了对更一般的函数求积分，可以将黎曼积分推广至斯蒂尔吉斯积分。不仅如此，后者还能够进一步推广成著名的勒贝格积分。勒贝格积分的优点是：只需要函数满足逐点收敛（而不需要一致收敛）的条件，就能使得控制收敛定理成立。在勒贝格积分的意义下，牛顿-莱布尼茨公式可以推广至一般的情形。 实变函数论里的重点是勒贝格积分的理论。我们知道，数学分析中的黎曼积分适用于基本上连续的函数。为了扩大可积函数类，改善积分的性质，就需要引入勒贝格积分，这种积分具有比黎曼积分更优良的性质，因此它的用处其实比黎曼积分更大，像调和分析和泛函分析等高一级的分析学分支学科都需要建立在勒贝格积分理论的基础之上。但是另一方面，在实变函数论课程中所进行的推理与证明又比数学分析中的推理更加精密和艰深，因此学生们学习与理解起来也更加困难，这就需要让学生们增加一些对于实变函数论的来龙去脉的了解。 八、微分流形的基本思想在《数学概观》的第七章和第八章中，作者还着重介绍了微分流形理论所包含的一些最基本的思想方法。微分流形的概念最早起源于3维欧氏空间里的光滑曲线与光滑曲面。从20世纪初开始，法国数学家庞加莱发现了微分流形的一些拓扑不变量：同调群和同伦群，另外一位法国数学家E. 嘉当对一种被称为“李群”的特殊微分流形和微分形式的理论进行了深入的研究，同时德国数学家外尔又建立了关于黎曼曲面的理论，所有这一切才使得微分流形的概念慢慢地清晰起来。随着拓扑学和整体微分几何的快速发展，大约到了20世纪的中期，就形成了我们今天所说的微分流形理论，也就是微分流形上的微积分理论。 简单地说，微分流形就是一种抽象的拓扑空间，它在局部可以与欧氏空间同胚，并且在整体上还覆盖了一组坐标卡，这样就赋予了流形一个微分结构。这个极为抽象的概念凝聚了几百年来数学发展的最精华的成果，为20世纪现代数学的大发展提供了一个广阔的舞台。目前，微分流形的理论已经被运用到了数学与物理的许多分支学科中，其中就包括了黎曼几何、偏微分方程、拓扑学、李群、动力系统、莫尔斯理论、辛几何、黎曼曲面理论、复流形、代数几何、相对论与理论物理。 在微分流形的理论中，需要将经典微积分意义下的微分形式推广至微分流形上的微分形式。作者在第七章的最后部分里，从格拉斯曼代数出发，详细地介绍了 中的微分形式概念，以及它们的计算方法。 接着，作者从 中超曲面的概念出发，给出了 中维微分流形（即书上所说的“流形”）的定义，并且指出微分流形虽然在整体上看起来非常复杂，但是局部看起来却正像 中的开集。有了微分形式，就可以从中得到德·拉姆复形，并进而得到著名的德·拉姆上同调群，这个群能够用来产生描写微分流形拓扑性质的不变量。 在讨论积分学的第八章的最后部分，作者还介绍了微分流形上的积分方法，以此来重新统一表述经典微积分里的曲线积分与曲面积分，并最终得到了微分流形上一般的斯托克斯公式 ，它其实可以看成是牛顿-莱布尼茨公式在高维几何空间中的推广。 九、级数论与复变函数论的基本思想在《数学概观》的第九章中，作者主要讲了数学分析中的级数论，以及复变函数论最基本的思想。作者首先回顾了数项级数收敛与发散的基本概念，然后着重讨论了函数项级数，特别是给出了证明著名的阿贝尔定理的详细过程。接下来作者重点介绍了幂级数的基本理论，其中就包括了收敛半径的概念，并且从这里出发，进一步讲述用单复变量幂级数来定义解析函数的经典方法。复变函数论的这个非常自然的引入方法是由德国数学家魏尔斯特拉斯首创的，它深刻揭示了解析函数的基本性质。 在经典微积分理论里所处理的函数主要是实函数，但是当我们将微分与积分的理论平行地推广到复函数时，就形成了一门新的理论——复变函数论，这个新理论与原来的微积分相比，内容不仅更加丰富多彩，而且理论上也更加完美。这个新理论实际上开辟了通往现代数学的道路，并最终产生了黎曼曲面、拓扑学和复几何等基础学科。 在本章的后面部分，作者从函数逼近论的角度，初步介绍了傅里叶级数的概念及其基本性质。无论是从理论发展上看，还是从实际应用的角度看，傅里叶级数都是非常重要的。 十、概率论的基本思想《数学概观》的第十章主要介绍概率论中最基本的思想方法。早期的概率论只讨论比较简单的古典概型。到了20世纪，微积分理论通过连续随机变量这一重要的途径而进入了概率论领域，并进而产生了数理统计这门学科，人们开始发现概率论和数理统计在自然科学和社会科学中具有大量的应用。 作者在本章中先简单地讲了古典概型的一些基本概念，然后很快转入对随机变量及其分布函数的介绍，重点讲解了随机变量的期望、方差和特征函数等基本概念及其计算方法。接着作者讨论了随机变量的和、大数定律和中心极限定理等内容，并且还介绍了数理统计的基本思想，即通过弄清楚依赖于一组独立随机变量的统计量（也是随机变量）的分布函数，就能够针对实际问题中给出的结论进行统计推断（点估计和假设检验）。本章的最后介绍了概率论对于刻画物理学中布朗运动的一个应用。 十一、数值计算与数学应用中的基本思想在《数学概观》的第十一章中，作者还介绍了数值计算与数学应用最基本的思想。作者先比较详细地介绍了数值计算理论中最基本的一种计算方法——差分法，它可以用来计算微分方程的近似解。差分法的基本想法是将微分方程变成差分方程，从而可以形成迭代序列，因此这种方法特别适合在计算机上运用。 作者在本章中，还详细地给出了物理学中关于声音的一个数学模型问题的解决过程，这个数学模型被归结为解一个偏微分方程。作者想以此来说明在应用数学中解决实际问题时所遵循的一般步骤。 |
|
|
