微分方程与建模应用
微分方程简介
"微分方程"这个词汇确实暗示着解决包含导数 的方程。类似于代数和三角学课程，在那里我们花费了大量时间来解决像 这样的方程，以求解未知数 ，在这门课程中，我们的任务之一是解决像 这样的微分方程，其中未知函数为 。 首先要明了的是，为了阅读、学习和熟悉某一专业领域，你必须掌握该学科的一些术语。这正是本章的前两节的重点。在最后一节中，我们简要探讨了微分方程与现实世界之间的联系。实际问题，比如疾病传播速度有多快？人口变化速度有多快？涉及到变化率或导数。因此，对于现象、实验、观察或理论的数学描述，或者数学模型，可能就是一个微分方程。  定义和术语导言函数 的导数 本身是另一个函数 ，通过适当的规则找到。指数函数 在区间 上可微，根据链式法则，它的一阶导数是 。如果我们在上述方程的右侧用符号 替代 ，导数变为 现在想象一下，你的一个朋友简单地把上面的方程交给了你，你不知道它是如何构造的，然后问道，符号 代表的函数是什么？现在你面临了这门课程中的一个基本问题： 如何解方程来找到函数 ？ 一个定义 ：我们在（1）中构造的方程被称为微分方程。在继续之前，让我们考虑一下这个概念的更精确定义。要进一步详细解释这个定义，可以这样表述： 微分方程（differential equation）是一个方程，其中包含了一个或多个未知函数及其导数。通常，微分方程的目标是找到一个或多个函数，使得方程成立。在上述例子中，方程 包含未知函数 及其一阶导数，我们的目标是找到函数 ，使得该方程成立。 为了讨论它们，我们将根据类型、阶数和线性性将微分方程进行分类。 按类型分类 如果一个微分方程只包含一个或多个未知函数关于单一独立变量的普通导数，那么它被称为常微分方程（ODE）。包含一个或多个未知函数关于两个或更多独立变量的偏导数的方程被称为偏微分方程（PDE）。我们的第一个示例包括了每种类型的微分方程。 示例 1 微分方程的类型：方程 是常微分方程的例子。（一个ODE可以包含多个未知函数） 以下方程是偏微分方程： 请注意，在第三个方程中，偏微分方程（PDE）中有两个未知函数和两个独立变量。这意味着 和 必须是关于两个或更多独立变量的函数。 符号表示 在本文中，普通导数将使用莱布尼兹符号 或者标记符号 来表示。通过使用后者的符号，前面两个微分方程可以更紧凑地写成 和 。实际上，标记符号仅用于表示前三阶导数；第四阶导数写为 而不是 。一般来说， 的第 阶导数写作 或 。尽管不如标记符号方便写和排版，但莱布尼兹符号有一个优点，即清晰显示了依赖变量和独立变量。例如，在方程 中，可以立即看出符号 现在代表一个依赖变量，而独立变量是 。还应该注意，在物理科学和工程领域，牛顿的点符号有时用于表示对时间 的导数。因此，微分方程 变为 。偏导数通常用下标符号表示独立变量。例如，使用下标符号，方程变为 。 根据阶来分类： （无论是ODE还是PDE）方程的阶数是方程中最高阶导数的阶数。例如， 是一个二阶常微分方程。一阶常微分方程有时以微分形式写成 示例2 ：一阶ODE的微分形式如果我们假设是一阶ODE中的因变量，那么从微积分中可以回忆到微分被定义为。
或等价地
乘以，我们可以看到该方程具有另一种微分形式 用符号表示，我们可以通过一般形式来表示一个依赖于一个因变量的阶常微分方程 其中 是一个关于个变量的实值函数：。出于实际和理论原因，从现在开始，我们还将假设可以唯一地解出上述形式的一阶导数，并表示为其余的个变量。微分方程 其中是一个实值连续函数，被称为形式 的标准形式。因此，当符合我们的目的时，我们将使用标准形式来表示一般的一阶和二阶常微分方程示例3：ODE的标准形式通过解出导数，一阶微分方程的标准形式 通过解出导数，二阶微分方程的标准形式 按线性分类 如果一个阶常微分方程 中的对是线性的，那么这意味着当具有形式时，阶ODE是线性的，或者可以表示为 方程的左侧加法组合中，线性ODE的两个重要特性如下：
非线性常微分方程简单来说就是不是线性的方程。线性方程中不能出现因变量或其导数的非线性函数，比如或。 示例4 线性和非线性ODE方程 分别是线性一阶、二阶和三阶常微分方程。 我们刚刚在例2的部分中演示了第一个方程在变量方面是线性的，通过将其写成替代形式。 方程 分别是非线性一阶、二阶和四阶普通微分方程的示例。 在下一个定义中，我们考虑了常微分方程的解的概念。    |
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