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除法和分数教学，最常用的情境是“平均分物”，这一数学模型涉及两种除法，俗称“等分除”和“包含除”。 以分饼干的简单模型开始，可以看见两个问题： 问题1:将12块饼干平均分给3人，每人几块？ 问题2:将12块饼干分给一些人，每人4块，能分给几人？ 这是两种不同意义的除法。问题1知道总数和份数（平均分给几人），用除法去求每份是多少？俗称“等分除”；问题2知道总数和每份数，用除法求有多少人参与平均分，即总数里包含多少份，俗称“包含除”。 可见，这两种除法，是同一个“平均分物”数学模型所产生的。 从除法的意义分析，等分除和包含除是同一情境两类互相依存的除法问题。张奠宙老师也谈过小学数学教材中存在忽视“包含除”的倾向，认为教材中给的不少例子都是等分除的例子，没有指出包含除和等分除的区别，导致不少同学认为“除法就是等分除”的思维定势。 那为什么要重视包含除呢？如果能根据同样的情境，既能提出等分除又能提出包含除的问题，对培养学生提出问题的能力十分有益的。另外，也促进学生对除法的意义有更深地了解。 平均分的情境适合整数的除法，平均分配给某些人、某几个班、某几个小组等，人、班、组的数都是自然数。但对于分数除法，就说不通了。例如4÷1/2，不能说成把4块饼干平分给1/2个人，但是问4里面包含几个1/2，还是很容易思考的。  在一个情境中，一般涉及到三个量，总数、份数和每份数。知道份数、每份数求总数，要用乘法。知道总数和份数，用除法求每份数，俗称“等分除”。知道总数和每份数，用除法求份数，也就是总数里包含多少份，俗称：包含除“。 在教材分一分与除法中，例题中也是以等分除（分草莓）来介绍的，而在试一试环节中，3个练习中前2个都是包含除，后一个是等分除。 所以，在教学过程中，在生活中分东西时，既要有按份数平均分，也要有按每份数平均分，这样积累大量等分经验基础上引出除法会更好。 除法的本质是平均分，不管是按份数平均分，还是按每份数平均分，结果每一份分得的都同样多，都是平均分。 学生对平均分的过程和方法要非常清楚，要知道分的是什么，怎么分，分的结果是什么。 结合具体情境，知道被除数是要分的总数，除数是平均分的份数或每份的数，商是平均分的结果，体会到除法是解决平均分问题的一种运算方法。 同样，在有余数的除法中，也应该有“等分除”和“包含除”同时出现的情景。书本的例题中就是以2个例题，一个等分除，一个包含除来展开教学。 在练习中，也应该出现“等分除”和“包含除”两种练习来加以巩固。 4个苹果装一袋，12个苹果能够装几袋？ 把12个苹果平均分成3份，每份有多少个苹果？ 这两题在这里显然是个对比。第一个是“包含除”，另一个是“等分除”。 12÷4=3（袋）；12÷3=4（个） 这里能看到总数和每份数的单位是一样的。 在有余数的除法练习中，同样有这样的练习： 有32粒糖，平均分给5人。每人分到几粒糖？还剩下几粒糖？ 有32粒糖，每人分到6粒糖，可以分给几个人？还剩下几粒糖？ 32÷5=6（粒）……2（粒） 32÷6=5（个）……2（粒） 从这里看到，“等分除”中的商和余数单位是一样的；而“包含除”中商和余数单位是不一样的。 在练习中，还可以让孩子自己根据自己画的情境来进行编题，通过自己的语言描述，来编对应的乘法和除法题。
孩子们自己画好主题图，然后根据主题图自己提出乘法问题和除法问题，这里的除法问题既有“等分除”和“包含除”两个类型。
看来，孩子们倒是没有偏爱哪一种除法模型，既提出了乘法题，也提出了两个除法问题。 |
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