矩形域的Dirichlet问题考虑长为 , 宽为 的矩形平板上的温度分布的平衡状态 问题 其中 是已知的连续函数. 解. 设 , 代入方程, 得 于是 结合边界条件 及 , 得特征(固有)值问题 其特征（固有）值和对应的特征（固有）函数为 方程 的通解为 因此 满足方程和边界条件. 利用叠加原理, 设所求的形式解为 其中系数由初始条件确定, 即 故
解得 最后再代回 即可. 练习题用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 上的稳定温 度分布: 定理:二维调和函数的圆周平均值公式:设 是 上的调和函数， 是以 为中心， 为半径的圆域， 且 , 则成立 其中 练习题若函数 是单位圆上的调和函数，又它在单位 圆周上的数值已知为 ，其中 表示极角，问函数 在原点的值等于多少? 调和函数的基本性质性质 1 : 设函数 是区域 内的调和函数, 它在 上有一阶 连续偏导数, 则 平均值定理 三维设函数 在区域 内调和, 是 内的任一 点, 若 是以 为中心、以 为半径的球面, 此球完全落在区域 的内部, 则 有 证: 把调和函数的积分表达式 应用到球面 上, 得 由性质 1 得 由于 于是 所以 也就是说：调和函数在球心的值等于其在球面的平均值 |
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