2.4 圆的方程2.4.1 圆的标准方程 问题2.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆?问题1.圆的定义是什么?圆心坐标,半径确定一个圆平面 上到定点的距离等于定长的点的集合.问题3.已知圆心为A(a,b),半径为r你能推导出圆的方程吗?设M(x,y)为圆上任意一点满足| AM|=r两边同时平方,得(x - a)2+(y - b)2= r2追问.是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这个方程的坐标的点 都在圆上?一、圆的标准方程 圆心为A(a,b),半径为 r 的圆的标准方程为(x - a)2+(y - b)2= r2追问.圆心为 原点,半径为 r 的圆的标准方程是什么?x 2 + y 2= r2问题4.求圆的标准方程需要几个条件?三个独立条件求a,b,r确定 一个圆的方程.练习1 .说出下列圆的圆心及半径(5)(x ? a)2 + y 2 = m2 (1(2) x 2 + y 2 =9 (3) (x ? 3)2 +( y+4) 2 = 49 (4)(x+8)2+(y-3)2=25例1.求圆心为A(2,-3),半径为 5的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7),M2(-2,-1)是否在这个圆上.解: 圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边,得(5-2)2+(-7+ 3)2=25,等式成立,所以点M1在这个圆上.把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边,得(-2 -2)2+(-1+3)2≠25,等式不成立,所以点M1不在这个圆上.例1.求圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程,并判断点 M1(5,-7),M2(-2,-1)是否在这个圆上.追问.M2(-2,-1)在圆内还是在圆外?所以M2(-2,-1)在圆内。问题5 .点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么?在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么? (x0-a)2+(y0-b)2r2练习3.已知圆的标准方 程是(x-3)2+(y+2)2=16,判断下列各点在圆上、圆外,还是在圆内.(1) M1(4,-5) (2)M2(6,1) (3 )M3(3,-6).解:(1) M1代入圆的方程,(4-3)2+(-5+2)2<16,所以点M1在圆内;(1) M2代入圆的方程, (6-3)2+(1+2)2>16,所以点M1在圆外;(1) M3代入圆的方程,(3-3)2+(-6+2)2=16,所以点M1在圆上 .例2. ?ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求?ABC的外接圆的标准方程.例2. ?ABC的三 个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求?ABC的外接圆的标准方程.例3.已知圆心为C的圆经过A(1,1),B (2,-2)两点,且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的标准方程.例3.已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点 ,且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的标准方程.圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直 接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方 程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的 方程.练习4.已知△AOB的三个顶点分别是A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3) ,求△AOB的外接圆的标准方程.解: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b) 2 =r 2 (1) 观察上面的式子 , 我们发现 , 三式两两相减 , 可以消去a2, b2, r2得到关于a, b的二元一次方程组 解法2:由A, O 两点的坐标为(4, 0), (0, 0)可 得线段AO的垂直平分线l1的方程是x=2, 同理可得,BO线段的垂直平分线l2的方程是y=3/2,所以圆心C的坐标是l1与l2的交 点坐标 . 练习4.已知△AOB的三个顶点分别是A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3) ,求△AOB的外接圆的标准方程 .①设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2;2、圆的标准方程的求法(1)用待定系数法,一般步骤如下:(2)利用圆的几何 性质, 由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径,然后代入标准式写方程.1、圆的标准方程②根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解方程组,求出a,b,r的值;④将a,b,r的值代入方程,即为所求圆的方程.课堂小结 |
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