2023湖南怀化24
解法分析(1)将点A、B的坐标分别代入函数解析式中，
解方程组得：=1，=2，
∴抛物线的解析式为：
=+2-8=(+1)-9，
∴顶点坐标为(-1，-9). 解法分析(2)函数模型求最值
★等积变换
连接OC.
易求得：点C的坐标为(0，-8).
设点P的坐标为(，+2-8).
∵S=S+S-S，
∴S=AO×(-)+CO×(-)-AO×CO
=-2-8
=-2(+2)+8，
∴当=-2时，△PAC的面积取得最大值8，
此时点P的坐标为(-2，-8). 
★铅垂线法
过点P作轴的垂线，交AC于点Q.
根据待定系数法求得：
直线AC的解析式为：=-2-8.
设点P的坐标为(，+2-8)，
则点Q的坐标为(，-2-8)，
∴S=(-)(-)
=-2-8
=-2(+2)+8，
∴当=-2时，△PAC的面积取得最大值8，
此时点P的坐标为(-2，-8). 
代数法
过点P作AC的平行线，
当直线与抛物线相切时，△PAC的面积最大.
设直线的解析式为：=-2+.
联立直线和抛物线的解析式得：
-2+=+2-8，
化为一般式得：
+4-8-=0，
∵直线与抛物线相切于点P，
∴△=4-4×(-8-)=0，
解得：=-12，
∴+4-8+12=0，
解得：=-2，
∴点P的坐标为(-2，-8)，
∴S=PC×(-)=8. 
解法分析(3)韦达定理
联立直线和抛物线的解析式得：
+(2-)-+=0，
∴+=-2，·=-+，
∴+
=+-++-
=(+)+2-
=-.
(-)
=(+)-4·
=+1，
∴(-)
=(+---+)
=(-)
=+. 切线的判定
以MN为直径画圆O.
根据两点间距离公式*求得：
MN=
=+1，
∴圆O的半径=+.
根据中点坐标公式*求得：
==-，
∴点O到直线的距离=+=+=，
∴直线与圆O相切，记切点为E，
∴∠MEN=90°，
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点E，使得∠MEN为直角. 动态演示
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