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★秘密·2023年8月25日16：00前
重庆市2023-2024学年（上）8月月度质量检测
高三数学
2023.08
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1 ? = 2 + 3??
．若 （ 是虚数单位），则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2
2．已知集合 = ,?? = { || | < 3}，则 ∩ =（ ）
| < 4
A．(?2,2) B．(?2,3) C．(?3,2) D．(?3,3)
3．中国女篮在 2023年女篮亚洲杯决赛中以 2分优势力克老对手日本队，中国女篮重夺亚洲杯冠军．在颁
12 1 3
奖仪式上，女篮队员 人（其中 人为队长），教练组 人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练
组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
3 11 3 11 3 4 7 3 4 7
A A 2A A A A A 2A A A
A． B． C． D．
3 11 3 11 3 4 7 3 4 7
2??
4 ??,?? ln = ??? ln(2?? )
．已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
1 1
2
A． B． C． D．
2
2
2
5．已知双曲线 C： ? = 1( > 0)，直线 = ??? 与双曲线 C的两条渐近线交于 A，B两点，O 为坐标原
2
点，若 △ 为等边三角形，则双曲线 C的焦距为（ ）
A． B． 3 C．2 D．4
2
1
2
6．函数在 ( ) = ??? ln 在区间(0,??] 上单调递增，则 k得取值范围是（ ）
2
A．[0 + ∞ B．[1 + ∞
， ） ， ）
2
C．[ , + ∞) D．（-∞，1]
?????????
2
7． △ 中， ??? = ，则 的取值范围是（ ）
2
高三数学试卷 第 1 页 共 6 页
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1 1 1 1 2
A． ?1 B． C．
， ， ，
2 3 2 2 3
日落云里走 夜晚天气
1 2
D．
，
3 3
5
f x ? x ? a sin x ? 2a ? 3 x ? 3
8．在数列{ }中， = 1，且函数 ? ? ? ? 的导函数有唯一零点，则 的值为
1 n?1 n 9
（ ）．
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9 2 SO ?1.
．已知圆锥顶点为 ，底面圆 的直径 长为 ， 若 为底面圆周上不同于 ， 的任意一点，则
2
下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥 的侧面积为6
2
3
?SAC
B． 面积的最大值为
2
C．圆锥 的外接球的表面积为9??
7π
D．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过 的中点时，则水的体积为
12
2 2
2 2 2
10．已知圆 C : (x ? 3) ? (y ?1) ?1与圆??:(????? ) +(???2 ) = (?? ∈ ,?? > 0)相交于??,?? 两点，则（ ）
A．圆 的圆心坐标为(3,1)
2 5 2 5
B．当 = 2时，1? < < 1 +
5 5
C．当 ⊥ 且 = 3时， = 2
D．当| | = 2时， 的最小值为
6
y ? f x
11．已知函数 ? ?在 上可导，且 (0) = 1，其导函数 ′( )满足(???1 ) ′ ≥ 0（当且仅当 = 1
( )??? ( )
( )
时取等号），对于函数 ( ) = ，下列结论正确的是（ ）
??,1
A．函数 ( )在? ?上为减函数 B． = 1是函数 ( )的极大值点
2
C．函数 ( )必有 2个零点 D． ( ) > (2)
12．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰
“ ” “ ”“
富的 看云识天气 的经验，并将这些经验编成谚语，如 天上钩钩云，地上雨淋淋 日落云里走，雨在半夜
后”……小波同学为了验证 “日落云里走，雨在半夜后”，观察了 A地区的 100天日落和夜晚天气，得到如下 2×2
2
列联表，并计算得到 χ ≈19.05，下列小波对 A地区天气的判断正确的是（ ）
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1
A．夜晚下雨的概率约为
下雨 未下雨
2
5
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
14 25 5
出现
C．依据 α＝0.005 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与
未出现 25 45
夜晚天气有关
D．依据 α＝0.005 的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量 与 的夹角为60°,| | = 3,| | = 1，则| | = .
+ 2
14．正三棱锥??????? 底面边长为2,?? 为 的中点，且 ⊥ ，则正三棱锥??????? 外接球的体积为 .
f x ? f ?x ? 2b
? ? ? ?
15．如果 ( ) + (??? ) = 0，则 ( )为奇函数，图象关于原点对称. 如果 ，则图象关于点(0,?? )
| |?
对称.若已知函数 ( ) = ( ∈ [?8??,0) ∪ (0,8?? ],0 < < 8)的最大值为 ，最小值为 ，则 + 的
| |
值为 .
?
?
g (x)
16．定义在 R上的函数??(??) 与??(??) 的导函数分别为 f (x)和 ，若??(?? + 1)???(2???) = 2， ′(??) = ′(???1) ，
且??(?? + 2)为奇函数，则下列正确的是 .（填序号）
?
2023
x ? 2 ∑
①??(2) = 0 ②函数 f (x)关于 对称 ③函数??(??) 是周期函数 ④ (??) = 0
=1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
?????
17．已知 △ 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 = .
?????
(1)求角 A的大小；
(2)若 = 2 ，且 + = 6，求 △ 的面积.
3
高三数学试卷 第 3 页 共 6 页
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18．已知数列{ }的前 项和为 , + = 4，设 = log .
2
(1)求数列{ }的通项公式；
? ?
1
(2)求数列 的前 项和 .
? ?
b ?b
? 2n?1 2n?1 ?
1
19．某闯关游戏由两道关卡组成，现有 名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为 ，
2
两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第 ( = 1,2,3, ??? ,???1 )位选手在 10分钟内未闯过
+ 1 .
第一关，则认为第i轮闯关失败，由第 位选手继续挑战
③若第 ( = 1,2,3, ??? ,???1 )位选手在 10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在 10分钟内
未闯过第二关，则也认为第i轮闯关失败，由第 + 1位选手继续挑战.
④闯关进行到第 轮，则不管第 位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量 表示 名挑
X ? X ?1, 2,3,?,n?
战者在第 轮结束闯关.
n n
(1)求随机变量 的分布列；
4
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在 10分钟内闯过第一关，以后
Y Y ?Y ?1,2,3,?, n?
闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量 表示 名挑战者在第 轮
n n n
结束闯关.
?
（i）求随机变量 ( ∈ ,?? ≥ 2)的分布列
（ii）证明 ( ) < ( ) < ( ) < ( ) < < ( ) < < 3.
2 3 4 5 ? ?
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PD ? PB, H PB, PD
20．已知四棱锥??????? ，底面 为菱形， 为 上的点，过 的平面分别交 于点??,?? ，
且 ∥平面 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)当 H为 的中点， PA ? PC ? 3AB, PA与平面 所成的角为60°，
求平面 与平面 AMN 所成的锐二面角的余弦值．
21．已知曲线 上任意一点 满足| |?| | = 2，且 (?2,0), (2,0).
1 2 1 2
(1)求 的方程；
(2) (?1,0),?? (1,0) (2,0) ??,?? R . R .
设 ，若过 的直线与 交于 两点，且直线 与 交于点 证明：点 在定直线上
2
2
22．已知函数 ( ) = ? + ， ( ) = 1?
2??
2
(1)若函数 ( ) = ( )??? ( )，讨论当 = 1时函数 ( )的单调性；
(2) ( ) > 2 .
若函数 恒成立，求 的取值范围
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