【每日辅导题】四点共圆、等边△，条件隐藏深，有一定难度

【分析】

点P是中点，过点P做CD的平行线，易证点P也是中点。连接BP，易证AP=BP，则△APB是等边三角形，这是本题的题眼所在。

【求解】

过点P做GH∥CD，则GH⊥AD、GH⊥BC

在Rt△GPD和Rt△HPF中，

PD=PF，

∠GPD=∠HPF（对顶角相等）

Rt△GPD ≌ Rt△HPF （角角边）

所以GP=HP，即点P是GH的中点。

如上图，连接BP，

在Rt△AGP和Rt△BHP中，

GP=HP

AG=BH（四边形GDCH是矩形，AG=AD-DG=BC-HC=BH)

所以 Rt△AGP ≌ Rt△BHP

所以∠APG=∠BPH，AP=BP，

又已知AD=AP

所以AP=BP=AB

所以△ABP是等边三角形

所以 ∠BAP=∠APB=60°，

所以∠APG=∠BPH=(180°-∠BAP)/2=60°

所以∠DAP=90°-∠BAP=30°

同理，易求∠PBC=30°

在△APD中，已知AD=AP

所以∠APD=75°

所以 ∠GPD =∠APD - ∠APG= 15°

所以 ∠HPF=∠APG= 15°（对顶角相等）

所以 ∠BPF=∠BPH - ∠HPF= 45°    这是最为关键的一步。

---

如上图，已知BE=BF，连接EF，则Rt△BEF是等腰直角三角形。

所以∠BEF=45°

∠BPF=∠BEF=45°，所以B、F、P、E四点共圆。（△BEF和△BPF共底边BF、都在BF同侧，且顶角∠BPF=∠BEF）

所以∠PEF=∠PBC=30° （同弦PF所对的圆周角相等）

所以∠BEP=∠BEF+∠PEF=45°+30°=75°