想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 杨 家 坪 中 学 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． A
【 分 析 】 依 题 意 可 得 ? ? ? = 0 ， 根 据 数 量 积 的 坐 标 表 示 得 到 方 程 ， 解 得 即 可 .
【 详 解 】 解 ： 因 为 ? = ?, 2 , 1 ， ? = ? 1 , 0 , 4 ， 且 ? ⊥ ? ，
所 以 ? ? ? = ? ? + 4 = 0 ， 解 得 ? = 4 .
故 选 ： A
2 ． C
2 2
【 分 析 】 方 程 配 方 后 得 ? + ? + ? ? 2 = 6 ? ? ， 根 据 圆 的 半 径 大 于 0 求 解 .
2 2 2 2 2
【 详 解 】 由 方 程 ? + ? + 2 ?? ? 4 ? + ? + ? ? 2 = 0 可 得 ? + ? + ? ? 2 = 6 ? ? ，
所 以 当 ? = 6 ? ? > 0 时 表 示 圆 ， 解 得 ? < 6 .
故 选 ： C .
3 ． C
【 分 析 】 根 据 数 列 的 递 推 关 系 式 ， 求 得 数 列 的 周 期 性 ， 结 合 周 期 性 得 到 ? = ? ， 即 可 求 解 .
2 0 2 0 1
1
?
?
【 详 解 】 由 题 意 ， 数 列 满 足 ? = 1? ( ? ∈ N ) ， 且 ? = 2 ，
? ? + 1 1
?
?
1 1
可 得 ? = , ? =? 1 , ? = 2 , ? = ,? ，
5
2 3 4
2 2
1
可 得 数 列 ? 是 以 2 , ,? 1 三 项 为 周 期 的 周 期 数 列 ，
?
2
所 以 ? = ? = ? = 2 .
2 0 2 0 6 7 3 × 3 + 1 1
故 选 ： C .
4 ． C
【 分 析 】 根 据 两 直 线 平 行 的 条 件 可 知 ? ? ? 3 + 2 = 0 ， 计 算 出 ? 的 值 即 可 得 出 结 论 .
? ? ? 3 + 2 = 0
【 详 解 】 解 ： 两 直 线 平 行 的 充 分 必 要 条 件 是 ，
且 ? 2 2 ? ? ? ? ? 3 ≠ 0 ， 解 得 ? = 2 ，
经 验 证 ， 当 ? = 2 时 ， 两 直 线 平 行 ．
故 选 ： C ．
5 ． B
? ? ?
2 3
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 性 质 列 出 方 程 ， 求 出? ? ? = 1 ， ? = 2 ， 求 出 .
3 2 3
?
3
4 ? 1
【 详 解 】 由 题 意 得 ： ? ? ? = = 1 ，
3 2
3
2
2
设 1 , ? , ? , ? , 4 的 公 比 为 ? ， 则 ? = ? > 0 ， ? = 1 × 4 = 4 ，
2 3 4 3 3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
解 得 ： ? = 2 ，
3
? ? ? ? 1 1
2 3
= = ?
.
? 2 2
3
故 选 ： B
6 ． A
【 分 析 】 根 据 两 点 关 于 直 线 对 称 点 的 特 征 可 求 得 ? = ? 1 ， 并 得 到 ? ? 中 点 坐 标 ； 利 用 点 差
? ?
2
2
? ?
法 可 构 造 等 式 求 得 ， 根 据 椭 圆 离 心 率 ? = 1 ? 可 求 得 结 果 .
2 2
? ?
【 详 解 】 ∵ ? , ? 关 于 直 线 3 ? ? 3 ? ? 1 = 0 对 称 ， ∴ ? = ? 1 ，
? ?
5
3 × + 1
5
3
又 ? ? 中 点 纵 坐 标 为 ， ∴ ? ? 中 点 横 坐 标 为 = 2 ；
3 3
2 2
? ?
1 1
+ = 1
2 2
? ?
设 ? ? , ? ， ? ? , ? ， 则 ，
1 1 2 2
2 2
? ?
2 2
+ = 1
2 2
? ?
2 2 2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + ?
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
两 式 作 差 得 ： = ? ， 即 = ? ，
2 2 2 2
? ?
? ?
2
? ? ? ? ? + ?
1 2 1 2
∴ ? = = ? ? = ? 1
；
? ? 2
? ? ? ? ? + ?
1 2 1 2
2 2
1 0 ? 4 ? 5
又 ? + ? = 4 ， ? + ? = ， ∴ ? ? = ? 1 ， 解 得 ： = ，
1 2 1 2 2 1 0 2
3 ? ? 6
3
2
? 6
∴ ? ? = 1 ?
椭 圆 的 离 心 率 = .
2
? 6
故 选 ： A .
7 ． D
2
【 分 析 】 画 出 抛 物 线 ? = 4 ? 的 焦 点 和 准 线 ， 利 用 抛 物 线 的 几 何 性 质 将 ?? + ?? 转 化 为
C ， P ， F 之 间 的 距 离 之 和 ， 根 据 三 点 共 线 求 得 最 小 值.
2
【 详 解 】 抛 物 线 ? = 4 ? 的 焦 点 是 ? 1 , 0 ， 准 线 方 程 是 ? = ? 1 ， P H 与 准 线 的 交 点 是 ? ，
1
圆 C 的 半 径 为 ? = 1 ， 圆 心 为 ? ? 3 , 3 ，
依 题 意 作 下 图 ：想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
由 图 可 知 ： ?? ≥ ?? ? ? = ?? ? 1 ， ∴ ?? + ?? ≥ ?? ? 1 + ?? + ? ? =
1 1
?? + ?? + 2 ? 1 = ?? + ?? + 1 ，
2 2
?? + ?? 3 + 4 = 5
当 C ， P ， F 三 点 共 线 时 最 小 = ，
∴ ?? + ?? 的 最 小 值 是 6 ；
故 选 ： D .
8 ． C
【 分 析 】 根 据 题 意 可 得 ? = ? + ? + ? + ? + ? + ? ， ? = ? + ? +
2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 1 8 2 1 2 0 2 4 2 0 2 3 2 0 2 1
? + ? + ? + ? + ? ， 两 式 相 加 可 得 ? + ? = ? + ? ， 再 结 合 已 知 条 件 可 得 答
2 0 1 9 5 3 2 2 0 2 3 2 0 2 4 2 0 2 3 2
案 .
? ? + ?
【 详 解 】 因 为 = ，
? + 2 ? + 1 ?
所 以 ? = ? + ? = ? + ? + ? = ? = ? + ? + ? + ? + ? +
2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 1 9 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 1 8 2
? ① ，
1
? = ? + ? = ? + ? + ? = ? = ? + ? + ? + ? + ? + ? +
2 0 2 4 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 3 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 2 3 2 0 2 1 2 0 1 9 5 3
? ② ，
2
由 ① + ② ，
得 ? + ? = ? + ? ，
2 0 2 3 2 0 2 4 2 0 2 3 2
又 ? = ? , ? = ? , ? = 1 ， 即 ? + ? = ? + 1 ，
2 0 2 3 2 0 2 4 2 2 0 2 3
所 以 ? = ? + ? ? 1 .
2 0 2 3
故 选 ： C .
9 ． B C
【 分 析 】 令 ? = 1 时 ， 由 ? , ? 求 出 ? 可 判 断 A ； 由 ? = 3 ? ? 2 3 知 ， ? < 0 , ? > 0 ， 当 ? = 7
? ? 1 ? 7 8
?
时 ， ? 取 得 的 最 小 值 可 判 断 B ； 若 ? = 4 ? ? 3 ， 求 出 数 列 ? 1 ? 的 前 1 7 项 和 可 判 断 C ；
?
? ?
由 数 列 的 下 标 和 性 质 可 得 ? + ? = ? + ? < 0 , ? + ? = ? + ? > 0 ， 则
1 0 1 1 1 0 1 2 1 2 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 4 1 2 0 2 3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? < 0 , ? > 0 可 判 断 D .
2 0 2 2 2 0 2 3
2
【 详 解 】 对 于 A ， 由 ? = ? + 2 ? ? 1 ， 当 ? = 1 时 ， ? = ? = 2 ，
? 1 1
由 ? = 2 ? + 1 ， 当 ? = 1 时 ， ? = 3 ， 所 以 ， A 不 正 确 ；
? 1
对 于 B ， 若 ? = 3 ? ? 2 3 ， 当 ? = 1 时 ， ? = ? 2 0 ， 则 ? < 0 , ? > 0 ，
? 1 7 8
7 ? + ? 7 ( ? 2 0 ? 2 )
1 7
所 以 当 ? = 7 时 ， ? 取 得 的 最 小 值 为 ? = = = ? 7 7 ，
? 7
2 2
所 以 ， B 正 确 ；
?
对 于 C ， 若 ? = 4 ? ? 3 ， 设 数 列 ? 1 ? 的 前 ? 项 和 为 ? ，
? ? ?
? ? + ? ? ? + ? + ? + ? ? ?
所 以 = ?
1 7 1 2 3 4 1 6 1 7
= ? 1 + 5 + ? 9 + 1 3 + ? + 6 1 ? 6 5 = 4 × 8 ? 6 5 = ? 3 3 ， 故 C 正 确 ；
对 于 D ， 数 列 ? 为 等 差 数 列 ， 且 ? + ? < 0 , ? + ? > 0 ，
?
1 0 1 1 1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 2 4
则 ? + ? = ? + ? < 0 , ? + ? = ? + ? > 0 ，
1 0 1 1 1 0 1 2 1 2 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 4 1 2 0 2 3
2 0 2 2 ? + ? 2 0 2 3 ? + ?
1 2 0 2 2 1 2 0 2 3
所 以 ? = < 0 , ? = > 0 ，
2 0 2 2 2 0 2 3
2 2
当 ? < 0 时 ， ? 的 最 大 值 为 2 0 2 2 ， 所 以 D 不 正 确 .
?
故 选 ： B C .
1 0 ． B C D
?
【 分 析 】 分 别 将 的 值 代 入 各 个 命 题 ， 根 据 圆 锥 曲 线 方 程 的 特 点 即 可 作 出 判 断 ．
2 2
? ?
【 详 解 】 对 于 A ， 当 方 程 ? = 1 可 表 示 圆 时 ， 1 6 + ? = ? ? 9 > 0 ， 无 解 ， 故 A 错 误 .
1 6 + ? 9 ? ?
2 2 2 2
? ? ? ?
对 于 B ， 当 ? > 9 时 ， ? = + = 1 ， 1 6 + ? > ? ? 9 ， 表 示 焦 点 在 ? 轴 上 的 椭 圆 ，
1 6 + ? 9 ? ? 1 6 + ? ? ? 9
故 B 正 确 .
2 2
? ?
对 于 C ， 当 ? 1 6 < ? < 9 时 . ? = 1 ， 1 6 + ? > 0 ， 9 ? ? > 0 ， 表 示 焦 点 在 ? 轴 上 的 双
1 6 + ? 9 ? ?
曲 线 ， 故 C 正 确 .
2 2 2 2
? ? ? ?
2
对 于 D ， 当 方 程 ? = 1 表 示 双 曲 线 时 ， ? = 1 6 + ? + 9 ? ? = 2 5 ； 当 方 程 ? =
1 6 + ? 9 ? ? 1 6 + ? 9 ? ?
2
1 ?
表 示 椭 圆 时 ， = 1 6 + ? ? ( ? ? 9 ) = 2 5 ， 所 以 焦 距 均 为 1 0 ， 故 D 正 确 .
故 选 ： B C D
1 1 ． A B D
【 分 析 】 在 选 项 A 中 ， 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 结 合 正 方 体 的 性 质 进 行 判 断 即 可 ；
在 选 项 B 中 ， 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 、 平 行 线 的 性 质 ， 结 合 三 棱 锥 的 体 积 公 式 进 行 求 解 判
断 即 可 ；想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
在 选 项 C 中 ， 根 据 异 面 直 线 所 成 角 的 定 义 进 行 求 解 判 断 即 可 ；
在 选 项 D 中 ， 以 ? 为 原 点 ， ? ? 为 ? 轴 ， ? ? 为 ? 轴 ， ? ? 为 ? 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用 向
1
量 法 进 行 求 解 即 可 .
【 详 解 】 在 选 项 A 中 ， ∵ ? ? ⊥ ? ? ， ? ? ⊥ ? ? ， ? ? ∩ ? ? = ? ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? , ? ? ? ? ?
且 ? 平 面 ，
1 1 1 1 1
∴ ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ，
1 1 1 1 1 1 1
∴ ? ? ⊥ ? ? ，
1 1 1
同 理 ， ? ? ⊥ ? ? ，
1 1
∵ ? ? ∩ ? ? = ? ， 且 ? ? , ? ? ? 平 面 ? ? ? ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ⊥ ? ? ?
∴ 直 线 平 面 ， 故 A 正 确 ；
1 1 1
在 选 项 B 中 ，
∵ ? ? / / ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ ? ? / / 平 面 ? ? ? ，
1 1 1
∵ 点 ? 在 线 段 ? ? 上 运 动 ，
1
? ? ? ? △ ? ? ?
∴ 到 平 面 的 距 离 为 定 值 ， 又 的 面 积 是 定 值 ，
1 1 1 1
∴ 三 棱 锥 ? ? ? ? ? 的 体 积 为 定 值 ， 故 B 正 确 ；
1 1
在 选 项 C 中 ，
∵ ? ? / / ? ? ，
1 1
∴ 异 面 直 线 ? ? 与 ? ? 所 成 角 为 直 线 ? ? 与 直 线 ? ? 的 夹 角 .
1 1
△ ? ? ?
易 知 为 等 边 三 角 形 ，
1
当 ? 为 ? ? 的 中 点 时 ， ? ? ⊥ ? ? ；
1 1
π
当 ? 与 点 ? 或 ? 重 合 时 ， 直 线 ? ? 与 直 线 ? ? 的 夹 角 为 .
1 1
3
π π
故 异 面 直 线 ? ? 与 ? ? 所 成 角 的 取 值 范 围 是 , ， 故 C 错 误 ；
1
3 2
在 选 项 D 中 ，
以 ? 为 原 点 ， ? ? 为 ? 轴 ， ? ? 为 ? 轴 ， ? ? 为 ? 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 ，
1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
设 正 方 体 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的 棱 长 为 1 ，
1 1 1 1
则 ? ? , 1 , ? ， ? 0 , 1 , 1 ， ? 1 , 1 , 0 ， ? 0 , 0 , 1 ，
1 1
? ? = ? , 0 , ? ? 1 ? ? = 1 , 1 , ? 1
所 以 ， .
1 1
由 A 选 项 正 确 ： 可 知 ? ? = 1 , 1 , ? 1 是 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 ，
1 1 1
? ? ? ? ?
1 1
1 1
∴ 直 线 ? ? 与 平 面 ? ? ? 所 成 角 的 正 弦 值 为 ： = = ，
1 1 1
2 2
2
? ? ? ? ?
? + ( ? ? 1 ) ? 3 1 1
1 1
3 ? 2 ? ? +
2 2
1 6
? ? ? ? ?
∴ 当 ? = 时 ， 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 为 ， 故 D 正 确 .
1 1 1
2 3
故 选 ： A B D
1 2 ． A C
【 分 析 】 求 得 椭 圆 的 离 心 率 判 断 选 项 A ； 求 得 线 段 ? ? 长 度 的 取 值 范 围 判 断 选 项 B ； 求 得 △ ? ? ?
面 积 的 最 大 值 判 断 选 项 C ； 根 据 表 达 式 结 合 参 数 范 围 判 断 △ ? ? ? 的 周 长 是 否 存 在 最 大 值 .
2 2
? + ? = 9 ? ≤ 0
【 详 解 】 由 题 意 得 半 圆 的 方 程 为 ，
2 2
? ?
设 半 椭 圆 的 方 程 为 + = 1 ? > ? > 0 , ? ≥ 0 ，
2 2
? ?
2 2
? ?
又 ? = ? = 3 ， 则 ? = 3 2 ， 则 半 椭 圆 的 方 程 为 + = 1 ? ≥ 0
1 8 9
3 2
则 椭 圆 的 离 心 率 ? = = ， 故 选 项 A 判 断 正 确 ；
3 2 2
? > 0 ?
直 线 ? = ? 与 半 圆 交 于 点 A ， 与 半 椭 圆 交 于 点 ，
则 线 段 ? ? 长 度 的 取 值 范 围 是 0 , 3 + 3 2 . 故 选 项 B 判 断 错 误 ；
不 妨 设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? )
1 2
2
2 2
? 9 ? ?
则 由 ? + ? = 9 ≤ 0 ， 可 得 ? = ? ；
1 1 1
2 2
? ?
2
2
由 + = 1 ? ≥ 0 ， 可 得 ? = 1 8 ? 2 ? ；
2 2
1 8 9
1 2 + 1
2 2 2
则 ? = ( 1 8 ? 2 ? + 9 ? ? ) ? = 9 ? ? ? ?
△ ? ? ?
2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
2 2
9 ? ? + ?
9 2 + 1
2 + 1 3
≤ × = （ 当 且 仅 当 ? = 2 时 等 号 成 立 ）
2 2 4 2
故 选 项 C 判 断 正 确 ；
2 2
△ ? ? ? 的 周 长 为 ? ( ? ) = ? ? + ? ? + ? ? = 3 + 2 + 1 9 ? ? + 1 8 ? ?
则 ? ( ? ) 在 0 , 3 上 单 调 递 减 ，
则 △ ? ? ? 的 周 长 不 存 在 最 大 值 . 故 选 项 D 判 断 错 误 .
故 选 ： A C
1 3 ． 1
? ? ?
【 分 析 】 利 用 与 的 关 系 结 合 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 求 解 .
? ?
? ? 1
【 详 解 】 当 ? = 1 时 ， ? = 2 ? ? ， 当 ? ≥ 2 时 ， ? = 2 ? ? ，
1 ? ? 1
? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1
所 以 ? = ? ? ? = 2 ? ? ? 2 ? ? = 2 ? 2 = 2 ，
? ? ? ? 1
又 ? 是 等 比 数 列 ， 所 以 ? 是 以 1 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ，
? ?
?
1 ? 2
?
此 数 列 的 前 ? 项 和 ? = = 2 ? 1 ， 则 ? 的 值 为 1 .
?
1 ? 2
故 答 案 为 ： 1 .
1 4 ． 1 0 2 4
? ? ?
? + 1 ? ?
【 分 析 】 由 ? = 1 , ? ? = 2 ( ? + 1 ) ? , 可 得 = 2 ? ， 从 而 可 得 数 列 是 以 2 为 公 比 ，
1 ? + 1 ?
? + 1 ? ?
1 为 首 项 的 等 比 数 列 ， 可 求 出 通 项 公 式 ， 进 而 可 求 出 ?
8
【 详 解 】 因 为 ? = 1 , ? ? = 2 ( ? + 1 ) ? ,
1 ? + 1 ?
? ?
? + 1 ?
所 以 = 2 ? ，
? + 1 ?
?
?
所 以 数 列 是 以 2 为 公 比 ， 1 为 首 项 的 等 比 数 列 ，
?
?
?
? ? 1 ? ? 1
所 以 = 1 × 2 ， 所 以 ? = ? ? 2 ，
?
?
8 ? 1 3 7 1 0
所 以 ? = 8 × 2 = 2 × 2 = 2 = 1 0 2 4 ，
8
故 答 案 为 ： 1 0 2 4
2
?
1 5 ． = 4 ? ( ? > 0 )
【 分 析 】 由 题 意 ， 设 点 ?( ? , ? ) ( ? > 0 ) ， 圆 P 与 y 轴 相 切 则 圆 P 的 半 径 为 ? = ? ，
1
在 根 据 两 圆 的 位 置 关 系 求 出 解 析 式 即 可.
【 详 解 】 由 题 知 ， 设 点 ?( ? , ? ) ( ? > 0 ) ， 因 为 圆 P 与 y 轴 相 切 ，
所 以 圆 P 的 半 径 为 ? = ? ，
1
2 2 2 2
? + ? = 2 ? ? ? ? 1 + ? = 1
由 圆 C ： ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
所 以 圆 心 为 ? ( 1 , 0 ) ， 半 径 ? = 1 ，
2
由 圆 P 与 圆 ? 外 切 ，
所 以 ? + ? = ?? ，
1 2
2 2
即 1 + ? = 1 ? ? + 0 ? ? ，
2
?
化 简 得 ： = 4 ? ( ? > 0 )
2
故 答 案 为 ： ? = 4 ? ( ? > 0 ) .
1 6 ． 4 5
2
【 分 析 】 由 抛 物 线 ? = ? ? ( ? > 0 ) 的 焦 点 为 ? ( 1 , 0 ) ， 求 得 p = 4 ； 过 点 ? 作 ? ? / / ? ， 交 直 线 ? ?
? ? 4
于 点 ? ， 利 用 直 线 ? ? 的 斜 率 为 ? = t a n ∠ ? ? ? = = , 结 合 抛 物 线 定 义 求 解 即 可 .
? ? 3
?
2
? = ? ? ( ? > 0 ) ? ( 1 , 0 ) = 1
【 详 解 】 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 所 以 ， 所 以 p = 4 ；
4
? ? ? / / ? ? ? ?
如 图 所 示 ， 过 点 作 ， 交 直 线 于 点 ，
由 抛 物 线 的 定 义 知 ? ? = ? ? ， ? ? = ? ? ， 且 ? ? = 4 ? ? ，
所 以 ? ? = 3 ? ? ， ? ? = 5 ? ? ，
2 2
所 以 ? ? = ? ? ? ? ? = 4 ? ? ，
? ? 4
所 以 直 线 ? ? 的 斜 率 为 ? = t a n ∠ ? ? ? = = ；
? ? 3
4
设 直 线 ? ? 的 方 程 为 ? = ( ? ? 1 ) ， 点 ? ( ? , ? ) ， ? ( ? , ? ) ，
1 1 2 2
3
4
? = ( ? ? 1 )
2
3
由 ， 消 去 ? 整 理 得 4 ? ? 1 7 ? + 4 = 0 ，
2
? = 4 ?
1 7 2 5 2 5 4
所 以 ? + ? = ， 所 以 ? ? = ? + ? + 2 = ， 所 以 ? ? = ? ? s i n ∠ ? ? ? = × = 5 ，
1 2 1 2
4 4 4 5
1
所 以 △ ? ? ? 的 面 积 为 × 5 × 2 = 5 .
2
故 答 案 为 ： 4 ； 5 ．
1 7 ． ( 1 ) ? = 1 或 3 ? ? 4 ? + 5 = 0想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
( 2 ) ? ? ? + 1 = 0 或 7 ? ? ? ? 5 = 0
【 分 析 】 （ 1 ） 斜 率 不 存 在 时 显 然 相 切 ， 斜 率 存 在 时 ， 设 出 直 线 的 点 斜 式 方 程 ， 由 圆 心 到 直 线
距 离 等 于 半 径 求 出 ? ， 进 而 得 解 ；
2
?
（ 2 ） 设 出 直 线 的 点 斜 式 方 程 ， 由 几 何 关 系 得 圆 心 到 直 线 距 离 为 ， 进 而 得 解 .
2
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 当 直 线 斜 率 不 存 在 时 ， ? = 1 显 然 与 ? + ? = 1 相 切 ；
2 ? ? 3
当 直 线 斜 率 存 在 时 ， 可 设 ? : ? = ? ? ? 1 + 2 ， 由 几 何 关 系 可 得 ? = = ? = 1 ， 解 得 ? = ，
2
4
1 + ?
3
故 ? : ? = ? ? 1 + 2 ， 即 3 ? ? 4 ? + 5 = 0 ， 故 过 点 ? 1 , 2 且 与 圆 ? 相 切 的 直 线 ? 的 方 程 为 ? = 1
4
3 ? ? 4 ? + 5 = 0
或 ；
（ 2 ） 设 ?: ? = ? ? ? 1 + 2 ， 可 设 ? ? 中 点 为 ? ， 因 为 △ ? ? ? 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以 ? ? =
1
2 2 ? ? 2 2
1
? ， 即 圆 心 到 直 线 距 离 ? = = ? = ， 解 得 ? = 1 或 7 ， 故 直 线 ?: ? = ? ? 1 + 2
1
2 2 2
2
1 + ?
1
? = 7 ? ? 1 + 2 ? ? ? + 1 = 0 7 ? ? ? ? 5 = 0
或 ， 即 或 .
1 1 1
1 8 ． ( 1 ) ? ? = ? + ? + ?
3 3 3
5
( 2 )
3
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 空 间 向 量 的 线 性 运 算 即 可 求 解 .
（ 2 ） 根 据 空 间 向 量 的 数 量 积 以 及 向 量 模 的 求 法 即 可 求 解 .
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： ? ? = ? ? + ? ? + ? ?
1 1 1 1
1 2
= ? ? + ? ? + ? ?
1
3 3
1 1 2
= ? ? ? + ? ? + ? ? + ( ? ? ? ? ? )
1
3 3 3
1 1 1
= ? ? + ? ? + ? ? ，
1
3 3 3
1 1 1
∴ ? ? = ? + ? + ? ；
3 3 3
（ 2 ） 解 ： ∵ ? ? = ? ? = ? ? = 1 , ∴ | ? | = | ? | = | ? | = 1 ，
1
∵ ∠ ? ? ? = 9 0 ° , ∴ ? ? ? = 0 , ∵ ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? = 6 0 ° ，
1 1
1
∴ ? ? ? = ? ? ? = ，
2
2
1 5
1
2 2 2 2
? + + ? ? + + ? ? ? ? ?
∴ | ? ? | = ? = ? + 2 ? ? + 2 ? + 2 ? ? = ，
9 9 9想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
5
∴ | ? ? | = ，
3
5
即 M N 的 长 为 .
3
?
1 9 ． ( 1 ) ? = ? ， ? = 2
? ?
? + 1
( 2 ) ? = ( ? ? 1 ) 2 + 2
?
? = 1 0 ? = 1 7 { ? } { ? }
【 分 析 】 （ 1 ） 由 等 差 数 列 的 ， 即 可 求 出 的 通 项 公 式 ， 进 而 求 出 的
1 0 1 7 ? ?
通 项 公 式
（ 2 ） 表 示 出 { ? ? } 的 通 项 公 式 ， 用 错 位 相 减 法 即 可 求 解 数 列 { ? ? } 的 前 n 项 和 ?
? ? ? ? ?
? ? ?
1 7 1 0
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 设 ? 的 公 差 为 ? ， 则 ? = = 1 ， 所 以 ? = ? + 9 ?
? 1 0 1
1 7 ? 1 0
解 得 ? = 1 ， 所 以 ? = ? ；
1 ?
2
由 题 设 等 比 数 列 ? 的 公 比 为 ? > 0 ， 由 题 得 ? = 2 ， ? = 8 ， ∴ 2 × ? = 8 ， ∴ ? = 2 ．
?
1 3
? ? 1 ? ?
所 以 ? = 2 × 2 = 2 ． 所 以 ? = 2 ．
? ?
?
（ 2 ） 由 题 得 ? ? = ? ? 2 ．
? ?
1 2 ?
? = 1 × 2 + 2 × 2 + ? + ? ? 2
所 以
?
2 3 ? ? + 1
则 2 ? = 1 × 2 + 2 × 2 + ? + ( ? ? 1 ) ? 2 + ? ? 2
?
?
2 × ( 1 ? 2 )
1 2 3 ? ? + 1 ? + 1 ? + 1
两 式 相 减 得 ? ? = 2 + 2 + 2 + ? + 2 ? ? ? 2 = ? ? ? 2 = ( 1 ? ? ) 2 ? 2
?
1 ? 2
? + 1
? 2 + 2
所 以 = ( ? ? 1 ) ．
?
7 1 3
2 0 ． （ 1 ） 证 明 见 解 析 ； （ 2 ） .
2 6
【 分 析 】 （ 1 ） 连 接 ? ? 交 ? ? 于 ? 点 ， 连 接 ? ? ， ? 为 ? ? 的 中 点 ， 易 得 四 边 形 ? ? ? ? 为 平 行 四 边
1
? ? / / ? ? ? ? ⊥ ? ? ? ?
形 ， 从 而 ， 再 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 平 面 即 可 .
1 1
（ 2 ） 以 O 为 原 点 ， 以 O B ， O C ， O F 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 分 别 求 得 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 ? =
1
? ? ?
? , ? , ? 和 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 ? = ? , ? , ? ， 然 后 由 c o s ? , ? = 求 解 .
1 1 1 1
? ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 如 图 所 示 ：想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
连 接 ? ? 交 ? ? 于 ? 点 ， 连 接 ? ? ， ? 为 ? ? 的 中 点 ，
1
1
所 以 ? ? / / ? ? ， ? ? = ? ? ，
1 1
2
又 ? 为 ? ? 的 中 点 ﹐ ? ? / / ? ? ，
1 1 1
1
所 以 ? ? / / ? ? ， ? ? = ? ? ，
1 1
2
所 以 ? ? / / ? ? ， ? ? = ? ? ，
所 以 四 边 形 ? ? ? ? 为 平 行 四 边 形 ， ? ? / / ? ? .
直 四 棱 柱 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中 ， ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ，
1 1 1 1 1
所 以 ? ? ⊥ ? ? .
1
? ? ? ?
又 因 为 底 面 是 菱 形 ，
所 以 ? ? ⊥ ? ? ，
又 ? ? ∩ ? ? = ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ，
1 1 1 1 1 1
所 以 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? .
1 1
所 以 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? .
1 1
? ? ? ? ?
（ 2 ） 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 ，
由 ∠ ? ? ? = 6 0 ° ， 知 ? ? = ? ? = ? ? = 2 ，
3
又 ? ? = 3 ， 则 ? 1 , 0 , 0 ， ? 0 , 3 , ， ? 0 , ? 3 , 3 ， ? ? 1 , 0 , 3 ，
1 1 1
2
? ? , ? , ? ? ? ?
设 = 为 平 面 的 一 个 法 向 量 .
1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? + 3 ? ? 3 ? = 0
? ? ? ? = 0
1
由 ， 得 ，
3
? ? + 3 ? + ? = 0
? ? ? ? = 0
2
令 ? = 3 ， 可 得 ? = 9 , 3 , 4 .
设 ? = ? , ? , ? 为 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 .
1 1 1 1
? 2 ? + 3 ? = 0
1 1
? ? ? ? = 0
1
由 ， 即 3 ，
? ? + 3 ? + ? = 0
? ? ? ? = 0 1 1 1
2
令 ? = 3 ， 可 得 ? = 3 , 0 , 2 .
1
? ? ? 9 × 3 + 3 × 0 + 4 × 2 7 1 3
c o s ? , ? = = = .
? ? ? 2 2 6
2 2 2 2 2
9 + 3 + 4 ? 3 + 0 + 2
如 图 可 知 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 为 锐 角 ，
1 1
7 1 3
? ? ? ? ? ?
所 以 二 面 角 的 余 弦 值 是 .
1 1
2 6
【 点 睛 】 方 法 点 睛 ： 1 、 利 用 向 量 求 异 面 直 线 所 成 的 角 的 方 法 ： 设 异 面 直 线 A C ， B D 的 夹 角 为
? ? ? ? ?
β ， 则 c o s β ＝ .
? ? ? ? ?
2 、 利 用 向 量 求 线 面 角 的 方 法 ： ( 1 ) 分 别 求 出 斜 线 和 它 所 在 平 面 内 的 射 影 直 线 的 方 向 向 量 ， 转
化 为 求 两 个 方 向 向 量 的 夹 角 ( 或 其 补 角 ) ； ( 2 ) 通 过 平 面 的 法 向 量 来 求 ， 即 求 出 斜 线 的 方 向 向
量 与 平 面 的 法 向 量 所 夹 的 锐 角 ， 取 其 余 角 就 是 斜 线 和 平 面 所 成 的 角 ．
3 、 利 用 向 量 求 面 面 角 的 方 法 ： 就 是 分 别 求 出 二 面 角 的 两 个 面 所 在 平 面 的 法 向 量 ， 然 后 通 过
两 个 平 面 的 法 向 量 的 夹 角 得 到 二 面 角 的 大 小， 但 要 注 意 结 合 实 际 图 形 判 断 所 求 角 是 锐 角 还 是
钝 角 ．
2 2
? ?
2 1 ． ( 1 ) + = 1 ；
9 4
1
( 2 ) ? = ? .
2
2 2
? ?
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 结 合 几 何 关 系 可 求 得 ? = 3 ， ? = 2 . 则 椭 圆 的 方 程 为 + = 1 ；
9 4
（ 2 ） 设 点 P 的 坐 标 为 ( ? , ? ) ， 点 M 的 坐 标 为 ( ? , ? ) ， 由 题 意 可 得 ? = 5 ? .
1 1 2 2 2 1
2 ? + 3 ? = 6 ,
6
易 知 直 线 ? ? 的 方 程 为 2 ? + 3 ? = 6 ， 由 方 程 组 可 得 ? = . 由 方 程 组
2
? = ?? , 3 ? + 2
2 2
? ?
+ = 1 6 8
2
9 4 , 可 得 ? = . 结 合 ? = 5 ? ， 可 得 1 8 ? + 2 5 ? + 8 = 0 ， 解 出 ? = ? ， 或 ? = ?
2 1
1
2
9
9 ? + 4
? = ?? ,
1 1
. 经 检 验 ? 的 值 为 ? .
2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
? 5
2 2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 设 椭 圆 的 焦 距 为 2 c ， 由 已 知 得 = ， 又 由 ? = ? + ? ， 可 得 2 ? = 3 ? ．
2
? 9
2 2
又 | ? ? | = ? + ? = 1 3 ， 所 以 ? = 3 ， ? = 2 ，
2 2
? ?
所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为 + = 1 ．
9 4
（ 2 ）
设 点 P 的 坐 标 为 ( ? , ? ) ， 点 M 的 坐 标 为 ( ? , ? ) ， 由 题 意 ， ? > ? > 0 ，
1 1 2 2 2 1
点 ? 的 坐 标 为 ( ? ? , ? ? ) ．
1 1
因 为 | ?? | = 2 | ?? | ， 所 以 有 ?? = 2 ? ? ， ?? = ? ? ? , ? ? ? ， ? ? = 2 ? , 2 ? ，
2 1 2 1 1 1
所 以 ? ? ? = 4 ? ， 即 ? = 5 ? ．
2 1 1 2 1
2 ? + 3 ? = 6 ,
易 知 直 线 ? ? 的 方 程 为 2 ? + 3 ? = 6 ， 由 方 程 组
? = ?? ,
6
消 去 y ， 可 得 ? = ．
2
3 ? + 2
2 2
? ?
6
+ = 1
9 4 , ? ? =
由 方 程 组 消 去 ， 可 得 ．
1
2
9 ? + 4
? = ?? ,
2
2
由 ? = 5 ? ， 可 得 9 ? + 4 = 5 ( 3 ? + 2 ) ， 两 边 平 方 ， 整 理 得 1 8 ? + 2 5 ? + 8 = 0 ，
2 1
8 1
解 得 ? = ? ， 或 ? = ? ．
9 2
8 6 6
当 ? = ? 时 ， 由 ? = 可 得 ， ? = = ? 9 < 0 ， 不 合 题 意 ， 舍 去 ；
8
2 2
9 3 ? + 2
3 × ? + 2
9
1 6 6 1 2
当 ? = ? 时 ， 由 ? = 可 得 ， ? = = 1 2 > 0 ， ? = .
2 2 1 1
2 3 ? + 2 5
3 × ? + 2
2
1
所 以 ， ? = ? .
2
2 2
? ?
2 2 ． ( 1 ) ? = 1 ；
2 2
( 2 ) 满 足 题 意 的 定 点 Р 存 在 ， 坐 标 为 1 , 0 .
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 得 ， ? = ? = 2 ， 即 可 得 到 双 曲 线 方 程 ；想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
（ 2 ） 根 据 已 知 可 设 直 线 A B 的 方 程 为 ?? = ? ? 2 . 设 存 在 ， 根 据 ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? ， 可 得 ? +
? ?
? = 0 ， 代 入 相 关 点 的 坐 标 ， 可 得 4 ? ? ? 1 = 0 ， 由 ? 的 任 意 性 ， 即 可 得 出 ? 存 在 .
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 由 双 曲 线 C 的 虚 轴 长 为 2 2 ， 有 2 ? = 2 2 ， 可 得 ? = 2 ，
又 由 双 曲 线 C 是 等 轴 双 曲 线 ， 可 得 ? = ? = 2 ，
2 2
? ?
故 双 曲 线 C 的 标 准 方 程 为 ? = 1 .
2 2
2 2 2
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， ? = ? + ? = 4 ， ? = 2 ，
则 双 曲 线 C 的 右 焦 点 F 的 坐 标 为 2 , 0 ，
? , 0
假 设 存 在 这 样 的 点 P ， 设 点 P 的 坐 标 为 ，
设 直 线 A B 的 方 程 为 ?? = ? ? 2 ， 点 A ， B 的 坐 标 分 别 为 ? , ? ， ? , ?
1 1 2 2
2 2
? ?
? = 1
2 2
联 立 直 线 与 双 曲 线 的 方 程 2 2 可 得 ， ? ? 1 ? + 4 ?? + 2 = 0 ，
?? = ? ? 2
2
当 ? ? 1 = 0 时 ， 因 为 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ? = ± ? ， 可 知 直 线 ? ? 与 双 曲 线 的 渐 近 线 平 行 ，
2
? ? 1 ≠ 0
此 时 直 线 与 双 曲 线 仅 有 一 个 交 点 ， 不 合 题 意 ， 所 以 .
2 2 2
则 Δ = 4 ? ? 4 ? ? 1 × 2 = 8 ? + 1 > 0 恒 成 立 ，
4 ? 2
有 ? + ? = ? ， ? ? = ， ? = ?? + 2 ， ? = ?? + 2 .
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
? ? 1 ? ? 1
若 ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? ， 可 知 直 线 A P 和 直 线 B P 的 斜 率 互 为 相 反 数 ， 即 ? + ? = 0 .
? ? ? ?
? ?
1 2
又 ? = ， ? = ，
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 2
? ? ? ?
1 2 1 2
所 以 ? + ? = + = +
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? + 2 ? ? ?? + 2 ? ?
1 2 1 2
2 ?? ? + 2 ? ? ? + ?
1 2 1 2
= = 0
? ? ??
+ 2 ? ? + 2 ? ?
1 2
2 ?? ? ? + ? = 0
整 理 可 得 ， + ( 2 ? ? ) ，
1 2 1 2
2 4 ?
即 2 ? × + ( 2 ? ? ) ? = 0 ， 即 4 ? ? ? 1 = 0 .
2 2
? ? 1 ? ? 1
2
要 使 ? ? 1 ≠ 0 时 ， 该 式 恒 成 立 ， 即 与 ? 的 取 值 无 关 ， 则 应 有 ? ? 1 = 0 ， 所 以 ? = 1 .
1 , 0
由 上 知 满 足 题 意 的 定 点 Р 存 在 ， 坐 标 为 .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 实 验 外 国 语 学 校 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． B
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 的 下 标 和 的 性 质 ， 可 知 ? + ? = 2 ? ， 即 可 求 得 答 案 .
2 8 5
【 详 解 】 在 等 差 数 列 ? 中 ， 若 ? = 5 , ? = 2 3 ,
?
2 8
则 ? + ? = 2 ? , ∴ 2 ? = 2 8 , ∴ ? = 1 4 ，
2 8 5 5 5
故 选 ： B
2 ． D
【 分 析 】 将 抛 物 线 化 成 标 准 形 式 ， 即 可 求 解.
4 3 3
2 2
【 详 解 】 由 ? = ? 得 ? = ? ， 故 焦 点 为 , 0 ，
3 4 1 6
故 选 ： D
3 ． B
【 分 析 】 根 据 两 直 线 垂 直 的 条 件 ， 求 解 ? 范 围 即 可 求 解 .
【 详 解 】 若 直 线 2 ? ? 4 ? + ? + 1 ? + 2 = 0 与 直 线 ? + 1 ? ? ?? + 3 = 0 垂 直 ， 则
2 ? ? 4 ? + 1 ? ? ? + 1 = 0 ? ? ? 4 ? + 1 = 0 ? ? = 4 或 ? = ? 1 ，
? = ? 1 2 ? ? 4 ? + ? + 1 ? + 2 = 0 ? + 1 ? ? ?? + 3 = 0
故 “ ” 是 “ 直 线 与 直 线 垂 直 ”
的 充 分 不 必 要 条 件 ，
故 选 ： B
4 ． D
【 分 析 】 由 递 推 公 式 依 次 列 举 ， 可 得 数 列 最 小 正 周 期 ， 即 可 求 值 .
? + ? ? ? ? ? ?
【 详 解 】 由 = 得 = ， 故 有
? ? + 2 ? + 1 ? + 2 ? + 1 ?
? = ? ? ? = 1 , ? = ? ? ? = ? 2 , ? = ? ? ? = ? 3 , ? = ? ? ? = ? 1 , ? = ? ?
3 2 1 4 3 2 5 4 3 6 5 4 7 6
? = 2 = ? .
5
1
故 数 列 由 最 小 正 周 期 6 ， 故 ? = ? = ? = 2 .
2 0 2 3 6 × 3 3 7 + 1 1
故 选 ： D
5 ． C
【 分 析 】 利 用 向 量 基 底 的 定 义 和 共 面 向 量 的 充 要 条 件 逐 一 判 断 即 可 求 解.
【 详 解 】 因 为 ? , ? , ? 是 空 间 的 一 组 基 底 ， 所 以 ? , ? , ? 不 共 面 ， ? , ? 不 共 线 ，
1 = ?
因 为 ? = ? + ? , ? = ? + 2 ? ， 若 ? = ? ? ? ≠ 0 ， 则 ，
2 = ?
显 然 这 样 的 ? 不 存 在 ， 所 以 ? , ? 不 共 线 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? + ?
对 于 A ， 因 为 ? = ? + ? , ? = ? + 2 ? ， 所 以 ? = 2 ? ? + 2 ? = 2 ? ? ? ，
由 共 面 的 充 要 条 件 知 ， ? , ? , ? 共 面 ， 故 ? , ? , ? 不 能 构 成 基 底 向 量 ， 故 A 错 误 ；
? = ? + ? , ? = ? + 2 ? ? = ? ? + ? + ? + 2 ? = ? ? + ?
对 于 B ， 因 为 ， 所 以 ，
由 共 面 的 充 要 条 件 知 ， ? , ? , ? 共 面 ， 故 ? , ? , ? 不 能 构 成 基 底 向 量 ， 故 B 错 误 ；
对 于 C ， 因 为 ? = ? + ? , ? = ? + 2 ? ， 若 ? + ? = ? ? + ? ? ， 显 然 这 样 的 ? , ? 不 存 在 ，
所 以 ? + ? 不 能 用 ? 与 ? 表 示 ， ? + ? , ? , ? 不 共 面 ，
故 ? + ? , ? , ? 能 构 成 基 底 向 量 ， 故 C 正 确 ；
? = ? + ? , ? = ? + 2 ? ? ? ? = 3 ? + ? ? 2 ? + 2 ? = 3 ? ? 2 ?
对 于 D ， 因 为 ， 所 以 ，
由 共 面 的 充 要 条 件 知 ， ? ? ? , ? , ? 共 面 ， 故 ? ? ? , ? , ? 不 能 构 成 基 底 向 量 ， 故 D 错 误 .
故 选 ： C .
6 ． D
【 分 析 】 根 据 等 比 数 列 的 知 识 列 方 程 ， 求 得 首 项 ， 从 而 求 得 正 确 答 案 .
1
【 详 解 】 依 题 意 可 知 这 个 人 每 天 走 的 路 程 成 公 比? = 的 等 比 数 列 ，
2
1
? 1 ?
1
7 1 2 7
2
所 以 ? = = ? = 5 0 8 , ? = 2 5 6 （ 里 ） .
7 1 1 1
6 4
1 ?
2
故 选 ： D
7 ． A
5
【 分 析 】 写 出 圆 心 ? ? , ? ， 半 径 ? = 1 . 求 出 圆 心 到 直 线 的 距 离 ? = ? ， 1 < ? < 5 . 表 示 出
5
2
5
? 2
4 2
弦 长 ， 即 可 得 出 △ ? ?? 的 面 积 ， 结 合 已 知 可 得 1 ? × ? = ， 整 理 得 出 ? ? 5 ? + 4 = 0 ，
5 5 5
即 可 求 出 实 数 ? 的 值 .
【 详 解 】 由 已 知 可 得 ， 圆 心 ? ? , ? ， 半 径 ? = 1 .
2 ? ? ? 5
则 圆 心 到 直 线 ? = 2 ? ， 即 直 线 2 ? ? ? = 0 的 距 离 ? = = ? < ? = 1 ，
2 2
5
2 + ? 1
所 以 1 < ? < 5 .
2
2
? ? ?
2 2
又 + ? = ? = 1 ， 所 以 ?? = 2 1 ? .
2 5
2
2 1 ? 5 2
△ ? ? ? ?? 1 ? ? =
又 的 面 积 为 ， 即 ? = × ? ? = × ，
5 2 5 5 5
4 2 2 2
整 理 可 得 ， ? ? 5 ? + 4 = 0 ， 所 以 ? = 1 或 ? = 4 .
又 1 < ? < 5 ， 所 以 ? = 2 .
故 选 ： A .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
8 ． C
π 2 π
【 分 析 】 由 梯 形 的 高 可 推 得 ∠ ? ? ? = ， ∠ ? ? ? = ， 设 ? ? = ? ， 由 双 曲 线 的 定 义
2 1 1 2 2
3 3
及 ? ? = 5 ? ? ， 可 得 | ? ? | , | ? ? | , | ? ? | 的 表 达 式 ， 在 △ ? ? ? 和 △ ? ? ? 中 ， 由 余
1 2 1 1 2 2 2
1 1
弦 定 理 ， 整 理 可 得 ? , ? 的 关 系 ， 进 而 求 出 离 心 率 的 值 ．
2 2
? ?
【 详 解 】 如 图 示 ， 双 曲 线 ? = 1 ( ? > 0 , ? > 0 ) 的 左? 右 焦 点 分 别 为 ? ? ?, 0 , ? ?, 0 ，
2 2 1 2
? ?
高 为 3 ? 的 梯 形 ? ? ? ? 的 两 顶 点 ? , ? 分 别 在 双 曲 线 的 左? 右 支 上 ， 且 ? ? = 5 ? ? ，
1 2 1 2
设 ? ? ⊥ ? ? 于 C 点 ， 在 R t △ ? ? ? 中 ， ? ? = 2 ? ，
1 2 1 2 1 2
而 高 为 3 ? 的 梯 形 ? ? ? ? 中 ， 可 得 | ? ? | = 3 ? ，
1 2 1
3 ? 3 π 2 π
所 以 s i n ∠ ? ? ? = = , 所 以 可 得 ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? = , ∠ ? ? ? = ,
2 1 2 1 2 1 1 2
2 ? 2 3 3
? ? = ? ? ? = 2 ? + ? ? ? = 5 ? ? ? ? = 5 ? ? ? = 2 ? + 5 ?
设 ， 则 ， 因 为 , 则 , ，
2 1 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
| ? ? | + | ? ? | ? | ? ? | ? + 4 ? ? ( 2 ? + ? )
2 1 2 1
在 △ ? ? ? 中 可 得 ： c o s ∠ ? ? ? = = ，
1 2 2 1
2 | ? ? | ? | ? ? | 2 ? ? 2 ?
2 1 2
2 2
4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 1
2 2
即 = ， 可 得 2 ? + 2 ? ? = 2 ? ? ?? ① ，
4 ? ? 2
△ ? ? ?
在 中 ,
1 2
2 2 2 2 2 2
| ? ? | + | ? ? | ? | ? ? | ( 5 ? ) + ( 2 ? ) ? ( 2 ? + 5 ? ) 1
1 1 2 2
c o s ∠ ? ? ? = = = ? ，
1 2
2 | ? ? | ? | ? ? | 2 ? 5 ? ? 2 ? 2
1 1 2
2 2
整 理 可 得 ∶ 2 ? + 1 0 ? ? = 2 ? + 5 ?? ② ，
? 8 4
① ② 相 减 得 8 ? ? = 6 ?? ， 故 ? = = = ，
? 6 3
故 选 ∶ C
9 ． A D
【 分 析 】 根 据 双 曲 线 和 椭 圆 的 离 心 率 公 式 、 结 合 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 、 一 元 二 次 方 程 根 的 判
别 式 逐 一 判 断 即 可 .
2 2
【 详 解 】 由 已 知 得 在 双 曲 线 C 中 ， ? = 1 ， ? = 3 ， ? = ? + ? = 2 ， 所 以 双 曲 线 C 的 焦 点
? ?
为 ± 2 , 0 ， 渐 近 线 方 程 为 ? = ± ? = ± 3 ? ， 离 心 率 为 = 2 .
? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
1 1
2
A ： 双 曲 线 C 的 顶 点 为 ( ± 1 , 0 ) ， 圆 ? ? + ? = 1 的 圆 心 为 ( , 0 ) ， 半 径 为 1 ，
2
2
2
1
2
因 此 双 曲 线 ? 与 圆 ? ? + ? = 1 有 2 个 公 共 点 ， 所 以 本 选 项 正 确 ；
2
2 2 2 2
? ? 4 ? 3 1 ? ?
B ： 椭 圆 + = 1 的 离 心 率 为 = ， 显 然 双 曲 线 ? 的 离 心 率 与 椭 圆 + = 1 的 离 心 率
4 3 2 2 4 3
不 相 同 ， 因 此 本 选 项 不 正 确 ；
2
? 3
2
C ： 双 曲 线 ? ? = 1 的 渐 近 线 的 斜 率 为 ± = ± 3 ， 显 然 双 曲 线 ? 的 渐 近 线 斜 率 与 双 曲 线
3 1
2
?
2
? ? = 1 的 渐 近 线 的 斜 率 互 为 倒 数 是 不 正 确 的 ， 因 此 本 选 项 不 正 确 ；
3
D ： 因 为 双 曲 线 ? 的 一 条 渐 近 线 ? = 3 ? 与 直 线 ? = 3 ? ? 3 平 行 ， 所 以 双 曲 线 ? 与 直 线 ? =
3 ? ? 3 只 有 一 个 公 共 点 ， 因 此 本 选 项 说 法 正 确 ，
故 选 ： A D
1 0 ． B C
【 分 析 】 由 数 列 ? 是 递 减 数 列 可 得 ? < 0 ， 再 由 ? = 2 ? 解 得 ? = ? 5 ? ， 分 别 代 入 等 差 数
? 1 0 8 1
列 的 通 项 公 式 ? 和 前 ? 项 和 公 式 ? ， 对 选 项 依 次 判 断 即 可 .
? ?
【 详 解 】 ∵ 等 差 数 列 ? 是 递 减 数 列 ， ∴ 公 差 ? < 0 ，
?
又 ∵ ? = 2 ? ， ∴ ? + 9 ? = 2 ? + 7 ? ， ∴ ? = ? 5 ? > 0 ，
1 0 8 1 1 1
? ? + ? ? 1 ? = ? 5 ? + ? ? 1 ? = ? ? 6 ?
∴ = ，
? 1
? ? ? 1 ? ? ? 1 ?
2
? = ? ? + ? = ? 5 ? ? + ? = ? ? 1 1 ?
? 1
2 2 2
对 于 A ， ? = ? 5 ? > 0 ， 故 选 项 A 错 误 ；
1
? < 0
对 于 B ， ， 故 选 项 B 正 确 ；
对 于 C ， ? = ? ? 6 ? ， 又 ∵ 等 差 数 列 ? 是 递 减 数 列 ， ? < 0 ，
? ?
∴ 当 ? < 6 时 ， ? > 0 ， 当 ? = 6 时 ， ? = 0 ， 当 ? > 6 时 ， ? < 0 ，
? ? ?
∴ 当 ? = 5 或 ? = 6 时 ， ? 最 大 ， 故 选 项 C 正 确 ；
?
2
? ? 1 1 1 2 1
2
? ?
（ 也 能 由 ? = ? ? 1 1 ? = ? 得 出 当 ? = 5 或 ? = 6 时 ， ? 最 大 ）
? ?
2 2 2 4
? ?
2
对 于 D ， ∵ ? = ? ? 1 1 ? = ? ? ? 1 1 ， ∴ 当 ? = 1 1 时 ， ? = 0 ， 故 选 项 D 错 误 .
? ?
2 2
? > 0 0 < ? < 1 1 ? 1 1 0
（ 当 时 ， ， 的 最 小 值 为 ， 最 大 值 为 ）
?
故 选 ： B C .
1 1 ． A B D
【 分 析 】 写 出 圆 心 为 0 , 0 ， 半 径 ? = 2 ， 求 出 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 1 ， 根 据 图 象 即 可 判 断 A想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
项 ； 由 已 知 可 得 ? 点 的 轨 迹 方 程 为 ? ? 2 + ? = 4 . 结 合 图 象 ， 可 知 当 直 线 ?? 与 圆 相 切 时 ，
斜 率 有 最 大 或 最 小 值 ， 根 据 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 ， 即 可 求 出 斜 率 的 取 值 范 围 ； 由 已 知
2 2
可 得 ， 两 圆 外 切 ， 根 据 ? ? = ? + ? ， 即 可 得 出 ? 的 值 ； 由 已 知 可 得 ? ? 为 圆 ? ? ? ? + ? ?
1 2 1 2 0
2 2
? ? = 0 与 圆 ? : ? + ? = 1 的 公 共 弦 . 即 可 求 出 直 线 ? ? 的 方 程 ， 整 理 可 得 2 ? ? 1 + ? ? ?
0 0
2 ? ? 1 = 0
? = 0
， 解 方 程 组 即 可 得 出 定 点 坐 标 .
? ? ? = 0
【 详 解 】 对 于 A 项 ， 圆 心 为 0 , 0 ， 半 径 ? = 2 ， 圆 心 0 , 0 到 直 线 ? : ? ? ? + 2 = 0 的 距 离 ? =
2
= 1 .
2 2
1 + ? 1
如 图 1 ， 此 时 圆 上 有 ? , ? , ? 三 点 到 直 线 的 距 离 等 于 1 ， 故 A 项 正 确 ；
2 2 2 2
? ? , ? ?? = 2 ?? ? + 2 + ? = 2 ? ? 1 + ? ? ?
对 于 B 项 ， 设 ， 由 可 知 ， ， 整 理 可 得
2 2
2 + ? = 4 ， 所 以 ? 点 的 轨 迹 是 以 2 , 0 为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 .
如 图 2 ， 当 ? 在 ? 处 时 ， 斜 率 最 大 ； 当 ? 在 ? 处 时 ， 斜 率 最 小 ， 显 然 ?? , ?? 均 与 圆 相 切 . 设 斜 率
为 ? ， 直 线 ?? 方 程 为 ? = ? ? + 3 ， 即 ?? ? ? + 3 ? = 0 . 当 ?? 与 圆 相 切 时 ， 有 圆 心 2 , 0 到 直
2 ? + 3 ? 2 2 1
2
线 的 距 离 ? = = ? = 2 ， 整 理 可 得 ， 2 1 ? ? 2 = 0 ， 解 得 ? = ± . 又 动 点 ? 不 在 ? 轴 上 ，
1
2 2 1
? + 1
2 2 1 2 2 1
所 以 ? ≠ 0 . 则 由 图 象 可 知 ， 直 线 ?? 的 斜 率 取 值 范 围 是 ? , 0 ∪ 0 , ， 故 B 项 正 确 ；
2 1 2 1
2 2 2 2
对 于 C 项 ， 圆 ? : ? + ? + 2 ? = 0 圆 心 ? ? 1 , 0 ， 半 径 ? = 1 ； 圆 ? : ? + ? ? 4 ? ? 8 ? + ? =
1 1 1 2
2 2
0 可 化 为 ? ? 2 + ? ? 4 = 2 0 ? ? ， ? < 2 0 ， 圆 心 ? 2 , 4 ， 半 径 ? = 2 0 ? ? . 由 已 知
2 2
可 得 ， 两 圆 外 切 ， 即 ? ? = ? + ? ， 代 入 可 得 ， 2 0 ? ? + 1 = 5 ， 解 得 ? = 4 ， 故 C 项
1 2 1 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
错 误 ；
对 于 D 项 ， 设 ? ? , ? ， 由 已 知 可 得 ?? ⊥ ? ? ， ?? ⊥ ? ? ， 所 以 ? , ? 在 以 ? ? 为 直 径 的 圆 上 .
0 0
2 2
2 2 2 2
? ? ? + ? ? ? ? + ?
0 0 0 0 0 0 0 0
2
圆 心 为 , ， 半 径 为 ， 则 圆 的 方 程 为 ? ? + ? ? = ， 整 理 可 得 ? ?
2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2
? ? + ? ? ? ? = 0 . 又 ? , ? 为 圆 ? : ? + ? = 1 上 的 点 ， 所 以 ? ? 为 圆 ? ? ? ? + ? ? ? ? = 0
0 0 0 0
2 2
与 圆 ? : ? + ? = 1 的 公 共 弦 . 两 圆 方 程 作 差 可 得 ， ? ? 的 方 程 为 ? ? + ? ? = 1 . 又 点 ? 在 直 线
0 0
? + ? ? 2 = 0 上 ， 所 以 ? + ? ? 2 = 0 ， 即 ? = 2 ? ? ， 代 入 ? ? 的 方 程 整 理 可 得 2 ? ? 1 +
0 0 0 0
1
? =
2 ? ? 1 = 0
1 1
2
? ? ? ? = 0 ， 解 方 程 组 可 得 ， 所 以 直 线 ? ? 经 过 定 点 , . 故 D 项 正 确 .
0
1
? ? ? = 0 2 2
? =
2
故 选 ： A B D .
1 2 ． A B C
【 分 析 】 由 平 面 ? ? ? / / 平 面 ? ? ? ， 从 而 可 证 ? ?/ / 平 面 ? ? ? ， 由 此 可 判 断 A ； 根 据 等 体
1 1 1 1 1
积 法 可 判 断 B ； 当 点 ? 为 ? ? 的 中 点 时 ， ? ? 最 小 ， 由 ? ? ⊥ ? ? ， 勾 股 定 理 计 算 可 得 ? ? ， 由 此
1 1
? ? ? ? ? ?
判 断 C ； 求 出 与 平 面 所 成 角 的 范 围 即 可 判 断 D ．
1 1
【 详 解 】 在 棱 长 为 3 的 正 方 体 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中 ， 如 图 所 示 ：
1 1 1 1
对 于 A ： 连 接 ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ，
1 1 1 1 1
由 于 ? ? / / ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ， 所 以 ? ? / / 平 面 ? ? ?
1 1 1 1 1 1 1 1
同 理 由 ? ? / / ? ? 得 ? ? / / 平 面 ? ? ? ， 又 ? ? ∩ ? ? = ? , ? ? , ? ? ? 平 面 ? ? ? ,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ? / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?/ / ? ? ?
故 平 面 平 面 ， 由 于 平 面 ， 所 以 对 任 意 点 ， 平 面 ， 故 A
1 1 1 1 1 1
正 确 ；
对 于 B ： 由 于 ? ?/ / ? ? , ? ? ? 平 面 ? ? ? ? , ? ? ? 平 面 ? ? ? ? , 所 以 ? ? / / 平 面 ? ? ? ? , 故 三
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 9
棱 锥 ? ? ?? ? 的 体 积 为 ? = ? = ? = × × 3 × 3 × 3 = ， 故 B 正 确 ；
1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
1 1 1 1 1 1
3 2 2
对 于 C ： 由 于 ? ? = ? ? = 3 2 , 所 以 过 点 ? 作 ? ? ⊥ ? ? ， 即 点 ? 为 ? ? 的 中 点 ，
1 1 1
2
2
3 2 3 6
? ? = 3 2 ? =
， 故 C 正 确 ，
2 2
? ? / / ? ? ? ? ? ? / / ? ? ? ? ? ? ? ? ?
对 于 D ： 由 于 平 面 , , 所 以 点 在 平 面 上 的 投 影 在 线 段
1 1 1 1 1 1
上 ， 设 点 ? 的 投 影 为 点 ? ， 则 ∠ ?? ? 为 ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 的 角 ，
1 1
? ?
s i n ∠ ? ? ? = , ?? = 3 ，
? ?
3 6 2 6
而 ≤ ?? ≤ 3 2 ， 所 以 ? ?与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 的 正 弦 值 的 取 值 范 围 是 , ，
1 1
2 2 3
π 3 6
而 s i n = > ，
3 2 3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
π
所 以 不 存 在 点 ?， 使 得 ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 的 大 小 为 ， 故 D 错 误 ；
1 1
3
故 选 ： A B C
π
9 0 °
1 3 ． /
2
【 分 析 】 根 据 向 量 的 夹 角 公 式 求 得 正 确 答 案.
? 2 , ? 1 , 3 3 , 0 , 2
【 详 解 】 ? ? = , ? ? = ，
? ? ? ? ?
所 以 c o s ? ? , ? ? = = 0 ，
? ? ? ? ?
π
所 以 ? ? 与 ? ? 的 夹 角 为 .
2
π
故 答 案 为 ：
2
1 4 ． ? 4
2 + 0 ? 6 + 2
【 分 析 】 根 据 题 意 得 到 + + ? = 0 ， 即 可 得 到 答 案 .
2 2
? 2 , 6 ? 0 , 2 ? ? + ? + ? = 0
【 详 解 】 点 与 点 关 于 直 线 对 称 ，
2 + 0 ? 6 + 2
所 以 + + ? = 0 ， 即 ? + 4 + ? = 0 ， ? + ? = ? 4 .
2 2
故 答 案 为 ： ? 4
5
1 5 ．
2
【 分 析 】 数 形 结 合 即 可 求 解 .
【 详 解 】 由 已 知 可 得 ? = 2 .
? ? ? ⊥ ? ?
如 图 过 作 ， 垂 足 为 ，
1 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
则 由 抛 物 线 的 定 义 得 ? ? = ? ? ，
1
?
∴ ? + = 5 ， ? = 4 ，
? ?
2
2
代 入 ? = 4 ? 得 ? = ± 4 ，
4
∴ ? ( 4 , 4 ) 或 ? ( 4 , ? 4 ) .
? ? 0 ?? 1
不 妨 设 ? ( 4 , 4 ) ， 又 ? ( 1 , 0 ) ， 直 线 ? ? 方 程 为 = ，
4 ? 0 4 ? 1
3
2 2
即 ? = ? + 1 ， 代 入 ? = 4 ? 得 ? = 3 ? + 4 ， ? = ? 1 ，
?
4
1 1 5
∴ ? = | ? ? | ? + ? = × 1 × ( 4 + 1 ) = .
△ ? ?? ? ?
2 2 2
5
故 答 案 为 ： .
2
4 2 1
1 6 ． ? >
1 3 3 0
2
?
【 分 析 】 根 据 并 项 求 和 即 可 化 简 ? ? ? = ? ? ， 将 ? ? ? < ? ? + 1 ? + 1 0 转 化 成 ? >
? ? ? ?
2 ? + 1
1
恒 成 立 ， 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 求 解 最 值 即 可 .
1 0
2 ? + + 2 1
?
2 2 2 2 2 2 2
? ? 1 2 2 3 3 ?
【 详 解 】 记 ? = ? ， 所 以 ? ? ? = 1 ? + ? + ? + ? + ?
? ? ?
2 ? ? 1 2 ? + 1 3 3 5 5 7 2 ? ? 1
2 2 2 2 2 2 2
? 2 ? 1 3 ? 2 ? ? ? ? 1 ?
= 1 + + + ? + ? ? ? ? = 1 + 2 ? 1 + 3 ? 2 + ? + ? ?
? ?
2 ? + 1 3 5 2 ? ? 1 2 ? + 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
? ?
? ? 1 ? = ? ? ，
2 ? + 1 2 ? + 1
3 6 4 2
故 ? ? ? = 6 ? = ，
6 6
1 3 1 3
2
? ?
? ? ? < ? ? + 1 ? + 1 0 ， 即 ? ? < ? ? + 1 ? + 1 0 ， 化 简 得 < ? ， 进 一
? ?
2 ? + 1 2 ? + 1 ? + 1 0
1 1 0
步 得 ? > ， 由 于 2 ? + ≥ 4 5 ，
1 0
?
2 ? + + 2 1
?
1 0 1 0 2 8 1 0 2 8
当 ? = 3 时 ， 2 ? + = 6 + = ， 当 ? = 2 时 ， 2 ? + = 4 + 5 = 9 < ，
? 3 3 ? 3
1 0 1 1 1
对 ? ? ∈ N ， 2 ? + + 2 1 ≥ 3 0 ， 所 以 ≤ ， 因 此 ? >
1 0
? 3 0 3 0
2 ? + + 2 1
?
4 2 1
故 答 案 为 ： ， ? >
1 3 3 0
1 7 ． ( 1 ) 5
( 2 ) ? , ? , ? , ? 四 点 不 在 同 一 圆 上 ， 理 由 详 见 解 析
△ ? ? ?
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 求 得 的 面 积 .
（ 2 ） 先 判 断 过 ? , ? , ? 三 点 的 圆 的 直 径 ， 再 根 据 ? 的 大 小 确 定 正 确 答 案 .
【 详 解 】 （ 1 ） ? ? = 1 0 , ? ? = 2 5 , ? ? = 1 0 ，
2 2 2
所 以 ? ? + ? ? = ? ? ， 所 以 ? ? ⊥ ? ? ，
1
所 以 △ ? ? ? 的 面 积 为 × 1 0 × 1 0 = 5 .
2
（ 2 ） ? , ? , ? , ? 四 点 不 在 同 一 圆 上 ， 理 由 如 下 ：
由 于 ? ? ⊥ ? ? ， 所 以 过 ? , ? , ? 三 点 的 圆 （ 设 为 圆 ? ） 的 直 径 是 ? ? ，
π
由 （ 1 ） 知 △ ? ? ? 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 ? = ，
4
所 以 ? 不 是 圆 ? 的 圆 周 角 ， 所 以 ? , ? , ? , ? 四 点 不 在 同 一 圆 上 .
?
1 8 ． ( 1 ) ? = 2
?
? + 1
( 2 ) ? = ( ? + 1 ) × 2 ? 2
?
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 比 数 列 通 项 公 式 和 等 差 数 列 的 性 质 即 可 ； （ 2 ） 根 据 乘 公 比 错 位 相 减 法 即
可 求 解 .
? ? 1 ? ? 1
【 详 解 】 （ 1 ） 设 ? = ? ? ? = 2 ? ? ，
? 1
因 为 满 足 4 ? , 2 ? , ? 成 等 差 数 列 ，
1 2 3
4 ? + ? = 4 ? ,
所 以
1 3 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
所 以 4 × 2 + 2 ? = 4 × 2 × ? ,
2
所 以 2 ? ? 8 ? + 8 = 0 ，
2
所 以 ? ? 4 ? + 4 = 0 ，
2
所 以 ? ? 2 = 0 ，
? = 2
所 以 ，
? ? 1 ?
所 以 ? = 2 ? 2 = 2 .
?
?
所 以 ? = 2 .
?
（ 2 ） 令 ? = ? + 2 ? ，
? ?
?
则 ? = ? + 2 2 ，
?
? ? + ? + . . . + ?
所 以 = ，
? 1 2 ?
1 2 ?
所 以 ? = 3 × 2 + 4 × 2 + . . . + ( ? + 2 ) × 2 ，
?
2 3 ? + 1
乘 以 2 得 ， 2 ? = 3 × 2 + 4 × 2 + . . . + ( ? + 2 ) × 2 ，
?
1 2 3 ? ? + 1
错 位 相 减 得 ， ? ? = 3 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + . . . + 1 × 2 ? ( ? + 2 ) × 2 ，
?
2 3 ? ? + 1
所 以 ? ? = 6 + 2 + 2 + . . . + 2 ? ( ? + 2 ) × 2 ，
?
2 3 ? ? + 1
所 以 ? ? = 6 + （ 2 + 2 + . . . + 2 ） ? ( ? + 2 ) × 2 ，
?
2 ? ? 1
2 ( 1 ? 2 )
? + 1
所 以 ? ? = 6 + ? ( ? + 2 ) × 2 ，
?
1 ? 2
? + 1 ? + 1
所 以 ? ? = 6 + ( 2 ? 4 ) ? ( ? + 2 ) × 2 ，
?
? + 1 ? + 1
? 2 2
所 以 = ? 6 ? ( ? 4 ) + ( ? + 2 ) × ，
?
? + 1
所 以 ? = ( ? + 1 ) × 2 ? 2 .
?
1 9 ． ( 1 ) 1 1
( 2 ) 证 明 见 解 析
【 分 析 】 （ 1 ） ? ? = ? ? + ? ? + ? ? ， 结 合 向 量 数 量 积 运 算 ， 求 模 即 可 .
1 1
? ?
（ 2 ） = ? ? ? + ? ? ， 由 向 量 数 量 积 关 于 垂 直 的 表 示 即 可 判 断 .
1 1
【 详 解 】 （ 1 ） 设 ? ? = ? , ? ? = ? , ? ? = ? ， 则 ? = ? = 1 , ? = 2 ，
1
°
∵ ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? = 6 0 ， 则 ? ? ? = ? ? ? = 2 × 1 × c o s 6 0 ° = 1 , ? ? ? = 1 × 1 ×
1 1
1
c o s 6 0 ° = .
2
2
∵ ? ? = ? ? + ? ? + ? ? = ? + ? + ? ， ∴ ? ? = ? + ? + ? = ? + ? + ? =
1 1 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
2 2 2
? + ? + ? + 2 ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? = 1 + 1 + 4 + 2 × + 1 + 1 = 1 1 .
2
故 线 段 ? ? 的 长 为 1 1 .
1
2
（ 2 ） 证 明 ： ∵ ? ? = ? ? = ? ? ? + ? ? = ? ? ? ， ∴ ? ? ? ? ? = ? + ? + ? ? ? ? ? = ? ?
1 1 1 1 1
1 1
2
? ? ? ? ? + ? ? ? = 1 ? 1 ? + = 0 .
2 2
故 ? ? ⊥ ? ? .
1 1 1
2 0 ． ( 1 ) 证 明 详 见 解 析
? + 1
? + 1 9 9
( 2 ) ? = + ?
2 ? + 1
2 ? + 3 8 8
? ? ? ?
【 分 析 】 （ 1 ） 使 用 与 的 关 系 ， 再 将 替 换 为 进 行 证 明 即 可 ；
? ? ? ?
（ 2 ） 对 ? 为 奇 数 、 偶 数 进 行 分 组 求 和 ， ? 为 奇 数 时 使 用 裂 项 相 消 法 ， ? 为 偶 数 时 使 用 等 比 数
列 求 和 公 式 即 可 .
【 详 解 】 （ 1 ） 由 已 知 ，
① 当 ? = 1 时 ， 2 ? ? 1 + 2 = ? ， ∴ 2 ? + 1 = 1 0 ， ∴ ? = 4 ， ? = ? ? 1 = 3 ；
1 2 1 1 1 1
? ≥ 2 2 ? ? ? + 2 ? 2 ? ? ? ? 1 + 2 ?
② 当 时 ， ∵ = ， ∴ = ，
? ? + 1 ? ? 1 ?
两 式 相 减 ， 得 2 ? ? ? ? ? + ? ? 1 = ? ? ? ，
? ? ? 1 ? + 1 ?
∴ 2 ? ? 1 = ? ? ? ， ∵ ? = ? ? 1 ， ∴ ? = ? + 1 ，
?
? + 1 ? ? ? ? ?
∴ 2 ? = ? + 1 ? ? + 1 ， ∴ ? = 3 ? （ ? ≥ 2 ） ，
? ? + 1 ? ? + 1 ?
又 ∵ ? = ? ? 1 = 1 0 ? 1 = 9 ， ? = 3 ， ∴ ? = 3 ? ，
2 2 1 2 1
?
? + 1
∴ ? = 3 ? ， 且 数 列 ? 中 任 意 一 项 均 不 为 0 ， ∴ = 3 ，
? + 1 ? ?
?
?
∴ 数 列 ? 是 首 项 ? = 3 ， 公 比 ? = 3 的 等 比 数 列 .
? 1
? ? 1 ?
（ 2 ） 由 第 （ 1 ） 问 ， ? = ? ? = 3 ，
? 1
?
∴ ① 当 为 奇 数 时 ，
1 1 1 1 1 1
? = = = = ? ? ，
?
? ? + 2
3 ?
l o g ? ? l o g ? l o g ? l o g 3 ? + 2 2 ? ? + 2
3 ? 3 ? + 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 ? + 1
∴ ? + ? + ? + ? = ? 1 ? + ? + ? + ? = ? 1 ? = ，
1 3 2 ? + 1
2 3 3 5 2 ? + 1 2 ? + 3 2 2 ? + 3 2 ? + 3
?
② 当 ? 为 偶 数 时 ， ? = ? = 3 ，
? ?
? ? + 1
9 × 1 ? 9 9 9
2 4 2 ?
? + ? + ? + ? = 3 + 3 + ? + 3 = = ? ，
2 4 2 ?
1 ? 9 8 8
? + 1
? + 1 9 9
?
综 上 所 述 ， 数 列 的 前 2 ? + 1 项 和 ? = + ? .
? 2 ? + 1
2 ? + 3 8 8想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 1 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析 .
1 4
( 2 ) .
1 4
1
( 3 ) .
2
【 分 析 】 （ 1 ） 由 已 知 证 明 ?? ∥ ? ? ， 又 ? ? ∥ ? ? ， 从 而 证 明 ?? ∥ ? ? ， 可 证 ? ? ∥ 平 面 ?? ?
1 1 1 1
﹔
（ 2 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 所 需 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标 ， 然 后 求 出 平 面 ?? ? 与 平 面 ? ? ?
法 向 量 ， 由 向 量 的 夹 角 公 式 求 解 即 可 ；
? ? = ?? ? ? ? ?
（ 3 ） 设 ， 求 出 所 需 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标 ， 然 后 求 出 平 面 的 法 向 量 ，
1 1 1
由 向 量 的 夹 角 公 式 列 出 关 于 ? 的 方 程 ， 求 解 即 可 ．
?, ? ? ? , ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： ∵ 分 别 是 的 中 点 ,
1 1 1 1
∴ ? ? ∥ ? ? ， 又 三 棱 柱 ? ? ? ? ? ? ? 中 ， ? ? ∥ ? ? ， 故 ?? ∥ ? ? ，
1 1 1 1 1 1 1
又 ? ? ? 平 面 ?? ? ， ? ? ? 平 面 ?? ? ， 所 以 ? ? ∥ 平 面 ?? ? ；
（ 2 ） 由 题 意 知 三 棱 柱 ? ? ? ? ? ? ? 中 ， 侧 棱 与 底 面 垂 直 ，
1 1 1
且 ? ? = ? ? = ? ? = 2 , ? ? = 2 2 ，
1
2 2 2
? ? + ? ? = ? ? , ∴ ? ? ⊥ ? ?
故 ,
以 点 A 为 坐 标 原 点 ， ? ? , ? ? , ? ? 所 在 直 线 为 坐 标 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 所 示 ，
1
则 ? ( 0 , 0 , 0 ) , ? ( 0 , 0 , 2 ) , ? ( 2 , 0 , 0 ) , ? ( 0 , 2 , 1 ) , ? ( 1 , 1 , 0 ) , ?( 1 , 0 , 2 ) ，
1
所 ? ? = ( 0 , 1 , ? 2 ) , ?? = ( ? 1 , 2 , ? 1 ) ，
平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 为 ? ? = ( 0 , 0 , 2 ) ,
1
?? ? ?
设 平 面 的 法 向 量 为 = ( ? , ? , ? ) ,
? ? + 2 ? ? ? = 0
? ? ?? = 0
则 , ∴ ，
? ? 2 ? = 0
? ? ?? = 0想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
令 ? = 1 ， 则 ? = 3 , ? = 2 ， 故 ? = ( 3 , 2 , 1 ) ，
? ? ? ? 2 1 4
1
故 c o s? ? ? , ? ? = = = ，
1
| ? ? | | ? | 2 × 1 4 1 4
1
1 4
?? ? ? ? ?
放 平 面 与 平 面 的 夹 角 的 余 弦 值 为 .
1 4
? ? = ?? ? = ? ( 2 , 0 , 0 ) ? ∈ [ 0 , 1 ] ∴ ? ( 2 ?, 0 , 2 )
（ 3 ） 设 ， ， ，
1 1 1
所 以 ? ? = ( 2 ? ? 1 , ? 1 , 2 ) , ? ? = ( ? 1 , 1 , 1 ) ， ? ? = ( 0 , 2 , 1 ) ，
? ? ? ?
设 平 面 的 法 向 量 为 = ( ? , ? , ? ) ，
? ? ? ? = 0 ( 2 ? ? 1 ) ? ? ? + 2 ? = 0
则 , ∴ ，
? ? + ? + ? = 0
? ? ? ? = 0
令 ? = 3 ， 则 ? = 2 ? + 1 , ? = ? 2 ? ? 1 ， 则 ? = ( 3 , 2 ? + 1 , ? 2 ( ? ? 1 ) ) ，
π 7 0
设 直 线 ? ? 与 平 面 ? ? ? 所 成 角 为 ? , ? ∈ [ 0 , ] ， 则 由 题 意 知 c o s ? = ，
2 1 0
3 0
? ? ? ? ?
所 以 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 ，
1 0
| ? ? | | 2 ? + 4 | 3 0
? ?
所 以 s i n ? = | c o s? ? ? , ? ? | = = = ，
2
| ? ? | | ? | 1 0
8 ? ? 4 ? + 1 4 × 5
1 5 1 1
解 得 ? = ， ? = （ 舍 去 ） ， 则 ? ? = ? ? = ，
1 1 1
4 2 4 2
1
即 线 段 ? ? 的 长 为 .
1
2
2 2 ． ( 1 ) ? = ± ? ；
( 2 ) ? ? ? + 1 = 0 ；
( 3 ) 答 案 见 解 析 .
2
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 抛 物 线 Γ : ? = 4 ? 的 焦 点 为 ? 1 , 0 ， 准 线 为 ? : ? = ? 1 ，
2 2 2
? ? ? 2 1
2
2
双 曲 线 ? 的 方 程 为 2 ? ? = 1 ， 即 ? = 1 ， 则 ? = ， ? = ? + ，
2 1 2
? ? 2 2
2
1 2
2
由 题 意 可 知 ： ? = ? + = 1 ， 则 ? = ，
2 2
2 2
? ?
故 双 曲 线 C 的 方 程 为 ? = 1 ， 渐 近 线 方 程 为 ? = ± ? .
1 1
2 2
（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可 知 ： ? ? 1 , 0 ，
如 图 ， 过 点 P 作 直 线 ? 的 垂 线 ， 垂 足 为 M ， 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 ?? = ?? ，
? ? ? ? π
2
因 为 s i n ∠ ? ? ? = = = ， 且 ∠ ? ? ? ∈ 0 , ，
? ? ? ? 2 2
π
所 以 ∠ ? ? ? = ，
4
π
故 直 线 E P 的 倾 斜 角 ? = ， 斜 率 ? = t a n ? = 1 ，
? ?
4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
所 以 直 线 E P 的 方 程 为 ? = ? + 1 ， 即 ? ? ? + 1 = 0 .
（ 3 ） 解 ： 以 线 段 M N 为 直 径 的 圆 C 过 定 点 1 , 0 ， ? 3 , 0 .
理 由 如 下 ：
? : ? = ? ? ? 1 ? ? , ? ? ? , ?
由 已 知 可 得 直 线 ， 设 ， ，
1 1 1 2 2
? = ? ? ? 1
2 2 2 2
联 立 方 程 ， 消 去 y 可 得 ： ? ? ? 2 ? + 2 ? + ? = 0 ，
2
? = 4 ?
2 2
2 ? + 2 ?
则 可 得 ： ? + ? = ， ? ? = = 1 ，
1 2 1 2
2 2
? ?
? ? ?
1 1 1
又 直 线 ? ? : ? = ? ， 当 ? = ? 1 时 ， ? = ? ， 所 以 ? ? 1 , ? .
? ? ?
1 1 1
?
2
同 理 可 得 ： ? ? 1 , ? .
?
2
? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1
1 2
1 2
? + ? +
? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? + ?
1 2 1 2
1 2 1 2
又 = ? = ?
? ?
2 2 2
1 2
2
2 ? + 2
? 2 ?
2
? 2
= ? = ，
?
2
? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
2
2
? ? ? ? ? ? ? + ? ? 4 ? ?
= = = =
1 2 1 2
? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 2
2 ? + 2 4 ? + 1
= ? ? 4 = ，
2
? ?
2
? + 1
2 1 2
则 以 线 段 M N 为 直 径 的 圆 C 的 圆 心 ? ? 1 , ， 半 径 ? = ? ? = ，
? 2 ?
2 2
2 4 ? + 1 4
2 2 2
故 圆 C 的 方 程 为 ? + 1 + ? ? = ， 整 理 得 ? + ? + 2 ? ? 3 ? ? = 0 ，
2
? ? ?
2
令 ? = 0 ， 则 ? + 2 ? ? 3 = 0 ， 解 得 ? = 1 或 ? = ? 3 ，
故 以 线 段 M N 为 直 径 的 圆 C 过 定 点 1 , 0 ， ? 3 , 0 .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 2 0 2 1 - 2 0 2 2 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． C
【 分 析 】 将 直 线 方 程 转 化 为 斜 截 式 方 程 ， 进 而 根 据 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 求 解 即 可.
3
【 详 解 】 解 ： 直 线 方 程 3 ? + 3 ? ? 1 = 0 转 化 为 斜 截 式 方 程 得 ? = ? 3 ? + ，
3
所 以 直 线 的 斜 率 为 ? = ? 3 ， 即 t a n ? = ? 3 ，
°
因 为 ? ∈ 0 , ? ， 所 以 ? = 1 2 0 .
故 选 ： C
2 ． A
【 分 析 】 由 直 线 恒 过 定 点 ? 0 , 1 ， 且 定 点 ? 0 , 1 在 圆 内 ， 从 而 即 可 判 断 直 线 与 圆 相 交 .
2 2
? = ?? + 1 ? 0 , 1 0 + 1 + 2 × 1 ? 5 = ? 2 < 0
【 详 解 】 解 ： 因 为 直 线 恒 过 定 点 ， 而 ，
2 2
所 以 定 点 ? 0 , 1 在 圆 ? + ? + 2 ? ? 5 = 0 内 ，
2 2
所 以 直 线 ? = ?? + 1 与 圆 ? + ? + 2 ? ? 5 = 0 相 交 ，
故 选 ： A .
3 ． A
【 分 析 】 根 据 圆 的 方 程 、 椭 圆 的 方 程 、 双 曲 线 的 方 程 和 抛 物 线 的 方 程 特 征 即 可 判 断 .
【 详 解 】 解 ： 对 A ： 因 为 曲 线 C 的 方 程 中 ? , ? 都 是 二 次 项 ， 所 以 根 据 抛 物 线 标 准 方 程 的 特 征
曲 线 C 不 可 能 是 抛 物 线 ， 故 选 项 A 正 确 ；
2
对 B ： 当 1 ? ? > 0 时 ， 曲 线 C 为 双 曲 线 ， 故 选 项 B 错 误 ；
2
对 C ： 当 1 ? ? = ? 1 时 ， 曲 线 C 为 圆 ， 故 选 项 C 错 误 ；
2 2
1 ? ? < 0 1 ? ? ≠ ? 1
对 D ： 当 且 时 ， 曲 线 C 为 椭 圆 ， 故 选 项 D 错 误 ；
故 选 ： A .
4 ． C
【 分 析 】 根 据 等 比 数 列 求 和 公 式 求 出 首 项 即 可 得 解 .
【 详 解 】 由 题 可 得 该 女 子 每 天 织 布 的 尺 数 成 等 比 数 列 ， 设 其 首 项 为 ? ， 公 比 为 ? = 2 ，
1
5
? 1 ? 2 5
1
= 5 ? =
则 ， 解 得
1
1 ? 2 3 1
5 1 0
所 以 第 二 天 织 布 的 尺 数 为 ? = × 2 = .
2
3 1 3 1
故 选 ： C
5 ． B
【 分 析 】 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用 向 量 夹 角 求 解 .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 以 ? 为 原 点 ， ? ? , ? ? , ? ? 为 ? , ? , ? 轴 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 ， 设 正 方
1
体 棱 长 为 2 ， ? 2 , 0 , 0 , ? 1 , 1 , 2 , ? 0 , 0 , 2 , ? 2 , 2 , 0
1
所 以 ? ? = ? 1 , 1 , 2 , ? ? = 2 , 2 , ? 2 ，
1
? ? ? ? ? ? 4 2
1
= =
3
? ? ? ? ? 6 × 1 2
1
2
所 以 异 面 直 线 ? ? 与 ? ? 所 成 角 的 余 弦 值 为 .
1
3
故 选 ： B
6 ． B
【 分 析 】 由 双 曲 线 的 定 义 知 ， ? ? ? ? ? = 2 ? ， 又 △ ? ? ? 为 等 边 三 角 形 ， 所 以 ? ? =
1 2 2 1
? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? = 2 ? ， 由 对 称 性 有 ? ? = ? ? = 2 ? ， 所 以 ? ? =
1 1 2 2 1 1
4 ? , ? ? = 2 ? ， 在 直 角 三 角 形 ? ? ? 中 ， 求 出 c o s ∠ ? ? ? ， 在 三 角 形 ? ? ? 中 ， 由 余 弦 定 理
2 1 1 1 2
求 出 c o s ∠ ? ? ? ， 从 而 即 可 求 解 .
1
【 详 解 】 解 ： 由 双 曲 线 的 定 义 知 ， ? ? ? ? ? = 2 ? ， 又 △ ? ? ? 为 等 边 三 角 形 ，
1 2 2
所 以 ? ? = ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? = 2 ? ， 由 对 称 性 有 ? ? = ? ? = 2 ? ，
1 1 1 2 2 1
所 以 ? ? = 4 ? , ? ? = 2 ? ，
1 2
? ? ?
1
在 直 角 三 角 形 ? ? ? 中 ， c o s ∠ ? ? ? = = ，
1 1
? ? 2 ?
1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2 2 2 2 2 2 2
? ? + ? ? ? ? ? 2 ? + 4 ? ? 2 ? 3 ? + ?
1 2 1 2
在 三 角 形 ? ? ? 中 ， 由 余 弦 定 理 有 c o s ∠ ? ? ? = = = ，
1 2 1
2 ? ? ? ? 2 × 4 ? × 2 ? 4 ? ?
1 2 1
2 2 2
? 3 ? + ? ? ?
所 以 = ， 解 得 = 3 ， 所 以 双 曲 线 C 的 离 心 率 ? = = 3 ，
2
2 ? 4 ? ? ? ?
故 选 ： B .
7 ． A
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 求 得 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 ? = ( 1 , ? 1 , ? 2 ) ， 结 合 距 离 公 式 ， 即 可 求 解 .
? ? 1 , 1 , 0 ? 2 , 2 , 1 ? 1 , 1 , 1 ? 0 , 2 , 3
【 详 解 】 由 题 意 ， 空 间 中 四 点 ， ， ， ，
可 得 ? ? = ( 3 , 1 , 1 ) , ? ? = ( 2 , 0 , 1 ) , ? ? = ( 1 , 1 , 3 ) ，
? ? ? ? = 3 ? + ? + ? = 0
设 平 面 ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ( ? , ? , ? ) ， 则 ，
? ? ? ? = 2 ? + ? = 0
? = 1 ? = ? 1 , ? = ? 2 ?
令 ， 可 得 ， 所 以 = ( 1 , ? 1 , ? 2 ) ，
? ? ? ? 1 ? 1 ? 6
= = 6
所 以 点 D 到 平 面 A B C 的 距 离 为 .
? 1 + 1 + 4
故 选 ： A .
8 ． C
? ? 1 ?
1
【 分 析 】 由 题 意 ， 得 到 ( ? + 1 ) ? ? ? ? = ? ， 利 用 叠 加 法 求 得 ? = + ， 结 合 由 ? ≥ ? ，
? + 1 ? ? ? 4
2 ?
? ( ? ? 4 )
1
转 化 为 ≤ ? ? 4 恒 成 立 ， 分 1 ≤ ? ≤ 3 ， ? = 4 和 ? ≥ 5 三 种 情 况 讨 论 ， 即 可 求 解 .
2 ?
1 ? + 1
?
【 详 解 】 因 为 1 + ? ? ? = 1 ? ∈ ? ， 可 得 ? ? ? = 1 ， 所 以 ( ? + 1 ) ? ?
? + 1 ? ? + 1 ? ? + 1
? ?
? ? = ?
，
?
所 以 2 ? ? ? = 1 , 3 ? ? 2 ? = 2 , 4 ? ? 3 ? 3 = 3 , ? , ? ? ? ( ? ? 1 ) ? = ? ? 1 ，
2 1 3 2 4 ? ? ? 1
2
? ( ? ? 1 ) ? ? ? ? ? 1 ?
1
各 式 相 加 可 得 ? ? ? ? = 1 + 2 + 3 + ? + ( ? ? 1 ) = = ， 所 以 ? = + ，
? 1 ?
2 2 2 ?
? ? 1 ? 3 ? ? ( ? ? 4 )
1 1 1
? ≥ ? + ≥ + ≤ ? ? 4
由 ， 可 得 恒 成 立 ， 整 理 得 恒 成 立 ，
? 4
2 ? 2 4 2 ?
当 1 ≤ ? ≤ 3 时 ， ? ? 4 < 0 ， 不 等 式 可 化 为 ? ≥ 2 ? 恒 成 立 ， 所 以 ? ≥ ( 2 ? ) = 6 ；
1 1 m a x
当 ? = 4 时 ， ? ? 4 = 0 ， 不 等 式 可 化 为 0 ≤ 0 恒 成 立 ；
? ≥ 5 ? ? 4 > 0 ? ≤ 2 ? ? = 1 0
当 时 ， ， 不 等 式 可 化 为 恒 成 立 ， 所 以 ≥ ( 2 ? ) ，
1 1 m i n
综 上 可 得 ， 实 数 ? 的 取 值 范 围 是 6 , 1 0 .
1
故 选 ： C .
9 ． A B D
【 分 析 】 直 接 利 用 向 量 的 基 底 和 向 量 的 线 性 运 算 的 应 用 判 断 A 、 B 、 C 、 D 的 结 论 ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
3
【 详 解 】 解 ： 对 于 A ： 由 于 向 量 { ? ， ? ， ? } 构 成 空 间 的 一 个 基 底 ， 且 满 足 ? + 2 ? = ? + ? ?
2
1
? ? ? ， 故 A 正 确 ；
2
对 于 B ： 由 于 ? ? ? = ? + ? ? ? + ? ， 故 B 正 确 ；
? + ? + ? ≠ ? ? ? ? + ? ?
对 于 C ： 由 于 ， 故 C 错 误 ；
对 于 D ： 由 于 ? ? 2 ? = ? + ? ? ? ? ? + ? ， 故 D 正 确 ．
故 选 ： A B D ．
1 0 ． A B C
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 性 质 可 以 判 定 A C ， 结 合 通 项 公 式 特 征 判 定 B D .
【 详 解 】 数 列 ? 、 ? 都 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ， 设 其 公 差 分 别 为 ? , ? ， 且 均 不 为 0 ，
? ? 1 2
? ? ? = ? ? ? + ? ? ? = ? + ? ，
? + 1 ? ? + 1 ? ? + 1 ? 1 2
? ? ? ?
所 以 数 列 一 定 是 等 差 数 列 ， 给 定 ， 可 求 出 数 列 的 通 项 公 式 ， A ， C 选 项 正 确 ；
? 1 2 ?
设 ? = ? ? + ? , ? = ? ? + ? ， ? ? ≠ 0
? 1 1 ? 2 2 1 2
2
? = ? ? + ? ? ? + ? = ? ? ? + ? ? + ? ? ? + ? ? 一 定 是 一 个 关 于 ? 的 二 次 函
? 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
数 ， 所 以 数 列 ? 一 定 不 是 等 差 数 列 ， 所 以 B 选 项 正 确 ；
?
根 据 二 次 函 数 性 质 ， 仅 仅 给 定 ? ， ? 不 能 求 出 数 列 ? 的 通 项 公 式 ， 所 以 D 选 项 错 误 .
1 2 ?
故 选 ： A B C
1 1 ． B D
【 分 析 】 对 A ： 在 直 角 三 角 形 ? ? ? 中 即 可 求 解 ； 对 B ： 当 ? ? 与 圆 О 相 切 时 ， ∠ ? ? ? 最 大 ； 当
B 、 O 、 C 三 点 共 线 时 ， ∠ ? ? ? 最 小 ， 分 两 种 情 况 讨 论 即 可 ； 对 C 、 D ： 当 ? ? 与 圆 О 相 切 时 ， ∠ ? ? ?
最 大 ， 即 ∠ ? ? ? 最 大 ， 此 时 ∠ ? ? ? = 2 ∠ ? ? ? ， 分 析 点 B 在 点 ? 3 , 1 和 3 , 1 之 间 变 动 即
可 求 解 .
【 详 解 】 解 ： 对 A ： 若 ∠ ? ? ? = 3 0 ° ， 在 直 角 三 角 形 ? ? ? 中 ， 由 ? ? = 1 可 得 ? ? = 3 ， 所
以 点 B 的 坐 标 为 3 , 1 或 ? 3 , 1 ， 故 选 项 A 错 误 ；
对 B ： 当 ? ? 与 圆 О 相 切 时 ， ∠ ? ? ? 最 大 ， 此 时 在 直 角 三 角 形 ? ? ? 中 ， 因 为 ? ? = 2 , ? ? = 1 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
° °
所 以 易 得 ∠ ? ? ? = 3 0 ； 当 B 、 O 、 C 三 点 共 线 时 ， ∠ ? ? ? 最 小 ， 此 时 ∠ ? ? ? = 0 . 综 上 ， 0 ° ≤
∠ ? ? ? ≤ 3 0 ° ， 故 选 项 B 正 确 ；
对 C 、 D ： 当 ? ? 与 圆 О 相 切 时 ， ∠ ? ? ? 最 大 ， 即 ∠ ? ? ? 最 大 ， 此 时 ∠ ? ? ? = 2 ∠ ? ? ? ， 当 ? ? = 2
° ° °
时 ， ∠ ? ? ? = 6 0 ， ∠ ? ? ? = 3 0 . 当 点 B 在 点 ? 3 , 1 和 3 , 1 之 间 变 动 时 ， ∠ ? ? ? ≥ 6 0 ，
°
∠ ? ? ? ≥ 3 0 ， 所 以 若 ∠ ? ? ? = 6 0 ° ， 即 ∠ ? ? ? = 3 0 ° ， 则 ? ? ≤ 2 . 故 选 项 C 错 误 ， 选 项 D
正 确 .
故 选 项 ： B D .
1 2 ． B C
2
?
2
+ ? = 1 , ? ? 0
4
【 分 析 】 原 方 程 等 价 于 { ， 然 后 对 各 选 项 逐 一 分 析 判 断 即 可 得 答 案 .
2
?
2
? ? = 1 , ? < 0
4
2
?
2
+ ? = 1 , ? ? 0
?| ? |
4
2
【 详 解 】 解 ： 原 方 程 + ? = 1 等 价 于 { ，
2
4 ?
2
? ? = 1 , ? < 0
4
对 A ： 由 题 意 ， 当 ?( ? , ? ) 为 曲 线 C 在 第 一 象 限 上 的 点 时 才 有 P 点 到 A 点 的 最 近 距 离 ， 此 时
3 2 6
2 2 2 2 2
| ?? | = ( ? ? 1 ) + ? = ? ? 2 ? + 2 ( 0 ? ? ? 2 ) ， 所 以 | ?? | = ， | ?? | = ， 故 选 项
m i n m i n
4 3 3
A 错 误 ；
6
< 1 ? 1
对 B ： 因 为 ， 且 椭 圆 右 顶 点 、 上 顶 点 到 点 的 距 离 分 别 为 、 2 ， 故 椭 圆 上 恰 有 三 个
3
点 到 ? 的 距 离 为 1 ， 故 选 项 B 正 确 ；
2
?
2 2
? ? ? = 1 ( ? < 0 )
2
对 C ： 由 于 ? ? = 1 ( ? < 0 ) 与 ? = ?( ? ? 1 ) 无 交 点 时 ， 联 立 { 4 ，
4
? = ?( ? ? 1 )
1 5 5
2 2 2 2
有 ( ? ? ) ? ? 2 ? ? + ? ? 1 = 0 ， 由 Δ < 0 可 得 ? < ? < ， 此 时 直 线 只 与 椭 圆 部 分 有
4 5 5
一 个 交 点 ， 故 选 项 C 正 确 ；
1
对 D ： 双 曲 线 的 渐 近 线 斜 率 为 ± ， 当 过 A 点 的 直 线 斜 率 ? ≥ 1 或 ? ≤ ? 1 时 ，
2
直 线 与 曲 线 C 的 椭 圆 部 分 有 两 个 交 点 ， 与 双 曲 线 部 分 无 交 点 ；
当 ? 1 ≤ ? ≤ 1 时 ， 直 线 与 曲 线 C 的 椭 圆 部 分 有 一 个 交 点 ， 与 双 曲 线 部 分 最 多 两 个 交 点 ， 所
以 与 曲 线 ? 至 多 有 三 个 公 共 点 ， 故 选 项 D 错 误 .
故 选 ： B C .
? 2 1
1 3 ． 或
【 分 析 】 根 据 平 行 线 的 性 质 进 行 求 解 即 可 .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 因 为 直 线 ?? + 2 ? ? 1 = 0 与 ? + 1 + ? ? + 2 = 0 平 行 ，
? ( ? + 1 ) = 2 × 1
所 以 有 ： ? ? = ? 2 或 ? = 1 ，
1
? ≠ ?
2
? 2 1
故 答 案 为 ： 或
1
1 4 ． ? ( 答 案 合 理 即 可 )
?
1
【 分 析 】 当 ? = ? 时 满 足 ， 利 用 作 差 比 较 法 即 可 证 明 .
?
?
1
【 详 解 】 解 ： 当 ? = ? 时 满 足 条 件 ① ② ， 证 明 如 下 ：
?
?
1 1 1 1 1
因 为 ? ? ? = ? ? ? = ? = > 0 ， 所 以 ? > ? ；
? + 1 ? ? + 1 ?
? + 1 ? ? ? + 1 ? ? + 1
当 ? = 1 时 ， ? ? ? = ? ? ? = 0 ；
1 1 1 1
1 1 1
当 ? ≥ 2 时 ， ? ? ? = ? + ? + ? + ? = ? + ? + ? + ? < 0 ；
? ? 1 2 ? ? 1
1 2 ? ? 1
综 上 ， ? ≤ ? .
? ?
1
故 答 案 为 ： ? ( 答 案 合 理 即 可 ) .
?
1 5 ． 2
【 分 析 】 将 物 体 放 入 长 方 体 中 ， 切 割 处 理 求 得 体 积 .
【 详 解 】
如 图 所 示 ： 四 面 体 P A B C 可 以 看 成 以 1 , 2 , 3 为 棱 长 的 长 方 体 切 去 四 个 全 等 的 ? ? ? ? ? 三 棱 锥 ，
1 1
所 以 四 面 体 P A B C 的 体 积 为 1 × 2 × 3 ? 4 × × × 1 × 2 × 3 = 2 .
3 2
故 答 案 为 ： 2
9
1 6 ． / 4 . 5
2
2 2
【 分 析 】 设 ? 为 右 焦 点 ， 半 焦 距 为 ? ， ?? = ? , ?? = ? ， 由 题 意 ， ?? ⊥ ?? ， 则 ? + ? =
2 1 2 1 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 1
2 2 2 2
4 ? , ? + ? = 2 ? , ? ? ? = 2 ? ， 所 以 2 ? + 2 ? = 2 ? 4 ? ， 从 而 有 + = 2 ， 最 后 利 用
1 2 1 2 2 2
? ?
1 2
均 值 不 等 式 即 可 求 解 .
2 2
? ? ?? = ? , ?? = ? ?? ⊥ ?? ? + ?
【 详 解 】 解 ： 设 为 右 焦 点 ， 半 焦 距 为 ， ， 由 题 意 ， ， 则 =
2 1 2 1 2
2
4 ? , ? + ? = 2 ? , ? ? ? = 2 ? ，
1 2
1 1
2 2 2
所 以 2 ? + 2 ? = 2 ? 4 ? ， 即 + = 2 ，
1 2 2 2
? ?
1 2
2 2 2 2
1 1 4 ? ? 4 ? ? 6
2 2 1 2 1 2
故 4 ? + ? + = 5 + + ? 5 + 2 ? = 9 ， 当 且 仅 当 ? = 2 ? = 时 取 等 ，
1 2 2 2 2 2 2 2 2 1
? ? ? ? ? ? 2
1 2 2 1 2 1
9
2 2
所 以 4 ? + ? ? ，
1 2
2
9
故 答 案 为 ： .
2
1 7 ． ( 1 ) ? = 3 ? ? 5 1
?
? 4 0 8 ? = 1 6 1 7
( 2 ) ； 或
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 得 到 数 列 ? 为 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 结 合 ? ， ? ， ? 成 等 比 数 列 ， 列
? 5
1 8
出 方 程 求 得 ? ， 即 可 得 到 数 列 ? 的 通 项 公 式 ；
1 ?
（ 2 ） 由 ? = 3 ? ? 5 1 ， 得 到 1 ≤ ? ≤ 1 6 时 ， ? < 0 ， 当 ? = 1 7 时 ， ? = 0 ， 当 ? ≥ 1 8 时 ，
? ? ?
? > 0
， 结 合 等 差 数 列 的 求 和 公 式 ， 即 可 求 解.
?
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 由 题 意 ， 数 列 ? 满 足 ? ? ? = 3 ， 所 以 数 列 ? 为 公 差 为 3 的 等 差 数
? ? + 1 ? ?
列 ，
2
又 由 ? ， ? ， ? 成 等 比 数 列 ， 可 得 ? = ? ? ，
1 5 8 5 1 8
2
即 ( ? + 1 2 ) = ? ( ? + 2 1 ) ， 解 得 ? = ? 4 8 ，
1 1 1 1
? ?
所 以 数 列 的 通 项 公 式 = ? 4 8 + ( ? ? 1 ) × 3 = 3 ? ? 5 1 .
? ?
（ 2 ） 解 ： 由 数 列 ? 的 通 项 公 式 ? = 3 ? ? 5 1 ，
? ?
令 ? ≤ 0 ， 即 3 ? ? 5 1 ≤ 0 ， 解 得 ? ≤ 1 7 ，
?
+
所 以 当 1 ≤ ? ≤ 1 6 , ? ∈ ? 时 ， ? < 0 ；
?
当 ? = 1 7 时 ， ? = 0 ；
?
+
? ≥ 1 8 , ? ∈ ? ? > 0
当 时 ， ，
?
1 7 × ( ? 4 8 )
所 以 当 ? = 1 6 或 1 7 时 ， ? 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 ? = ? = = ? 4 0 8 .
? 1 6 1 7
2
2
1 8 ． ( 1 ) ? = 8 ?
( 2 ) 证 明 见 解 析想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 （ 1 ） 由 圆 与 ? 轴 的 交 点 分 别 为 ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ， 可 得 抛 物 线 的 焦 点 为 ( 2 , 0 ) ， 从 而 即 可 求
解 ；
（ 2 ） 设 直 线 为 ? = ?? + 8 ， 联 立 抛 物 线 方 程 ， 由 韦 达 定 理 及 ? ? ? ? ? = ? ? + ? ? ， 求 出 ? ? ?
1 2 1 2
? ? = 0 即 可 得 证 .
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 由 题 意 知 ， 圆 与 ? 轴 的 交 点 分 别 为 ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ， 则 抛 物 线 的 焦 点 为 ( 2 , 0 ) ，
?
= 2
所 以 ，
2
2
? = 8 ?
所 以 抛 物 线 方 程 为 ；
? = ?? + 8
2
（ 2 ） 证 明 ： 设 直 线 为 ? = ?? + 8 ， 联 立 方 程 ， 有 ? ? 8 ?? ? 6 4 = 0 ，
2
? = 8 ?
所 以 ? + ? = 8 ? , ? ? = ? 6 4 ，
1 2 1 2
2
? ?
1 2
所 以 ? ? ? ? ? = ? ? + ? ? = + ? ? = 0 ，
1 2 1 2 1 2
6 4
所 以 ? ? ⊥ ? ? .
1 9 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
? = 3
( 2 )
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： 因 为 ? = 2 ? + 1 ， 所 以 ? + 1 = 2 ? + 1 ， 又 因 为 ? + 1 = 2 ，
? ? ? 1 ? ? ? 1 1
? + 1
?
= 2
所 以 ，
? + 1
? ? 1
? + 1
所 以 数 列 是 首 项 为 2 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ；
?
? ? 1 ? ? ? ? 1
（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， ? + 1 = 2 ? 2 = 2 ， 所 以 ? = 2 ? 1 ， 所 以 ? = ? ? ? = 2 ? ≥
? ? ? ? ? ? 1
? ? 1 ?
2 ， 检 验 ? = 1 时 也 满 足 上 式 ， 所 以 ? = 2 ? ∈ ? ,
?
? ? ? 2
所 以 ? = 4 ? 1 5 ? 2 + 1 ， 令 ? = 2 ， 所 以 ? = ? ? 1 5 ? + 1 , ? ∈ { 2 , 4 , 8 , 1 6 , … } ，
? ?
故 当 ? = 8 即 ? = 3 时 ， ? 取 得 最 小 值 ， 所 以 ? = 3 .
?
2 2
( ? + 2 ) + ( ? ? 1 ) = 4
2 0 ． ( 1 )
4
( 2 ) 直 线 ? 的 方 程 为 ? = 0 或 ? = ? ? 或 ? = ( ? 2 ± 6 ) ?
3
? ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 设 弦 的 中 点 为 ， 则 有 ? ( ? 1 , 2 ) ，
3 ? 1
因 为 ? = = ? 1 ， 所 以 直 线 ? ? : ? = ? ? + 1 ，
? ?
? 2 ? 0
所 以 直 线 ? ? 的 中 垂 线 为 ? : ? = ? + 3 ， 则 圆 心 ? 在 直 线 ? 上 ， 且 在 直 线 ? + ? + 1 = 0 上 ，
1 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? = ? + 3
联 立 方 程 解 得 圆 心 ? ( ? 2 , 1 ) ， 则 圆 的 半 径 为 ? = ? ? =
? + ? + 1 = 0
2 2
? 2 ? 0 + 1 ? 1 = 2 ，
2 2
所 以 圆 方 程 为 ( ? + 2 ) + ( ? ? 1 ) = 4 ；
1
（ 2 ） 解 ： 设 圆 心 到 直 线 ? 的 距 离 为 ? ， 因 为 ? = ? ? ? ? ? ? s i n ∠ ? ? ? = 3 ，
△ ?? ?
2
? 2 ?
所 以 ∠ ? ? ? = 或 ∠ ? ? ? = ， 所 以 ? = 3 或 ? = 1 ，
3 3
| ? 2 ? ? 1 | | ? 2 ? ? 1 |
显 然 直 线 斜 率 存 在 ， 所 以 设 直 线 ? : ? = ?? ， 则 ? = = 3 或 ? = = 1 ，
2 2
? + 1 ? + 1
4
解 得 ? = ? 2 ± 6 或 ? = 0 或 ? = ? ，
3
4
故 直 线 ? 的 方 程 为 ? = 0 或 ? = ? ? 或 ? = ( ? 2 ± 6 ) ? .
3
2 1 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
2 3 1
( 2 )
3 1
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： 因 为 平 面 ? ? ? ? ⊥ 平 面 A B C D ， 平 面 ? ? ? ? ∩ 平 面 A B C D = ? ? ， 且 ? ? ⊥ ? ? ，
所 以 ? ? ⊥ 平 面 A B C D ， 连 接 B D ， 则 △ ? ? ? 为 等 边 三 角 形 ， 所 以 ? ? ⊥ ? ? ，
以 ? 为 原 点 ， ? ? , ? ? 为 ? , ? 轴 ， 竖 直 向 上 为 ? 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ，
则 ? ( 0 , ? 1 , 0 ) , ? ( 3 , 0 , 0 ) , ? ( 3 , 2 , 0 ) , ? ( 0 , 1 , 0 ) , ? ( 0 , ? 1 , 2 ) , ? ( 3 , 0 , 1 ) ， 设 ? = ? , ? , ? 为 平
1 1 1 1
面 ? ? ? 的 法 向 量 ，
? ? ? ? = 0
1
因 为 ? ? = ( 0 , ? 2 , 2 ) , ? ? = ( 3 , ? 1 , 1 ) ， 则 有 ， 取 ? = ( 0 , 1 , 1 ) ，
1
? ? ? ? = 0
1
又 因 为 ? ? = ( ? 3 , 0 , 0 ) ， 所 以 ? ? ? ? = 0 ，
1
因 为 ? ? ? 平 面 ? ? ? ， 所 以 ? ? / / 平 面 ? ? ? ；
（ 2 ） 解 ： 分 别 设 ? = ? , ? , ? , ? = ? , ? , ? 为 平 面 ? ? ? 和 平 面 ? ? ? 的 法 向 量 ，
2 2 3 3
2 2 3 3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? ? = 0
2
因 为 ? ? = ( 0 , ? 1 , 2 ) , ? ? = ( 3 , 2 , 0 ) ， 则 有 ， 取 ? = ( ? 4 , 2 3 , 3 ) ，
2
? ? ? ? = 0
2
? ? ? ? = 0
3
因 为 ? ? = ( 3 , 3 , ? 2 ) , ? ? = ( 0 , ? 2 , 1 ) ， 则 有 ， 取 ? = ( 1 , 3 , 2 3 ) ，
3
? ? ? ? = 0
3
? ? ? 2 2 3 1
2 3
所 以 c o s ? = = = ， 由 图 可 知 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 为 锐 二 面 角 ，
? ? ? 3 1 3 1
2 3
2 3 1
所 以 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 的 余 弦 值 为 .
3 1
2 2
? ?
2 2 ． ( 1 ) + = 1 ( ? ≠ ± 6 )
6 3
3 2 ? 8 7
( 2 )
3
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 设 ? 点 坐 标 为 ( ? , ? ) ( ? ≠ ± 6 ) ，
1
∵ 定 点 ? 6 , 0 ， ? ? 6 , 0 ， 直 线 ?? 与 直 线 ?? 的 斜 率 之 积 为 ? ，
2
? ? 1
∴ × = ? ，
?+ 6 ? ? 6 2
2 2
? ?
∴ + = 1 ( ? ≠ ± 6 )
6 3
2 2 2 2
? ? ? ?
0 0 1 1
（ 2 ） 解 ： 设 ? ? , ? ， ? ? ? , ? ? ， ? ? , ? ， 则 + = 1 ， + = 1 ， 所 以 ? ? ? =
? ?
0 0 0 0 1 1 ? ?
6 3 6 3
2 2
? ?
1 0
3 ? ? 3 ?
2 2
? ? ? ? + ? ? ? ? 1
2 2
1 0 1 0 1 0
?
= = = ?
2 2 2 2
? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? 2
1 0 1 0 1 0 1 0
1 ? ? ?
0 0 0
又 ? ? ? = ? 1 ， 所 以 ? = ? ， 又 ? = 即 ? = ， 则 直 线 ? ? ： ? + ? = ? +
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0
2 ? 2 ? 2 ?
0 0 0
?
0
? ? ? = ? ? ? ?
0 0
3
? ? ?
0 0 0
? ， 直 线 ? ? ： ? ? ? = ? ? ? ? ， 由 ， 解 得 ? = ， 即 ? =
?
0 0 0 ?
0 2
? 1 2 ? 3 ?
0 0
? + ? = ? + ?
0 0
2 ?
0
3 2 2 2 2 4 2 2
? 4 ? 4 ? ? + 4 ? ? 2 4 ? 7 ? ?
0 0 0 0 0 0 0 0
， 所 以 ? ? ? ? ? = 1 + ? ? × 1 + ? = ? =
0 ?
2 2 2 2 2 2
1 2 ? 3 ? ? ? ? 1 2 ? 3 ? 3 4 ? ?
0 0 0 0 0 0
7 ? ? 4 4 ? ? 1 1 6
2
令 4 ? ? = ? ， 则 ? ∈ 1 , 4 ， 所 以 ? ? ? ? ? = = 3 2 ? 7 ? ?
0
3 ? 3 ?
1 6 1 6 1 6 4
因 为 7 ? + ≥ 2 7 ? ? = 8 7 ， 当 且 仅 当 7 ? = 即 ? = ∈ 1 , 4 时 取 等 号 ， 所 以 ? ? ? ? ?
? ? ? 7
3 2 ? 8 7
的 最 大 值 为 ；
3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． C
【 分 析 】 根 据 直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率 之 间 的 关 系 求 解 即 可 .
° °
【 详 解 】 设 直 线 ? 的 倾 斜 角 为 ? ， 0 ≤ ? < 1 8 0
2
因 为 ? = 3 ， 所 以 ? = ± 3 ，
°
当 ? = 3 时 ， 即 t a n ? = 3 ， 则 ? = 6 0 ；
°
当 ? = ? 3 时 ， 即 t a n ? = ? 3 ， 则 ? = 1 2 0 ，
° °
所 以 直 线 ? 的 倾 斜 角 为 6 0 或 1 2 0 .
故 选 ： C .
2 ． C
【 分 析 】 根 据 已 知 条 件 及 向 量 的 模 公 式 即 可 求 解.
? ? 2 , 1 , 3 ? ? ? ?
【 详 解 】 因 为 点 在 坐 标 平 面 内 的 射 影 为 点 ,
所 以 ? ? 2 , 0 , 3 ，
所 以 ? ? = ? 2 , 0 , 3 ，
2 2 2
? ? = ? 2 + 0 + 3 = 1 3
所 以 .
故 选 ： C .
3 ． D
【 分 析 】 根 据 方 程 表 示 椭 圆 的 条 件 即 可 求 解.
2 2
? ?
【 详 解 】 因 为 方 程 + = 1 表 示 椭 圆 ，
?+ 3 1 ? ?
? + 3 > 0
所 以 1 ? ? > 0 ， 解 得 ? 3 < ? < 1 且 ? ≠ ? 1 ，
? + 3 ≠ 1 ? ?
所 以 实 数 ? 的 取 值 范 围 为 ? 3 , ? 1 ∪ ? 1 , 1 .
故 选 ： D .
4 ． B
【 分 析 】 根 据 通 项 公 式 直 接 计 算 得 到 答 案 .
2
? ? 1
, ? 为 奇 数
2 2
1 0 0 1 0 1 ? 1
2
? = ? ? ? = ? = ? 1 0 0
【 详 解 】 ， 故 .
? 2 1 0 0 1 0 1
? 2 2
, ? 为 偶 数
2
故 选 ： B
5 ． D想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用 坐 标 法 求 解 即 可.
【 详 解 】 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
1 1
则 ? 1 , 0 , 0 , ? , , 1 , ? 1 , 1 , 0 , ? 0 , 0 , 1 ，
1
2 2
1 1
所 以 ， ? ? = ? , , 1 , ? ? = 1 , 1 , ? 1 ，
1
2 2
1 1
所 以 ， ? ? ? ? ? = ? + ? 1 = ? 1 .
1
2 2
故 选 ： D
6 ． C
【 分 析 】 由 题 意 得 直 线 过 定 点 ? 2 , 1 且 点 ? 在 圆 内 ， 由 ? ≤ ? ? = 2 结 合 弦 长 公 式 可 得 结 果 ．
2 2
【 详 解 】 圆 ? ： ? ? 1 + ? ? 2 = 6 的 圆 心 ? 1 , 2 ， 半 径 ? = 6
直 线 ? : ? ? ? ? ? 2 ? + 1 = 0 即 ( ? ? 2 ) ? ? ? + 1 = 0 ， 则 直 线 ? 经 过 定 点 ? 2 , 1
由 ? ? = 2 < ? , 得 点 ? 在 圆 内
设 圆 心 ? 到 直 线 ? 的 距 离 为 ? ， 则 ? ≤ ? ? = 2 ， （ 当 ? ? ⊥ ? 时 取 等 号 ）
2 2 2
则 ? ? = 2 ? ? ? = 2 6 ? ? ≥ 2 6 ? 2 = 4 ， （ 当 ? ? ⊥ ? 时 取 等 号 ）
? ?
则 的 最 小 值 为 4 .
故 选 ： C .
7 ． C
2 2
【 分 析 】 由 方 程 ? ? ? ? ? ? ? ? + ? = 0 得 ? ? ? ? = 0 或 ? ? ? ? + ? = 0 ， 通 过 分 类 讨
论 ， 结 合 抛 物 线 的 性 质 、 直 线 的 斜 率 及 截 距 等 知 识 进 行 判 断 即 可 .
2 2
? ? ? ? ? ? ? ? + ? = 0 ? ? ? ? = 0 ? ? ? ? + ? = 0
【 详 解 】 方 程 ， 得 或 ，
1
2 2
当 ? > 0 时 ， 则 有 ? = ? ? ? ≥ 0 , ? ≥ 0 或 ? = ? + ? ， 分 别 表 示 开 口 向 上 的 抛 物 线 满 足 ? ≥
?
0 , ? ≥ 0 的 部 分 和 斜 率 为 正 且 在 ? 轴 上 截 距 为 正 的 直 线 ， 故 A ， B ， D 不 符 合 ， C 符 合 ；想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
2 2
当 ? < 0 时 ， 则 有 ? = ? ? ? ≤ 0 , ? ≥ 0 或 ? = ? + ? ， 分 别 表 示 开 口 向 上 的 抛 物 线 满 足 ? ≤
?
0 , ? ≥ 0 的 部 分 和 斜 率 为 负 且 在 ? 轴 上 截 距 为 负 的 直 线 ， 故 A ， B ， C ， D 均 不 符 合 ，
2
? ? ? ? ? ? ? ? + ? = 0
综 上 ， 方 程 表 示 的 曲 线 可 能 是 C .
故 选 ： C .
8 ． B
2
?
【 分 析 】 当 ?? ⊥ ? ? 时 ， ?? = ． 因 为 △ ? ? ? 为 钝 角 等 腰 三 角 形 ， 则 ?? = ? ? =
2 1 2 2 1 2 2 1 2
?
2
?
2 ? ， 且 ∠ ? ? ? 为 钝 角 ， 所 以 2 ? > ， 结 合 ? , ? , ? , ? 的 关 系 求 解 即 可 ．
2 1
?
2
?
【 详 解 】 当 ? ? ⊥ ? ? 时 ， ?? = ．
2 1 2 2
?
2
?
因 为 △ ? ? ? 为 钝 角 等 腰 三 角 形 ， 则 ?? = ? ? = 2 ? ， 且 ∠ ? ? ? 为 钝 角 ， 所 以 2 ? > ，
1 2 2 1 2 2 1
?
2 2 2 2
即 2 ? ? > ? = ? ? ? ， 所 以 ? ? 2 ? ? 1 < 0 ， 结 合 ? > 1 ， 解 得 1 < ? < 2 + 1 ．
故 选 ： B .
9 ． C D
1 1 6
?
【 分 析 】 根 据 数 列 ? 的 通 项 公 式 ， 利 用 分 离 常 数 法 得 出? = + ， 结 合 ? ∈ N 及 函
? ? 1 6
3
9 ? ?
3
数 的 性 质 即 可 判 断 A 、 C 、 D ； 求 得 ? + ? , ? 即 可 判 断 B ．
4 8 6
? 1 1 6
+
【 详 解 】 ? = = ，
? 1 6
3 ? ? 1 6 3
9 ? ?
3
? ?
? > 5 ? ∈ N ? > 0 ? ≤ 5 ? ∈ N ? < 0
当 ( ) 时 ， ， 且 单 调 递 减 ； 当 ( ) 时 ， ， 且 单 调 递 减 ，
? ?
则 ? 为 最 小 项 ， ? 为 最 大 项 ， 故 C 、 D 正 确 ， A 错 误 ；
5 6
4 8 6
? + ? = + = 0 ， ? = = 3 ， 则 ? + ? ≠ 2 ? ， 故 B 错 误 ，
4 8 6 4 8 6
3 × 4 ? 1 6 3 × 8 ? 1 6 3 × 6 ? 1 6
故 选 ： C D ．
1 0 ． B C
【 分 析 】 先 转 化 为 椭 圆 上 一 点 到 圆 心 的 距 离， 利 用 二 次 函 数 单 调 性 求 出 范 围 ， 再 由 圆 上 点 的
几 何 性 质 ， 求 出 ?? 的 取 值 范 围 .
【 详 解 】 设 圆 心 为 ? 1 , 0 ， ?( ? , ? ) ，
0 0
1
2 2 2 2
则 | ? ? | = ? ? 1 + ? = ? ? 2 ? + 4 ， 其 中 ? ∈ ?2 , 2 ，
0 0
0 0 0
4
由 对 称 轴 为 ? = 4 知 ， ? ∈ ? 2 , 2 时 ， 函 数 单 调 递 减 ，
0 0
2
则 | ? ? | ∈ 1 , 9 ， 所 以 | ?? | ∈ 1 , 3 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 7 1 1
则 有 | ?? | ≤ | ?? | + ≤ ， | ?? | ≥ | ?? | ? ≥ ．
2 2 2 2
故 选 ： B C
1 1 ． B C D
【 分 析 】 根 据 空 间 向 量 基 本 定 理 判 断 A , B 选 项 ， 再 由 共 线 向 量 基 本 性 质 及 ? ? , ? ? , ? ? 为 一
组 基 底 判 断 出 C 、 D .
? ? , ? ? , ? ? A
【 详 解 】 由 题 意 知 ， 三 向 量 不 共 面 ， 所 以 错 误 ；
若 ? ? , ? ? , ? ? 三 向 量 共 面 ， 则 有 ? ? = ? ? ? + ? ? ? = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ，
化 简 有 ： ? ? ? 1 ? ? + ? ? ? ? ? + ? ? ? = 0 ， 因 为 ? ? , ? ? , ? ? 不 共 面 ，
? ? ? 1 = 0
? ? ? = 0
则 ， 无 解 ， 故 三 向 量 ? ? , ? ? , ? ? 不 共 面 ， 能 够 构 成 一 组 基 底 ， 故 B 正 确 ；
? = 0
? ? ? ? ? ? = ? ? ? + ? ? ? ? ? 1 ? ? + ? ? + ? ? 1 ? ? = 0
若 与 共 面 ， 则 有 ， 则 有 ， 与 题 意 矛
盾 ， 故 C 正 确 ；
若 ? ? = ? ? ? ? ? + ? ? ， 化 简 有 ? ? ? ? ? = ? ? ? + ? ? ， 则 有 ? ? = ? ? ， 所 以 四 点 共 面 ， 故 D
正 确 ．
故 选 ： B C D
1 2 ． A C D
【 分 析 】 由 题 意 可 判 断 两 圆 相 交 ， 两 圆 方 程 相 减 可 得 直 线 ? ? 的 方 程 ， 即 可 判 断 A ； 求 出 圆 心
? 到 直 线 ? ? 的 距 离 ， 然 后 用 弦 长 公 式 求 得 ? ? ， 即 可 判 断 B ； 设? 为 点 ? 到 直 线 ? ? 的 距 离 ，
1 ?
3 6
则 有? ≤ ? + ? = ， 从 而 可 得 △ ? ? ? 的 面 积 的 范 围 ， 即 可 判 断 C ； 由 勾 股 定 理 可 得 ? ? ⊥
? 1 1 1
5
? ? ， 即 可 判 断 D ．
2
2 2
? : ? ? 3 + ? + 1 = 1 6 ? 3 , ? 1 ? = 4
【 详 解 】 圆 ， 圆 心 ， 半 径 ，
1 1 1
2 2
圆 ? : ? + ? ? 3 = 9 ， 圆 心 ? 0 , 3 ， 半 径 ? = 3 ，
2 2 2
因 为 ? ? ? < ? ? = 5 < ? + ? ， 则 两 圆 相 交 .
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
两 圆 方 程 相 减 得 ? + ? ? 6 ? + 2 ? ? 6 ? ? + ? ? 6 ? = 0 ， 即 得 ? ? : 3 ? ? 4 ? + 3 = 0 ，
故 A 正 确 ；
9 + 4 + 3 1 6 2 4
2 2
圆 心 ? 到 直 线 ? ? 的 距 离 ? = = ， 则 ? ? = 2 ? ? ? = ， 故 B 错 误 ；
1 1 1 1
2 2
5 5
3 + 4
3 6 1
设? 为 点 ? 到 直 线 ? ? 的 距 离 ， 则 有? ≤ ? + ? = ， 所 以 △ ? ? ? 的 面 积 ? = ? ? ?
? ? 1 1
5 2
4 3 2
? ≤ ， 故 C 正 确 ；
?
2 5想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2 2
因 为 ? ? = 4 ， ? ? = 3 ， ? ? = 5 ， 则 ? ? + ? ? = ? ? ， 所 以 ? ? ⊥ ? ? ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
所 以 两 圆 在 ? 处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 故 D 正 确 ．
故 选 ： A C D .
1 3 ． 0 或 3
【 分 析 】 利 用 直 线 的 一 般 式 方 程 中 ， 直 线 相 互 垂 直 的 系 数 关 系 列 方 程 即 可 得 出 .
2
【 详 解 】 因 为 直 线 ? + ?? ? 1 = 0 与 直 线 ? ? ? ? + 2 ? + 2 = 0 互 相 垂 直 ，
2
则 ? ? ? + 2 ? = 0 ， 解 得 ： ? = 0 或 ? = 3 ，
故 答 案 为 ： 0 或 3 .
2
?
2
1 4 ． ? ? = 1
3
【 分 析 】 根 据 椭 圆 的 焦 点 坐 标 求 出 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 ， 再 由 双 曲 线 的 离 心 率 求 出 ? , ? ， 即 可
得 解 .
2 2
? ?
【 详 解 】 椭 圆 + = 1 的 焦 点 为 ( 0 , 2 ) , ( 0 , ? 2 ) ，
2 6
即 双 曲 线 的 焦 点 为 ( 0 , 2 ) , ( 0 , ? 2 ) ， 故 ? = 2 ，
? 2
2 2 2
又 离 心 率 为 ? = = = 2 ， 解 得 ? = 1 ， 故 ? = ? ? ? = 3 ，
? ?
2
?
2
所 以 双 曲 线 的 方 程 为 ? ? = 1 .
3
2
?
2
故 答 案 为 ： ? ? = 1 .
3
1 5 ． 1 5 3
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 求 出 公 差 ， 据 此 求 出 ? ， 即 可 得 出 ? .
5 9
? ? ? 1
【 详 解 】 由 ? = ? ? + ? 有 ， ? = 6 ? + 1 5 ? ， ? = 3 ? + 3 ? ，
? 1 6 1 3 1
2
则 有 ? ? 2 ? = 9 ? = 3 6 ， 解 得 ? = 4 ，
6 3
9 ( ? + ? )
1 9
所 以 ? = ? + 4 ? = 1 7 ， 所 以 ? = = 9 ? = 1 5 3 ．
5 1 9 5
2
故 答 案 为 ： 1 5 3
1 6 ． 2 ? ? ? + ? = 0
【 分 析 】 由 题 意 列 出 关 于 ? , ? 的 方 程 组 ， 求 得 ? , ? 的 值 ， 进 而 得 出 答 案 .
2 ? + 6 ? ? = 0 ? = ? 4
【 详 解 】 由 题 意 有 ， 解 得 ，
2 ? + 3 ? 0 + 5 = 0 ? = ? 2
所 以 经 过 原 点 ? 且 与 直 线 ? 垂 直 的 平 面 ? 的 方 程 为 ? 4 × ? ? 0 + 2 ? ? 0 + ? 2 × ? ?
0 = 0 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
即 2 ? ? ? + ? = 0 ．
故 答 案 为 ： 2 ? ? ? + ? = 0 ．
?
1 7 ． ( 1 ) ? = 4 ? ? 1 ， ? = 3
? ?
( 2 ) 9 6 0
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 差 数 列 、 等 比 数 列 的 通 项 公 式 列 方 程 求 解 即 可 ；
（ 2 ） 找 出 数 列 ? 前 2 0 项 中 与 ? 相 同 的 项 只 有 2 项 ， 故 只 需 求 ? 前 2 2 项 和 去 掉 相 同 项
? ? ?
即 可 得 解 .
【 详 解 】 （ 1 ） 设 { ? } 的 公 差 为 d ， { ? } 的 公 比 为 q ，
? ?
? ? 1
? ? + ? ? 1 ? = 3 + ? ? ? ? ? = 3 ? ?
由 题 意 知 = ， ，
? 1 ?
2
故 得 ? = 3 + ? , ? = 3 ? , ? = 3 + 6 ? , ? = 3 ? ，
2 2 7 3
2 2
所 以 3 + ? = 3 ? ? 2 , 3 + 6 ? = 3 ? ， 所 以 解 得 ? = 3 ? ? 5 ， 代 入 则 有 ? ? 6 ? + 9 = 0 ，
?
所 以 ? = 3 ， ? = 4 ． 所 以 ? = 4 ? ? 1 ， ? = 3 ．
? ?
?
（ 2 ） 因 为 ? = 7 9 ， 令 3 ≤ 7 9 ， 解 得 ? ≤ 3 ， 则 有 ? = 3 , ? = 9 , ? = 2 7 ，
2 0 1 2 3
? ?
的 前 2 0 项 中 只 有 两 项 与 相 同 ， 即 3 和 2 7 ，
? ?
又 ? = 8 3 , ? = 8 7 均 不 在 数 列 ? ，
2 1 2 2 ?
7 + 8 7
故 ? 的 前 2 0 项 和 为 ? + ? ? ? + ? ? 2 7 = × 2 1 ? 2 7 = 9 6 0 ．
? 2 2 2
2
2
?
2
1 8 ． ( 1 ) ? ? = 1
4
( 2 ) ? = ± 2 ?
? , ?
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 列 出 关 于 的 方 程 组 ， 求 解 即 可 ；
?
（ 2 ） 设 点 ? ? , ? ， 根 据 点 ?在 双 曲 线 ? 上 及 ? ? ? = 2 ， 求 得 的 值 ， 即 可 得 出 答 案 .
0 0 ? ? ? ?
1 2
?
2 ? = 4 ? 2
? = 2 ?
2
8 1
【 详 解 】 （ 1 ） 由 题 意 有 ： ， 解 得 ， 所 以 双 曲 线 ? 的 方 程 为 ? ? = 1 ．
? = 1 4
? = 1
2 2
? ?
2 2 2 2
? ? ? ?
0 0 0
（ 2 ） 设 点 ? ? , ? ， 则 ? = 1 ， 即 = ， 又 ? ? ? , 0 , ? ? , 0
0 0 2 1 2
2 2 2 2
? ? ? ? ? ?
0
2
2
? ? ? ? ?
0 0 0
? ? ? = ? = = = 2 = 2
则 有 ， 所 以 ，
2
? ? ? ? 2 2
1 2
? + ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 0
0
所 以 渐 近 线 方 程 为 ? = ± 2 ? ．
1 9 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
3
( 2 )
3
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
【 分 析 】 （ 1 ） 过 作 的 平 行 线 交 于 点 ， 结 合 线 面 平 行 的 性 质 得 ∥ ， 可 得 ，
分 别 为 ?? ， ?? 的 中 点 ， 结 合 ? ? = ? ? 得 ? ? ⊥ ?? ， 又 ? ? ∥ ? ? 即 可 证 得 ? ? ⊥ ?? ；
（ 2 ） 由 已 知 条 件 证 得 ? ? ⊥ 面 ?? ? ， 得 ? ? ⊥ ? ? ． 建 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 面 ?? ? 的 法 向 量 ，
然 后 利 用 向 量 夹 角 公 式 求 得 结 果 .
【 详 解 】 （ 1 ） 过 ? 作 ? ? 的 平 行 线 交 ?? 于 点 ? ， 连 接 ? ? ，
? ? ∥ ? ? ? ? ∥ ? ? ? , ? , ? , ?
又 ， 则 ， 则 四 点 共 面 ，
∵ ? ? ∥ 面 ?? ? ， ? ? ? 面 ? ? ? ? ， 面 ? ? ? ? ∩ 面 ?? ? = ? ? ，
1
∴ ? ? ∥ ? ? ， 故 ? ? ? ? 为 平 行 四 边 形 ， 从 而 ? ? = ? ? = ? ? ，
2
∴ ? ， ? 分 别 为 ?? ， ?? 的 中 点 ， 又 ? ? = ? ? ，
∴ ? ? ⊥ ?? ， 又 ? ? ∥ ? ? ， ∴ ? ? ⊥ ?? ．
（ 2 ） 因 为 ? ? ⊥ ?? ， ? ? ∥ ? ? ， 所 以 ? ? ⊥ ?? ，
? ? ⊥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ⊥ ? ?
由 平 面 ， 平 面 ， 得 ，
又 ? ? ∩ ?? = ? ， ?? , ?? ? 面 ?? ? ， 所 以 ? ? ⊥ 面 ?? ? ， 又 ? ? ? 面 ?? ? ， 所 以 ? ? ⊥ ? ? ．
所 以 ， 以 ? 为 原 点 ， ? ? , ? ? , ? ? 为 ? , ? , ? 轴 建 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 ? ? = 1 ，
则 有 ? 0 , 0 , 0 , ? 1 , 0 , 0 , ? 2 , 2 , 0 , ? 0 , 2 , 0 , ? 0 , 0 , 2 , ? 1 , 1 , 1 ．
所 以 ? ? = ? 1 , 2 , 0 ， ? ? = ? 1 , 0 , 2 ，
? ? ? ? = ? ? + 2 ? = 0
设 面 ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ， 则 ， 令 ? = 2 ， 所 以 ? = 2 , 1 , 1 ．
? ? ? ? = ? ? + 2 ? = 0
又 有 ? ? = 0 , 1 , 1 ， 记 ? 为 ? ? 与 平 面 ?? ? 所 成 角 ，
? ? ? ? 2 3
则 s i n ? = c o s ? ? , ? = = = ．
? ? ? 2 × 6 3
3
所 以 ? ? 与 平 面 ?? ? 所 成 角 的 正 弦 值 为 ．
3
? = 5
2 0 ． ( 1 )想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
3 5
2
( 2 ) ? ? 3 + ? + =
2 2
2
? ? ? ? = ?
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 得 圆 心 到 直 线 的 距 离 ， 求 解 即 可 ；
2
? = 2 ? ? 4
0
（ 2 ） 设 ?( ? , ? ) ， ? ( ? , ? ) ， 由 ? ? = 2 ? ? 可 得 ， 结 合 点 ? 在 圆 ? 上 ， 即 可 得 动 点
0 0
? = 2 ? + 2
0
? 的 轨 迹 方 程 ．
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 将 圆 化 为 标 准 方 程 为 ? ? 2 + ? + 1 = ? + 5 ， ? + 5 > 0 ，
则 圆 心 ? ( 2 , ? 1 ) ， 半 径 ? = ? + 5 ，
记 ? 为 圆 心 ? 到 直 线 ? ? 的 距 离 ，
2 2 + 2 + 1
因 为 ? ? ⊥ ? ? ， 所 以 ? = ? ， 又 因 为 ? = = 5 ，
2 5
2
所 以 5 = × ? + 5 ， 所 以 ? = 5 ．
2
（ 2 ） 设 ?( ? , ? ) ， ? ( ? , ? ) ，
0 0
? = 2 ? ? 4
0
因 为 ? ? = 2 ? ? ， 即 ( ? , ? ) = 2 ( ? ? 2 , ? + 1 ) ， 解 得 ，
0 0
? = 2 ? + 2
0
2 2 2 2
? ? ? ? 2 + ? + 1 = 1 0 2 ? ? 6 + 2 ? + 3 = 1 0
又 点 在 圆 上 ， 则 ， 从 而 得 ，
0 0
2
3 5
2
所 以 动 点 ? 的 轨 迹 方 程 为 ? ? 3 + ? + = ．
2 2
2 1 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
? ?
( 2 ) 存 在 ， = 2
??
【 分 析 】 （ 1 ） 取 ? ? 中 点 ? ， 可 得 ?? ⊥ 面 ? ? ? ， 以 ? 为 原 点 ， ? ? ， ? ? 分 别 为 ? ， ? 轴 建 立 空 间
直 角 坐 标 系 ， 利 用 数 量 积 的 运 算 证 明 ? ? ? ?? = 0 即 可 ；
3 3 3
（ 2 ） 设 ? ? = ?? ? ， 则 有 ? ? = ? ? + ? ? = 2 ? ?, ?, ? ， 分 别 求 出 面 ? ? ? 与 面 ? ? ? 的 法
2 2 2
向 量 ， 利 用 向 量 夹 角 公 式 求 解 即 可.
? ? ? ?? ?? ⊥ ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 取 中 点 ， 连 接 ， 则 有 ，
又 因 为 面 ?? ? ⊥ 面 ? ? ? ， ?? ? 面 ?? ? ， 面 ?? ? ∩ 面 ? ? ? = ? ? ， 所 以 ?? ⊥ 面 ? ? ? ，
又 ? ? ⊥ ? ? ， 以 ? 为 原 点 ， ? ? ， ? ? 分 别 为 ? ， ? 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 ，
1 3
则 有 ： ? 2 , 0 , 0 ， ? 0 , 3 , 0 ， ? 0 , 0 , 0 ， ? 1 , 0 , 3 ， ? , 0 ,
2 2
3 3 3 3
所 以 ? ? = ? , 0 , ， ?? = ? 1 , 3 , ? 3 ， 所 以 ? ? ? ?? = + 0 ? = 0 ，
2 2 2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
所 以 ? ? ⊥ ?? ．
（ 2 ） 因 为 ? ? ∥ 面 ? ? ? ， ? ? ? 面 ?? ? ， 面 ? ? ? ∩ 面 ?? ? = ? ? ， 所 以 ? ? ∥ ? ? ．
1 3 3 3 3 3
又 因 为 点 ? 是 线 段 ?? 的 中 点 ， 所 以 点 ? 为 线 段 ?? 的 中 点 ， ? , , ， ? ? = ? , , ，
2 2 2 2 2 2
3 3 3
设 ? ? = ?? ? ， 则 有 ? ? = ? ? + ? ? = 2 ? ?, ?, ? ， 且 ? ? = 2 , 0 , 0 ， ? ? = 0 , 3 , 0 ．
2 2 2
? ? ? ? = 2 ? = 0
1 1
设 ? = ? , ? , ? 为 面 ? ? ? 的 法 向 量 ， 则 有 ， 令
1 1 1 1
3 3 3
? ? ? ? = 2 ? ? ? + ?? + ? ? = 0
1 1 1 1
2 2 2
? = 1 ， 解 得 ? = 0 , 1 , ? 3 ．
1
? ? ? ? = 3 ? = 0
2 2
? = ? , ? , ? ? ? ?
同 理 ， 设 为 面 的 法 向 量 ， 则 有 ，
2 2 2 2 3 3 3
? ? ? ? = 2 ? ? ? + ?? + ?? = 0
2 2 2 2
2 2
2
3 3 3
令 ? = ? ?， 解 得 ? = ? ?, 0 , 2 ? ? ．
2 2
2 2 2
3
2
? 3 ? 2 ? ?
? ? ? 7 3 2
1 2
2
由 题 意 有 c o s ? , ? = = = 1 ? = ， 解 得 6 ? ? 4 = 0 ， 所 以 ? = ．
1 2
2
? ? 4 4 3
1 2 2 3 ? ? 6 ? + 4
? ?
所 以 = 2 ．
??
2 2
? ?
2 2 ． ( 1 ) + = 1
4 3
( 2 ) 3 + 1 , 3
3
2
【 分 析 】 （ 1 ） 设 ?( ? , ? ) 为 椭 圆 上 一 点 ， 根 据 直 线 ?? 与 直 线 ?? 的 斜 率 之 积 为 ? 可 得 3 ? =
0 0 1 2
4
2
4 ? ， 即 可 得 解 ；
（ 2 ） 分 直 线 ? 的 斜 率 存 在 与 不 存 在 两 种 情 况 讨 论 ， 直 线 斜 率 存 在 时 ， 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 ，
1
由 根 与 系 数 关 系 得 出 ? , ? ， 分 别 求 出 △ ? ? ? ， △ ? ? ? 的 面 积 ， 作 商 后 由 函 数 性 质 求 值 域 ，
? ?
当 斜 率 不 存 在 时 ， 验 证 即 可 .
2 2
? ?
0 0
【 详 解 】 （ 1 ） 由 题 意 知 ： 2 ? = 2 ， 设 ?( ? , ? ) 为 椭 圆 上 一 点 ， 所 以 + = 1
0 0 2 2
? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
? ? ? ? 3
0 0 0
则 有 ? ? ? = ? = = ? = ? ，
? ? ? ? 2 2 2
1 2
? + ? ? ? ? ? ? ? ? 4
0 0
0
2 2 2 2 2 2 2
所 以 3 ? = 4 ? ， 又 ? ? ? = ? = 1 ， 所 以 ? = 4 , ? = 3
2 2
? ?
所 以 椭 圆 C 的 方 程 + = 1 ．
4 3
? = ?? + ?
1
（ 2 ） ① 当 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 ? : ? = ?? + ? ， 则 有 ，
1 1
2 2
3 ? + 4 ? = 1 2
2 2 2
解 得 3 + 4 ? ? + 8 ?? ? + 4 ? ? 1 2 = 0 ，
1
1
2 2 2 2 2 2
且 有 Δ = 6 4 ? ? ? 4 3 + 4 ? ? 4 ? ? 3 = 1 6 1 2 ? ? 3 ? + 9 = 0 ，
1 1 1
2 2
所 以 ? = 4 ? + 3 ．
1
2
? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3
1
且 有 ? = = ? ， ? = ? + ? = ．
? ? 1
2
3 + 4 ? ? ? ?
1 1 1
?
2
设 ? : ? = ?? + ? （ ? 与 ? 异 号 ） ， 则 有 圆 心 到 直 线 ? 的 距 离 为 ? = = 1 ，
2 2 2 1 2 1
2
1 + ?
2 2
解 得 ? = 1 + ? ．
2
1 1 ?
1
设 两 条 直 线 的 距 离 为 ? ， 则 有 ? = ? ? ? ? ， 且 ? = ? ? ， 所 以 = ? ．
2 1 2 2 2
2 2 ?
2
2 2 2
? ? ? ? 3 + 4 ? + 1 + ? 4 ? + 3 ? 1
1 1 2
所 以 = = = + 1 = 4 + + 1 ，
2 2
2 2
? ? + 1 ? + 1
2 1 + ? 1 + ?
? 1 ? 1
2
记 ? ? = 4 + + 1 ， 其 中 ? + 1 ∈ 1 , + ∞ ， 所 以 4 + ∈ 3 , 4 ，
2 2
? + 1 ? + 1
?
1
所 以 ∈ 3 + 1 , 3 ．
?
2
② 当 斜 率 不 存 在 时 ， 不 妨 设 ? : ? = ? 2 ， ? : ? = 1 ， 此 时 ? ? = 3 ，
1 2
1 1 ?
1
所 以 ? = ? ? × 3 ， ? = ? ? ， 所 以 = 3 ．
1 2
2 2 ?
2
?
1
3 + 1 , 3
综 上 ， 的 范 围 为 ．
?
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 部 分 区 2 0 2 1 - 2 0 2 2 学 年 高 二 上 学 期 期 末 联 考 参 考 答 案 ：
1 ． B
【 分 析 】 求 得 倾 斜 角 的 正 切 值 即 得 ．
【 详 解 】 k = t a n 1 2 0 ° = ? 3 .
故 选 ： B ．
2 ． C
【 分 析 】 利 用 椭 圆 的 定 义 直 接 求 解
2
【 详 解 】 由 题 意 得 ? = 9 ， 得 ? = 3 ，
因 为 ? ? + ? ? = 2 ? = 6 ， ?? = 1 ，
1 2 2
所 以 ? ? = 5 ，
1
故 选 ： C
3 ． A
【 分 析 】 由 ? ∥ ? ， 可 得 ? ⊥ ? ， 再 计 算 即 可 求 解 .
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ? ⊥ ? ， 所 以 ? ? ? = 0 ， 即 1 × 2 + 2 ? + 1 × 2 = 0 ? ? = ? 2 .
故 选 ： A
4 ． D
【 分 析 】 根 据 等 比 数 列 的 定 义 进 行 求 解 即 可.
【 详 解 】 因 为 去 年 的 电 力 消 耗 为 ? 千 瓦 ， 工 厂 计 划 每 年 比 上 一 年 的 电 力 消 耗 减 少 1 0 % ，
所 以 今 年 的 电 力 消 耗 为 ? = ?( 1 ? 1 0 % ) = 0 . 9 ? ，
1
4 5
因 此 从 今 年 起 ， 该 工 厂 第 5 年 消 耗 的 电 力 为 ? = ( 0 . 9 ?) ? ( 1 ? 1 0 % ) = 0 . 9 ?，
5
故 选 ： D
5 ． A
【 分 析 】 根 据 空 间 向 量 基 本 定 理 ， 结 合 空 间 向 量 加 法 的 几 何 意 义 进 行 求 解 即 可 .
【 详 解 】 因 为 ? ? = ? ? + ? ? = ? ? + ? ? + ? ? = ? ? + ? ? + ? ? ，
1 1 1 1
而 ? ? = ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? ，
1 1
所 以 有 ? = 1 , ? = 1 , ? = 1 ，
故 选 ： A
6 ． D
【 分 析 】 利 用 等 差 数 列 下 标 的 性 质 ， 结 合 等 差 数 列 前 ? 项 和 公 式 进 行 求 解 即 可 .
【 详 解 】 由 2 ? ? ? = 1 6 ? ? + ? ? ? = 1 6 ? ? = 1 6 ，
8 9 7 9 9 7想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
( ? + ? ) ? 1 3 2 ? ? 1 3
1 1 3 7
所 以 ? = = = 1 3 × 1 6 = 2 0 8 ，
1 3
2 2
故 选 ： D
7 ． B
【 分 析 】 根 据 圆 的 性 质 ， 结 合 圆 的 切 线 的 性 质 进 行 求 解 即 可 .
2 2 2 2 2
【 详 解 】 由 ? ? 4 ? + ? ? 2 ? ? + 3 + ? = 0 ? ( ? ? 2 ) + ( ? ? ? ) = 1 ，
所 以 该 圆 的 圆 心 为 ? ( 2 , ? ) ， 半 径 为 1 ，
2 2 2
因 为 直 线 ? + 2 ? ? 6 = 0 平 分 圆 ? : ? ? 4 ? + ? ? 2 ? ? + 3 + ? = 0 的 周 长 ，
? + 2 ? ? 6 = 0 2 + 2 ? ? 6 = 0 ? ? = 2
所 以 圆 心 在 直 线 上 ， 故 ，
2 2
因 此 ? ? 1 , ? 2 ， ? ( 2 , 2 ) ， 所 以 有 ?? = ( ? 1 ? 2 ) + ( ? 2 ? 2 ) = 5 ，
2 2
所 以 ?? = ?? ? 1 = 2 5 ? 1 = 2 6 ，
故 选 ： B
8 ． B
8
【 分 析 】 由 题 可 得 ? ? = 3 ? ? ， 然 后 结 合 条 件 可 得 ? = ， 即 求 .
3
? ? ⊥ ? ? ? ?
【 详 解 】 设 于 点 ， 准 线 交 轴 于 点 G ，
则 ? ? = ? ? ， 又 ? ? = 3 ? ? ，
∴ ? ? = 3 ? ? , ? ? = 3 ? ? ， 又 ? ? ⊥ ? 于 点 ? 且 ? ? = 4 ，
∴ B E ∥ A D ，
∴ ? ? = ? ? + ? ? = ? ? + 3 ? ? = 3 ? ? ， 即 3 ? = 2 ? ? = 2 × 4 ，
8
∴ ? = ，
3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
4
∴ ? ? 等 于 .
3
故 选 ： B .
9 ． A B
【 分 析 】 根 据 空 间 向 量 坐 标 表 示 公 式 、 空 间 向 量 模 的 坐 标 表 示 公 式 、 空 间 向 量 垂 直 的 性 质 和
数 量 积 坐 标 公 式 逐 一 判 断 即 可 .
【 详 解 】 A ： 因 为 ? ? = ( ? 1 , 1 , ? 3 ) ， 所 以 本 选 项 正 确 ；
B ： 因 为 ? ? = ( ? 1 , 1 , ? 3 ) ， ? ? = ( 1 , ? 1 , ? 3 ) ，
2 2 2 2 2 2
所 以 有 ? ? = ( ? 1 ) + 1 + ( ? 3 ) = 1 1 ， ? ? = 1 + ( ? 1 ) + ( ? 3 ) = 1 1 ，
因 此 本 选 项 正 确 ；
C ： 因 为 ?? = ( 2 , 2 , 2 ) ， ? ? = ( 1 , ? 1 , ? 3 ) ，
所 以 有 ?? ? ? ? = 2 ? 2 ? 6 = ? 6 ≠ 0 ， 因 此 本 选 项 不 正 确 ；
D ： 因 为 ? ? = ( ? 1 , 1 , ? 3 ) ， ? ? = ( 1 , ? 1 , ? 3 ) ，
所 以 ? ? ? ? ? = ? 1 ? 1 + 9 = 7 ， 因 此 本 选 项 不 正 确 ，
故 选 ： A B
1 0 ． B D
2
【 分 析 】 求 出 ? ∥ ? 的 充 要 条 件 即 可 判 断 A ; 验 证 ? = 时 ， 两 直 线 斜 率 之 积 是 否 为 - 1 ， 判 断
1 2
5
B ; 求 出 直 线 ? 经 过 的 定 点 即 可 判 断 C ; 判 断 何 种 情 况 下 点 ? 1 , 3 到 直 线 ? 的 距 离 最 大 ， 并 求 出
1 1
最 大 值 ， 可 判 断 D .
? ∥ ? ? = 3 ? = ? 2
【 详 解 】 当 时 ， ? ( ? ? 1 ) ? 6 = 0 解 得 或 ，
1 2
5
当 ? = ? 2 时 ， 两 直 线 为 ? ? ? + 3 = 0 , ? ? ? + = 0 ， 符 合 题 意 ；
3
当 ? = 3 时 ， 两 直 线 为 3 ? + 2 ? + 9 = 0 , 3 ? + 2 ? = 0 ， 符 合 题 意 ， 故 A 错 误 ；
2 1
当 ? = 时 ， 两 直 线 为 ? + 5 ? + 3 = 0 , 1 5 ? ? 3 ? + 1 3 = 0 ， ? ? ? = ? × 5 = ? 1 ，
? ?
1 2
5 5
所 以 ? ⊥ ? ， 故 B 正 确 ；
1 2
直 线 ? : ? ? + 2 ? + 3 ? = 0 即 直 线 ? ( ? + 3 ) + 2 ? = 0 ， 故 直 线 过 定 点 ? 3 , 0 ， C 错 误 ；
1
? : ? ? + 2 ? + 3 ? = 0 ? 3 , 0 ? : ? ? + 2 ? + 3 ? = 0 ? 1 , 3
因 为 直 线 过 定 点 ， 当 直 线 与 点 和
1 1
2 2
? 3 , 0 的 连 线 垂 直 时 ， ? 1 , 3 到 直 线 ? 的 距 离 最 大 ， 最 大 值 为 ( 1 + 3 ) + ( 3 ? 0 ) = 5 ，
1
故 D 正 确 ，
故 选 ： B D .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 1 ． A C D
【 分 析 】 根 据 椭 圆 离 心 率 公 式 、 短 轴 长 定 义 ， 结 合 双 曲 线 焦 点 公 式 、 代 入 法 、 直 线 点 斜 式 方
程 的 性 质 逐 一 判 断 即 可 .
2 2
【 详 解 】 因 为 椭 圆 的 短 轴 长 为 2 3 ， 所 以 有 2 ? = 2 3 ? ? = 3 ? ? ? ? = 3 ，
1 ? 1
2 2
而 椭 圆 的 离 心 率 为 ， 所 以 = ? ? = 2 ? ? ? = 4 ? ，
2 ? 2
2 2 2
所 以 可 得 ： ? = 1 , ? = 4 , ? = 3 . .
2 2
? ?
2 2
A ： 因 为 ? = 4 , ? = 3 ， 所 以 该 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ： + = 1 ， 因 此 本 选 项 正 确 ；
4 3
2 2
? ?
2 2
B ： 由 2 ? ? 2 ? = 1 ? ? = 1 ， 该 双 曲 线 的 焦 点 在 纵 轴 上 ，
1 1
2 2
2 2
? ?
而 椭 圆 + = 1 的 焦 点 在 横 轴 ， 所 以 本 选 项 说 法 不 正 确 ；
4 3
3
2
2
( ? )
1 3
2
C ： 因 为 + = 1 ， 所 以 点 1 , ? 在 该 椭 圆 上 ， 因 此 本 选 项 说 法 正 确 ；
4 3 2
2 2
( ? 1 )
0
D ： 直 线 ? = ? ? + 1 恒 过 点 ( ? 1 , 0 ) ， 而 + < 1 ， 所 以 点 ( ? 1 , 0 ) 在 椭 圆 内 部 ， 因 此 直
4 3
线 ? = ? ? + 1 与 椭 圆 恒 有 两 个 交 点 ， 所 以 本 选 项 说 法 正 确 ，
故 选 ： A C D
1 2 ． A B D
【 分 析 】 根 据 递 推 公 式 可 以 判 断 该 数 列 奇 数 项 和 偶 数 项 的 性 质 ， 结 合 性 质 逐 一 判 断 即 可 .
【 详 解 】 因 为 ? + ? = 3 ? ( 1 ) ，
? ? + 1
所 以 当 ? ≥ 2 , ? ∈ ? 时 ， 有 ? + ? = 3 ( ? ? 1 ) ( 2 ) ，
? ? 1 ?
? ? ? = 3
( 1 ) ? ( 2 ) 得 ： ，
? + 1 ? ? 1
因 为 ? = 2 ， 所 以 ? + ? = 3 ? ? = 1 ，
1 1 2 2
由 ? ? ? = 3 可 知 ： 该 数 列 奇 数 项 是 以 2 为 首 项 ， 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ，
? + 1 ? ? 1
该 数 列 偶 数 项 是 以 1 为 首 项 ， 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ，
A ： 因 为 ? = ? = 1 + ( 1 0 1 1 ? 1 ) × 3 = 3 0 3 1 ， 所 以 本 选 项 结 论 正 确 ；
2 0 2 2 2 × 1 0 1 1
2 ? ? 1 + 1
B ： 因 为 ? = 2 + ( ? 1 ) ? 3 = 3 ? ? 1 ， 所 以 本 选 项 结 论 正 确 ；
2 ? ? 1
2
C ： 因 为 ? ? ? = ? 1 ， 所 以 本 选 项 结 论 不 正 确 ；
2 1
2 ? 2 ?
[ 2 + 2 + ( ? 1 ) ? 3 ] ? [ 1 + 1 + ( ? 1 ) ? 3 ] ?
2 2
2
+ ?
D ： 因 为 ? = = 3 ，
2 ?
2 2
所 以 本 选 项 结 论 正 确 ，
故 选 ： A B D想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 点 睛 】 关 键 点 睛 ： 利 用 等 差 数 列 的 性 质 进 行 判 断 是 解 题 的 关 键 .
1 3 ． 1 0 ? + 4 ? ? 3 = 0
【 分 析 】 由 中 点 坐 标 公 式 和 斜 率 公 式 可 得 ? ? 的 中 点 和 直 线 斜 率 ， 由 垂 直 关 系 可 得 垂 直 平 分
线 的 斜 率 ， 由 点 斜 式 可 得 直 线 方 程 ， 化 为 一 般 式 即 可 ．
1
【 详 解 】 由 中 点 坐 标 公 式 可 得 ? ， ? 的 中 点 为 ( ? , 2 ) ，
2
3 ? 1 2
可 得 直 线 ? ? 的 斜 率 为 ? = = ，
2 ? ( ? 3 ) 5
5
由 垂 直 关 系 可 得 其 垂 直 平 分 线 的 斜 率 为 ? ′ = ? ，
2
5 1
故 可 得 所 求 直 线 的 方 程 为 ： ? ? 2 = ? × ( ? + ) ，
2 2
化 为 一 般 式 可 得 1 0 ? + 4 ? ? 3 = 0
故 答 案 为 ： 1 0 ? + 4 ? ? 3 = 0
3 , ? = 1
1 4 ． 3 ； ? = .
? ?
?
2 ? ? 1 , ( ? ≥ 2 , ? ∈ )
【 分 析 】 空 一 ： 利 用 代 入 法 直 接 进 行 求 解 即 可 ；
空 二 ： 利 用 ? , ? 之 间 的 关 系 进 行 求 解 即 可 .
? ?
2
【 详 解 】 空 一 ： ? = ? = 1 + 2 = 3 ；
1 1
? 2 2
? ≥ 2 , ? ∈ ? ? ? ? ? ? + 2 ? [ ( ? ? 1 ) + 2 ] = 2 ? ? 1
空 二 ： 当 时 ， = = ，
? ? ? ? 1
显 然 ? = 3 不 适 合 上 式 ，
1
3 , ? = 1
所 以 ? = ，
? ?
2 ? ? 1 , ( ? ≥ 2 , ? ∈ ? )
3 , ? = 1
3 ? =
故 答 案 为 ： ；
?
?
2 ? ? 1 , ( ? ≥ 2 , ? ∈ ? )
1 5 ． 2
【 分 析 】 根 据 双 曲 线 左 顶 点 和 虚 轴 端 点 的 定 义 ， 结 合 点 到 直 线 距 离 公 式 、 双 曲 线 的 离 心 率 公
式 进 行 求 解 即 可 .
【 详 解 】 不 妨 设 ? 在 纵 轴 的 正 半 轴 上 ， 由 双 曲 线 的 标 准 方 程 可 知 ：? ( ? ? , 0 ) , ? ( 0 , ? ) ，
? ?
? ( ?, 0 ) ? ? + = 1 ? ? ? ? ? ? + ? ? = 0
右 焦 点 的 坐 标 为 ， 直 线 的 方 程 为 ： ，
? ? ?
3 ?
? ? ?
因 为 右 焦 点 到 直 线 的 距 离 为 ，
2
? ? + ? ? 3 ? ? + ? 3 ? 1 ?
所 以 有 = ? = ? = ? = 2 ， 即 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 ，
2 2
2 ? 2 ? 2 ?
? + ( ? ? )
故 答 案 为 ： 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2 1
1 6 ．
2 1
【 分 析 】 利 用 转 化 法 ， 根 据 线 面 平 行 的 性 质 ， 结 合 三 棱 锥 的 体 积 等 积 性 进 行 求 解 即 可.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? / / ??
【 详 解 】 设 是 的 中 点 ， 连 接 ， 因 为 是 的 中 点 ， 所 以 ，
因 为 ? ? ? 平 面 ?? ? ， ?? ? 平 面 ?? ? ， 所 以 ? ? / / 平 面 ?? ? ，
因 此 点 ? 到 平 面 ?? ? 的 距 离 等 于 点 ? 到 平 面 ?? ? 的 距 离 ， 设 为 ? ，
因 为 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 所 以 ?? ⊥ ? ? ， ?? = ? ? = 1 ，
1 5
2 2
于 是 有 ?? = ?? + ? ? = 1 + = ，
4 2
1 1 7
2 2
底 面 ? ? ? ? 为 矩 形 ， 所 以 有 ? ? = ? ? + ? ? = 4 + = ，
4 2
2 2
? ? = ? ? + ? ? = 4 + 1 = 5 ， 因 为 ?? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 所 以 ?? ⊥ ? ? ，
2 2
于 是 有 ： ? ? = ? ? + ? ? = 5 + 1 = 6 ，
5 1 7
+ ? 6
1
4 4
c o s ∠ ?? ? = = ?
由 余 弦 定 理 可 知 ： ，
5 1 7
8 5
2 × ×
2 2
1 2 2 1
2
所 以 s i n ∠ ?? ? = 1 ? c o s ∠ ?? ? = 1 ? = ，
8 5 8 5
1 5 1 7 2 2 1 2 1
因 此 ? = × × × = ，
△ ? ??
2 2 2 8 5 4
1 1 1
? = × × 2 = ，
△ ? ??
2 2 2
因 为 ? = ? ，
? ? ? ?? ? ? ?? ?
1 2 1 1 1 2 2 1
× ? ? = × × 1 ? ? =
所 以 ，
3 4 3 2 2 1
2 2 1
故 答 案 为 ：
2 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 7 ． ( 1 ) ? = ? 3 ? + 1 5 ；
?
( 2 ) 当 ? = 4 或 ? = 5 时 ， ? 的 值 最 大 .
?
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 差 数 列 前 ? 项 和 公 式 ， 结 合 等 差 数 列 的 通 项 公 式 进 行 求 解 即 可 ；
（ 2 ） 根 据 等 差 数 列 的 性 质 进 行 求 解 即 可 .
【 详 解 】 （ 1 ） 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ? ，
因 为 ? = 6 , ? = ? 1 5 ，
3 1 0
? + 2 ? = 6
1
? = 1 2
1
所 以 有 1 ? ? ? = 1 2 + ( ? ? 1 ) ? ( ? 3 ) = ? 3 ? + 1 5 ，
?
1 0 ? + × 1 0 × 9 ? = ? 1 5 ? = ? 3
1
2
即 ? = ? 3 ? + 1 5 ；
?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ? = ? 3 < 0 ， 所 以 该 数 列 是 递 减 数 列 ，
?
而 ? = 1 2 > 0 ， 当 ? = ? 3 ? + 1 5 ≤ 0 时 ， 解 得 ： ? ≥ 5 , ? ∈ ? ，
1 ?
因 此 当 ? = 4 或 ? = 5 时 ， ? 的 值 最 大 .
?
2 2
( ? ? 3 ) + ? = 4
1 8 ． ( 1 ) ；
( 2 ) 2 ? ? 4 ? + 6 2 = 0 或 2 ? ? 4 ? ? 1 2 2 = 0 .
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 圆 ? 的 圆 心 在 ? 轴 正 半 轴 上? 半 径 为 2 ，
2 2
所 以 设 方 程 为 ： ( ? ? ? ) + ? = 4 ( ? > 0 ) ， 圆 心 ? ( ? , 0 ) ，
2 ? ?
设 圆 心 ? 到 直 线 ? : 2 ? ? 4 ? = 0 的 距 离 为 ? = = ，
1
2 + 1 6 3
因 为 ? ? = 2 3 ，
2
?
2
所 以 有 2 ? 4 ? ? = 2 3 ? 4 ? = 3 ? ? = 3 ， 或 ? = ? 3 舍 去 ，
9
2 2
所 以 圆 ? 的 标 准 方 程 为 ( ? ? 3 ) + ? = 4 ；
2 ? ?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ： ? = = = 1 ， 圆 ? 的 半 径 为 2 ，
2 + 1 6 3
因 为 直 线 ? / / ? ， 所 以 设 直 线 ? 的 方 程 为 2 ? ? 4 ? + ? = 0 ，
2 1 2
因 为 圆 ? 上 仅 有 一 个 点 到 直 线 ? 的 距 离 为 1 ， 所 以 直 线 ? 与 该 圆 相 离 ，
2 2
0 ? ?
当 两 平 行 线 间 的 距 离 为 2 ， 于 是 有 ： = 2 ? ? = ± 6 2 ，
2 + 1 6
3 2 + 6 2
当 ? = 6 2 时 ， 圆 心 ? 到 直 线 ? 的 距 离 为 ： = 3 > 2 ， 符 合 题 意 ；
2
2 + 1 6
3 2 ? 6 2
当 ? = ? 6 2 时 ， 圆 心 ? 到 直 线 ? 的 距 离 为 ： ： = 1 < 2 ， 不 符 合 题 意 ，
2
2 + 1 6
此 时 直 线 ? 的 方 程 为 2 ? ? 4 ? + 6 2 = 0 .
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
0 ? ?
当 两 平 行 线 间 的 距 离 为 4 ， 于 是 有 ： = 4 ? ? = ± 1 2 2 ，
2 + 1 6
3 2 + 1 2 2
当 ? = 1 2 2 时 ， 圆 心 ? 到 直 线 ? 的 距 离 为 ： = 5 > 2 × 2 ， 不 符 合 题 意 ；
2
2 + 1 6
3 2 ? 1 2 2
当 ? = ? 1 2 2 时 ， 圆 心 ? 到 直 线 ? 的 距 离 为 ： ： = 3 > 2 ， 不 符 合 题 意 ，
2
2 + 1 6
此 时 直 线 ? 的 方 程 为 2 ? ? 4 ? ? 1 2 2 = 0 .
2
故 直 线 ? 的 方 程 为 2 ? ? 4 ? + 6 2 = 0 或 2 ? ? 4 ? ? 1 2 2 = 0 .
2
1 9 ． ( 1 ) ? = 1 ， ? = 2 ， 双 曲 线 ? 的 渐 近 线 方 程 为 ? ? ? = 0 和 ? + ? = 0 ；
( 2 ) ( ? 2 2 , ? 2 ) ∪ ( ? 2 , 2 ) ∪ ( 2 , 2 2 ) .
2 2
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 双 曲 线 ? : ? = 1 ( ? > 0 , ? > 0 ) 的 离 心 率 为 5 ，
2 2
? ?
?
2 2 2 2 2 2 2
所 以 有 = 5 ? ? = 5 ? ? ? + ? = 5 ? ? ? = 4 ? ，
?
2 ? = 4 ? ? = 2 ? = 1
而 该 双 曲 线 的 虚 轴 的 长 为 4 ， 所 以 ， 所 以 ，
因 此 双 曲 线 ? 的 浙 近 线 方 程 为 ： ? = ± ? ? ? ? ? = 0 或 ? + ? = 0 ；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ： ? = 1 ， ? = 2 ，
2
?
2
所 以 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ： ? ? = 1 ， 与 直 线 ? = ?? ? 2 联 立 得 ：
4
2
?
2
? ? = 1
2 2
4
? ( 4 ? ? ) ? + 4 ?? ? 8 = 0 ， 因 为 直 线 ? = ?? ? 2 与 双 曲 线 ? 相 交 于 互 异 两 点 ，
? = ?? ? 2
2
4 ? ? ≠ 0
2 2
所 以 有 ： ? ? < 8 且 ? ≠ 4 ，
2 2
Δ = 1 6 ? ? 4 ( 4 ? ? ) ? ( ? 8 ) > 0
所 以 ? 的 取 值 范 围 为 ： ( ? 2 2 , ? 2 ) ∪ ( ? 2 , 2 ) ∪ ( 2 , 2 2 ) .
2 0 ． ( 1 ) 证 明 过 程 见 解 析 ；
2
( 2 ) .
2
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 ? ? = 2 ? ? , ? 为 ? ? 的 中 点 ， 所 以 ? ? = ? ? ， 而 ? ? / / ? ? ，
所 以 四 边 形 ? ? ? ? 是 平 行 四 边 形 ， 因 此 ? ? = ? ? = 2 ，
°
因 为 ∠ ? ? ? = 9 0 ， ?? = ?? = 2 2 ， ? 为 ? ? 的 中 点 ，
所 以 ? ? ⊥ ?? ，
1 1 1
2 2
? ? = ? ? = ?? + ?? = × 8 + 8 = 2 ， 而 ?? = 2 2 ，
2 2 2
2 2 2
因 为 ? ? = ?? + ? ? ， 所 以 ? ? ⊥ ?? ， 而 ? ? ∩ ? ? = ? , ? ? , ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ，
所 以 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ；
（ 2 ） 根 据 （ 1 ） ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ( 0 , 0 , 2 ) , ? ( 0 , ? 2 , 0 ) , ? ( 0 , 2 , 0 ) , ? ( 2 , ? 2 , 0 ) , ? ( 2 , 0 , 0 ) ，
于 是 有 ： ?? = ( 0 , ? 2 , ? 2 ) , ?? = ( 0 , 2 , ? 2 ) , ?? = ( 2 , ? 2 , ? 2 ) , ?? = ( 2 , 0 , ? 2 ) ，
则 平 面 ?? ? 的 法 向 量 为 ： ? = ( 1 , 0 , 0 ) ，
设 平 面 ?? ? 的 法 向 量 为 ： ? = ( ? , ? , ? ) ，
2 2 2
? ?
2 ? 2 ? 2 ? = 0
? ⊥ ?? ? ? ?? = 0 2 2 2
{ ? { ? { ? ? = ( 1 , 0 , 1 )
所 以 ，
2 ? ? 2 ? = 0
2 2
? ⊥ ?? ? ? ?? = 0
设 平 面 ?? ? 与 平 面 ?? ? 的 夹 角 为 ? ，
? ? ? 1 2
所 以 c o s ? = = = .
2 2
| ? | ? | ? | 2
1 × 1 + 1
2 1 ． ( 1 ) ? = 2 ? + 1 ；
?
( 2 ) ? = 3 ， ? = 6 1 5 6 .
1 2 0 2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ? ，
? + 4 , ? , ?
因 为 成 等 差 数 列 ，
2 5 6
所 以 有 2 ? = ? + ? + 4 ? 2 ( ? + 4 ? ) = ? + 5 ? + ? + ? + 4 ? ? = 2 ，
5 6 2 1 1 1
因 为 ? , ? , ? 成 等 比 数 列 ，
7
4 1 2
2
2
所 以 ? = ? ? ? ( ? + 6 × 2 ) = ( ? + 3 × 2 ) ( ? + 1 1 × 2 ) ? ? = 3 ，
7 4 1 2 1 1 1 1
所 以 ? = 3 + ( ? ? 1 ) ? 2 = 2 ? + 1 ；
?
3 5 2 3
（ 2 ） 由 题 意 可 知 ： 在 和 之 间 插 入 个 ，
2
在 5 和 7 之 间 插 入 2 个 3 ， ? ，
9
在 1 9 和 2 1 之 间 插 入 2 个 3 ，
9
2 ( 1 ? 2 )
1 0
此 时 共 插 入 3 的 个 数 为 ： = 2 ? 2 = 1 0 2 2 < 2 0 2 2 ，
1 ? 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 0
在 2 1 和 2 3 之 间 插 入 2 个 3 ，
1 0
2 ( 1 ? 2 )
1 1
此 时 共 插 入 3 的 个 数 为 ： = 2 ? 2 = 2 0 4 6 > 2 0 2 2 ，
1 ? 2
? = 3
因 此
1
( 3 + 2 1 ) × 1 0
? = ( 3 + 5 + ? + 2 1 ) + ( 2 0 2 2 ? 1 0 ) × 3 = + 2 0 1 2 × 3 = 6 1 5 6 .
2 0 2 2
2
2 2
? ?
2 2 ． ( 1 ) + = 1 ；
8 4
1 6
( 2 ) ；
3
( 3 ) 证 明 见 解 析 .
2 2
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 由 题 得 ? = 2 2 ， 所 以 椭 圆 方 程 为 + = 1 ，
2
8 ?
6 1
因 为 椭 圆 ? 过 点 6 , 1 ， 所 以 + = 1 ， 所 以 ? = 2 ,
2
8 ?
2 2
? ?
所 以 椭 圆 ? 的 方 程 为 + = 1 .
8 4
? ? ? ? ? 0 = ? + 2 , ? ? ? + 2 = 0
（ 2 ） 解 ： 由 题 得 ( ? 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 所 以 直 线 的 方 程 为 即 ，
1 2
2 2
? ?
+ = 1
2
8 4
联 立 直 线 和 椭 圆 方 程 得 3 ? + 8 ? = 0 ，
? = ? + 2
6 4 8 | 2 ? 0 + 2 |
2
所 以 ? ? = 1 + 1 × = 2 , 点 ? 到 直 线 ? 的 距 离 为 = 2 2 .
2
3 3 1 + 1
1 8 1 6
所 以 △ ? ? ? 的 面 积 为 × 2 × 2 2 = .
2
2 3 3
（ 3 ） 解 ： 设 直 线 ? 的 方 程 为 ? = ?( ? + 2 ) ，
2 2
? ?
+ = 1
2 2 2 2
联 立 直 线 和 椭 圆 的 方 程 8 4 得 ( 1 + 2 ? ) ? + 8 ? ? + 8 ? ? 8 = 0 ，
? = ?? + 2 ?
2 2
? 8 ? 8 ? ? 8
设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? ) ， 所 以 ? + ? = , ? ? = ，
1 1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 + 2 ? 1 + 2 ?
? , ? ? ? ? 4 , 0
由 题 得 ? ( ) ， ，
2 2
→ →
所 以 ? ? = ( ? + 4 , ? ) = ( ? + 4 , ? ? + 2 ?) , ? ? = ( ? 4 ? ? , ?? + 2 ?) ，
1 1 1 1 2 2
所 以 ( ? + 4 ) ( ? ? + 2 ? ) ? ( ? ? + 2 ?) ( ? 4 ? ? ) = 2 ? ? ? + 6 ?( ? + ? ) + 1 6 ?
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
8 ? ? 8 ? 8 ? 0
= 2 ? × + 6 ? × + 1 6 ? = = 0 ，
2 2 2
1 + 2 ? 1 + 2 ? 1 + 2 ?
→ → → →
所 以 ? ? / / ? ? , 又 ? ? , ? ? 有 公 共 点 ? ,
所 以 ? , ? , ? 三 点 共 线 .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 部 分 区 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 联 考 参 考 答 案 ：
1 ． B
【 分 析 】 求 出 直 线 的 斜 率 ， 根 据 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 可 得 答 案.
【 详 解 】 设 直 线 ? ? ? + 5 = 0 的 倾 斜 角 为 ? ，
直 线 ? ? ? + 5 = 0 的 方 程 可 化 为 ? = ? + 5 ，
所 以 斜 率 为 ? = t a n ? = 1 ，
π
因 为 0 ≤ ? < π ， 所 以 ? = .
4
故 选 ： B .
2 ． A
【 分 析 】 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 半 径 比 较 大 小 可 得 答 案.
【 详 解 】 圆 C 的 圆 心 坐 标 为 1 , 0 ， 半 径 为 2 ， 直 线 l 的 方 程 为 ? ? ? + 1 = 0 ，
1 ? 0 + 1
圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为 = 2 < 2 ，
1 + 1
所 以 直 线 l 与 圆 C 的 位 置 关 系 是 相 交 .
故 选 ： A .
3 ． A
2
【 分 析 】 找 到 椭 圆 的 右 焦 点 1 , 0 ， 利 用 ? = 2 ?? 的 准 线 过 焦 点 ， 即 可 求 解 .
2 2 2 2
? ? ? ?
2
【 详 解 】 解 ： 椭 圆 + = 1 的 右 焦 点 1 , 0 ， 抛 物 线 ? = 2 ?? 的 准 线 经 过 椭 圆 + = 1 的
4 3 4 3
? < 0
?
右 焦 点 ， 可 得 ， 解 得 ? = ? 2 ．
? = ? = 1
2
故 选 ： A ．
4 ． D
【 分 析 】 利 用 空 间 向 量 的 线 性 运 算 直 接 得 解.
【 详 解 】 由 ? 是 ? ? 的 中 点 ，
1 1
可 知 ? ? = ? ? + ? ? ，
2 2
1 1 1 1
所 以 ? ? = ? ? ? ? ? = ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? + ? + ? ，
2 2 2 2
故 选 ： D .
5 ． C
【 分 析 】 运 用 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 得 出 ? 与 ? 平 行 时 ? 的 值 ， 而 后 运 用 充 分 必 要 条 件 的 知 识
1 2
来 解 决 即 可 ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 当 ? = ? 2 时 ， ? : ? 2 ? + 2 ? ? 1 = 0 ， ? : ? ? ? ? 1 = 0
1 2
两 条 直 线 的 斜 率 都 是 1 ， 截 距 不 相 等 ， 得 到 两 条 直 线 平 行 .
当 ? 与 ? 平 行 时 可 得 ： ? ? + 1 ? 2 × 1 = 0 ， 解 得 ? = ? 2 或 ? = 1 .
1 2
若 ? = ? 2 时 ， 由 上 可 得 ? 与 ? 平 行
1 2
? = 1 ? : ? + 2 ? ? 1 = 0 ? : ? + 2 ? ? 1 = 0
当 时 ， ， , 此 时 两 直 线 重 合 .
1 2
所 以 当 ? 与 ? 平 行 时 ， ? = ? 2
1 2
故 “ ? = ? 2 ” 是 “ 直 线 ? : ? ? + 2 ? ? 1 = 0 与 直 线 ? : ? + ? + 1 ? ? 1 = 0 平 行 ” 的 充 要 条 件 .
1 2
故 选 ： C
6 ． D
【 分 析 】 通 过 前 几 层 小 球 的 个 数 ， 可 以 发 现 规 律 得 出 结 果.
【 详 解 】 由 题 意 ， 第 一 层 1 个 球 ， 第 二 层 1 + 2 = 3 个 ， 第 三 层 1 + 2 + 3 = 6 个 ， 第 四 层 1 +
2 + 3 + 4 = 1 0 个 ，
3 6 × ( 1 + 3 6 )
据 此 规 律 ， 第 三 十 六 层 有 小 球 1 + 2 + 3 + ? + 3 6 = = 6 6 6 个 .
2
故 选 ： D
7 ． B
【 分 析 】 根 据 两 圆 方 程 得 出 两 圆 的 圆 心 坐 标 和 半 径 ， 判 断 出 两 圆 的 位 置 关 系 ， 再 利 用 与 两 圆
都 外 切 的 位 置 关 系 得 出 圆 心 距 离 所 满 足 的 等 量 关 系 ， 结 合 圆 锥 曲 线 的 定 义 即 可 得 出 答 案 .
? ?
【 详 解 】 设 所 求 圆 的 半 径 为 ， 圆 心 为 ，
2 2
圆 ? ： ? + ? = 1 的 圆 心 ? 0 , 0 ， 半 径 ? = 1 ，
1 1 1
2 2
圆 ? 化 为 标 准 方 程 得 ? + ? ? 6 = 1 6 ， 则 圆 心 ? 0 , 6 ， 半 径 ? = 4 ，
2 2 2
因 为 ? ? = 6 > ? + ? ， 所 以 两 圆 相 离 ，
1 2 1 2
? ? = ? + 1
1
由 题 意 可 得 ， 两 式 相 减 得 ? ? ? ? ? = 3 < ? ? ，
2 1 1 2
? ? = ? + 4
2
所 以 圆 心 ? 在 双 曲 线 的 一 支 上 .
故 选 ： B .
8 ． C
?? , ?? ? ?
【 分 析 】 利 用 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 表 示 出 ， 利 用 中 位 线 定 理 找 到 , 的 关 系 ， 再
1 2 1 2
结 合 ? ? ⊥ ?? ， 借 助 勾 股 定 理 进 行 运 算 即 可 .
1 2
【 详 解 】 根 据 题 意 : 设 ? = ?? , ? = ?? ， 设 椭 圆 长 半 轴 长 为 ? ， 短 半 轴 长 为 ? ， 双 曲 线
1 2 1 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? + ? = 2 ? ? = ? + ?
1 1 2
实 半 轴 长 为 ? ， 虚 半 轴 长 为 ? ， 则 由 椭 圆 及 双 曲 线 定 义 可 得 ： , ∴ ，
2 2
? ? = ? ? ?
? ? ? = 2
1 2
2
又 因 为 ? ? ⊥ ?? ， 且 ? , ? 分 别 为 ?? ， ? ? 的 中 点 ， 所 以 ? ? ⊥ ? ? ,
1 2 1 1 2 1
? ?
2
所 以 ? ( ? ?, 0 ) 到 渐 近 线 ? ? + ? ? = 0 的 距 离 为 ? ? = ? = = ? ，
1 2 2 1 2
2 2
? + ?
2 2
? = ? + ?
1 2
所 以 ? ? = ? = 2 ? ， ?? = ? = 2 ? ， 结 合 ， 可 得 ： ? = 3 ? ? ①
1 2 2 2 1 2
? = ? ? ?
1 2
2 2 2 2 2 2
因 为 ? ? ⊥ ?? ， 所 以 ? + ? = 4 ? , 即 ? + ? + ? ? ? = 4 ? ，
1 2 1 2 1 2
1 0 5
2 2 2 2 2
整 理 得 ： ? + ? = 2 ? ， 将 ① 代 入 ， ? = 2 ? ， 所 以 ? = .
1 2 1
9 3
故 选 ： C .
9 ． A D
【 分 析 】 根 据 空 间 向 量 坐 标 运 算 法 则 计 算 可 得 .
【 详 解 】 因 为 ? = 2 , ? 1 , 2 ， ? = 4 , 3 , 0 ，
2 2 2
所 以 ? = 2 + 1 + ? 2 = 3 ， 故 A 正 确 ；
2 ? ? ? = 2 2 , ? 1 , 2 ? 4 , 3 , 0 = 0 , ? 5 , 4 ， 故 B 错 误 ；
? ? ? = 2 × 4 + ? 1 × 3 + 2 × 0 = 5 ， 所 以 ? 与 ? 不 垂 直 ， 故 C 错 误 ；
? ? ? 5 1
2 2
又 ? = 4 + 3 = 5 ， 所 以 c o s ? , ? = = = ， 故 D 正 确 ；
3 × 5 3
? ? ?
故 选 ： A D
1 0 ． B D
′ ′
【 分 析 】 根 据 抛 物 线 方 程 即 可 判 断 A B ； 过 点 ? 作 ? ? 垂 直 于 准 线 ， 垂 足 为 ? ， 根 据 抛 物
6 , 4 ?
线 得 定 义 结 合 图 象 即 可 判 断 C ； 假 设 Q 的 坐 标 是 ， 利 用 点 差 法 求 出 直 线 的 方 程 ， 再 判
断 焦 点 是 否 在 直 线 上 ， 即 可 判 断 D .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 由 题 意 ? 2 , 0 ， 焦 点 到 准 线 的 距 离 是 4 ， 故 A 错 误 ， B 正 确 ；
′ ′
对 于 C ， 过 点 ? 作 ? ? 垂 直 于 准 线 ? = ? 2 ， 垂 足 为 ? ，
′ ′
则 ? ? + ? ? = ? ? + ? ? ≥ ? ? = 6 ，
′
当 且 仅 当 ?, ? , ? 三 点 共 线 时 取 等 号 ，
所 以 ? ? + ? ? 的 最 小 值 为 6 ， 故 C 错 误 ；
对 于 D ， 假 设 Q 的 坐 标 是 6 , 4 ， 设 ? ? , ? , ? ? , ? ，
1 1 2 2
则 ? + ? = 1 2 , ? + ? = 8 ，
1 2 1 2
由 直 线 l 交 抛 物 线 于 M ， N 两 点 ，
2
? = 8 ?
1 1 2 2
? ? ? = 8 ? ? ?
得 ， 两 式 相 减 得 ，
1 2 1 2
2
? = 8 ?
2 2
即 ? + ? ? ? ? = 8 ? ? ? ，
1 2 1 2 1 2
? ? ? 8
1 2
= = 1 ? = 1
所 以 ， 即 ，
? ?
? ? ? ? + ?
1 2 1 2
所 以 直 线 ? 的 方 程 为 ? ? 4 = ? ? 6 ， 即 ? = ? ? 2 ，
将 ? 2 , 0 代 入 得 0 = 2 ? 2 ，
所 以 直 线 ? 过 点 ? 2 , 0 ， 符 合 题 意 ，
6 , 4
所 以 Q 的 坐 标 可 以 是 ， 故 D 正 确 .
故 选 ： B D .
1 1 ． A B D
{ ? + 2 } ? ?
【 分 析 】 由 已 知 得 出 是 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 表 示 出 和 ， 再 分 别 判 断 各 选 项
? ? ?
即 可 ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 由 ? = 2 ? + 2 得 ， ? + 2 = 2 ( ? + 2 ) ，
? + 1 ? ? + 1 ?
所 以 { ? + 2 } 是 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 首 项 为 ? + 2 = 3 ， 故 A 正 确 ；
? 1
? ? 1 ? ? 1
所 以 ? + 2 = 3 ? 2 ， 即 ? = 3 ? 2 ? 2 ，
? ?
? ? 1 ? ? 2 ? ? 2
当 ? ≥ 2 时 ， ? = ? ? ? = 3 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 2 ? 2 ) = 3 ? 2 ，
? ? ? ? 1
1 , ? = 1
? =
所 以 ， 故 B 正 确 ；
? ? ? 2
3 ? 2 , ? ≥ 2
对 于 C ， 当 ? = 1 时 ， ? = 1 ， 2 ? ? 2 = 0 ， 显 然 ? ≠ 2 ? ? 2 ， 故 C 错 误 ；
1 1 1 1
?
对 于 D ， 取 ? , ? , ? ∈ N ， 且 1 < ? < ? < ? ，
假 设 存 在 ? , ? , ? 能 构 成 等 差 数 列 ， 则 2 ? = ? + ? ，
? ? ? ? ? ?
? ? 2 ?? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2
则 有 2 ? 3 ? 2 = 3 ? 2 + 3 ? 2 ， 即 2 = 2 + 2 ，
? ? ? + 1 ? ? ?
所 以 2 ? 2 = 1 ，
? ? ? + 1 = 1
1 0
因 为 2 ? 2 = 1 ， 所 以 ， 与 1 < ? < ? < ? 矛 盾 ；
? ? ? = 0
?? 2 ? ? 2
假 设 存 在 1 , ? , ? 能 构 成 等 差 数 列 ， 则 2 ? = 1 + ? ， 即 2 ? 3 ? 2 = 3 ? 2 + 1 ，
? ? ? ?
1
?? 1 ? ? 2 ?? 1 ? ? 2 ?
则 3 ( 2 ? 2 ) = 1 ， 即 2 ? 2 = ， 显 然 当 ?, ? ∈ N 时 无 解 ，
3
?
所 以 中 任 意 三 项 不 能 构 成 等 差 数 列 ， 故 D 正 确 ；
?
故 选 ： A B D ．
1 2 ． A B C
【 分 析 】 作 出 图 像 ， 取 ? ? 中 点 为 ? ， 连 接 ?? ， ? ? ， ? ? ， 则 ? ? = 2 ?? ， 在 R t △ ? ? ?
2 2 2 2 2 2
中 ， 由 ? ? + ? ? = ? ? 和 ? ? = ?? 得 ?? + ? ? = ? ? = 4 ， 设 ? ( ? , ? ) ， 可
? ? ?? ? ?
得 点 的 轨 迹 为 圆 ， 由 点 的 轨 迹 方 程 ， 即 可 求 得 的 范 围 ， 进 而 得 出 的 范 围 ．
2 2
【 详 解 】 由 圆 ? 方 程 ? + ? = 4 得 ， 圆 心 为 ( 0 , 0 ) ， 半 径 为 2 ，
2 2
因 为 1 + 0 < 4 ， 所 以 点 ? 在 圆 ? 内 部 ，
过 点 ? 作 两 条 相 互 垂 直 的 射 线 ， 与 圆 O 分 别 交 于 ? ， ? 两 点 ， 连 接 ? ? ， 取 ? ? 中 点 为 ? ， 连 接 ?? ，
1
? ? ， ? ? ， 则 ? ? = ? ? = ?? = ? ? ， ? ? ⊥ ? ? ， 如 图 所 示 ，
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2 2
在 R t △ ? ? ? 中 ， ? ? + ? ? = ? ? ，
2 2 2
? ? ?? ?? + ? ? ? ? = 4
由 = 得 ， = ，
2 2 2 2 2 2
设 点 ? ( ? , ? ) ， 则 ?? = ( ? ? 1 ) + ? ， ? ? = ? + ? ，
1 7
2 2 2 2 2 2
所 以 ( ? ? 1 ) + ? + ? + ? = 4 ， 即 ( ? ? ) + ? = ，
2 4
1 7
? ( , 0 ) ?
所 以 点 的 轨 迹 是 以 为 圆 心 ， 为 半 径 的 圆 ， 设 圆 心 为 ,
2 2
1 7
??
因 为 = < ， 所 以 点 ? 在 ⊙ ? 内 部 ，
2 2
1 + 7
① 当 ? ? 最 大 时 ， ?? = ?? + ? ? = ；
2
7 ? 1
? ? ?? = ? ? ? ?? =
② 当 最 小 时 ， ；
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
7 ? 1 7 + 1
所 以 ?? ∈ [ , ] ， 则 ? ? = 2 ?? ∈ [ 7 ? 1 , 7 + 1 ] ，
2 2
9
所 以 ? ? 的 取 值 可 以 为 , 2 , 3 ，
5
故 选 ： D ．
2 2
1 3 ． ? ? ? = 1 （ 答 案 不 唯 一 ） ；
【 分 析 】 由 双 曲 线 的 离 心 率 可 得 ? = ? ， 即 可 得 出 答 案 .
?
2 2
【 详 解 】 由 ? = 2 = ， 所 以 ? = 2 ? ， 即 ? = 2 ? ，
?
2 2 2 2 2 2
又 因 为 ? + ? = ? ， 所 以 ? + ? = 2 ? ， 则 ? = ? ，
取 ? = ? = 1 ，
2 2
所 以 离 心 率 为 2 且 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ：? ? ? = 1 （ 答 案 不 唯 一 ） ；
2 2
故 答 案 为 ： ? ? ? = 1 （ 答 案 不 唯 一 ） .
1 4 ． 8
【 分 析 】 根 据 等 差 中 项 的 性 质 可 得 ? + ? = ? + ? < 0 ， 再 结 合 等 差 数 列 的 单 调 性 可 得 解 .
6 1 1 8 9
【 详 解 】 由 已 知 数 列 ? 为 等 差 数 列 ，
?
? + ? ? + ? < 0
则 = ，
6 1 1 8 9
又 ? > 0 ，
8
所 以 ? < 0 ，
9
则 ? = ? ? ? < 0 ，
9 8
所 以 数 列 ? 为 递 减 数 列 ，
?
? ≤ 8 ? > 0 ? ≥ 9 ? < 0
则 当 时 ， ， 当 时 ， ，
? ?
所 以 当 ? = 8 时 ， ? 取 得 最 大 值 ，
?
故 答 案 为 ： 8 .
1 5 ． 2 7
【 分 析 】 确 定 ? = 3 ， 根 据 周 长 确 定 ? = 4 ， 得 到 答 案 .
? + ? + 3 = 0 ? ? ? 3 , 0 ? = 3
【 详 解 】 直 线 l ： 经 过 椭 圆 的 左 焦 点 ， 则 ， ，
1 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
△ ? ? ? 的 周 长 为 4 ? = 1 6 ， 解 得 ? = 4 ， 故 ? = 4 ? 3 = 7 ， 椭 圆 的 短 轴 长 为 2 7 .
2
故 答 案 为 ： 2 7 .
1 8 2
1 6 ．
2 9
′ ′ ′
【 分 析 】 首 先 作 出 图 形 ， 在 平 面 ? ? ?内 作 ? ? ⊥ ? ? 于 ? ， 连 接 ? ? ， 则 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ?，
? ?
′ 2 ′
∠ ? ? ? = ? ， 表 示 出 ? ? ， 即 可 得 出 当 ? ? 最 短 时 ? 的 值 ， 结 合 平 面 图 形 ， 即 可 求 得 和 三
? ?
′
棱 锥 ? ? ? ? ?的 体 积 ．
【 详 解 】
′ ′
如 图 ， 在 平 面 ? ? ?内 作 ? ? ⊥ ? ? 于 ? ， 连 接 ? ? ，
′
因 为 ? ? ? ? ? ? 为 直 二 面 角 ，
′
所 以 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ，
′
又 ? ? ? 平 面 ? ? ?， 所 以 ? ? ⊥ ? ? ，
′ 2 ′ 2 2
所 以 ? ? = ? ? + ? ? ， 设 ∠ ? ? ? = ? ，
′
则 ? ? = 2 s i n ? ， ? ? = 2 s i n ? ，
π
2 2 2
在 △ ? ? ? 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， ? ? = ? ? + ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? c o s ( ? ? ) ，
2
2 2
即 ? ? = 4 c o s ? + 1 6 ? 1 6 s i n ? c o s ? ，
′ 2 ′ 2 2 2 2
所 以 ? ? = ? ? + ? ? = 4 s i n ? + 4 c o s ? + 1 6 ? 1 6 s i n ? c o s ? = 2 0 ? 8 s i n 2 ? ，
π π
′ ′
所 以 当 ? = 时 ， ? ? 取 得 最 小 值 ， 则 ? ? = 2 s i n = 2 ，
4 4
π
当 ? = 时 ， 原 平 面 图 形 如 图 所 示 ， 过 点 ? 作 ? ? ⊥ ? ? 于 点 ? ， 则 △ ? ? ? 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
4
即 ? ? = ? ? ， 设 ? ? = ? ? = ? ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? ? 2 ? ? ? 4
由 △ ? ? ? ～△ ? ? ? 得 ， = ， 即 = ， 解 得 ? = ，
? ? ?? 2 4 3
4
2 ?
? ? ? ? 1
3
所 以 = = = ；
4
? ? ? ? 2
3
4 2 1 1 4 2 2 8
所 以 ? ? = ， 则 ? = ? ? ? ? ? ? ? s i n ∠ ?? ? = × × 4 × = ，
△ ? ??
3 2 2 3 2 3
1 1 8 8 2
′
则 ? = ? ? ? ? ? = × 2 × =
′ △ ? ??
? ? ? ??
3 3 3 9
1 8 2
故 答 案 为 ： ； ．
2 9
1 7 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
2 3
( 2 )
3
【 分 析 】 （ 1 ） 以 A 为 坐 标 原 点 ， A D 为 x 轴 ， A B 为 y 轴 ， ? ? 为 z 轴 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ，
1
求 得 两 直 线 的 方 向 向 量 坐 标 ， 通 过 计 算 数 量 积 为 0 ， 从 而 可 证 ；
（ 2 ） 求 得 ? ? = 0 , 0 , ? 2 和 平 面 ? ? ? 的 法 向 量 ， 利 用 点 面 距 离 的 向 量 公 式 即 可 求 解 .
1 1
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： 以 A 为 坐 标 原 点 ， A D 为 x 轴 ， A B 为 y 轴 ， ? ? 为 z 轴 建 立 如 图 所 示 的
1
坐 标 系 ．
∵ ? 0 , 2 , 0 ， ? 2 , 2 , 2 ， ? 0 , 0 , 2 ， ? 2 , 2 , 0 ，
1 1
∴ ? ? = 2 , 0 , 2 ， ? ? = 2 , 2 , ? 2 ，
1 1
∴ ? ? ? ? ? = 2 × 2 + 0 × 2 + 2 × ? 2 = 0 ， ∴ ? ? ⊥ ? ? ；
1 1 1 1
? 2 , 0 , 2 ? 2 , 0 , 0 ? ? 0 , 0 , ? 2
（ 2 ） ∵ ， ， ∴ = ，
1 1
设 面 ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ，
1
? ? = 2 , 0 , 2 ? ? = 2 , ? 2 , 0
∵ ， ，
1
2 ? + 2 ? = 0
∵ ? ⊥ ? ? ， ? ⊥ ? ? ， ∴ ，
1
2 ? ? 2 ? = 0
令 ? = 1 ， 则 ? = 1 ， ? = ? 1 ， ∴ ? = 1 , 1 , ? 1 ，
设 ? 到 面 ? ? ? 的 距 离 为 d ，
1 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? ? 2 2 3
1
∴ ? = = = .
? 1 + 1 + 1 3
? ? 1
? = ? ? 2
1 8 ． ( 1 ) ， =
? ?
2
? + ?
?
( 2 ) ? = ? 2 + 1
?
2
? ? = 1 ? ? + 2
【 分 析 】 （ 1 ） 由 是 公 比 大 于 0 的 等 比 数 列 及 ， = 求 出 公 比 ， 由 等 差 数 列
? 1 3 2
下 标 和 定 理 结 合 ? + ? = ? 求 出 ? ， 根 据 等 比 数 列 前 ? 项 和 公 式 及 ? + 2 ? ? 1 = ? ， 求 出
3 5 4 4 4 6 4
公 差 即 可 得 出 通 项 公 式 ；
（ 2 ） 利 用 分 组 求 和 ， 结 合 等 差 等 比 前 ? 项 和 公 式 计 算 即 可 ．
【 详 解 】 （ 1 ） 设 ? 的 公 差 为 d ， ? 的 公 比 为 ? > 0 ．
? ?
2
? ? + 2 ? = 1 ? = ? + 2 ? = 2 ? = ? 1
∵ = ， ， ∴ ， 解 得 或 ，
3 2 1
∵ ? > 0 ， ∴ ? = 2 ，
? ? 1 ? ? 1
∴ ? = 1 ? 2 = 2 ，
?
∵ ? + ? = 2 ? = ? = 8 ， ∴ ? = 4 ，
3 5 4 4 4
4
1 ? 2
∵ ? + 2 ? ? 1 = 4 + 2 4 + 2 ? ? 1 = ? = = 1 5
4 6 4
1 ? 2
∴ ? = 1 ， ∴ ? = ? + ? ? 4 ? = ? ，
? 4
? ? 1
故 ? = ? ， ? = 2 ．
? ?
0 1 2 ? ? 1
（ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， ? = 1 ? 2 + 2 ? 2 + 3 ? 2 + ? ? ? + ? ? 2
?
0 1 2 ? ? 1
= 1 + 2 + 3 + ? ? ? + ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
? 2
? ? + 1 1 ? 1 ? 2 ? + ?
?
= ? = ? 2 + 1
2 1 ? 2 2
2
? + ?
?
∴ ? = ? 2 + 1 ．
?
2
2 2
1 9 ． ( 1 ) ? + ? + 4 ? ? 6 ? ? 1 2 = 0
( 2 ) ? ? 3 = 0 或 9 ? ? 4 0 ? ? 6 7 = 0想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
【 分 析 】 （ 1 ） 设 圆 ? 的 方 程 为 ? + ? + ? ? + ? ? + ? = 0 ， 代 入 ? , ? , ? 的 坐 标 即 可 求 解 ；
′ ′
（ 2 ） 先 作 点 ? 关 于 x 轴 的 对 称 点 ? ， 由 点 与 圆 的 位 置 关 系 得 出 过 ? 有 两 条 直 线 与 圆 ? 相 切 ，
分 两 种 情 况 讨 论 即 可 求 解 ．
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 设 圆 ? 的 方 程 为 ? + ? + ? ? + ? ? + ? = 0 ，
因 为 点 ? , ? , ? 在 圆 ? 上 ，
4 + 2 ? + ? = 0 ? = 4
所 以 1 + 4 9 + ? + 7 ? + ? = 0 ， 解 得 ? = ? 6 ，
1 + 1 + ? ? ? + ? = 0 ? = ? 1 2
2 2
所 以 圆 ? 的 方 程 为 ? + ? + 4 ? ? 6 ? ? 1 2 = 0 ．
2 2
（ 2 ） 圆 ? 的 方 程 可 化 为 ? + 2 + ? ? 3 = 2 5 ，
′
因 为 ? 3 , 1 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 ? 3 , ? 1 ， 设 切 线 为 直 线 ? ，
2 2 ′ ′
因 为 3 + 2 + ? 1 ? 3 > 2 5 ， 所 以 点 ? 3 , ? 1 在 圆 外 ， 则 过 ? 有 两 条 直 线 与 圆 ? 相 切 ；
① 当 切 线 斜 率 存 在 时 ， 则 设 直 线 ? ： ? + 1 = ? ? ? 3 ， 即 ?? ? ? ? 3 ? ? 1 = 0 ，
? 2 ? ? 3 ? 3 ? ? 1 9
则 圆 心 ? 2 , 3 到 ? 的 距 离 ? = = 5 ， 解 得 ? = ，
2
4 0
? + 1
所 以 直 线 ? ： 9 ? ? 4 0 ? ? 6 7 = 0 ；
② 当 切 线 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 ? ： ? = 3 ，
? ? 3 = 0 9 ? ? 4 0 ? ? 6 7 = 0
综 上 可 得 反 射 光 线 所 在 直 线 为 或 ．
2 0 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
5
( 2 )
6想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 （ 1 ） 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 即 可 ；
（ 2 ） 由 题 意 可 得 以 A 为 坐 标 原 点 ， ? ? 为 x 轴 ， ? ? 为 y 轴 ， ? ? 为 z 轴 建 立 如 图 所 示 的 坐 标
系 ， 分 别 求 出 平 面 ?? ? 和 平 面 ?? ? 的 法 向 量 ， 由 向 量 的 夹 角 公 式 求 解 即 可.
?? ⊥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ⊥ ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： ∵ 平 面 ， 平 面 ， ∴ ，
∵ ? ? ⊥ ? ? ， ?? ∩ ? ? = ? ， ?? , ? ? ? 平 面 ?? ? ， ∴ ? ? ⊥ 平 面 ?? ? ，
∵ ? ? ? 平 面 ?? ? ， ∴ 平 面 ?? ? ⊥ 平 面 ?? ? .
（ 2 ） ∵ ? ? = ? ? = 6 ， 且 ? ? ⊥ ? ? ， ∴ ? ? = 6 2 ， ∠ ? ? ? = 4 5 °
∵ ? ? / / ? ? ， ∴ ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? = 4 5 ° ，
∵ ∠ ? ? ? = 9 0 ° ， ∴ △ ? ? ? 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
∴ ? ? = ? ? = 3 2 ， 取 B C 中 点 G ， 连 接 A G ，
∴ ? ? ⊥ ? ? ， 即 ? ? ⊥ ? ? ，
由 （ 1 ） 可 得 ?? ⊥ ? ? ， ?? ⊥ ? ?
以 A 为 坐 标 原 点 ， A G 为 x 轴 ， A D 为 y 轴 ， A P 为 z 轴 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系
由 （ 1 ） 可 得 ， ? ? ⊥ 平 面 ?? ? ，
∴ ∠ ? ? ? 为 直 线 P C 与 平 面 ?? ? 所 成 角 ， 即 ∠ ? ? ? = 4 5 °
设 平 面 ?? ? 的 法 向 量 为 ? = ? , ? , ?
∵ ? ? = 0 , ? 2 2 , 6 ， ? ? = 3 2 , ? 5 2 , 0
∵ ? ⊥ ? ? ， ? ⊥ ? ? ，
? 2 2 ? + 6 ? = 0
∴ ， 令 ? = 3 ， 则 ? = 2 ， ? = 5 ， ∴ ? = 5 , 3 , 2
3 2 ? ? 5 2 ? = 0
∵ x 轴 ⊥ 平 面 ?? ? ， ∴ 平 面 ?? ? 的 法 向 量 ? = 1 , 0 , 0 ，
设 ? 为 二 面 角 ? ? ?? ? ? 的 平 面 角 ， 且 ? 为 锐 角 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? 5 5
c o s ? =
∴ = = .
? ? 2 5 + 9 + 2 6
2 1 ． ( 1 ) ? = 3 ， ? = 6
1 2
? ? 1
? = 3 ? 2
( 2 ) 证 明 见 解 析 ，
?
? + 1
( 3 ) ? = 3 ? 2 ? 3 ? ? 6
2 ?
【 分 析 】 （ 1 ） 由 数 列 ? 的 前 几 项 ， 结 合 所 选 的 条 件 写 出 ? ， ? ；
? 1 2
（ 2 ） 结 合 所 选 的 条 件 和 数 列 ? 的 递 推 ， 定 义 法 证 明 ? 为 等 比 数 列 ， 利 用 首 项 和 公 比 求 数
? ?
?
列 的 通 项 公 式 ；
?
（ 3 ） 结 合 所 选 的 条 件 和 数 列 ? 的 通 项 公 式 ， 求 出 数 列 ? 的 通 项 公 式 ， 使 用 并 项 求 和 法 求
? ?
前 2 n 项 和 ? ．
2 ?
? + 1 , ? 为 奇 数
?
? ? = 1 ? =
【 详 解 】 （ 1 ） 数 列 满 足 ， ，
? 1 ? + 1
2 ? , ? 为 偶 数
?
? = 2 ? = 4 ? = 5 ? = 1 0
， ， ， ，
2 3 4 5
选 择 ① ? = ? + 2 ，
? 2 ? ? 1
? = ? + 2 = 3 ， ? = ? + 2 = 6 ；
1 1 2 3
选 择 ② ? = ? ? ? ，
? 2 ? + 1 2 ? ? 1
? = ? ? ? = 3 ， ? = ? ? ? = 6 .
1 3 1 2 5 3
? ? + 2
（ 2 ） 选 择 ① = ，
? 2 ? ? 1
? + 1 , ? 为 奇 数
?
证 明 ： ∵ ? = 1 ， ? = ， ∴ ? > 0 ， ∴ ? + 2 > 0 ，
1 ? + 1 ? 2 ? ? 1
2 ? , ? 为 偶 数
?
? ? + 2 2 ? + 2 2 ? + 1 + 2 2 ? + 2
? + 1 2 ? + 1 2 ? 2 ? ? 1 2 ? ? 1
∵ = = = = = 2 ，
? ? + 2 ? + 2 ? + 2 ? + 2
? 2 ? ? 1 2 ? ? 1 2 ? ? 1 2 ? ? 1
∴ ? 是 等 比 数 列 ， 首 项 ? = ? + 2 = 3 ， 公 比 ? = 2 ，
? 1 1
? ? 1
∴ ? = 3 ? 2 .
?
选 择 ② ? = ? ? ?
? 2 ? + 1 2 ? ? 1
? + 1 , ? 为 奇 数
?
证 明 ： ∵ ? = 1 ， ? = ， ∴ ? > ? ， ∴ ? ? ? > 0 ，
1 ? + 1 ? + 1 ? 2 ? + 1 2 ? ? 1
2 ? , ? 为 偶 数
?
? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? + 1 ? 2 ? + 1 2 ? ? ?
? + 1 2 ? + 3 2 ? + 1 2 ? + 2 2 ? 2 ? + 1 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 ? ? 1
∵ = = = = = 2 ，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 2 ? + 1 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 ? ? 1
∴ ? 是 等 比 数 列 ， 首 项 ? = 3 ， 公 比 ? = 2 ，
? 1
? ? 1
? = 3 ? 2
∴ .
?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
（ 3 ） 选 择 ① ? = ? + 2 ，
? 2 ? ? 1
? ? 1 ? ? 1
由 （ 2 ） 可 得 ? = ? + 2 = 3 ? 2 ， ∴ ? = 3 ? 2 ? 2
? 2 ? ? 1 2 ? ? 1
? ? ? 1
∴ ? = 2 ? = 3 ? 2 ? 2 ， ∴ ? = 3 ? 2 ? 1
2 ? + 1 2 ? 2 ?
?
令 ? = ? + ? = 3 ? 2 ? 3
? 2 ? ? 1 2 ?
? ? + ? + ? + ? + ? ? ? + ? + ? ? + ? + ? ? ? + ?
∴ = =
2 ? 1 2 3 4 2 ? ? 1 2 ? 1 2 ?
?
2 1 ? 2
1 2 ? ? + 1
= 3 2 + 2 + ? ? ? + 2 ? 3 ? = 3 ? ? 3 ? = 3 ? 2 ? 3 ? ? 6
1 ? 2
选 择 ② ? = ? ? ? ，
? 2 ? + 1 2 ? ? 1
? ? 1
? ? ? = 3 ? 2
由 （ 2 ） 可 得 ， 由 累 加 法 可 得 ，
2 ? + 1 2 ? ? 1
0 ? ? 1
2 1 ? 2
? ? 1
? ? ? = ? ? ? + ? ? ? + ? + ? ? ? + = 3 ? = 3 ? 2 ? 3 ，
2 ? ? 1 1 2 ? ? 1 2 ? ? 3 2 ? ? 3 2 ? ? 5 3 1
1 ? 2
? ? 1
∴ ? = 3 ? 2 ? 2 ，
2 ? ? 1
? ? ? 1
? = 2 ? = 3 ? 2 ? 2 ? = 3 ? 2 ? 1
∴ ， ∴ ，
2 ? + 1 2 ? 2 ?
?
令 ? = ? + ? = 3 ? 2 ? 3 ，
? 2 ? ? 1 2 ?
∴ ? = ? + ? + ? + ? + ? ? ? + ? + ? = ? + ? + ? ? ? + ?
2 ? 1 2 3 4 2 ? ? 1 2 ? 1 2 ?
?
2 1 ? 2
1 2 ? ? + 1
= 3 2 + 2 + ? ? ? + 2 ? 3 ? = 3 ? ? 3 ? = 3 ? 2 ? 3 ? ? 6 .
1 ? 2
2
?
2
2 2 ． ( 1 ) + ? = 1
4
1 6
( 2 )
2 5
3
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 椭 圆 过 点 1 , 及 离 心 率 ， 直 接 计 算 即 可 ；
2
（ 2 ） 设 直 线 ? 的 方 程 为 ?? = ? ? ? ， 根 据 ? ? ⊥ ? ? 求 出 直 线 过 定 点 ， 根 据 三 角 形 面 积 公 式 及
韦 达 定 理 表 示 出 ? ， 求 出 最 大 值 即 可 ．
△ ? ? ?
1 3
+ = 1
2 2 2
? 4 ?
? = 4
【 详 解 】 （ 1 ） 由 题 可 得 ， 解 得 ，
2 2
2
? ? 3
2
? = 1
? = = 1 + =
2 2
? ? 4
2
?
2
所 以 椭 圆 ? 的 方 程 为 + ? = 1 ．
4
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ? 2 , 0 ，
设 直 线 ? 的 方 程 为 ?? = ? ? ? ，
2 2
? + 4 ? = 4
2 2 2
? + 4 ? + 2 ?? ? + ? ? 4 = 0
由 得 ， ，
? = ?? + ?
2 2 2 2 2 2 2 2
因 为 Δ > 0 ， 所 以 Δ = 4 ? ? ? 4 ( ? + 4 ) ( ? ? 4 ) = 1 6 ? ? 1 6 ? + 6 4 > 0 ， 即 ? < ? + 4 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
所 以 ? < 4 ， 即 ? 2 < ? < 2 ，
设 ? ? , ? ， ? ? , ? ，
1 1 2 2
2
? 2 ?? ? ? 4
所 以 ? + ? = ， ? ? = ，
1 2 2 1 2 2
? + 4 ? + 4
因 为 ? ? ⊥ ? ? ，
所 以 ? ? ? ? ? = 2 ? ? 2 ? ? + ? ? = 0 ， 即 ?? + ? ? 2 ? ? + ? ? 2 + ? ? = 0 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
所 以 ? + 1 ? ? + ? ? 2 ? ? + ? + ? ? 2 = 0 ，
1 2 1 2
6
2
所 以 5 ? ? 1 6 ? + 1 2 = 0 ， 即 5 ? ? 6 ? ? 2 = 0 ， 解 得 ? = 或 ? = 2 （ 舍 ） ，
5
6 6
所 以 直 线 ? 的 方 程 为 ?? = ? ? ， 即 直 线 l 恒 过 定 点 , 0 ，
5 5
1 6 2 2
2
? = × 2 ? × ? ? ? = ? ? ? = ? + ? ? 4 ? ?
△ ? ? ? 1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 5 5
2 2 2 2 2 2
2 1 2 ? 4 × 6 4 2 1 2 ? 4 × 6 4 ? + 4 8 2 5 ? + 6 4
= + = + =
2 2 2 2 2 2 2 2
5 2 5 ? + 4 2 5 ? + 4 5 2 5 ? + 4 2 5 ? + 4 2 5 ? + 4
1 1
2
令 ? = ? + 4 ≥ 4 ， ∈ 0 , ，
? 4
8 2 5 ? ? 4 + 6 4 8 1 1 1 6
则 ? = = ? 3 6 + 2 5 ∈ 0 , ，
△ ? ? ?
2 2
2 5 ? 2 5 ? ? 2 5
1 1 1 6
当 = 时 ， ? 最 大 值 为 ．
△ ? ? ?
? 4 2 5想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 第 十 一 中 学 校 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． B
【 分 析 】 根 据 双 曲 线 的 实 轴 长 定 义 进 行 求 解 即 可.
2 2 2 2
? ? ? ?
【 详 解 】 由 ? = 1 ? ? = 3 ? 2 ? = 6 ， 所 以 双 曲 线 ? = 1 的 实 轴 长 为 6 ，
9 1 6 9 1 6
故 选 ： B
2 ． C
2 3 4
【 分 析 】 数 列 前 几 项 可 表 示 为 1 0 ? 1 ， 1 0 ? 1 ， 1 0 ? 1 ， 1 0 ? 1 ， 由 此 即 可 求 得 通 项 公
式
【 详 解 】 数 列 9 ， 9 9 ， 9 9 9 ， 9 9 9 9 ， ? ?
2 3 4
1 0 ? 1 1 0 ? 1 1 0 ? 1 1 0 ? 1
可 表 示 为 ： ， ， ， ， ? ?
?
所 以 ? 的 通 项 公 式 ? = 1 0 ? 1 ，
? ?
故 选 ： C
3 ． A
【 分 析 】 将 圆 的 一 般 方 程 化 为 标 准 方 程 ， 求 得 圆 心 ， 根 据 已 知 条 件 求 得 参 数 ? ， 再 求 得 圆 的
半 径 ， 即 可 求 得 结 果 .
2 2 2 2 2
【 详 解 】 ? + ? ? 2 ?? ? ( 4 ? + 2 ) ? + 4 ? + 4 ? + 1 = 0 ， 即 ? ? ? + ? ? 2 ? + 1 =
2
? ，
则 ? ≠ 0 ， 其 表 示 圆 心 为 ( ?, 2 ? + 1 ) ， 半 径 为 | ?| 的 圆 ，
根 据 题 意 可 得 ： ? + 2 ? + 1 ? 7 = 0 ， 解 得 ? = 2 ， 故 该 圆 的 半 径 为 2 ， 则 其 面 积 ? = 4 ? .
故 选 ： A .
4 ． B
【 分 析 】 利 用 等 差 数 列 下 标 和 性 质 可 化 简 已 知 等 式 求 得 ? = 4 ， 代 入 等 差 数 列 求 和 公 式 可
1 1
求 得 结 果 .
【 详 解 】 由 等 差 数 列 性 质 知 ： ? + ? = 2 ? = 3 ? ? 4 ， 解 得 ： ? = 4 ，
8 1 4 1 1 1 1 1 1
2 1 ? + ?
1 2 1
∴ ? = = 2 1 ? = 8 4 .
2 1 1 1
2
故 选 ： B .
5 ． A
【 分 析 】 根 据 双 曲 线 的 定 义 ， 余 弦 定 理 以 及 三 角 形 的 面 积 公 式 列 出 方 程 组 ， 即 可 解 出 ．
4 3
°
【 详 解 】 设 ?? = ? ， ? ? = ? ， 由 ∠ ? ?? = 1 2 0 ， △ ? ? ? 的 面 积 为 ，
2 1 1 2 1 2
3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? = 2 ?
°
2 2 2
4 ? = ? + ? ? 2 ?? c o s 1 2 0 2 2 2
可 得 ， ∴ 4 ? = ? ? ? + 3 ?? = 4 ? + 1 6 ①
1 4 3
°
?? s i n 1 2 0 =
2
3
?
由 离 心 率 为 5 ， 可 得 = 5 ， 代 入 ① 式 ， 可 得 ? = 1 .
?
故 选 ： A .
6 ． A
2 2 2
? 1 ? ?
1 1 1
【 分 析 】 设 ? ? , ? ， 则 ? ? ? , ? ， 根 据 斜 率 公 式 结 合 题 意 可 得 = ， 再 根 据 + =
1 1 1 1
2 2 2
2
? ? + ? 4 ? ?
1
1 ， 将 ? 用 ? 表 示 ， 整 理 ， 再 结 合 离 心 率 公 式 即 可 得 解 .
1 1
【 详 解 】 [ 方 法 一 ] ： 设 而 不 求
设 ? ? , ? ， 则 ? ? ? , ?
1 1 1 1
2
1 ? ? ? 1
1 1 1
则 由 ? ? ? = 得 ： ? ? ? = ? = = ，
? ? ? ? ? ? ? ? 2
2
4 ? + ? ? ? + ? ? ? + ? 4
1 1 1
2 2
2 2 2
? ? ? ? ? ?
1
1 1
2
由 + = 1 ， 得 ? = ，
1
2 2 2
? ? ?
2 2 2
? ? ? ?
1
2
2 1 ? 1
?
所 以 = ， 即 = ，
2 2
2
? ? + ? 4 ? 4
1
2
? ? 3
所 以 椭 圆 ? 的 离 心 率 ? = = 1 ? = ， 故 选 A .
2
? ? 2
[ 方 法 二 ] ： 第 三 定 义
设 右 端 点 为 B ， 连 接 P B ， 由 椭 圆 的 对 称 性 知 ： ? = ? ?
? ? ? ?
1
故 ? ? ? = ? ? ? ? = ? ，
? ? ? ? ? ? ? ?
4
2
?
由 椭 圆 第 三 定 义 得 ： ? ? ? = ? ，
? ? ? ? 2
?
2
? 1
故 =
2
? 4
2
? ? 3
所 以 椭 圆 ? 的 离 心 率 ? = = 1 ? = ， 故 选 A .
2
? ? 2
7 ． D
【 分 析 】 根 据 线 面 角 的 定 义 以 及 长 方 体 的 结 构 特 征 即 可 求 出 ．
【 详 解 】 如 图 所 示 ：想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
不 妨 设 ? ? = ? , ? ? = ? , ? ? = ? ， 依 题 以 及 长 方 体 的 结 构 特 征 可 知 ， ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角
1 1
? ?
°
为 ∠ ? ? ? ， ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 为 ∠ ? ? ? ， 所 以 s i n 3 0 = = ， 即 ? = ? ， ? ? =
1 1 1 1 1 1
? ? ? ?
1 1
2 2 2
2 ? = ? + ? + ? ， 解 得 ? = 2 ?．
对 于 A ， ? ? = ? ， ? ? = ? ， ? ? = 2 ? ? ， A 错 误 ；
对 于 B ， 过 ? 作 ? ? ⊥ ? ? 于 ? ， 易 知 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 所 以 ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 为 ∠ ? ? ? ，
1 1 1 1 1
? 2
°
t a n ∠ ? ? ? = = ∠ ? ? ? ≠ 3 0
因 为 ， 所 以 ， B 错 误 ；
? 2
2 2 2 2
? ? = ? + ? 3 ? ? ? ? + ? 2 ? ? ? ≠ ? ?
对 于 C ， = ， = = ， ， C 错 误 ；
1 1
?? ? 2
对 于 D ， ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 为 ∠ ? ? ? ， s i n ∠ ? ? ? = = = ， 而 0 < ∠ ? ? ? <
1 1 1 1 1 1
? ? 2 ? 2
1
° °
9 0 ， 所 以 ∠ ? ? ? = 4 5 ． D 正 确 ．
1
故 选 ： D ．
8 ． C
【 分 析 】 求 得 直 线 ? 的 方 程 ， 联 立 抛 物 线 方 程 ， 可 得 ? 的 二 次 方 程 ， 运 用 韦 达 定 理 ， 由 三 角 形
的 面 积 公 式 ， 结 合 两 个 三 角 形 同 高 可 得 面 积 之 比 为 底 边 之 比 ， 联 立 方 程 组 ， 解 方 程 可 得 ? ，
进 而 得 到 所 求 抛 物 线 方 程 ．
?
2
【 详 解 】 解 ： 抛 物 线 ? = 2 ? ? 的 焦 点 ? ( ， 0 ) ， 过 ? 轴 上 一 定 点 ? ( 2 , 0 ) 作 斜 率 为 2 的 直 线 ? 的
2
方 程 为 ? = 2 ( ? ? 2 ) ，
2
联 立 抛 物 线 方 程 可 得 2 ? ? ( 8 + ? ) ? + 8 = 0 ，
?
设 ? ( ? ， ? ) ， ? ( ? ， ? ) ， 可 得 ? + ? = 4 + ， ? ? = 4 ， ①
1 1 2 2 1 2 1 2
2
设 ? 到 ? ? 的 距 离 为 ? ，
1
? | ? ?|
? | ? ? | ? 1
1 2
2
可 得 = = = = ， 即 ? = 4 ? ， ②
1 1 2
? | ? ? | ? 4
2 ? | ? ?| 1
2
联 立 ① ② 可 得 ? = 4 ， ? = 1 ， ? = 2 ．
1 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
则 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 ? = 4 ? ．
故 选 ： ? ．
【 点 睛 】 本 题 考 查 抛 物 线 的 方 程 和 应 用 ， 考 查 直 线 方 程 和 抛 物 线 方 程 联 立 ， 运 用 韦 达 定 理，
以 及 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 考 查 化 简 运 算 能 力 ， 属 于 基 础 题 ．
9 ． A D
【 分 析 】 根 据 直 线 倾 斜 角 与 斜 率 的 关 系 ， 结 合 双 曲 线 、 椭 圆 的 焦 点 公 式 、 直 线 截 距 是 否 为 零
逐 一 判 断 即 可 .
【 详 解 】 当 直 线 的 倾 斜 角 为 直 角 时 ， 该 直 线 没 有 斜 率 ， 所 以 选 项 A 正 确 ；
当 直 线 的 倾 斜 角 为 直 角 时 ， 该 直 线 没 有 斜 率 ， 所 以 选 项 B 正 确 ；
2 2 2 2
? ? ? ?
因 为 双 曲 线 ? = 1 的 焦 点 在 ? 轴 ， 坐 标 为 0 , ± 4 ， 椭 圆 + = 1 ? < 9 焦 点 坐 标 为
8 8 2 5 ? ? 9 ? ?
± 4 , 0 ， 所 以 选 项 C 错 误 ；
当 过 ? 4 , ? 3 的 直 线 过 原 点 时 ， 显 然 此 时 该 直 线 在 坐 标 轴 上 截 距 相 等 ，
? 4 , ? 3
当 过 的 直 线 不 过 原 点 时 ， 因 为 在 坐 标 轴 上 截 距 相 等 ，
? ? 4 3
所 以 设 此 时 直 线 方 程 为 ： + = 1 ? ≠ 0 ? ? = 1 ? ? = 1 ，
? ? ? ?
因 此 过 ? 4 , ? 3 且 在 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 有 2 条 ， 选 项 D 正 确 ，
故 选 ： A D
1 0 ． B C
【 详 解 】 根 据 题 意 ， 可 知 ? = 1 0 ， 且 ? ? ? = ? + 1 ， 故 A 错 误 ， B 正 确 ，
4 ? + 1 ?
因 为 ? ? ? = ? + 1 ， 所 以 ? = ? + ? = ? + ? ? 1 + ? = ? = ? + 2 + ? + ? ?
? + 1 ? ? ? ? 1 ? ? 2 1
1 + ?
? ? + 1
= 1 + 2 + ? + ? = n ≥ 2 ，
2
2 0 × 2 1
所 以 ? = = 2 1 0 ， C 正 确 ；
2 0
2
2
因 为 ? ≠ ? ? ， 故 D 错 误 .
2 1 3
故 选 ： B C
1 1 ． A D
? ? 1
【 详 解 】 设 点 ?( ? , ? ) ， 由 = ，
? ? 2
2 2
( ? + 2 ) + ? 1
2 2 2 2
得 = ， 化 简 得 ? + ? + 8 ? = 0 ， 即 ( ? + 4 ) + ? = 1 6 ， 故 A 选 项 正 确 ；
2 2
( ? ? 4 ) + ? 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
对 于 B 选 项 ， 设 ? ( ? , ? ) ， 由 ? ? = 1 得 ( ? + 2 ) + ( ? ? 0 ) = 1 ，
0 0 0 0
2
2
( ? + 4 ) + ? = 1 6
又 ， 联 立 方 程 可 知 无 解 ， 故 B 选 项 错 误 ；
0 0
对 于 C 选 项 ， 设 ? ( ? , ? ) ， 由 M 在 直 线 ? + ? ? 2 = 0 上 得 ? + ? ? 2 = 0 ，
0 0 0 0
2 2
又 ( ? + 4 ) + ? = 1 6 ， 联 立 方 程 可 知 无 解 ， 故 C 选 项 错 误 ；
0
0
2 2 2 2 2 2
? ? ? ? ?
对 于 D 选 项 ， 设 ? ( ? , ? ) ， 由 + = 4 ， 得 ? + ? + ( + 2 ) + ? = 4 ， 又 ( ? +
0 0 0 0 0 0 0
2 2
4 ) + ? = 1 6 ， 联 立 方 程 可 知 有 解 ， 故 D 选 项 正 确 .
0
故 选 ： A D .
1 2 ． C D
1 1
°
【 详 解 】 根 据 三 角 形 面 积 公 式 得 到 × ? × ? = ? = × ? ? × ? ? × s i n 6 0 ， 可 得 到 内 切 圆
周 长
2 2
的 半 径 为 1 ；
以 D 点 为 原 点 ， B C 所 在 直 线 为 x 轴 ， A D 所 在 直 线 为 y 轴 ， 建 立 坐 标 系 ，
可 得 到 点 的 坐 标 为 ： ? ( ? 3 , 0 ) ， ? ( 3 , 0 ) ， ? ( 0 , 3 ) ， ? ( 0 , 0 ) ， ? ( c o s ? , 1 + s i n ? ) ，
? ? = ( c o s ? + 3 , 1 + s i n ? ) ， ? ? = ( 3 , 3 ) ， ? ? = ( 3 , 0 ) ，
∵ ? ? = ? ? ? + ? ? ?
∴ ? ? = ( c o s ? + 3 , 1 + s i n ? ) = ( 3 ? + 3 ? , 3 ? ) ，
∴ c o s ? = 3 ? + 3 ? ? 3 ， s i n ? = 3 ? ? 1 ，
1 + s i n ?
? =
c o s ? s i n ? 4 2 ? 4
3
∴ ， 2 ? + ? = + + = s i n ( ? + ) + ，
c o s ? s i n ? 2
3 3 3 3 3 3
? = ? +
3 3 3
?
∵ ? 1 ≤ s i n ( ? + ) ≤ 1 ，
3
2
∴ ≤ 2 ? + ? ≤ 2 ，
3
故 选 项 C D 满 足 .
故 选 ： C D .
1
1 3 ． / 0 . 2 5
4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 1
2 2
【 详 解 】 由 ? = 4 ? ? ? = ? ， 所 以 该 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ( 0 , ) ，
4 1 6
1 1 1
2 2
把 ? = 代 入 ? = 4 ? 中 ， 得 ? = ? ? = ± ，
1 6 6 4 8
1 1
2
所 以 抛 物 线 ? = 4 ? 的 通 径 长 为 × 2 = ，
8 4
1
故 答 案 为 ：
4
8 5
1 4 ．
5
【 详 解 】 因 为 ? ? ? ? ? ? ? 是 直 三 棱 柱 ，
1 1 1
所 以 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ， 而 ? ? , ? ? ? 平 面 ? ? ? ，
1
所 以 ? ? ⊥ ? ? , ? ? ⊥ ? ? ，
1 1
1
因 为 ? 是 棱 ? ? 的 中 点 ， 所 以 ? ? = ? ? = 2 ，
2
2
2
由 勾 股 定 理 可 得 ： ? ? = ? ? + ? ? = 1 6 + 4 = 2 5 ，
1 1
2
2
? ? = ? ? + ? ? = 1 6 + 1 6 = 3 2 ，
1 1
因 为 △ ? ? ? 是 等 边 三 角 形 ， ? 是 棱 ? ? 的 中 点 . ，
2 2
所 以 ? ? ⊥ ? ? ， 所 以 ? ? = ? ? ? ? ? = 1 6 ? 4 = 2 3 ，
2 2 2
? ? + ? ? ? ? ? ? ⊥ ? ?
因 为 = ， 所 以 ，
1 1 1
1
因 此 ? = × 2 5 × 2 3 = 2 1 5 ，
△ ? ??
1
2
因 为 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ，
1 1 1 1
? ? ? ⊥ ? ? ? ? ? ? ? ∩ ? ? ? ? = ? ?
所 以 平 面 平 面 ， 因 为 平 面 平 面 ，
1 1 1 1
? ? ⊥ ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ， 所 以 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ，
1 1
设 点 ? 到 平 面 ? ? ? 的 距 离 为? ，
1 1
1 1 1 8 5
1 5
由 ? = ? ? × 2 ? = × × 4 × 4 × 2 3 ? ? = ，
? ? ? ?? ?? ? ? ?
1 1 1 1
3 3 2 5
8 5
故 答 案 为 ：
5
4
1 5 ．
3
2
【 详 解 】 试 题 分 析 ： ： ∵ 点 A （ - 2 ， 3 ） 在 抛 物 线 C ： ? = 2 ? ? 的 准 线 上 ， 即 准 线 方 程 为 ： x = - 2 ，
?
2
∴ p ＞ 0 ， ∴ ? = ? 2 即 p = 4 ， ∴ 抛 物 线 C ： ? = 8 ? ， 在 第 一 象 限 的 方 程 为 ? = 2 2 ? ， 设 切
2
点 B （ m ， n ） ， 则 ? = 2 2 ? ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 1 2 ? ? 3 2
''
又 导 数 ? = 2 2 ? ? ， 则 在 切 点 处 的 斜 率 为 ， ∴ = 即 2 ? + 2 2 = 2 2 ? ? 3 ? ，
? ? ? ?+ 2 ?
8 ? 0 4
解 得 ? = 2 2 ∴ 切 点 B （ 8 ， 8 ） ， 又 F （ 2 ， 0 ） ， ∴ 直 线 B F 的 斜 率 为 =
8 ? 2 3
考 点 ： 抛 物 线 的 简 单 性 质
7 2
1 6 ． ,
2 4 3
2
【 详 解 】 设 ? = 9 ? ? ， ? = ?( ? ? 3 ) + 4 ， 图 象 如 图 所 示 ，
1 2
| ? 3 ? + 4 |
当 直 线 与 半 圆 相 切 时 ， 圆 心 ? 到 直 线 ? ? 的 距 离 ? = ? ， 即 = 3 ，
2
? + 1
7
解 得 ： ? = ，
2 4
4 ? 0 2
当 直 线 过 点 ( ? 3 , 0 ) 时 ， 可 求 得 ? = = ，
3 ? ( ? 3 ) 3
7 2
则 利 用 图 象 得 ： 实 数 ? 的 范 围 为 ( , ] ，
2 4 3
7 2
故 答 案 为 ： ( , ] .
2 4 3
? = ? 2 ? + 8
1 7 ． ( 1 )
?
( 2 ) 最 大 值 1 2 ， 无 最 小 值 ．
【 详 解 】 （ 1 ） 由 ? = ? + ? ， （ ? ∈ N ， ? < 0 ） ， 知 ? 为 等 差 数 列 ， 公 差 为 d ，
?
? + 1 ?
设 首 项 为 ? ， 由 ? = 1 2 ， ? ? + 2 ? ? 5 ? ? 1 0 = 0 ，
1 3 3 5 3 5
3 ? + 3 ? = 1 2
1
得 ，
? + 2 ? ? + 4 ? + 2 ? + 2 ? ? 5 ? + 4 ? ? 1 0 = 0
1 1 1 1
? = 3 ? = 6
1 1
解 得 或 ，
? = 1 ? = ? 2
?
= 6
1
? < 0
因 为 ， 所 以 ，
? = ? 2
故 ? = ? 2 ? + 8 ．
?
? = 6
1
（ 2 ） 当 ? = ? 2 ? + 8 时 ， ，
?
? = ? 2
? ? ? 1
2
? = 6 ? + × ? 2 = ? ? + 7 ? ，
?
2
? = 3 ? ? ? = 1 2 ?
所 以 当 或 4 时 ， 有 最 大 值 = ， 无 最 小 值 ．
? 3 4 ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
1 8 ． ( 1 ) ? = 4 ?
( 2 ) 4 1 0
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 点 ? 1 , 0 ， 直 线 ? ： ? = ? 2 ， 平 面 内 存 在 点 ? ， 使 得 点 ? 到 点 M 的 距 离 比 到
直 线 ? 的 距 离 小 1 ， 也 即 点 ? 到 点 M 的 距 离 等 于 到 直 线 ? = ? 1 的 距 离 ，
? ? = ? 1
由 抛 物 线 的 定 义 可 知 ： 点 的 轨 迹 是 以 ? ( 1 , 0 ) 为 焦 点 ， 以 直 线 为 准 线 的 抛 物 线 ，
2
所 以 点 ? 的 轨 迹 方 程 为 ： ? = 4 ? .
2
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ： 曲 线 ? 的 方 程 为 ： ? = 4 ? ， 设 直 线 ? 与 曲 线 ? 交 于 ? ( ? , ? ) ， ? ( ? , ? ) ，
2 1 1 2 2
1
? = ? + 1
2
2
联 立 方 程 组 ， 消 元 可 得 ： ? ? 8 ? + 8 = 0 ，
2
? = 4 ?
1
? + ? = 8 ? ? = 8 ? ? 1 + ? ? ? 5
所 以 ， ， 由 弦 长 公 式 可 得 ： = = ×
1 2 1 2 2 1 2
?
2
( ? + ? ) ? 4 ? ? = 5 × 4 2 = 4 1 0 ，
1 2 1 2
所 以 ? 被 曲 线 C 截 得 的 弦 长 为 4 1 0 .
2
1 9 ． ( 1 ) 见 解 析
2 6
( 2 )
1 3
【 详 解 】 （ 1 ） 取 ?? 的 中 点 ? ， 连 接 ? ? , ? ? ， 如 下 图 ：
1
在 △ ? ? ? 中 ， ? , ? 分 别 为 ? ?, ? ? 的 中 点 ， 则 ? ? = ? ? , ? ? / / ? ? ，
2
∵ ? ? / / ? ? , ? ? = 2 ? ? ， ∴ ? ? / / ? ? , ? ? = ? ? ， 即 ? ? / / ? ? ，
∵ ? ? ? 平 面 ?? ? ， ? ? ? 平 面 ?? ? ， ∴ ? ? / / 平 面 ?? ? .
（ 2 ） 由 题 意 ， 易 知 ? ?, ? ? , ? ? 两 两 垂 直 ， 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
则 ? 0 , 0 , 2 ， ? 0 , 2 , 0 ， ? 2 , 2 , 0 ， ? 1 , 0 , 0 ，
3
由 ? , ? 分 别 为 ?? , ? ? 的 中 点 ， 则 ? 0 , 1 , 1 ， ? , 1 , 0 ，
2
3
取 ? ? = , 0 , ? 1 ，
2
在 平 面 ?? ? 内 ， 取 ?? = 1 , 0 , ? 2 ， ?? = 2 , 2 , ? 2 ，
?? ? ? ? , ? , ?
设 平 面 的 法 向 量 = ，
? ? 2 ? = 0 ? = 2 ?
则 ， 即 ， 令 ? = 1 ， 则 ? = 2 , ? = ? 1 ，
2 ? + 2 ? ? 2 ? = 0 ? = ? ?
故 平 面 ?? ? 的 一 个 法 向 量 ? = 2 , ? 1 , 1 ，
? ? ?? ? ?
设 直 线 与 平 面 所 成 角 为 ，
? ? ? ? 3 + 0 ? 1 2 6
则 s i n ? = = = .
9
? ? ? ? 1 3
4 + 1 + 1 × + 1
4
? + 1
2 ? 2 , ? 为 偶 数
2 0 ． （ 1 ） 证 明 见 解 析 ； （ 2 ） ? = .
?
? + 1
2 ? 3 , ? 为 奇 数
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 由 题 意 ， 数 列 ? 满 足 ? + ? = 3 ? 2 ， 即 ? = ? ? + 3 ? 2 ，
? ? + 1 ? ? + 1 ?
? + 1 ? ? + 1 ?
? ? 2 ? ? + 3 ? 2 ? 2 2 ? ?
? + 1 ? ?
则 = = = ? 1 ，
? ? ?
? ? 2 ? ? 2 ? ? 2
? ? ?
1
? = 1 ? ? 2 = ? 1
又 由 ， 可 得 ，
1 1
?
所 以 数 列 ? ? 2 表 示 首 项 为 ? 1 ， 公 比 为 ? 1 的 等 比 数 列 .
?
? ? ? 1 ? ? ?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ? ? 2 = ? 1 × ( ? 1 ) = ( ? 1 ) ， 所 以 ? = ( ? 1 ) + 2 ，
? ?
1 2 ? ?
所 以 ? = 2 + 2 + ? + 2 + ( ? 1 ) + 1 + ? + ( ? 1 ) ，
?
?
2 ( 1 ? 2 )
? + 1
当 ? 为 偶 数 时 ， 可 得 ? = + 0 = 2 ? 2 ；
?
1 ? 2
?
2 ( 1 ? 2 )
? + 1
当 ? 为 奇 数 时 ， 可 得 ? = ? 1 = 2 ? 3 ，
?
1 ? 2
? + 1
2
? 2 , ? 为 偶 数
综 上 可 得 ， ? = .
?
? + 1
2 ? 3 , ? 为 奇 数想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 1 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
2 2
( 2 ) ．
3
1
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： 在 梯 形 ? ? ? ? 中 ， ? = × 4 × 2 = 4 ，
1 1 △ ? ? ?
1 1
2
1
因 为 ? ? = ? ? = ? ? = ? ? = 2 ， 所 以 ? ? = 4 ，
1 1 1 1 1
2
1 1 6
设 点 ? 到 平 面 ? ? ? ? 距 离 为 h ， ? = ? × 4 = ， 解 得? = 4 = ? ? ，
1 1 1 ? ? ? ?? 1 1
1 1 1
3 3
故 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 而 ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ， 则 ? ? ⊥ ? ? ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又 ? ? = ? ? = 2 ? ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? = 9 0 ° ，
1 1 1 1
易 得 ? ? = 2 2 , ? ? = 2 2 ， 又 ? ? = 4 ， 则 ∠ ? ? ? = 9 0 ° ， 又 ? ? ∩ ? ? = ? , ? ? ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ? 平 面 ? ? ? ， 则 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ．
1 1 1 1 1 1
? ? , ? ? , ? ? ? ? ? , ? ? , ? ?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 两 两 互 相 垂 直 ， 以 为 原 点 ， 方 向 分 别 为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x 轴 、 y 轴 、 z 轴 的 正 方 向 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ? ? ? ? ? ， 如 图 ，
1
? ?
则 ? ( 2 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 4 ) , ( 0 , 4 , 0 ) , ? ( 2 , 0 , 0 ) ，
1 1
设 平 面 ? ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ，
1 1 1 1 1
? ? ? ? = 0 , ? 2 ? + 2 ? = 0 ,
1 1
1
则 即
4 ? ? 4 ? = 0 ,
1 1
? ? ? ? = 0 ,
1
1
? = 1 ?
取 得 ， = ( 1 , 1 , 1 ) ，
1
设 平 面 ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ，
1 1 2 2 2
? ? ? ? = 0 , 4 ? ? 4 ? = 0 ,
2 2
1 1
则 即
? 2 ? + 4 ? = 0 ,
2 2
? ? ? ? = 0 ,
1
? = 1 ?
取 ， 则 = ( 2 , 1 , 1 ) ，
2
? ? ? 2 + 1 + 1 2 2
c o s? ? , ? ? = = = ，
| ? | | ? | 3 × 6 3
2 2
故 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 的 余 弦 值 为 ．
1 1
3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
? ? 8
2 2
2 2 ． （ 1 ） + = 1 （ 2 ） ? + ? =
8 4 3
2 2
? ?
【 详 解 】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 因 为 椭 圆 E : + = 1 （ a , b > 0 ） 过 M （ 2 ， 2 ） ， N ( 6 , 1 ) 两 点 ,
2 2
? ?
4 2 1 1
+ = 1 =
2 2
2 2
2 2
? ?
? ? ? 8 ? = 8
所 以 { 解 得 { 所 以 { 椭 圆 E 的 方 程 为 + = 1
6 1 1 1 2
8 4
? = 4
+ = 1 =
2 2 2
? ? ? 4
（ 2 ） 假 设 存 在 圆 心 在 原 点 的 圆 ， 使 得 该 圆 的 任 意 一 条 切 线 与 椭 圆 E 恒 有 两 个 交 点 A , B , 且
? = ?? + ?
2 2
2 2
? ? ⊥ ? ? , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 ? = ?? + ? 解 方 程 组 { 得 ? + 2 ( ?? + ?) = 8 , 即
? ?
+ = 1
8 4
2 2 2
( 1 + 2 ? ) ? + 4 ?? ? + 2 ? ? 8 = 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2
则 △ = 1 6 ? ? ? 4 ( 1 + 2 ? ) ( 2 ? ? 8 ) = 8 ( 8 ? ? ? + 4 ) > 0 , 即 8 ? ? ? + 4 > 0
4 ? ?
? + ? = ?
1 2 2
1 + 2 ?
{ ，
2
2 ? ? 8
? ? =
1 2 2
1 + 2 ?
2 2 2 2
? ( 2 ? ? 8 ) 4 ? ?
2 2 2
? ? = ( ? ? + ? ) ( ? ? + ? ) = ? ? ? + ?? ( ? + ? ) + ? = ? + ? =
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 + 2 ? 1 + 2 ?
2 2 2 2 2 2
? ? 8 ? ? ( 2 ? ? 8 ) 4 ? ?
2 2
? ? = ( ?? + ?) ( ? ? + ?) = ? ? ? + ?? ( ? + ? ) + ? = ? +
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 + 2 ? 1 + 2 ? 1 + 2 ?
2 2
? ? 8 ?
2
? =
2
1 + 2 ?
2 2 2
2 ? ? 8 ? ? 8 ?
2 2
要 使 ? ? ⊥ ? ? , 需 使 , 即 + = 0 , 所 以 3 ? ? 8 ? ? 8 = 0 , 所 以
2 2
1 + 2 ? 1 + 2 ?
2
3 ? ? 8
2 2 2
? = ≥ 0 又 8 ? ? ? + 4 > 0 ,
8
2
8 2 6 2 6
? > 2
2
所 以 { , 所 以 ? ≥ , 即 ? ≥ 或 ? ≤ ? ,
2
3 3 3
3 ? ≥ 8
因 为 直 线 ? = ?? + ? 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 ,
2 2
| ? | ? ? 8 2 6
2
所 以 圆 的 半 径 为 ? = , ? = = = , ? = ,
2 2
2 3 ? ? 8
1 + ? 3 3
1 + ?
1 +
8
8 2 6 2 6
2 2
? + ? ? = ?? + ?
所 求 的 圆 为 = , 此 时 圆 的 切 线 都 满 足 ? ≥ 或 ? ≤ ? ,
3 3 3
2 2
2 6 ? ?
而 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 切 线 为 ? = ± 与 椭 圆 + = 1 的 两 个 交 点 为 或
3 8 4
2 6 2 6
? ? ⊥ ? ?
( ? , ± ) 满 足 ,
3 3
8
2 2
综 上 , 存 在 圆 心 在 原 点 的 圆 ? + ? = ， 使 得 该 圆 的 任 意 一 条 切 线 与 椭 圆 E 恒 有 两 个 交 点
3
A , B , 且 ? ? ⊥ ? ? ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 主 城 区 六 校 2 0 2 1 - 2 0 2 2 学 年 高 二 上 学 期 期 末 联 考 参 考 答 案 ：
1 ． A
【 分 析 】 由 直 线 斜 率 与 方 向 向 量 的 关 系 算 出 斜 率 ， 然 后 可 得 .
3 ?
【 详 解 】 记 直 线 ? 的 倾 斜 角 为 ? ， 由 题 知 t a n ? = ， 又 ? ∈ ( 0 , ? ) ， 所 以 ? = ， 即 ? = 3 0 ° .
3 6
故 选 ： A
2 ． D
? ?
【 分 析 】 根 据 向 量 的 运 算 法 则 得 到 ? ? + ? ? = ， 带 入 化 简 得 到 答 案 .
【 详 解 】 在 长 方 体 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中 ， 易 知 ? ? = ? ? ，
1 1 1 1 1 1
所 以 ? ? + ? ? + ? ? = ? ? + ? ? + ? ? = ? ? + ? ? = ? ? .
1 1 1 1
故 选 ： D .
3 ． B
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 的 性 质 计 算 ．
【 详 解 】 因 为 { ? } 是 等 差 数 列 ， 所 以 ? + ? + ? ， ? + ? + ? ， ? + ? + ? 也 成 等 差 数 列 ，
7 5
? 1 4 2 8 3 6 9
所 以 ? + ? + ? = 2 ( ? + ? + ? ) ? ( ? + ? + ? ) = 2 × 2 1 ? 1 5 = 2 7 ．
3 6 9 2 5 8 1 4 7
故 选 ： B ．
4 ． C
2
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 设 抛 物 线 的 方 程 为 ? = ? ? ? ≠ 0 ， 进 而 待 定 系 数 求 解 即 可 .
2
【 详 解 】 解 ： 由 题 ， 设 抛 物 线 的 方 程 为 ? = ? ? ? ≠ 0 ，
因 为 ? ? 1 ， 2 在 抛 物 线 上 ，
1 1
2
所 以 1 = 2 ? ， 解 得 ? = ， 即 所 求 抛 物 线 方 程 为 ? = ?
2 2
故 选 ： C
5 ． C
【 分 析 】 建 立 等 比 数 列 的 模 型 ， 由 等 比 数 列 的 前 ? 项 和 公 式 求 解 ．
1
【 详 解 】 记 第 ? 天 走 的 路 程 为 ? 里 ， 则 { ? } 是 等 比 数 列 ， ? = ，
? ?
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
6
? 1 ? ( )
1
2
? = = 3 7 8 ， ? = 1 9 2 ．
? 1 1
1 ?
2
故 选 ： C ．
6 ． B
【 分 析 】 根 据 ? 的 取 值 分 类 讨 论 说 明 ．
2 2
? ?
【 详 解 】 ? = 1 时 方 程 化 为 ? = 0 ， 为 直 线 ， ? < 1 时 ， 方 程 化 为 + = 1 ， 为 椭 圆 ，
2 ? ? 1 ? ?
2 2
? ?
1 < ? < 2 时 ， 方 程 化 为 ? = 1 ， 为 双 曲 线 ，
2 ? ? ?? 1
而 ? ? 1 ≠ ? ? 2 ， 因 此 曲 线 不 可 能 是 圆 ．
故 选 ： B ．
7 ． A
【 分 析 】 结 合 等 差 数 列 的 性 质 求 得 公 比 ? ， 然 后 由 等 比 数 列 的 性 质 得 结 论 ．
3 ? ?
1
3
【 详 解 】 设 { ? } 的 公 比 为 ? ， 因 为 ， ， ? 成 等 差 数 列 ，
? 2
2 4
2
? 3 ? ? ? 3 ?
1
3 1 1 2
所 以 = + ? ， 即 = + ? ? ， ? ? 2 ? ? 3 = 0 ， ? = 3 或 ? = ? 1 （ 舍 去 ， 因 为 数 列
2 1
2 2 2 2
各 项 为 正 ） ．
? + ? + ?
2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2
3
所 以 = ? = 2 7 ．
? + ? + ?
2 0 1 9 2 0 1 8 2 0 1 7
故 选 ： A ．
8 ． A
【 分 析 】 先 表 示 出 渐 近 线 方 程 ， 设 出 ? 点 坐 标 ， 利 用 ? ? ⊥ ? ? ， 解 出 ? 点 坐 标 ， 再 按 照 面 积
1 2
公 式 求 解 即 可 .
? ?
【 详 解 】 由 题 意 知 ? ( ? 5 , 0 ) , ? ( 5 , 0 ) ， 双 曲 线 渐 近 线 方 程 为 ? = ± ， 不 妨 设 ? 在 ? = 上 ，
1 2
2 2
?+ 5 ?? 5
设 ? ( 2 ? , ?) ， 由 ? ? ⊥ ? ? 得 ? = ? 1 ，
1 2
2 ? 2 ?
1 1
解 得 ? = ± 1 ， △ ? ? ? 的 面 积 为 ? ? ? ? ? = × 2 5 × 1 = 5 .
1 2 1 2
2 2
故 选 ： A .
9 ． B C D
【 分 析 】 通 过 基 本 量 计 算 得 ? 和 d ， 可 判 断 A B C ； 用 裂 项 相 消 法 求 和 可 判 断 D .
1
? + 2 ? = 2
1
1 1 1
【 详 解 】 由 题 知 ， 9 ， 解 得 ? = 1 , ? = ， 则 ? = 1 + ( ? ? 1 ) = ( ? + 1 ) ， ? =
1 ? ?
2 2 2
3 ? + 3 ? =
1
2
2
? ( ? ? 1 ) 1 ? + 3 ?
? + × = ， 故 A 错 ， B C 正 确 ；
2 2 4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 1 4 4 4
记 的 前 n 项 和 为 ? ， 因 为 = = ? ，
?
? ? ( ? + 1 ) ( ? + 2 )
? ? ? + 1 ? + 2
? ? + 1 ? ? + 1
4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 ?
所 以 ? = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ? ? ? + ( ? ) = 2 ? =
?
2 3 3 4 4 5 ? + 1 ? + 2 ? + 2 ? + 2
4 4 1 1
所 以 ? = = ， 故 D 正 确 .
2 2
2 4 6
故 选 ： B C D
1 0 ． B D
【 分 析 】 点 斜 式 方 程 不 能 表 示 斜 率 不 存 在 的 直 线 判 断 A ； 直 接 令 ? = 0 求 解 直 线 在 ? 轴 上 的 截
距 判 断 B ； 结 合 关 于 直 线 ? ? ? = 0 对 称 的 点 的 关 系 求 解 判 断 C ； 结 合 直 线 过 定 点 ? ? 4 , 3 求
解 即 可 判 断 D .
【 详 解 】 解 ： 对 于 A 选 项 ， 点 斜 式 方 程 不 能 表 示 斜 率 不 存 在 的 直 线 ， 故 错 误 ；
对 于 B 选 项 ， 令 ? = 0 得 ? = ? 2 ， 所 以 直 线 ? = 4 ? ? 2 在 ? 轴 上 的 截 距 为 ? 2 ， 正 确 ；
对 于 C 选 项 ， 由 于 点 ? , ? 关 于 直 线 ? ? ? = 0 对 称 的 点 为 ? , ? ， 所 以 直 线 2 ? ? ? + 3 = 0 关
于 ? ? ? = 0 对 称 的 直 线 方 程 是 ? ? 2 ? ? 3 = 0 ， 故 错 误 ；
对 于 D 选 项 ， 由 于 直 线 ? ? + ? ? 1 ? + ? + 3 = ? ? + ? + 1 ? ? ? 3 = 0 ， 即 直 线 过 定 点
? ? 4 , 3 ， 所 以 点 ? 2 ， 1 到 直 线 的 ? ? + ? ? 1 ? + ? + 3 = 0 的 最 大 距 离 为 ?? = 2 1 0 ，
故 正 确 .
故 选 ： B D
1 1 ． A B C
【 分 析 】 根 据 曲 线 方 程 研 究 曲 线 的 对 称 性 得 图 形 C 关 于 ? , ? 轴 对 称 ， 也 关 于 原 点 对 称 ， 进 而
讨 论 图 形 C 在 第 一 象 限 中 的 周 长 与 面 积 ， 进 而 得 答 案 .
2 2
【 详 解 】 解 ： 对 于 A 选 项 ， 由 于 点 ? , ? , ? , ? ? 均 满 足 方 程 ? + ? = 2 ? + 2 ? ， 故 A 满
足 ；
2 2
对 于 B 选 项 ， 由 于 点 ? , ? , ? ? , ? ? 均 满 足 方 程 ? + ? = 2 ? + 2 ? ， 故 B 满 足 ；
2 2
对 于 C 选 项 ， 由 于 ? , ? , ? ? , ? 均 满 足 方 程 ? + ? = 2 ? + 2 ? ， 故 结 合 A , B 选 项 得 图 形 C
2 2 2
? , ? ? ≥ 0 , ? ≥ 0 ? + ? = 2 ? + 2 ? ? ? 1 +
关 于 轴 对 称 ， 也 关 于 原 点 对 称 ， 故 当 ， 曲 线 表 示 圆
2
? ? 1 = 2 在 第 一 象 限 的 部 分 ， 如 图 ， 故 在 第 一 象 限 中 的 轨 迹 的 周 长 为 2 ? ， 所 以 根 据 对
称 性 得 图 形 C 的 周 长 是 4 2 π ， 故 C 正 确 ；
1 1
对 于 D 选 项 ， 由 C 知 ， 图 形 C 在 第 一 象 限 中 的 面 积 为 × 2 × 2 + × ? × 2 = 2 + ? ， 所 以 图
2 2
形 C 的 面 积 是 4 π + 8 ， 故 错 误 ；想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
故 选 ： A B C
1 2 ． A C D
1 ? ?
′ ′
【 分 析 】 A 选 项 由 ? ? = ? ? 判 断 即 可 ； B 选 项 判 断 ? ? 和 之 间 的 关 系 ， C 选 项 ，
2 2
先 联 立 得 到 ? ? = 1 ， 再 结 合 条 件 解 出 ? , ? ， 即 可 解 出 ； D 选 项 借 助 基 本 不 等 式 进 行 判 断 .
1 2 1 2
【 详 解 】
′ ′ ′ ′
准 线 方 程 ? = ? 1 ， ? ( 1 , 0 ) ， 设 ? , ? , ? 在 准 线 上 的 射 影 为 ? , ? , ? ， ? ? = ? ? , ? ? =
1 1 1
′ ′ ′ ′
? ? , ? ? = ? ? + ? ? = ? ? + ? ? = ? ? ， 可 得 以 线 段 ? ? 为 直 径 的 圆
2 2 2
? = ? 1
与 直 线 相 切 ， 故 A 正 确 ；
? + ? 1 1
1 2
设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? ) ， 则 ? = ， ? ? = ? ? = ? + ? + 2 ， 设 ? ? 中 点
1 1 2 2 0 0 0 1 2
2 2 2
? + ?
1 2
+ ?
? + ? 2 ? + 3 ? ? ? 1
′ ′ 0 2 2 1 2 ′
为 ? , ? 在 ? 轴 上 的 射 影 为 ? ， 则 ? ? = = = ， 令 ? ? = ， 即 ? +
1
2 2 4 2 4
? + 3 ?
1 2
? + 2 = ， 解 得 ? = 1 ， 故 只 有 ? = 1 时 ， 以 线 段 ? ? 为 直 径 的 圆 与 ? 轴 相 切 ， B 错 误 ；
2 2 2
4
2
? ? ? = ?? + 1 ? ? 4 ?? ? 4 = 0 ? ?
设 直 线 的 方 程 为 ， 联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程 可 得 ， = ?
1 2
1 ? ? = 3 ? ? 1
1 2
4 , ? ? = 1 ， ? ? = ( 1 ? ? , ? ? ) , ? ? = ( ? ? 1 , ? ) ， 由 ? ? = 3 ? ? 得 ，
1 2 1 1 2 2
? ? = 3 ?
1 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? = 3
1
1 6
解 得 1 ， ? ? = ? + ? + 2 = ， 故 C 正 确 ；
1 2
3
? =
2
3
1 1
由 ? ? = 1 得 ? ? = ? + ? + 2 = ? + + 2 ≥ 2 ? ? + 2 = 4 ， 当 且 仅 当 ? = ? = 1
1 2 1 2 1 1 1 2
? ?
1 1
时 取 等 号 ， 故 D 正 确 .
故 选 ： A C D .
2 2
1 3 ． ( ? + 3 ) + ( ? ? 1 ) = 1 0
【 分 析 】 根 据 直 线 与 圆 相 切 ， 圆 心 到 直 线 距 离 等 于 半 径 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 半 径，
然 后 可 得 .
? 3 + 3 + 1 0
【 详 解 】 圆 心 ? 3 ， 1 到 直 线 ? + 3 ? + 1 0 = 0 的 距 离 ? = = 1 0 ， 又 圆 与 直 线 相 切 ，
1 + 9
2 2
所 以 ? = ? = 1 0 ， 所 以 圆 的 方 程 为 ( ? + 3 ) + ( ? ? 1 ) = 1 0 .
2 2
故 答 案 为 ： ( ? + 3 ) + ( ? ? 1 ) = 1 0
1
1 4 ． ? 3 ，
3
?? , ??
【 分 析 】 求 出 的 斜 率 ， 结 合 图 形 可 得 结 论 ．
? 2 ? 1 2 ? 1 1
【 详 解 】 ? = = ? 3 ， ? = = ， 而 0 < 1 < 3 ，
? ? ? ?
1 ? 0 3 ? 0 3
1
因 此 ? 3 ≤ ? ≤ ，
3
1
故 答 案 为 ： ? 3 , ．
3
5 1
1 5 ． 2 . 5 / / 2 1 9 5 0
2 2
【 分 析 】 通 过 分 析 ， 求 出 最 后 一 辆 车 的 出 发 时 间 ， 从 而 求 出 最 后 一 辆 车 的 行 驶 时 间 ， 这 1 0
辆 车 的 行 驶 路 程 可 以 看 作 等 差 数 列 ， 利 用 等 差 数 列 求 和 公 式 进 行 求 解 .
1 0
【 详 解 】 因 为 1 4 + × 9 = 1 5 . 5 ， 所 以 最 后 一 辆 车 出 发 时 间 为 1 5 时 3 0 分 ， 则 最 后 一 辆 车
6 0想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
行 驶 时 间 为 1 8 - 1 5 . 5 = 2 . 5 小 时 ， 第 一 辆 车 行 程 为 1 8 ? 1 4 × 6 0 = 2 4 0 k m ， 且 从 第 二 辆 车 开
1 0
始 ， 每 辆 车 都 比 前 一 辆 少 走 × 6 0 = 1 0 k m ， 这 1 0 辆 车 的 行 驶 路 程 可 以 看 作 首 项 为 2 4 0 ， 公
6 0
1 0 × 9
差 为 - 1 0 的 等 差 数 列 ， 则 1 0 辆 车 的 行 程 路 程 之 和 为 ? = 2 4 0 × 1 0 + × ? 1 0 = 1 9 5 0
1 0
2
（ k m ） .
故 答 案 为 ： 2 . 5 , 1 9 5 0
1 6 ． 4
′ ′
【 分 析 】 可 设 ? 为 第 一 象 限 的 点 ， ? ? = ? ， ? ? = ? ， 求 出 ? = ? + ? ， ? = ? ? ? ，
1 2
2 2 2
化 简 ? + ? ? 2 ?? c o s 6 0 ° = 2 ? 即 得 解 .
? ? ? = ? ? ? = ?
【 详 解 】 解 ： 可 设 为 第 一 象 限 的 点 ， ， ，
1 2
由 椭 圆 的 定 义 可 得 ? + ? = 2 ? ，
′
由 双 曲 线 的 定 义 可 得 ? ? ? = 2 ? ，
′ ′
可 得 ? = ? + ? ， ? = ? ? ? ，
2 2 2
2 ?
由 ∠ ? ? ? = 6 0 ° ， 可 得 ? + ? ? 2 ?? c o s 6 0 ° = ，
1 2
2 2
1
′ ′ ′ ′ 2
即 为 ? + ? + ? ? ? ? 2 ? + ? ? ? ? × = 4 ? ，
2
2
2 ′ 2
化 为 ? + 3 ? = 4 ? ，
1 3
则 + = 4 ．
2 2
? ?
1 2
故 答 案 为 ： 4 ．
1 7 ． ( 1 ) ? = 2 ? ? 5
?
2
? ? ? 4 ? ? 4
( 2 ) = ，
?
【 分 析 】 （ 1 ） 由 ? = ? 3 ， ? = 0 计 算 出 公 差 ， 再 写 出 通 项 公 式 即 可 .
4
1
（ 2 ） 直 接 用 公 式 写 出 ? ， 配 方 后 求 出 最 小 值 .
?
4 ? + ?
1 4
【 详 解 】 （ 1 ） 设 公 差 为 ? ， 由 ? = 0 得 = 0 ， 从 而 ? + ? = 0 ， 即 2 ? + 3 ? = 0
4 1 4 1
2
又 ? = ? 3 ， ∴ ? = 2 ∴ ? = ? + ( ? ? 1 ) ? = 2 ? ? 5
1 ? 1
（ 2 ） 由 （ 1 ） 的 结 论 ? = 2 ? ? 5 ，
?
? ( ? + ? ) ? ( ? 3 + 2 ? ? 5 )
1 ?
2
∴ ? = = = ? ? 4 ? ，
?
2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
∴ ? = ? ? 2 ? 4 ， ∴ 当 ? = 2 时 ， ? 取 得 最 小 值 ? 4 .
? ?
1 8 ． ( 1 ) 3
( 2 ) 实 数 ? 的 值 为 1 和 9
? 1 ?
【 分 析 】 （ 1 ） 由 直 线 垂 直 ， 斜 率 乘 积 为 可 得 值 ；
（ 2 ） 求 出 加 以 到 直 线 ? 的 距 离 ， 由 勾 股 定 理 求 弦 长 ， 从 而 可 得 参 数 值 ．
?
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 圆 ? : （ ? + 1 ) + ( ? ? 2 ) = 2 ， ∴ ? ( ? 1 ， 2 ） ， ∴ ? = ? 1 ， ? = ，
? ? ?
3
?
∵ ? ⊥ ? ? ， ∴ ? ( ? 1 ) = ? 1 ， ∴ ? = 3
3
（ 2 ） 圆 ? 半 径 为 2 ， 设 圆 心 ? 到 直 线 ? ? 的 距 离 为 ? ，
? ? 2 1 0 8
2 2 2
? = ? ? ( ) = 2 ? ( ) =
则
2 1 0 5
? ? ? 6 + 3 ? + 3 ? + 3 8
又 由 点 到 直 线 距 离 公 式 得 ： ? = = ∴ =
2 2 2
5
? + 9 ? + 9 ? + 9
2
? ? 1 0 ? + 9 = 0 ? = 1 ? = 9
化 简 得 ： ， 解 得 ： 或
所 以 实 数 ? 的 值 为 1 和 9 .
1 9 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
5 6 1
( 2 )
3 3
【 分 析 】 （ 1 ） 由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 证 明 ；
（ 2 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 用 空 间 向 量 法 求 异 面 直 线 所 成 的 角 ．
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： ∵ ? ? / / ? ? 且 ? ? = 3 ? ? ， 由 三 角 形 相 似 可 得 ， ∴ ? ? = 3 ? ? ， ∴ ? ? = 1 ，
?? ??
又 ∵ ? ? = 1 , ∴ = ， ∴ ? ? / / ? ? ，
1
? ? ? ?
1
又 ∵ ? ? ? 平 面 ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ∴ ? ? / / 平 面 ? ? ? ；
1 1
（ 2 ） 解 ： 以 ? 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 ? ? ， ? ? , ? ? 为 ? , ? , ? 轴 建 立 空 间 坐 标 系 ，
1
?
如 图 ． 则 ? ( 4 , 0 , 0 ) , ? ( 0 , 4 , 1 ) , ( 0 , 4 , 4 ) , ? ( 0 , 0 , 3 )
1
∴ ? ? = ( ? 4 , 4 , 1 ) , ? ? = ( 0 , 4 , 1 ）
1
设 异 面 直 线 ? ? , ? ? 所 成 角 为 ? ，
1
? ? ? ? ? 1 7 5 6 1
1
?
则 c o s ? = c o s ? ? , ? = = = ．
1
? ? ? ? 3 3 ? 1 7 3 3
1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 0 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
3 2 ? + 3
( 2 ) ? = ( 1 ? ) ， 证 明 见 解 析
?
? + 1
2 3
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 比 数 列 的 定 义 证 明 ；
（ 2 ） 由 错 位 相 减 法 求 得 和 ? ， 再 由 { ? } 的 单 调 性 可 证 得 不 等 式 成 立 ．
? ?
3 ? 1 2 ? + 1 2 1
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 由 ? = 得 = = +
? + 1
2 ? + 1 ? 3 ? 3 3 ?
? ? + 1 ? ?
1 1 1 1 1 3 1 2
∴ ? 1 = ? = ( ? 1 ) 又 ? = ， ? 1 =
1
? 3 ? 3 3 ? 5 ? 3
? + 1 ? ? 1
1 1 2 1
∴ 数 列 { ? 1 } 是 以 ? 1 = 为 首 项 ， 以 为 公 比 的 等 比 数 列 .
? ? 3 3
? 1
? ? 1
1 2 1 2 2 ?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 的 结 论 有 ? 1 = ? = ∴ ? =
? ? ?
? 3 3 3 3
?
2 4 6 2 （ ? ? 1 ) 2 ?
∴ ? = + + + ? ? ? + + ①
? 1 2 3 ? ? 1 ?
3 3 3 3 3
1 2 4 6 2 （ ? ? 1 ) 2 ?
? = + + + ? ? ? + + ②
? 2 3 4 ? ? + 1
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? + 3
① ? ② 得 ： ? = + + + ? ? ? + + ? = 1 ?
? 1 2 3 ? ? 1 ? ? + 1 ? + 1
3 3 3 3 3 3 3 3
3 2 ? + 3
∴ ? = ( 1 ? )
?
? + 1
2 3
3 2 ? + 3 3 3
∴ ? = ( 1 ? ) < ( 1 ? 0 ) =
?
? + 1
2 3 2 2
2 ? 2
又 ∵ ? = > 0 ， ∴ { ? } 为 递 增 数 列 ， ∴ ? ≥ ? =
? ?
? ? 1
3 3
2 3
∴ ≤ ? < .
?
3 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 1 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
1 3 3
( 2 )
1 9
【 分 析 】 （ 1 ） 先 证 ? ? ⊥ ? ? ， ?? ⊥ ? ? ， 再 证 ? ? ⊥ 平 面 ?? ? 即 可 ；
（ 2 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 先 求 出 面 ?? ? 与 面 ?? ? 的 法 向 量 ， 再 计 算 夹 角 余 弦 值 即 可 .
【 详 解 】 （ 1 ）
取 ? ? 中 点 ? ， 连 接 ? ? ， 则 四 边 形 ? ? ? ? 为 平 行 四 边 形 ，
1
∴ ? ? = ? ? = ? ? ， ∴ △ ? ? ? 为 直 角 三 角 形 ， 且 ? ? ⊥ ? ? .
2
? ? ⊥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ ?? ⊥ ? ?
又 平 面 ， 平 面 ， .
又 ∵ ? ? ∩ ? ? = ? ， ∴ ? ? ⊥ 平 面 ?? ? .
°
（ 2 ） ∵ ∠ ? ? ? = 6 0 ， ? ? = ? ? ， ∴ △ ? ? ? 为 等 边 三 角 形 ， 取 ? ? 中 点 ? ， 连 接 ? ? ， 则 ? ? ⊥
? ? , ∴ ? ? ⊥ ? ? ， 以 ? 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 ? ? , ? ? , ? ? 为 ? , ? , ? 轴 建 立 空 间 坐 标 系 ， 如 图 ．
令 ? ? = 2 ， 则 ? ( 0 , 0 , 0 ) , ?( 0 , 0 , 4 ) , ? ( 3 , ? 1 , 0 ) , ? ( 3 , 3 , 0 ) , ? ( 0 , 4 , 0 ) ，
? ? = ( 3 , 3 , ? 4 ) , ? ? = ( 0 , 4 , 0 ) , ?? = ( 0 , 4 , ? 4 ）
? ? ? ? ? , ? ,
设 面 的 法 向 量 为 = ( ? ) ，
1 1 1
3 ? + 3 ? ? 4 ? = 0
? ? ?? = 0
1
1 1
则 由 得
4 ? = 0
? ? ? ? = 0
1
取 ? = 4 ， 则 ? = ( 4 , 0 , 3 )
1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
3 ? + 3 ? ? 4 ? = 0
? ? ?? = 0
2
2 2
设 面 ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ( ? , ? , ? ) ， 则 由 得
2 2 2
4 ? ? 4 ? = 0
? ? ?? = 0
2 2
取 ? = 3 ， 则 ? = ( 1 , 3 , 3 )
2
7 1 3 3
设 面 ? ? ? 与 面 ?? ? 的 夹 角 为 ? ， 则 c o s ? = c o s < ? , ? > = =
1 9 ? 7 1 9
1 3 3
?? ? ?? ?
所 以 面 与 面 的 夹 角 的 余 弦 值 为 .
1 9
2 2
? ?
2 2 ． ( 1 ) + = 1
9 2
( 2 ) 证 明 见 解 析 ， 定 点 ( ? 1 , ? 2 )
4 4
【 详 解 】 （ 1 ） 由 对 称 性 ? ( ? 1 , ) , ? ( 1 , ) 同 时 在 椭 圆 ? 上 或 同 时 不 在 椭 圆 ? 上 ， 从 而 ? ( ?
3 4 3
3 3
4 4
1 , ) , ? ( 1 , ) 在 椭 圆 ? 上 ， 因 此 ? ( 1 , 1 ) 不 在 椭 圆 ? 上 ， 故 ? ( 0 , 2 ) 在 椭 圆 ? 上 ，
4 1 2
3 3
4
2 2
将 ? ( 0 , 2 ) ， ? ( ? 1 , ) 代 入 椭 圆 ? 的 方 程 ， 解 得 ? = 2 , ? = 9 ，
2 3
3
2 2
? ?
所 以 椭 圆 ? 的 方 程 为 + = 1
9 2
（ 2 ） 当 直 线 ? 斜 率 存 在 时 ， 令 ? 方 程 为 ? = ?? + ? ( ? ≠ 2 ) ， ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? )
1 1 2 2
? = ?? + ?
2 2 2
由 得 （ 2 + 9 ? ) ? + 1 8 ?? ? + 9 ( ? ? 2 ) = 0
2 2
2 ? + 9 ? ? 1 8 = 0
2
? 1 8 ?? 9 ( ? ? 2 )
∴ ? + ? = ， ? ? ? =
1 2 1 2
2 2
2 + 9 ? 2 + 9 ?
? ? 2 ? ? 2 ?? + ( ? ? 2 ) ?? + ( ? ? 2 )
1 2 1 2
? + ? = + = +
? ? ? ?
2 2
? ? ? ?
1 2 1 2
( ? ? 2 ) ( ? + ? )
1 2
= 2 ? +
? ?
1 2
? 1 8 ?? ( ? ? 2 ) 1 8 2 ?( ? ? 2 ) 2 2 ?
= 2 ? + = =
2
9 ( ? ? 2 )
9 ( ? + 2 ) ( ? ? 2 ) ? + 2
2 2 ?
所 以 = 2 2 得 ? = ? ? 2
? + 2
∴ ? 方 程 为 ? = ?? + ? ? 2 = ?( ? + 1 ) ? 2 ， 过 定 点 （ ? 1 , ? 2 )
当 直 线 ? 斜 率 不 存 在 时 ， 令 ? 方 程 为 ? = ? ， ? ( ? , ? ) , ? ( ?, ? ? )
0 0
? ? ?
? 2 ? 2
0 0
由 ? + ? = 2 2 ， 即 + = 2 2 解 得 ? = ? 1
? ? ? ?
2 2
? ?
此 时 直 线 ? 方 程 为 ? = ? 1 ， 也 过 点 ( ? 1 , ? 2 )
综 上 ， 直 线 ? 过 定 点 ( ? 1 , ? 2 ) .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 主 城 区 七 校 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． A
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 前 ? 项 和 的 片 断 和 性 质 可 得 结 论 ．
【 详 解 】 由 等 差 数 列 的 性 质 ， 知 ? ， ? ? ? ， ? ? ? ，
1 0 2 0 1 0 3 0 2 0
… 成 等 差 数 列 ， 即 2 ? ? ? = ? ? ? + ? ， 所 以 ? = 3 × ? ? ? = 3 × 4 0 ?
2 0 1 0 3 0 2 0 1 0 3 0 2 0 1 0
1 0 = 9 0 ．
故 选 ： A ．
2 ． B
【 分 析 】 利 用 空 间 向 量 的 四 则 运 算 与 数 量 积 的 坐 标 表 示 即 可 求 解 .
【 详 解 】 ∵ ? + ? = ( ? 2 , ? 1 , 2 ) ， ? ? ? = ( 4 , ? 3 , ? 2 ) ， ∴ 两 式 相 加 得 2 ? = ( 2 , ? 4 , 0 ) ，
∴ ? = ( 1 , ? 2 , 0 ) ， ∴ ? = ? + ? ? ? = ( ? 3 , 1 , 2 ) ，
∴ ? ? ? = 1 × ( ? 3 ) + ( ? 2 ) × 1 + 0 × 2 = ? 5 ，
故 选 ： B ．
3 ． D
【 分 析 】 确 定 焦 点 ? 0 , 1 ， 再 利 用 两 点 间 距 离 公 式 计 算 得 到 答 案 .
1
2 2
【 详 解 】 抛 物 线 ? = ? ， 即 ? = 4 ? ， 焦 点 ? 0 , 1 ， ? ? 1 , 0 ， ? ? = 1 + 1 = 2 .
4
故 选 ： D
4 ． A
【 分 析 】 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 ? ， 连 接 ? ? , ? ? ， 可 知 ∠ ? ? ? = 9 0 ° ， 由 3 | ? ? | = | ? ? | ， 设
1 1 1 1
| ? ? | = ? , | ? ? | = 3 ? | ? ? | = 2 ? + ? , | ? ? | = 2 ? + 3 ?
， 再 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 ， 然 后 利 用
1 1
勾 股 定 理 列 方 程 可 求 得 ? = ? ， 从 而 可 求 出 ? , ? 的 关 系 ， 进 而 可 求 出 离 心 率
【 详 解 】 解 ： 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 ? ， 连 接 ? ? , ? ? ， 可 知 ∠ ? ? ? = 9 0 ° ，
1 1 1 1
2 2
设 | ? ? | = ?, | ? ? | = 3 ? ， | ? ? | = 2 ? + ?, | ? ? | = 2 ? + 3 ?, ( 2 ? + ?) + ( 4 ?) = ( 2 ? +
1 1
2
3 ? ) ，
1 0
2 2 2
? = ? , ( 3 ? ) + ? = 4 ? , ? =
解 得 .
2
故 选 ： A .
5 ． A
2
? ? ? ? = 6 ? ? ? ? 5 ? + 6 = 0 ? > ?
【 解 析 】 ? = ? ， 可 得 与 为 方 程 的 两 个 根 ， 又 ，
7 1 4 4 1 7 4 1 7 ? ? + 1
解 得 ? ， ? ， 再 利 用 通 项 公 式 即 可 得 出 .
4 1 7想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 ∵ 等 比 数 列 ? 为 递 减 数 列 ， ? ? ? = 6 ， ? + ? = 5 ，
? 7 1 4 4 1 7
2
∴ ? 与 ? 为 方 程 ? ? 5 ? + 6 = 0 的 两 个 根 ，
4 1 7
解 得 ? = 2 ， ? = 3 或 ? = 3 ， ? = 2 ，
4 1 7 4 1 7
∵ ? > ? ， ∴ ? = 3 ， ? = 2 ，
? ? + 1 4 1 7
? 2
1 7
1 3
∴ ? = = ，
? 3
4
? 1 3
5
则 = = ，
1 3
? ? 2
1 8
故 选 : A .
6 ． B
【 分 析 】 将 ? ? ? ? 旋 转 至 与 ? ? ? ? 共 面 ， 连 结 ? ? ， 则 它 与 ? ? 的 交 点 ? ， 即 为 使 ? ? + ? ? 取
最 小 值 的 点 ， 然 后 在 ? ? ? ? 中 利 用 余 弦 定 理 求 出 ? ? 的 值 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ?
【 详 解 】 如 图 ， 将 旋 转 至 与 共 面 ， 连 结 ， 则 它 与 的 交 点 ， 即 为 使
取 最 小 值 的 点 ．
3 1
°
易 知 ? ? = ? ? = , ? ? = 1 , ? ? = , ∠ ? ? ? = 9 0 ，
2
2
2 2 2
? ? + ? ? ? ? ? 1
在 ? ? ? ? 中 由 余 弦 定 理 得 c o s ∠ ? ? ? = = ，
2 ? ? ? ?? 3
2 2
从 而 由 平 方 关 系 得 s i n ∠ ? ? ? = ，
3
在 ? ? ? ? 中 由 余 弦 定 理 得
3 1 3 1 2 2 6
2 2 2 ° 2 2
? ? = ? ? + ? ? ? 2 ? ? ? ? ? c o s ( 9 0 + ∠ ? ? ? ) = ( ) + ( ) ? 2 ? ? ( ? ) = 1 + ，
2 2 2 2 3 3
6
? ? = 1 +
所 以 ．
3
【 点 晴 】 本 题 考 查 空 间 求 线 段 和 差 的 最 值 问 题 ， 一 般 转 化 到 同 一 个 平 面 上 处 理 ， 结 合 三 角 形
的 正 弦 、 余 弦 定 理 求 解 ， 考 查 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 ， 属 于 中 等 题.
7 ． C
【 分 析 】 ? 表 示 第 n 行 中 的 黑 圈 个 数 ， 设 ? 表 示 第 n 行 中 的 白 圈 个 数 ， 由 题 意 可 得 ? =
? ? ? + 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 ? + ? ， ? = ? + ? ， 根 据 初 始 值 ， 由 此 递 推 即 可 求 得 结 果 ．
? ? ? + 1 ? ?
【 详 解 】 已 知 ? 表 示 第 n 行 中 的 黑 圈 个 数 ， 设 ? 表 示 第 n 行 中 的 白 圈 个 数 ，
? ?
则 由 于 每 个 白 圈 产 生 下 一 行 的 一 个 白 圈 和 一 个 黑 圈 ， 一 个 黑 圈 产 生 下 一 行 的 一 个 白 圈 和 2
个 黑 圈 ，
? = 2 ? + ? ? ? + ?
所 以 ， = ，
? + 1 ? ? ? + 1 ? ?
又 因 为 ? = 0 ， ? = 1 ，
1 1
所 以 ? = 1 ， ? = 1 ；
2 2
? = 2 × 1 + 1 = 3 ， ? = 1 + 1 = 2 ；
3 3
? = 2 × 3 + 2 = 8 ， ? = 3 + 2 = 5 ；
4 4
? = 2 × 8 + 5 = 2 1 ? = 8 + 5 = 1 3
， ；
5 5
? = 2 × 2 1 + 1 3 = 5 5 ， ? = 2 1 + 1 3 = 3 4 ；
6 6
? = 2 × 5 5 + 3 4 = 1 4 4 ．
7
故 选 ： C .
8 ． C
?
0
【 分 析 】 设 ? ? , ? ， 利 用 点 差 法 可 得 × ? = ? 2 ， 判 断 A 正 确 ；
0 0
?
0
4 5
? ?
结 合 弦 长 的 求 解 方 法 求 出 = ， 判 断 B 错 误 ；
3
1 2
利 用 点 差 法 的 结 论 可 以 求 出 ? ? , ， 判 断 C 正 确 ；
3 3
利 用 点 差 法 的 结 论 可 以 求 出 ? = ? 2 ， 进 而 判 断 D 错 误 .
? ?
2 2 2 2
? ? ? ?
1 1 2 2
? , ? ? , ? , ? , ? + = 1 + = 1
【 详 解 】 不 妨 设 坐 标 为 ， 则 ， 两 式 作 差 可 得 ：
1 1 2 2
2 4 2 4
? + ? ? ? ? ?
1 2 1 2 0
? ? , ?
× = ? 2 ， 设 ， 则 × ? = ? 2 .
0 0
? + ? ? ? ? ?
1 2 1 2 0
?
0
对 A ： ? × ? = ? × = ? 2 ， 故 直 线 ? ? , ? ? 不 垂 直 ， 则 A 错 误 ；
? ? ??
?
0
2 2
对 B ： 若 直 线 方 程 为 ? = 2 ? + 2 ， 联 立 椭 圆 方 程 2 ? + ? = 4 ，
4 2
2
可 得 ： 6 ? + 8 ? = 0 ， 解 得 ? = 0 , ? = ? ， 故 ? = 2 , ? = ? ，
1 2
1 2
3 3
5
1 6 6 4 4
则 ? ? = + = ， 故 B 错 误 ；
9 9 3
?
0
对 C ： 若 直 线 方 程 为 y = x + 1 ， 故 可 得 × 1 = ? 2 ， 即 ? = ? 2 ? ， 又 ? = ? + 1 ，
0 0 0 0
?
0
1 2 1 2
解 得 ? = ? , ? = ， 即 ? ? , ， 故 C 正 确 ；
0 0
3 3 3 3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
对 D ： 若 点 M 坐 标 为 1 , 1 , 则 × ? = ? 2 ， 则 ? = ? 2 ，
? ?
1
又 ? ? 过 点 1 , 1 ， 则 直 线 ? ? 的 方 程 为 ? ? 1 = ? 2 ? ? 1 ， 即 2 ? + ? ? 3 = 0 ， 故 D 错 误 .
故 选 ： C .
9 ． A C D
【 分 析 】 根 据 直 线 与 圆 的 相 关 知 识 对 各 选 项 逐 一 判 断 即 可.
【 详 解 】 对 于 A ， 直 线 ? : ?? ? ? ? ? + 1 = 0 ， 即 ? ? ? 1 ? ? + 1 = 0 ，
? ? 1 = 0 ? = 1
令 ， 得 ， 即 直 线 ? 过 定 点 1 ， 1 ， 故 A 正 确 ；
1 ? ? = 0 ? = 1
2 2 2 2
对 于 B ， 圆 ? : ? + ? ? 4 ? = 0 ， 即 ? + ? ? 2 = 4 ， 圆 心 坐 标 为 0 ， 2 ， 故 B 错 误 ；
2 2
对 于 C ， 因 为 1 + 1 ? 2 = 2 ＜ 4 ， 所 以 直 线 ? 所 过 定 点 1 ， 1 在 圆 的 内 部 ， 不 妨 设 直 线 ? 过
定 点 为 ? 1 ， 1 ，
? ? ? ?
当 直 线 与 圆 的 相 交 弦 的 最 小 时 ， 与 相 交 弦 垂 直 ，
2 2 2 2
又 因 为 ? ? = 1 ? 0 + 1 ? 2 = 2 ， 所 以 相 交 弦 的 最 小 为 2 ? ? ? ? =
2
2
2 2 ? 2 = 2 2 ， 故 C 正 确 ；
对 于 D ， 直 线 ? 与 圆 ? 的 相 交 弦 的 最 大 值 为 圆 ? 直 径 4 ， 故 D 正 确 .
故 选 ： A C D
1 0 ． C D
【 分 析 】 利 用 椭 圆 、 双 曲 线 的 几 何 性 质 逐 项 判 断 可 得 出 合 适 的 选 项.
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， 椭 圆 ? 的 长 轴 长 为 2 ? = 8 ， 短 轴 长 为 2 ? = 6 ， 焦 距 为 2 ? =
1 1 1 1
2 1 6 ? 9 = 2 7 ，
? 7
1
离 心 率 为 ? = = ，
1
? 4
1
当 9 < ? < 1 6 时 ， 1 6 ? ? > 0 ， 9 ? ? < 0 ，
双 曲 线 ? 的 焦 点 在 ? 轴 上 ， 其 实 轴 长 为 2 ? = 2 1 6 ? ? ， 虚 轴 长 为 2 ? = 2 ? ? 9 ，
2 2 2
? 7
2
焦 距 为 2 ? = 2 1 6 ? ? + ? ? 9 = 2 7 ， 离 心 率 为 ? = = .
2 2
? 1 6 ? ?
2
故 ? 的 长 轴 长 与 ? 的 实 轴 长 不 相 等 ， ? 的 短 轴 长 与 ? 的 虚 轴 长 不 相 等 ，
1 2 1 2
? 与 ? 的 焦 距 相 等 ， 离 心 率 不 相 等 ．
1 2
故 选 ： C D ．
1 1 ． A B D
? , ? { ? + 1 } { ? }
【 分 析 】 根 据 题 设 的 关 系 ， 可 判 断 是 否 为 等 比 数 列 ， 进 而 可 得 的 通 项 公 式 ，
? ? ? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
?
2
应 用 分 组 求 和 及 等 比 数 列 前 n 项 和 得 ? ， 再 写 出 { } 通 项 ， 应 用 裂 项 法 求 ? ， 即 可 判 断
? ?
? ? ?
? ? + 1
各 选 项 的 正 误 .
? ? ? ? = 2 ? + 1 ? ? ? = 1 { ? +
【 详 解 】 由 题 设 知 ： = ， 则 ( + 1 ) = 2 ( + 1 ) 且 ， 即
? + 1 ? + 1 ? ? ? + 1 ? 1 ?
1 } 是 等 比 数 列 ；
?
2 ( 1 ? 2 )
? ? + 1
∴ ? = 2 ? 1 ， 且 ? = ? + ? + . . . + ? = ? ? = 2 ? ? ? 2 ，
? ? 1 2 ?
1 ? 2
? ?
2 2 1 1
又 = = ? ，
? ? + 1 ? ? + 1
? ? ? ( 2 ? 1 ) ( 2 ? 1 ) 2 ? 1 2 ? 1
? ? + 1
1 1 1 1 1 1
∴ ? = 1 ? + ? + . . . + ? = 1 ? < 1 .
? ? ? + 1 ? + 1
3 3 7 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1
故 选 ： A B D .
1 2 ． A B D
【 分 析 】 ∠ ? ? ? 是 直 线 ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 ， 计 算 A 错 误 ， 平 面 ? ? ? ∥ 平 面 ? ? ? ，
1 1 1 1 1 1 1
B 错 误 ， ? = 6 ， 球 心 到 ? ? 的 距 离 为 1 ， 故 弦 长 为 2 5 ， C 正 确 ， 交 线 长 为 π ， D 错 误 ， 得
到 答 案 .
【 详 解 】 对 选 项 A ： ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 故 ∠ ? ? ? 是 直 线 ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 ，
1 1 1 1 1 1
2 5
s i n ∠ ? ? ? = = ， 错 误 ；
1
2 5 5
? ? ∥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∥ ? ? ? ? ?
对 选 项 B ： ， 平 面 ， 平 面 ， 故 平 面 ， 同 理
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∥ 平 面 ? ? ? ， ? ? ∩ ? ? = ? ， 故 平 面 ? ? ? ∥ 平 面 ? ? ? ， 错 误 ；
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 + 2 + 4
2
对 选 项 C ： 外 接 球 半 径 为 ? = = 6 ， 球 心 到 ? ? 的 距 离 为 1 ， 故 弦 长 为 2 ? ? 1 = 2 5 ，
2
正 确 ；
1
对 选 项 D ： 平 面 ? ? ? ? 到 球 心 的 距 离 为 2 ， 交 线 为 圆 的 部 分 ， 如 图 所 示 ? ? ， 圆 半 径 为 ? =
1 1
4
1
8 ? 4 = 2 ， 交 线 长 为 × 2 π ? = π ， 错 误 .
4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
故 选 ： A B D
2 2
1 3 ． ? ? 1 + ? ? 3 = 4 5
【 分 析 】 由 相 切 关 系 得 圆 的 半 径 ， 得 圆 的 标 准 方 程 .
1 + 2 × 3 + 8
【 详 解 】 圆 心 到 切 线 的 距 离 ? = = 3 5 ， 所 以 圆 的 半 径 ? = 3 5 ，
2 2
1 + 2
2 2
所 以 圆 的 标 准 方 程 为 ( ? ? 1 ) + ( ? ? 3 ) = 4 5 .
2 2
故 答 案 为 ： ( ? ? 1 ) + ( ? ? 3 ) = 4 5 .
1
1 4 ． ? , 3
4
1
【 分 析 】 计 算 ? = 3 ， ? = ? ， 得 到 范 围 .
? ? ? ?
4
5 ? 2 1 ? 2 1
? 2 , 5 ? 5 , 1 ? 1 , 2 ? = = 3 ? = = ?
【 详 解 】 ， ， ， 故 ， ，
? ? ? ?
2 ? 1 5 ? 1 4
1
? , ? 两 点 之 间 横 坐 标 不 包 含 1 ， 故 直 线 l 的 斜 率 的 取 值 范 围 是 ? , 3 .
4
1
故 答 案 为 ： ? , 3
4
1 5 ． 2 4 8
? 7 6
N ? ? + ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ?
【 分 析 】 由 条 件 ? ? ∈ ， 恒 有 = ， 得 出 = + ( ? 1 ) = + (
2 ? ? 2 5 6 1 2 8 6 4
7 5 6 7
1 ) + ( 2 ? 1 ) = ? + ( 2 ? 1 ) + ( 2 ? 1 ) + ( 2 ? 1 ) = ? ， 按 照 此 规 律 计 算 到 ? ， 再 分 组 求
3 2 1
和 即 可 得 出 答 案 ．
【 详 解 】 ∵ ? = ? + ? ? 1 ，
2 ? ?
7
∴ ? = ? + ( 1 2 8 ? 1 ) = ? + ( 2 ? 1 )
2 5 6
1 2 8 1 2 8
6 7
= ? + ( 2 ? 1 ) + ( 2 ? 1 )
6 4
5 6 7
= ? + ( 2 ? 1 ) + ( 2 ? 1 ) + ( 2 ? 1 )
3 2
= ?
0 1 7
= ? + ( 2 ? 1 ) + ( 2 ? 1 ) + ? + ( 2 ? 1 )
1
0 1 7
= 1 + ( 2 ? 1 ) + ( 2 ? 1 ) + ? + ( 2 ? 1 )
0 1 7
= 1 + ( 2 + 2 + ? + 2 ) ? 8
8
1 × ( 1 ? 2 )
= ? 7
1 ? 2
= 2 4 8 ，
故 答 案 为 ： 2 4 8 ．
1 6 ． 1 6 2 ? 8 3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 根 据 给 定 条 件 ， 利 用 椭 圆 、 双 曲 线 的 光 学 性 质 ， 结 合 它 们 的 定 义 列 式 计 算 作 答 .
2 2 2
? ? ?
2
【 详 解 】 椭 圆 + = 1 的 长 轴 长 为 4 2 ， 双 曲 线 ? ? = 1 的 实 轴 长 为 2 3 ，
8 4 3
由 椭 圆 的 光 学 性 质 知 | ? ? | + | ? ? | = 4 2 ? | ? ? | ， | ? ? | + | ? ? | = 4 2 ? | ? ? | ，
0 2 3 4 3 1 2 1 2 2 1 1
由 双 曲 线 的 光 学 性 质 知 | ? ? | = | ? ? | ? 2 3 ， | ? ? | = | ? ? | ? 2 3 ， 而 ? ， ? 重 合 ，
3 2 3 1 1 2 1 1 0 4
因 此 光 线 从 ? 到 ? 所 经 过 的 路 程 ：
0 4
| ? ? | + | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | = | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | + | ? ? |
0 1 1 2 2 3 3 4 0 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 4
= | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | + | ? ? | = ( 4 2 ? | ? ? | ) + ( | ? ? | ? 2 3 )
0 2 3 4 3 2 2 1 2 2 1 2 3 1 3 1
+ ( 4 2 ? | ? ? | ) + ( | ? ? | ? 2 3 ) = 8 2 ? 4 3 ， 光 线 从 ? 到 ? 所 经 过 的 路 径 重 复 光 线 从
1 1 1 1 4 8
? 到 ? 所 经 过 的 路 径 ，
0 4
所 以 光 线 从 ? 到 ? 所 经 过 的 路 程 为 2 [ 8 2 ? 4 3 ] = 1 6 2 ? 8 3 .
0 8
故 答 案 为 ： 1 6 2 ? 8 3
【 点 睛 】 关 键 点 睛 ： 涉 及 圆 锥 曲 线 上 的 点 与 焦 点 距 离 的 问 题， 认 真 分 析 题 意 ， 正 确 运 用 好 椭
圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 的 定 义 是 关 键.
1 7 ． ( 1 ) ? = 7 ? 2 ?
?
2
( 2 ) ? = ? ( ? ? 3 ) + 9 ， 9
?
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 ? = 0 得 到 2 ? + 5 ? = 0 ， 计 算 ? = ? 2 ， 得 到 通 项 公 式 .
6 1
2
? ( ? ? 3 ) + 9
（ 2 ） 确 定 = ? ， 根 据 二 次 函 数 的 性 质 得 到 答 案 .
?
6 ? + ?
1 6
【 详 解 】 （ 1 ） ? = 0 ， = 0 ， 从 而 ? + ? = 0 ， 即 2 ? + 5 ? = 0 ，
6 1 6 1
2
? = 5 ， 所 以 ? = ? 2 ， 故 ? = 5 ? 2 ( ? ? 1 ) = 7 ? 2 ? .
1 ?
? ? + ? ? ( 1 2 ? 2 ? )
1 ?
2 2
（ 2 ） ? = = = ? ? + 6 ? = ? ( ? ? 3 ) + 9 ，
?
2 2
? = 3 时 ? 有 最 大 值 9 .
?
1 8 ． ( 1 ) ? = ? 6
4
( 2 ) 3 4 , ? ? , 0 .
5
【 分 析 】 （ 1 ） 由 圆 的 一 般 方 程 写 出 圆 心 、 半 径 ， 运 用 两 直 线 垂 直 可 求 得 a 的 值 .
?? + ??
（ 2 ） 求 点 关 于 线 的 对 称 点 ， 进 而 求 得 的 最 小 值 ， 运 用 点 斜 式 写 出 直 线 方 程 ， 再
求 其 与 x 轴 交 点 .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
3 ? 2 1
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 圆 C ： ? ? 1 + ? ? 3 = 5 ， ∴ ? 1 , 3 ， ∴ ? = = ，
??
1 ? ( ? 2 ) 3
?
∵ ? ⊥ ? ? ， ? =
?
2
1 ?
∴ ? ? ? = ? = ? 1 ，
?? ?
3 2
? = ? 6
∴ .
′
（ 2 ） 点 ? ? 2 , 2 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 ? ? 2 , ? 2 ，
′ ′
2 2
则 ? ? + ?? = ?? + ?? ≥ ? ? = ( 1 + 2 ) + ( 3 + 2 ) = 3 4 ，
′
当 且 仅 当 P 、 C 、 ? 三 点 共 线 时 等 号 成 立 ，
5 5 5 4
? = ? + 2 = ? + 2 ? = ? +
此 时 ， ， 则 直 线 方 程 为 ： ， 即 ，
′
? ?
3 3 3 3
4 4
令 ? = 0 ， 得 ? = ? ， 所 以 ?( ? , 0 ) .
5 5
4
故 ? ? + ?? 的 最 小 值 为 3 4 ， 此 时 点 P 坐 标 为 ( ? , 0 ) .
5
1 9 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
1
( 2 ) .
5
′ ′ ′
【 分 析 】 （ 1 ） 取 B D 中 点 Q ， 连 接 M Q ， ? ? ， ? ? ， 确 定 四 边 形 ? ? ? ? 为 平 行 四 边 形 ， 得
′
到 ? ? / / ? ? ， 得 到 证 明 .
′
（ 2 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 计 算 各 点 坐 标 ， 得 到 ? ? = ? 2 , 0 , 1 ， ?? = 0 , 2 , 1 ， 根 据 向 量
夹 角 公 式 计 算 得 到 答 案 .
1
′ ′ ′
【 详 解 】 （ 1 ） 取 B D 中 点 Q ， 连 接 M Q ， ? ? ， ? ? ， 则 ? ? = ? ? ， ? ? / / ? ? / / ? ? ，
2
1 1
′ ′ ′ ′ ′
又 因 为 ? ? = ? ? = ? ? ， 所 以 ? ? / / ? ? 且 ? ? = ? ? ，
2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
′ ′
所 以 四 边 形 ? ? ? ? 为 平 行 四 边 形 ， 所 以 ? ? / / ? ? ，
′ ′ ′ ′
又 因 为 ? ? ? 平 面 ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ， 所 以 ? ? / / 平 面 ? ? ? .
''
（ 2 ） 以 D 为 原 点 ， D A 、 D C 、 ? ? 分 别 为 x 、 y 、 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
′
则 ? 2 , 2 , 0 ， ? 2 , 2 , 2 ， ? 2 , 0 , 1 ， ? 0 , 2 , 1 ，
′
所 以 ? ? = ? 2 , 0 , 1 ， ?? = 0 , 2 , 1 ，
′
设 直 线 B N 与 ?? 所 成 角 为 ? ，
′
? ? ? ? ?
1 1
所 以 c o s ? = = = ，
5 ? 5 5
′
? ? ? ? ?
1
′
所 以 异 面 直 线 B N 与 ?? 所 成 角 的 余 弦 值 为 .
5
?
2 0 ． ( 1 ) ? = 3
?
3
( 2 ) , + ∞ .
4
【 详 解 】 （ 1 ） 2 ? + 3 = 3 ? ， 2 ? + 3 = 3 ? ， 两 式 相 减 得 2 ? = 3 ? ? 3 ? ， ? = 3 ? ，
? ? ? + 1 ? + 1 ? + 1 ? + 1 ? ? + 1 ?
又 2 ? + 3 = 3 ? ， ? = ? ， ? = 3 ，
1 1 1 1 1
? ? 1 ?
数 列 ? 是 以 首 项 为 3 ， 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ， ? = 3 ? 3 = 3 .
? ?
1 1 1 1 1
（ 2 ） ? = l o g 3 = ， ? ? = = ? ，
? ? + 2
? ?
?
? ? ( ? + 2 ) 2 ? ? + 2
设 ? = ? ? + ? ? + ? ? ? + ? ? ，
4
? 1 3 2 ? ? + 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
? = 1 ? + ? + ? + ? ? ? + ? + ? ，
?
2 3 2 4 3 5 ? ? 1 ? + 1 ? ? + 2
1 1 1 1 1 1 3
? = 1 + ? ? < ? 1 + = ，
?
2 2 ? + 1 ? + 2 2 2 4
3 3
又 ? < ? 对 一 切 ? ∈ N 恒 成 立 ， ? ≥ ， M 的 取 值 范 围 为 , + ∞ .
?
4 4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 1 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
1 0
( 2 )
4
? ? ⊥ ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： 取 A B 中 点 O ， 连 接 O P ， 并 过 点 O 作 B C 的 平 行 线 O E ， 交 C D 于 E ， 则 ，
∵ ? ? = ?? = ? ? ， ∴ △ ?? ? 为 等 边 三 角 形 ， 又 ∵ O 为 A B 中 点 ， ∴ ?? ⊥ ? ? ，
又 ∵ 面 ?? ? ⊥ 面 A B C D ， 面 ?? ? ∩ 面 ? ? ? ? = ? ? ， ?? ? 面 ?? ? ，
∴ ? ? ⊥ 面 A B C D ， ∴ ?? ⊥ ? ? ，
以 O 为 原 点 ， O B ， O E ， O P 所 在 直 线 分 别 为 x ， y ， z 轴 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 ，
因 为 ? ? = ? ? = 2 .
则 ? 1 , 0 , 0 ， ? 0 , 0 , 3 ， ? ? 1 , 1 , 0 ， ? 1 , 2 , 0 ，
? ? = 1 , 2 , ? 3 ， ? ? = ? 2 , 1 . 0 ，
所 以 ? ? ? ? ? = 1 × ? 2 + 2 × 1 + ? 3 × 0 = 0 ，
? ? ⊥ ? ?
所 以 .
（ 2 ） ? ? = ? 1 , 1 , ? 3 ， ?? = 1 , 2 , ? 3 ，
设 平 面 P B M 的 一 个 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ， 则 有
? ? + ? ? 3 ? = 0
? ? ? ? = 0
， 即 ，
? 2 ? + ? = 0
? ? ? ? = 0
3 3
令 ? = 1 ， 则 ? = 2 ， ? = ， 所 以 ? = 1 , 2 , ，
3 3
设 直 线 P C 与 平 面 P B M 所 成 角 为 ? ， 则
3
1 × 1 + 2 × 2 + × ( ? 3 )
? ? ? ? 6
3
s i n ? = c o s ?? , ? = = = ，
? ? ? ? 1 4
1 + 4 + × 1 + 4 + 3
3
2
π 6 1 0
2
? ∈ [ 0 , ] c o s ? = 1 ? s i n ? = 1 ? =
因 为 ， 所 以 ，
2 4 4
1 0
所 以 直 线 P C 平 面 P B M 所 成 角 的 余 弦 值 为 .
4
2 2
? ?
2 2 ． ( 1 ) + = 1
4 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
6 3 3 0
( 2 ) ,
2 8
【 详 解 】 （ 1 ） ? 0 , 2 ， 故 ? = 2 ， ? = ? ? = 2 ， 故 ? = 2 ， ? = 2 ，
△ ? ? ?
1 2
2 2
? ?
椭 圆 的 方 程 为 + = 1 .
4 2
2 2
? ? ? + ?
0 0 0 0
（ 2 ） 设 ?( ? , ? ) ， 以 O P 为 直 径 的 圆 圆 心 为 , ， 半 径 为 ，
0 0
2 2 2
2 2
2 2
? ? ? + ?
0 0 0 0
圆 方 程 为 ： ? ? + ? ? = ， 整 理 得 到 ? ( ? ? ? ) + ? ( ? ? ? ) = 0 ，
0 0
2 2 4
2 2
圆 O ： ? + ? = 1 ， 两 式 相 减 得 到 C D ： ? ? + ? ? = 1 .
0 0
? ? + ? ? = 1
0 0
2 2 2
2
2 ? + ? ? ? 4 ? ? + 2 ? 4 ? = 0
由 ， 得 到 ，
2 2 0 0 0 0
? + 2 ? = 4
2 2 2 2
Δ = 1 6 ? ? 4 ( 2 ? + ? ) ( 2 ? 4 ? )
0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
= 8 ? ( 4 ? ? 1 + 2 ? ) = 8 ? 4 ? ? 1 + ( 4 ? ? ) = 2 4 ? ( ? + 1 ) > 0 ，
0 0 0 0 0 0 0 0
4 ?
0
? + ? =
1 2 2 2
2 ? + ?
0 0
设 ? ? , ? ， ? ? , ? ， 则 ，
1 1 2 2
2 ? 4 ?
0
? ? =
1 2 2 2
2 ? + ?
0 0
2 2 2 2 2
2 2
2 4 ? ( ? + 1 ) ? + ? 2 4 ( ? + 1 )
0 0 0 0 0
? ?
0 0
2
? ? = 1 + ? + ? ? 4 ? ? = 1 + = ，
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
? ? 2 ? + ? 2 ? + ?
0 0 0 0 0 0
2 2
| ? + ? ? 1 |
0 0
? = ，
? ? ? ?
2 2
+
? ?
0 0
2 2 2 2 2
? + ? 2 4 ? + 1 2 2 6 ? + 2 ? + 1
0 0 0 0 0
1 | ? + ? ? 1 |
0 0
?
= = ，
2
△ ? ? ? 2 2
2 2 ? + ? 3 ? + 4
2 2
0 0 0
? + ?
0 0
2
6 ? + 1 ?
2
设 ? = ? + 1 ， ? ∈ 1 , 5 ， ? = ，
0 △ ? ? ? 2
3 ? + 1
1
3 ? +
6 2 ? 6 2 1
?
? = ? + = + ? ，
△ ? ? ? 2 1
3 3 ? + 1 3 3 3 ?
3 ? +
?
1 1 6 ? 2 1 6
? = 3 ? + 在 1 , 5 上 递 增 ， 所 以 ? ∈ 4 , ， ? = + 在 4 , 上 递 增 ，
? 5 3 ? 5
1
3 ? +
2
?
故 ? = + 在 1 , 5 上 递 增 ，
1
3
3 ? +
?
1
3 ? +
6 2 ? 6 2 1
?
故 ? = ? + = + ? 在 1 , 5 上 递 增 ，
△ ? ? ? 1
2
3 3 ? + 1 3 3 3 ?
3 ? +
?
6 3 3 0
所 以 ? ∈ , .
△ ? ? ?
2 8想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 第 八 中 学 2 0 2 1 - 2 0 2 2 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． B
2
【 分 析 】 由 题 意 设 抛 物 线 方 程 为 y = 2 p x （ p ＞ 0 ） ， 结 合 焦 点 坐 标 求 得 p ， 则 答 案 可 求 ．
2
【 详 解 】 由 题 意 可 设 抛 物 线 方 程 为 y = 2 p x （ p ＞ 0 ） ，
P
由 焦 点 坐 标 为 （ 1 ， 0 ） ， 得 = 1 ， 即 p = 2 ．
2
2
∴ 抛 物 的 标 准 方 程 是 y = 4 x ．
故 选 B ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 抛 物 线 的 标 准 方 程 及 其 简 单 的 几 何 性 质 的 应 用 ， 其 中 解 答 中 熟 记 抛
物 线 的 几 何 性 质 是 解 答 的 关 键 ， 着 重 考 查 了 推 理 与 运 算 能 力 ， 属 于 基 础 题 ．
2 ． C
【 解 析 】 由 空 间 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 求 解 ．
【 详 解 】 由 已 知 ? ? ? = ? 1 ? 2 ? ? 2 = ? 1 3 ， 解 得 ? = 5 ．
故 选 ： C ．
3 ． D
?
【 分 析 】 利 用 直 线 方 程 求 出 直 线 的 斜 率 ， 通 过 斜 率 的 范 围 ， 得 到 倾 斜 角 的 正 切 值 的 范 围 ，
求 出 α 的 范 围 ．
1
【 详 解 】 设 直 线 的 斜 率 为 ? ， 倾 斜 角 为 ? ， 则 ? = ? ， ∴ ? 1 ≤ ? < 0 ， 即 ? 1 ≤ t a n ? < 0
2
? + 1
3 ?
∴ 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 , ? ．
4
故 选 ： D
【 点 睛 】 本 题 考 查 直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 ， 考 查 学 生 计 算 能 力 ， 属 于 基 础 题 ．
4 ． D
2 2
【 分 析 】 其 中 ? ≥ 0 ， 再 两 边 同 时 平 方 ? + ? = 1 ， 由 此 确 定 图 形 ．
2 2
【 详 解 】 根 据 题 意 ， ? ≥ 0 ， 再 两 边 同 时 平 方 ? + ? = 1 ，
由 此 确 定 图 形 为 半 圆 .
故 选 ： D想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 点 睛 】 几 何 图 像 中 要 注 意 与 方 程 式 是 一 一 对 应 ， 故 方 程 的 中 未 知 数 的 的 取 值 范 围 对 应 到 图
形 中 的 坐 标 的 取 值 范 围 ．
5 ． C
【 分 析 】 首 先 将 圆 心 坐 标 代 入 直 线 方 程 求 出 参 数 a ， 求 得 点 A 的 坐 标 ， 由 切 线 与 圆 的 位 置 关
系 构 造 直 角 三 角 形 从 而 求 得 | ? ? | .
2 2 2 2
【 详 解 】 圆 ? ： ? + ? ? 6 ? ? 2 ? + 1 = 0 即 ( ? ? 3 ) + ( ? ? 1 ) = 9 ， 圆 心 为 ( 3 , 1 ) ， 半 径 为
r = 3 ，
由 题 意 可 知 ? : ? + ? ? ? 1 = 0 过 圆 的 圆 心 ( 3 , 1 ) ，
则 3 + ? ? 1 = 0 ， 解 得 ? = ? 2 ， 点 A 的 坐 标 为 ( ? 1 , ? 2 ) ，
2 2
| ? ? | = 4 + 3 = 5 , | ? ? | = ? = 3 ， 切 点 为 B 则 ? ? ⊥ ? ? ，
2 2
| ? ? | = | ? ? | ? | ? ? | = 4 .
故 选 : C
【 点 睛 】 本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ， 属 于 基 础 题.
6 ． C
【 分 析 】 由 题 意 作 出 轴 截 面 ， 最 短 直 径 为 2 a ， 根 据 已 知 条 件 点 （ 2 a ， 2 a ） 在 双 曲 线 上 ， 代
入 双 曲 线 的 标 准 方 程 ， 结 合 a ， b ， c 的 关 系 可 求 得 离 心 率 e 的 值 ．
【 详 解 】 由 题 意 作 出 轴 截 面 如 图 ： M 点 是 双 曲 线 与 截 面 正 方 形 的 交 点 之 一 ，
2 2
? ?
设 双 曲 线 的 方 程 为 ： ? = 1 ， ( ? ＞ 0 ， ? ＞ 0 ) ．
2 2
? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
最 短 瓶 口 直 径 为 A A ＝ 2 a ， 则 由 已 知 可 得 M 是 双 曲 线 上 的 点 ， 且 M （ 2 a ， 2 a ） ．
1 2
2 2
( 2 ? ) ( 2 ? )
2 2 2 2
故 ? = 1 ， 整 理 得 4 a ＝ 3 b ＝ 3 （ c ﹣ a ） ，
2 2
? ?
2
? 7 2 1
2
? = = ? =
化 简 后 得 ， 解 得 ．
2
? 3 3
故 选 ： C ．
7 ． C
【 解 析 】 求 出 圆 的 圆 心 和 半 径 ， 比 较 圆 心 到 直 线 的 距 离 和 圆 的 半 径 的 关 系 即 可 得 解 .
2 2 2 2
【 详 解 】 圆 ? + 2 ? + ? + 4 ? ? 3 = 0 可 变 为 ? + 1 + ? + 2 = 8 ，
∴ 圆 心 为 ? 1 , ? 2 ， 半 径 为 2 2 ，
? 1 ? 2 + 1
∴ 圆 心 到 直 线 ? + ? + 1 = 0 的 距 离 ? = = 2 ，
2
∴ 圆 上 到 直 线 的 距 离 为 2 的 点 共 有 3 个 .
故 选 ： C .
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 圆 与 直 线 的 位 置 关 系 ， 考 查 了 学 生 合 理 转 化 的 能 力 ， 属 于 基 础 题.
8 ． B
2
?
【 分 析 】 根 据 △ ? ? ? 是 等 腰 三 角 形 且 为 锐 角 三 角 形 ， 得 到 ? ? < ? ? ， 即 < ? + ? ， 解 得
?
离 心 率 范 围 .
2 2 2 2 2
? ? ? ? ?
【 详 解 】 ? ? ?, 0 ， 当 ? = ? ? 时 ， ? = 1 ， ? = ± ， 不 妨 取 ? ? ? , ， ? ? ? , ? ，
2 2
? ? ? ? ?
π
△ ? ? ? 是 等 腰 三 角 形 且 为 锐 角 三 角 形 ， 则 ∠ ? ? ? < ， 即 ? ? < ? ? ，
4
2
?
2 2 2
< ? + ? ， 即 ? < 2 ? + ? ? ， ? ? ? ? 2 < 0 ， 解 得 ? 1 < ? < 2 ， 故 1 < ? < 2 .
?
故 选 ： B .
9 ． A D
【 分 析 】 由 题 意 利 用 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 的 定 义 ， 得 出 结 论 ；
【 详 解 】 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 条 直 线 都 有 倾 斜 角 ， 故 A 正 确 ；
9 0 ° t a n 9 0 °
若 直 线 的 倾 斜 角 为 ， 而 不 存 在 ， 所 以 斜 率 不 存 在 ， 故 B 错 ；想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
5 5 ?
若 一 条 直 线 的 斜 率 为 t a n ? ， 因 为 t a n ? = 1 ， 即 斜 率 为 1 ， 则 该 直 线 的 倾 斜 角 为 ， 故 C
4 4 4
错 ；
? ? ≠ 9 0 °
若 一 条 直 线 的 倾 斜 角 为 ， 则 该 直 线 的 斜 率 为 t a n ? ， 故 D 正 确 ；
故 选 ： A D .
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 斜 率 与 倾 斜 角 的 相 关 概 念 ， 属 于 基 础 题 型 .
1 0 ． A C D
【 分 析 】 由 2 ? + 3 ? = ? 得 ? = 0 ， 故 ? 正 确 ； 当 ? < 0 时 ， 根 据 二 次 函 数 知 识 可 知 ? 无
1 3 6 1 0 ?
? ? ? ? ?
最 小 值 ， 故 错 误 ； 根 据 等 差 数 列 的 性 质 计 算 可 知 = ， 故 正 确 ； 根 据 等 差 数 列 前 项
1 2 7
和 公 式 以 及 等 差 数 列 的 性 质 可 得 ? = 0 ， 故 ? 正 确 .
1 9
【 详 解 】 因 为 2 ? + 3 ? = ? ， 所 以 2 ? + 3 ? + 6 ? = 6 ? + 1 5 ? ， 所 以 ? + 9 ? = 0 ， 即 ? = 0 ，
1 3 6 1 1 1 1 1 0
故 ? 正 确 ；
? ( ? ? 1 ) ? ( ? ? 1 ) ?
2
当 ? < 0 时 ， ? = ? ? + ? = ? 9 ? ? + ? = ( ? ? 1 9 ? ) 无 最 小 值 ， 故 ? 错 误 ；
? 1
2 2 2
因 为 ? ? ? = ? + ? + ? + ? + ? = 5 ? = 0 ， 所 以 ? = ? ， 故 ? 正 确 ；
7 7
1 2 8 9 1 0 1 1 1 2 1 0 1 2
? + ? × 1 9
1 1 9
因 为 ? = = 1 9 ? = 0 ， 故 ? 正 确 .
1 9 1 0
2
故 选 ： A C D .
【 点 睛 】 本 题 考 查 了 等 差 数 列 的 通 项 公 式 、 前 ? 项 和 公 式 ， 考 查 了 等 差 数 列 的 性 质 ， 属 于 中
档 题 .
1 1 ． A C D
2 2
? + ? ? 4 ? > 0 1
【 分 析 】 根 据 圆 的 一 般 方 程 可 判 断 A ； 利 用 点 到 直 线 的 距 离 为 可 判 断 B ；
? = 4 时 很 容 易 判 断 C ； 直 线 ?? ? ? ? ? 1 = 0 恒 过 圆 ? 的 圆 心 ， 可 得 2 ? + ? ? 1 = 0 ? 2 ? +
? = 1 ， 利 用 基 本 不 等 式 可 判 断 D .
1
2 2
【 详 解 】 对 于 A ， 方 程 表 示 圆 可 得 ? ? + 4 ? 4 ? ? ? + 1 > 0 ， 解 得 ? > 0 ， 故 A 正 确 ；
4
2 2
对 于 B ， 若 ? = 4 ， 可 得 圆 方 程 ： ? ? 2 + ? + 1 = 4 ，
过 ? 3 , 4 的 直 线 与 圆 ? 相 交 所 得 弦 长 为 2 3 ，
则 圆 心 2 , ? 1 到 直 线 的 距 离 为 1 ， 当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时 ， ? = 3 ， 满 足 条 件 ， 故 B 不 正 确 ；
2 2
对 于 C ， ? = 4 ， ? ? 2 + ? + 1 = 4 ， 圆 心 2 , ? 1 ， 半 径 为 2 ， 故 C 正 确 ；
?? ? ? ? ? 1 = 0 ?
对 于 D ， 直 线 恒 过 圆 的 圆 心 ，
1 2 1 2 ? 4 ?
可 得 2 ? + ? ? 1 = 0 ? 2 ? + ? = 1 ， + = + 2 ? + ? = 4 + + ≥ 4 +
? ? ? ? ? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? 4 ?
2 ? = 8 ，
? ?
1 1
当 且 仅 当 ? = , ? = 时 取 等 号 ， 故 D 正 确 .
4 2
故 选 ： A C D .
1 2 ． B D
2 2
【 分 析 】 若 | ? ? | , | ? ? | , | ? ? | 为 等 比 数 列 ， 可 得 ? ? ? = 2 ? ， 则 求 出 离 心 率 可 判 断 A ；
1 1 1 2 2 2
由 勾 股 定 理 以 及 离 心 率 公 式 可 判 断 B ； 根 据 ? = ? 结 合 斜 率 公 式 可 判 断 C ； 由 四 边 形
? ? ? ?
2 1
2 2
? ? ? ? 的 内 切 圆 的 半 径 为 ? 可 得 ? ? = ? ? + ? ， 求 出 离 心 率 可 判 断 D .
1 2 2 1
2 2
? ?
【 详 解 】 解 ： ∵ ? : + = 1 ( ? > ? > 0 ) ，
2 2
? ?
∴ ? ? ? , 0 , ? ? , 0 , ? 0 , ? , ? 0 , ? ? ? ? ? , 0 , ? ?, 0
， ，
1 2 1 2 1 2
对 于 A ： | ? ? | , | ? ? | , | ? ? | 为 等 比 数 列 ，
1 1 1 2 2 2
2 2 2
则 | ? ? | ? | ? ? | = | ? ? | ， ∴ ? ? ? = 2 ?
1 1 2 2 1 2
1
∴ ? ? ? = 2 ? ， ∴ ? = 不 满 足 条 件 ， 故 ? 错 误 ；
3
2 2 2
对 于 B ： ∠ ? ? ? = 9 0 ° , ∴ ? ? = ? ? + ? ?
1 1 2 2 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2
∴ ? + ? = ? + ? + ? , ∴ ? + ? ? ? ? = 0
5 ? 5
? 1 ? 1
2
即 ∴ ? + ? ? 1 = 0 解 得 ? = 或 ? = （ 舍 去 ） 满 足 条 件 .
2 2
故 B 正 确 ；
对 于 C ： ?? ⊥ ? 轴 ， 且 ?? / / ? ? ，
1 2 1
2
?
2
? ?
? 2 2 2
∴ ? ? ? , ∵ ? = ? 即 = 解 得 ? = ? ∵ ? = ? + ? ，
? ? ? ?
2 1
? ? ? ? ?
? ? 2
∴ ? = = = 不 满 足 题 意 ， 故 C 错 误 ；
? 2 ? 2
对 于 D ： 四 边 形 ? ? ? ? 的 内 切 圆 过 焦 点 ? , ? ，
1 2 2 1 1 2
? ? ? ? ?
即 四 边 形 的 内 切 圆 的 半 径 为 ，
1 2 2 1
4 2 2 4
2 2
∴ ? ? = ? ? + ? ∴ ? ? 3 ? ? + ? = 0
3 + 5 3 ? 5
4 2 2 2
∴ ? ? 3 ? + 1 = 0 解 得 ? = （ 舍 去 ） 或 ? =
2 2
5 ? 1
∴ ? =
， 故 D 正 确 .
2
故 选 ： B D
1 3 ． - 4 ； 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 根 据 两 直 线 平 行 斜 率 相 等 求 解 参 数 即 可 ；
运 用 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 计 算 两 直 线 之 间 的 距 离 可 得 出 答 案.
【 详 解 】 解 ： 直 线 ? : 3 ? + 4 ? ? 8 = 0 和 ? : 3 ? ? ? ? + 2 = 0 ， ? / / ? ，
1 2 1 2
3 ? 3
∴ = ， 解 得 ? = ? 4 ；
? 4
∴ ? : 3 ? + 4 ? + 2 = 0
2
| 2 ? ( ? 8 ) |
两 直 线 ? 与 ? 间 的 距 离 是 ： ? = = 2 .
1 2
2 2
3 + 4
故 答 案 为 ： ? 4 ； 2 .
2 2
1 4 ． ( ? ? 2 ) + ( ? ? 4 ) = 2 0 ．
? ? ? + 2 = 0
【 分 析 】 由 ， 求 得 圆 心 ， 再 根 据 圆 过 原 点 ， 求 得 半 径 即 可 .
2 ? + ? ? 8 = 0
? ? ? + 2 = 0 ? = 2
【 详 解 】 由 ， 可 得 ， 即 圆 心 为 ( 2 , 4 ) ，
? = 4
2 ? + ? ? 8 = 0
又 圆 过 原 点 ，
2 2
? = ( 2 ? 0 ) + ( 4 ? 0 ) = 2 5
所 以 圆 的 半 径 ，
2 2
故 圆 的 标 准 方 程 为 ( ? ? 2 ) + ( ? ? 4 ) = 2 0 ．
2 2
故 答 案 为 ： ( ? ? 2 ) + ( ? ? 4 ) = 2 0
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 圆 的 方 程 的 求 法 ， 属 于 基 础 题.
1 1
1 5 ．
1 3
? ?
5 9
? = ? = 9
【 解 析 】 利 用 等 差 数 列 的 性 质 和 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 可 得 ， 再 令 即 可 求 解 .
? ?
5 9
?
【 详 解 】 由 等 差 数 列 的 性 质 和 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 可 得 ：
9
? + ?
1 9
? 2 ? ? + ? ? 2 × ( 9 + 2 ) 2 2 1 1
5 5 1 9 9
2
因 为 = = = = = = = ，
9
? 2 ? ? + ? ? 3 × 9 ? 1 2 6 1 3
? + ?
5 5 1 9 9
1 9
2
1 1
故 答 案 为 ：
1 3
? 2 ? ? + ?
5 5 1 9
= =
【 点 睛 】 关 键 点 点 睛 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 利 用 等 差 数 列 的 性 质 可 得 ， 再 转 化
? 2 ? ? + ?
5 5 1 9
? ?
为 前 项 和 公 式 的 形 式 ， 代 入 的 值 即 可 .
1 6 ． 8
【 分 析 】 设 三 棱 锥 C ﹣ C ′ P Q 的 高 为 h ， C Q ＝ x ， C P ＝ y ， 由 体 积 法 求 得? , ? , ? 的 关 系 ， 由 直
线 C C ’ 与 平 面 C ’ P Q 成 的 角 为 3 0 ° ， 得 到 x y ≥ 8 ， 再 由 V C C P Q ＝ V C C P Q ， 能 求 出 △ P Q C ''
﹣ ′ ′ ﹣
的 面 积 的 最 小 值 ．
【 详 解 】 解 ： 设 三 棱 锥 C ﹣ C ′ P Q 的 高 为 h ， C Q ＝ x ， C P ＝ y ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
′ ′ ′
2 2 2
由 长 方 体 性 质 知 ? ? , ? ? , ? ? 两 两 垂 直 ， 所 以 ?? = ? + ? ， ?? = ? + 1 2 ， ? ? =
2 2
2 2 2 2 2
′ ′
? ? + ? ? ? ? ? ? + 1 2 + ? + 1 2 ? ( ? + ? ) 1 2
2 ′
? + 1 2 ， c o s ∠ ? ? ? = = = ，
2 2
′ ′ 2 2
( ? + 1 2 ) ( ? + 1 2 )
2 ? ? ? ?? 2 ? + 1 2 ? ? + 1 2
2 2 2 2
? ? + 1 2 ? + 1 2 ?
′ ′
2
s i n ∠ ? ? ? = 1 ? c o s ∠ ?? ? = ，
2 2
( ? + 1 2 ) ( ? + 1 2 )
1 1
′ ′ ′
2 2 2 2
所 以 ? = ? ? ? ? ? s i n ∠ ?? ? = ? ? + 1 2 ? + 1 2 ? ，
′
△ ? ? ? 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
由 ? = ? 得 × ? ? + 1 2 ? + 1 2 ? ? ? = × ? ? ? ? 2 3 ，
′ ′
?? ? ? ? ? ? ?? ? 3 2 3 2
1 1 1 1
所 以 = + + ，
2 2 2
? ? ? 1 2
∵ 直 线 C C ’ 与 平 面 C ’ P Q 成 的 角 为 3 0 ° ，
∴ h ＝ 2 3 s i n 3 0 ° = 3 ，
1 1 1 1 1 2
∴ + = ， + ≥ ，
2 2 2 2
? ? 4 ? ? ? ?
∴ x y ≥ 8 ，
再 由 体 积 可 知 ： V C C P Q ＝ V C C P Q ，
﹣ ′ ′ ﹣
1 1
得 ? ? = × 2 3 ? ? ， S C P Q ＝ x y ，
△ ′
△ ? '' ? ?
3 6
∴ △ P Q C '' 的 面 积 的 最 小 值 是 8 ．
故 答 案 为 ： 8 ．
1 7 ． 答 案 见 解 析
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 题 设 条 件 可 得 关 于 基 本 量 的 方 程 组 ， 求 解 后 可 得 ? 的 通 项 公 式 .
?
（ 2 ） 利 用 公 式 法 可 求 数 列 ? 的 前 ? 项 和 .
?
【 详 解 】 解 ： 选 择 条 件 ① 和 条 件 ②
? = 1 ,
1
? ?
（ 1 ） 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， ∴
?
? + ? = 2 ? + 4 ? = 1 0 .
2 4 1
?
解 得 ： ? = 1 ， ? = 2 . ∴ ? = 1 + ? ? 1 × 2 = 2 ? ? 1 ， ? ∈ N .
1 ?
（ 2 ） 设 等 比 数 列 ? 的 公 比 为 ? ， ? > 0 ，
?
? = ? ? = 1 ,
2 1 1
? = ? = 2
∴ 解 得 ， .
2 1
4
2
? ? = ? ? = 4 .
2 4 1
1
?
1 ? 2
1
2 ? ? 1
设 数 列 ? 的 前 ? 项 和 为 ? ， ∴ ? = = 2 ? .
? ? ?
1 ? 2 2
选 择 条 件 ① 和 条 件 ③ ：
? = 1 ,
1
（ 1 ） 设 等 差 数 列 ? 的 公 差 为 ? ， ∴
?
? + ? = 2 ? + 4 ? = 1 0 .
2 4 1
? = 1 ? = 2 ? = 1 + ? ? 1 × 2 = 2 ? ? 1
解 得 ： ， . ∴ .
1 ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
（ 2 ） ? = ? = 9 ， 设 等 比 数 列 ? 的 公 比 为 ? ， ? > 0 .
4 5 ?
? = ? ? = 1 ,
1
2 1
∴ ， 解 得 ? = ， ? = 3 .
3 1
3
? = ? ? = 9 .
4 1
1
?
?
1 ? 3
3 ? 1
3
设 数 列 ? 的 前 ? 项 和 为 ? ， ∴ ? = = .
? ? ?
1 ? 3 6
选 择 条 件 ② 和 条 件 ③ ：
（ 1 ） 设 等 比 数 列 ? 的 公 比 为 ? ， ? > 0 ，
?
? = ? ? = 1 ,
2 1 1 1
3
? = ? = 2 ? = ? = × 2 = 4
∴ ， 解 得 ， ， .
2 1 5 4
4
2 2
? ? = ? ? = 4 .
2 4 1
3
设 等 差 数 列 ? 的 公 差 为 ? ， ∴ ? = ? + 4 ? = 4 ， 又 ? = 1 ， 故 ? = .
? 5 1 1
4
3 3 1
∴ ? = 1 + ? ? 1 × = ? + .
?
4 4 4
（ 2 ） 设 数 列 ? 的 前 ? 项 和 为 ? ，
? ?
1
?
1 ? 2
1
2 ? ? 1
由 （ 1 ） 可 知 ? = = 2 ? .
?
1 ? 2 2
【 点 睛 】 方 法 点 睛 ： 等 差 数 列 或 等 比 数 列 的 处 理 有 两 类 基 本 方 法： （ 1 ） 利 用 基 本 量 即 把 数 学
问 题 转 化 为 关 于 基 本 量 的 方 程 或 方 程 组， 再 运 用 基 本 量 解 决 与 数 列 相 关 的 问 题 ； （ 2 ） 利 用 数
列 的 性 质 求 解 即 通 过 观 察 下 标 的 特 征 和 数 列 和 式 的 特 征 选 择 合 适 的 数 列 性 质 处 理 数 学 问 题．
2 2
1 8 ． （ 1 ） ? : ? ? 3 ? + 3 = 0 , ? : 3 ? + ? ? 1 1 = 0 ； （ 2 ） ? + 1 + ? ? 4 = 2 0 .
1 2
【 详 解 】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 根 据 两 点 式 即 可 求 出 直 线 l 的 方 程 ， 根 据 直 线 垂 直 的 关 系 即 可 求
1
l 的 方 程 ； （ 2 ） 先 求 出 C 点 坐 标 ， 通 过 三 角 形 的 长 度 关 系 知 道 三 角 形 是 以 A C 为 斜 边 长 的 直
2
角 三 角 形 ， 故 A C 的 中 点 即 为 外 心 ， A C 即 为 直 径 .
解 析 ：
( 1 ) ∵ 直 线 ? 经 过 点 ? ? 3 , 0 ， ? 3 , 2 ，
1
? ? 0 ?+ 3
∴ ? : = ? ? : ? ? 3 ? + 3 = 0 ，
1 1
2 ? 0 3 + 3
? 3 ? + ? + ? = 0 ? = ? 1 1 ? : 3 ? + ? ? 1 1 = 0
设 直 线 的 方 程 为 ， ∴ ， ∴ .
2 2
3 ? + ? ? 1 1 = 0 ? = 1
( 2 ) ? ， 即 ： ? 1 , 8 ， ∴ ? ? = 4 5 ， ? ? 的 中 点 为 ? 1 , 4 ，
? = 8
? = 8 ?
2
∴ R t △ ? ? ? 的 外 接 圆 的 圆 心 为 ? 1 , 4 ， 半 径 为 2 5 ， ∴ 外 接 圆 的 方 程 为 ： ? + 1 + ? ?
2
4 = 2 0
.
点 睛 ： 这 个 题 目 考 查 的 是 已 知 两 直 线 位 置 关 系 求 参 的 问 题 ， 还 考 查 了 三 角 形 外 接 圆 的 问 题 ． 对
于 三 角 形 为 外 接 圆 ， 圆 心 就 是 各 个 边 的 中 垂 线 的 交 点 ， 钝 角 三 角 形 外 心 在 三 角 形 外 侧 ， 锐 角
三 角 形 圆 心 在 三 角 形 内 部 ， 直 角 三 角 形 圆 心 在 直 角 三 角 形 斜 边 的 中 点 ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
1 9 ． （ 1 ） ? = 8 ? ； （ 2 ） 1 6 .
【 解 析 】 （ 1 ） 由 题 意 分 析 圆 心 ? 符 合 抛 物 线 定 义 ， 然 后 求 轨 迹 方 程 ；
（ 2 ） 直 接 联 立 方 程 组 ， 求 出 弦 长 .
【 详 解 】 解 ： （ 1 ） ∵ 圆 ? 过 点 ? ( 0 , 2 ) ， 且 与 直 线 ? : ? = ? 2 相 切
∴ ? ? | ? ? |
点 到 直 线 的 距 离 等 于
由 抛 物 线 定 义 可 知 点 ? 的 轨 迹 是 以 ? ( 0 , 2 ) 为 焦 点 、 以 ? : ? = ? 2 为 准 线 的 抛 物 线 ，
?
2
? ? = 2 ? ? ( ? > 0 ) = 2 ? = 4
依 题 意 ， 设 点 的 轨 迹 方 程 为 ， 则 ， 解 得 ，
2
2
? ? = 8 ?
所 以 ， 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 ．
（ 2 ） 依 题 意 可 知 直 线 ? ? : ? = ? + 2 ， 设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? )
1 1 2 2
? = ? + 2
2
联 立 ， 得 ? ? 8 ? ? 1 6 = 0 ， 则 ? + ? = 8 ， ? + ? = 1 2
1 2 1 2
2
? = 8 ?
? ? | ? ? | = ? + ? + ? = 1 2 + 4 = 1 6
所 以 ， 线 段 的 长 度 为 ．
1 2
【 点 睛 】 （ 1 ） 待 定 系 数 法 、 代 入 法 可 以 求 二 次 曲 线 的 标 准 方 程 ；
（ 2 ） “ 设 而 不 求 ” 是 一 种 在 解 析 几 何 中 常 见 的 解 题 方 法 ， 可 以 解 决 直 线 与 二 次 曲 线 相 交 的 问
题 .
3 3 6
2 0 ． （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） .
2 3 3
【 解 析 】 以 点 ? 为 坐 标 原 点 ， ? ? 、 ? ? 、 ? ? 所 在 直 线 分 别 为 ? 、 ? 、 ? 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
设 ? ? = 2 .
（ 1 ） 写 出 ?? 、 ? ? 的 坐 标 ， 利 用 空 间 向 量 法 计 算 出 直 线 ?? 与 ? ? 所 成 角 的 余 弦 值 ；
? ? ? ? ? ? ? ?
（ 2 ） 求 出 平 面 的 一 个 法 向 量 的 坐 标 ， 利 用 空 间 向 量 法 可 计 算 得 出 直 线 与 平 面 所
成 角 的 正 弦 值 ；
（ 3 ） 求 出 平 面 ?? ? 的 一 个 法 向 量 的 坐 标 ， 利 用 空 间 向 量 法 可 求 得 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 的 余 弦
值 .
【 详 解 】 ∵ ?? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 四 边 形 ? ? ? ? 为 正 方 形 ， 设 ? ? = 2 .
? ? ? ? ? ? ? ? ?
以 点 为 坐 标 原 点 ， 、 、 所 在 直 线 分 别 为 、 、 ? 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 下 图
所 示 ：想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
则 ? 0 , 0 , 0 、 ? 2 , 0 , 0 、 ? 2 , 2 , 0 、 ? 0 , 2 , 0 、 ? 0 , 0 , 2 、 ? 1 , 0 , 1 .
（ 1 ） ? ? = 0 , 2 , ? 2 ， ? ? = ? 1 , ? 2 , 1 ，
? ? ? ? ? ? 6 3
? ? ? ?
c o s < , > = = = ，
? ? ? ?? 2 2 × 6 2
3
所 以 ， 异 面 直 线 ?? 、 ? ? 所 成 角 的 余 弦 值 为 ；
2
? , ,
（ 2 ） 设 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 为 = ? ? ? ， ? ? = 2 , 2 , 0 ， ? ? = 1 , 0 , 1 ，
1 1 1
? = ? ?
? ? ? ? = 2 ? + 2 ? = 0
1 1
1 1
由 ， 可 得 ， 取 ? = 1 ， 可 得 ? = ? = ? 1 ， 则 ? = 1 , ? 1 , ?
1 1 1
? = ? ?
1 1
? ? ? ? = ? + ? = 0
1 1
1 ，
? ? ?? ? 2 3
∵ ? ? = ? 2 , 0 , 0 ， c o s < ? , ? ? > = = = ? ，
? ? ? ? 3 × 2 3
3
因 此 ， 直 线 ? ? 与 平 面 ? ? ? 所 成 角 的 正 弦 值 为 ；
3
（ 3 ） 设 平 面 ?? ? 的 一 个 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ， ? ? = 2 , 2 , 0 ， ? ? = 0 , 0 , 2 ，
2 2 2
? = ? ?
2 ? = 0
2 2
? ? ? ? = 0 2
由 ， 可 得 ， 得 ， 取 ? = 1 ， 则 ? = ? 1 ， ? = 0 ，
2 2 2
? = 0
2 ? + 2 ? = 0
2
? ? ? ? = 0 2 2
所 以 ， 平 面 ?? ? 的 一 个 法 向 量 为 ? = 1 , ? 1 , 0 ，
? ? ? 2 6
c o s < ? , ? > = = = ，
? ? ? 3 × 2 3
由 图 形 可 知 ， 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 为 锐 角 ，
6
因 此 ， 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 的 余 弦 值 为 .
3
【 点 睛 】 方 法 点 睛 ： 求 空 间 角 的 常 用 方 法 ：
（ 1 ） 定 义 法 ： 由 异 面 直 线 所 成 角 、 线 面 角 、 二 面 角 的 定 义 ， 结 合 图 形 ， 作 出 所 求 空 间 角 ，
再 结 合 题 中 条 件 ， 解 对 应 的 三 角 形 ， 即 可 求 出 结 果 ；
（ 2 ） 向 量 法 ： 建 立 适 当 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 通 过 计 算 向 量 的 夹 角 （ 两 直 线 的 方 向 向 量 、 直想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 、 两 平 面 的 法 向 量 ） 的 余 弦 值 ， 即 可 求 得 结 果.
2 1 ． （ 1 ） ? = 2 ? + 1 ； （ 2 ） 证 明 见 解 析 .
?
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 差 数 列 的 性 质 及 题 干 条 件 ， 可 求 得 ? , ? ， 代 入 公 式 ， 即 可 求 得 数 列 ?
1 ?
的 通 项 公 式 ；
? ?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 ， 利 用 裂 项 相 消 求 和 法 ， 即 可 求 得 ， 即 可 得 证 .
? ?
【 详 解 】 解 ： （ 1 ） 设 数 列 ? 的 公 差 为 ? ， 在 ? = 3 ? ? 2 中 ， 令 ? = 1 ， 得 ? = 3 ? ? 2 ，
? 3 ? ? 3 1
即 ? + 2 ? = 3 ? ? 2 ， 故 ? = ? + 1 ① .
1 1 1
由 ? ? ? = 4 ? 得 ? + ? = 4 ? ， 所 以 2 ? = 3 ? ② .
5 3 2 4 5 2 1
由 ① ② 解 得 ? = 3 ， ? = 2 .
1
? ? = 2 ? + 1
所 以 数 列 的 通 项 公 式 为 ： .
? ?
? ? + ? ? ( 3 + 2 ? + 1 )
1 ?
2
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 ? = = = ? + 2 ? ，
?
2 2
1 1 1 1 1
所 以 = = ? ，
2
? ? + 2 ? 2 ? ? + 2
?
1 1 1 1 1 1 1 1
故 ? = 1 ? + ? + ? + ? + ? ，
?
2 3 2 4 3 5 ? ? + 2
1 1 1 1 3 2 ? + 3
所 以 ? = 1 + ? ? = ? .
?
2 2 ? + 1 ? + 2 4 2 ( ? + 1 ) ( ? + 2 )
2 ? + 3 3
因 为 > 0 ， 所 以 ? < .
?
2 ( ? + 1 ) ( ? + 2 ) 4
【 点 睛 】 数 列 求 和 的 常 见 方 法 ：
（ 1 ） 倒 序 相 加 法 ： 如 果 一 个 数 列 { ? } 的 前 n 项 中 首 末 两 端 等 距 离 的 两 项 的 和 相 等 或 等 于 同
?
一 个 常 数 ， 那 么 求 这 个 数 列 的 前 n 项 和 可 以 用 倒 序 相 加 法 ；
（ 2 ） 错 位 相 减 法 ： 如 果 一 个 数 列 的 各 项 是 由 一 个 等 差 数 列 和 一 个 等 比 数 列 的 对 应 项 之 积 构
成 的 ， 那 么 这 个 数 列 的 前 n 项 和 可 以 用 错 位 相 减 法 来 求 ；
（ 3 ） 裂 项 相 消 法 ： 把 数 列 的 通 项 拆 成 两 项 之 差 ， 在 求 和 时 ， 中 间 的 一 些 项 可 相 互 抵 消 ， 从
而 求 得 其 和 ；
（ 4 ） 分 组 转 化 法 ： 一 个 数 列 的 通 项 公 式 是 由 若 干 个 等 差 数 列 或 等 比 数 列 或 可 求 和 的 数 列 组
成 ， 则 求 和 时 可 用 分 组 转 换 法 分 别 求 和 再 相 加 减 ；
?
（ 5 ） 并 项 求 和 法 ： 一 个 数 列 的 前 n 项 和 可 以 两 两 结 合 求 解 ， 则 称 之 为 并 项 求 和 ， 形 如 =
?
?
? 1 ? ? 类 型 ， 可 采 用 两 项 合 并 求 解 .
2 2
? ? 1 6 6
2 2 ． （ 1 ） + = 1 （ 2 ） [ 4 6 , ]
2 4 8 3
| ? ? | | ? ? | | ? ? | C ?
【 分 析 】 ( 1 ) 根 据 ， ， 成 等 比 数 列 ， 椭 圆 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 的 最 大 值 为
2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 6 + 4 ． 列 出 关 于 ? 、 ? 、 ? 的 方 程 组 ， 求 出 ? 、 ? 的 值 ， 即 可 得 出 椭 圆 ? 的 方 程 ； ( 2 ) 对 直
线 ? ? 和 ?? 分 两 种 情 况 讨 论 ： 一 种 是 两 条 直 线 与 坐 标 轴 垂 直 ， 可 求 出 两 条 弦 长 度 之 和 ； 二 是
当 两 条 直 线 斜 率 都 存 在 时 ， 设 直 线 ? ? 的 方 程 为 ? = ? ( ? ? 4 ) ， 将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 ，
列 出 韦 达 定 理 ， 利 用 弦 长 公 式 可 计 算 出 ? ? 的 长 度 的 表 达 式 ， 然 后 利 用 相 应 的 代 换 可 求 出 ??
.
的 长 度 表 达 式 ， 将 两 线 段 长 度 表 达 式 相 加 ， 利 用 函 数 思 想 可 求 出 两 条 弦 长 的 取 值 范 围 最 后
将 两 种 情 况 的 取 值 范 围 进 行 合 并 即 可 得 出 答 案 ．
? 6
2 2
2 2
【 详 解 】 ( 1 ) 易 知 | ? ? | = | ? ? | ? | ? ? | ， 得 ? = ? ? + ? ， 则 = ，
2
? 3
2 2 2
而 ? + ? = 2 6 + 4 ， 又 ? = ? + ? ， 得 ? = 2 6 ， ? = 2 2 ，
2 2
? ?
因 此 ， 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 + = 1 ；
2 4 8
( 2 ) ① 当 两 条 直 线 中 有 一 条 斜 率 为 0 时 ， 另 一 条 直 线 的 斜 率 不 存 在 ， 由 题 意 易 得 | ? ? | + | ?? | =
1 6 6
；
3
② 当 两 条 直 线 斜 率 都 存 在 且 不 为 0 时 ， 由 ( 1 ) 知 ? ( 4 , 0 ) ，
1
设 ? ( ? , ? ) 、 ? ( ? , ? ) ， 直 线 M N 的 方 程 为 ? = ?( ? ? 4 ) ， 则 直 线 P Q 的 方 程 为 ? = ? ( ? ? 4 ) ，
1 1 2 2
?
2 2 2 2
将 直 线 ? ? 方 程 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 得 ： ( 1 + 3 ? ) ? ? 2 4 ? ? + 4 8 ? ? 2 4 = 0 ，
2 2
2 4 ? 4 8 ? ? 2 4
显 然 △ > 0 ， ? + ? = ， ? ? = ，
1 2 2 1 2 2
3 ? + 1 3 ? + 1
2 2
4 6 ( ? + 1 ) 4 6 ( ? + 1 )
2 2
∴ | ? ? | = ( 1 + ? ) [ ( ? + ? ) ? 4 ? ? = ， 同 理 得 | ?? | = ，
1 2 1 2 2 2
3 ? + 1 ? + 3
2 2 2 2
4 6 ( ? + 1 ) 4 6 ( ? + 1 ) 1 6 6 ( ? + 1 )
所 以 ， | ? ? | + | ?? | = + = ，
2 2 2 2
( 3 + 1 ) ( + 3 )
3 ? + 1 ? + 3 ? ?
( 3 ? ? 2 ) ( ? + 2 ) 4 4
2 2 2
令 ? = ? + 1 > 1 ， 则 1 + 3 ? = 3 ? ? 2 ， ? + 3 = ? + 2 ， 设 ? ( ? ) = = ? + + 3 = ?
2 2
? ? ?
1 1
4 ( ? ) + 4 ，
? 2
1 1 6 6 1 6 6
∵ ? > 1 ， 所 以 ， 0 < < 1 ， 所 以 ， ? ( ? ) ∈ ( 3 , 4 ] ， 则 | ? ? | + | ?? | = ∈ [ 4 6 , ) ．
? ? ( ? ) 3
1 6 6
综 合 ① ② 可 知 ， | ? ? | + | ?? | 的 取 值 范 围 是 [ 4 6 , ] ．
3
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 待 定 系 数 法 求 椭 圆 方 程 及 圆 锥 曲 线 求 范 围 ， 属 于 难 题. 解 决 圆 锥 曲 线
中 的 范 围 问 题 一 般 有 两 种 方 法 ： 一 是 几 何 意 义 ， 特 别 是 用 圆 锥 曲 线 的 定 义 和 平 面 几 何 的 有 关
结 论 来 解 决 ， 非 常 巧 妙 ； 二 是 将 圆 锥 曲 线 中 范 围 问 题 转 化 为 函 数 问 题 ， 然 后 根 据 函 数 的 特 征
选 用 参 数 法 、 配 方 法 、 判 别 式 法 、 三 角 函 数 有 界 法 、 函 数 单 调 性 法 以 及 均 值 不 等 式 法 求 解.想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 南 开 中 学 校 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． D
? ?
′
【 分 析 】 对 ? ? = s i n ? ? s i n 求 导 ， 即 可 求 出 ? .
6 6
? ? 3
′ ′
【 详 解 】 ? ? = c o s ? ， 所 以 ? = c o s = .
6 6 2
故 选 ： D .
2 ． C
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 的 下 标 性 质 可 求 出 结 果 .
{ ? } ? + ? = 3 0
【 详 解 】 因 为 数 列 为 等 差 数 列 ， 且 ，
? 3 1 7
所 以 2 ? = 3 0 ， 即 ? = 1 5 ，
1 0 1 0
所 以 ? + ? + ? = 3 ? = 4 5 .
9 1 0 1 1 1 0
故 选 ： C
3 ． C
【 分 析 】 根 据 抛 物 线 的 定 义 ： 抛 物 线 上 一 点 到 焦 点 的 距 离 等 于 到 准 线 的 距 离 ， 即 可 求 解 .
【 详 解 】 根 据 题 意 作 图 如 下 ：
因 为 抛 物 线 上 纵 坐 标 为 2 的 点 到 焦 点 的 距 离 为 3 ，
又 抛 物 线 上 一 点 到 焦 点 的 距 离 等 于 其 到 准 线 的 距 离 ，
?
2 + = 3 ? = 2
所 以 ， 解 得 .
2
故 选 ： C
4 ． D
【 分 析 】 依 题 意 求 出 “ 宫? 徵? 商? 羽? 角 ” 这 5 个 音 阶 的 频 率 ， 根 据 等 比 数 列 的 定 义 可 得 答 案 .
5 5 2 5
【 详 解 】 设 “ 宫 ” 的 频 率 为 1 ， 则 “ 徵 ” 的 频 率 为 ， “ 商 ” 的 频 率 为 ， “ 羽 ” 的 频 率 为 ，
4 8 3 2
2 5
“ 角 ” 的 频 率 为 ，
6 4
5
所 以 “ 宫? 商? 角 ” 的 频 率 成 等 比 数 列 , 公 比 为 .
8想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
故 选 ： D
5 ． D
2 ? 2
′
【 分 析 】 由 函 数 单 调 递 增 ， 可 得 ? ? = 2 + ? ≤ 0 在 1 , 2 上 恒 成 立 ， 孤 立 参 数 ? ≥ 2 ? + ，
2
? ? ?
2
再 设? ? = 2 ? + ， 确 定? ? 的 单 调 性 求 最 值 ， 即 可 得 实 数 ? 的 取 值 范 围 .
?
2 2 ?
′
【 详 解 】 解 ： 函 数 ? ? = 2 ? ? ? ? l n ? 在 1 , 2 上 单 调 递 减 ， 则 ? ? = 2 + ? ≤ 0 在 1 , 2
2
? ? ?
上 恒 成 立 ，
2
2 2 2 2 ? ? 2
′
所 以 ? ≥ 2 ? + ， 在 1 , 2 上 恒 成 立 ， 设 函 数? ? = 2 ? + ， 则? ? = 2 ? = =
2 2
? ? ? ?
2 ? + 1 ?? 1
，
2
?
′
所 以? ? > 0 在 ? ∈ 1 , 2 上 恒 成 立 ， 所 以? ? 在 1 , 2 上 单 调 递 增 ， 所 以? ? < ? 2 = 5 ，
所 以 ? ≥ 5 ，
则 实 数 ? 的 取 值 范 围 是 5 , + ∞ .
故 选 ： D .
6 ． B
【 分 析 】 根 据 蒙 日 圆 的 定 义 ， 将 问 题 转 化 为 两 圆 有 交 点 的 问 题 ， 根 据 两 圆 关 系 即 可 求 解 .
2
?
2
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ： 与 椭 圆 + ? = 1 相 切 的 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 的 交 点 ? 的 轨 迹 为 圆 ? ：
3
2 2 2 2
? + ? = 4 ， 由 于 ? 在 圆 ? : ( ? ? ? ) + ( ? ? 3 ? ) = 4 ? ∈ R ， 故 两 圆 有 交 点 即 可 ，
2
2
? + 3 ?
故 两 圆 的 圆 心 距 为 ?? = = 2 ? ， 故 0 ≤ 2 ? ≤ 4 ? ? 2 ≤ ? ≤ 2 ，
故 选 ： B
7 ． D
【 分 析 】 令 ? = ? ? ? ， 由 题 意 可 证 得 数 列 ? 是 以 ? = ? ? ? = 3 为 首 项 ， 2 为 公 差
? ? + 1 ? ? 1 2 1
的 等 差 数 列 ， 即 可 求 出 数 列 ? 的 通 项 公 式 ， 再 由 裂 项 相 消 法 求 和 即 可 得 出 答 案.
?
【 详 解 】 因 为 对 于 ? ∈ N ? ≥ 2 都 有 ? = 2 ? ? ? + 2 ，
? + 1 ? ? ? 1
? ? ? ? ? ? ? = 2 ， 令 ? = ? ? ? ，
? + 1 ? ? ? ? 1 ? ? + 1 ?
? ? ? = 2 ? ≥ 2
所 以 ，
? ? ? 1
所 以 数 列 ? 是 以 ? = ? ? ? = 3 为 首 项 ， 2 为 公 差 的 等 差 数 列 .
? 1 2 1
所 以 ? = 3 + ? ? 1 ? 2 = 2 ? + 1 ，
?
所 以 ? ? ? = 2 ? + 1 ，
? + 1 ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
所 以 ? ? ? = 2 ? ? 1 ， ? ? ? = 2 ? ? 3 ， … … ，
? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2
? ? ? = 5 , ? ? ? = 3 ，
3 2 2 1
将 这 ? ? 1 项 累 加 ， 则 ? ? ? = 3 + 5 + 7 + ? + 2 ? ? 1 , ? ≥ 2 ，
? 1
? 1 + 2 ? ? 1
2
所 以 ? = 1 + 3 + 5 + 7 + ? + 2 ? ? 1 = = ? , ? ≥ 2 ，
?
2
1 1 1 1 1 1
则 = = = ? ? ≥ 2 ，
2
? ? 1 ? ? 1 ? + 1 ? ? 1 2 ? ? 1 ? + 1
?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所 以 + + + ? + = 1 ? + ? + ? + ? + ? = 1 ?
? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 2 3 3 5 5 7 2 0 2 1 2 0 2 3 2
2 4 6 2 0 2 2
1 1 0 1 1
= .
2 0 2 3 2 0 2 3
故 选 ： D .
8 ． A
? ( ?) π 1
【 分 析 】 设 ? ( ? ) = ， ? ∈ ( 0 , ) ， 根 据 已 知 条 件 ， 利 用 导 数 得 到 ? ( ? ) 为 增 函 数 ， 由 ? ( ) <
c o s ? 2 2
π π π π
? ( ) 可 推 出 A 正 确 ； 由 ? ( ) < ? ( ) 可 推 出 B 不 正 确 ； 由 ? ( ) < ? ( 1 ) 可 推 出 C 不 正 确 ；
6 6 4 4
π π
由 ? ( ) < ? ( ) 可 推 出 D 不 正 确 .
4 3
π
′
【 详 解 】 因 为 对 于 任 意 的 ? ∈ 0 , 有 ? ? c o s ? > ? ? ? s i n ? ? ． 又 ? ( ? ) ? ? ( ? ? ) = 0 ，
2
? s i n ? = s i n ( ? ? ) ，
′
所 以 ? ( ? ) c o s ? + ? ( ? ) s i n ? > 0 ，
′ ′
? ( ? ) π ? ( ?) c o s ?? ? ( ?) ( ? s i n ? ) ? ( ? ) c o s ? + ? ( ?) s i n ?
′
设 ? ( ? ) = ， ? ∈ ( 0 , ) ， 则 ? ( ? ) = = ，
2 2
c o s ? 2 c o s ? c o s ?
π
′ ′
? ∈ ( 0 , ) ? ( ? ) c o s ? + ? ( ? ) s i n ? > 0 ? ( ? ) > 0
因 为 当 时 ， ， 所 以 ，
2
π
所 以 ? ( ? ) 在 ( 0 , ) 上 为 增 函 数 ，
2
1 π
? ( ) ? ( )
1 π 1 π 3 1 π 1 3 1
2 6
因 为 < ， 所 以 ? ( ) < ? ( ) ， 所 以 < ， 所 以 ? ( ) < ? ( ) c o s ， 所 以 ? ? <
1
π
2 6 2 6 2 2 6 2 2 2
c o s
c o s
2
6
π
1
? ? c o s ， 故 A 正 确 ；
6 2
π π
? ( ) ? ( )
π π π π 2 π 3 π π
6 4
因 为 < ， 所 以 ? ( ) < ? ( ) ， 所 以 < ， 所 以 ? ( ) < ? ( ) ， 所 以 2 ? ( ? ) <
π π
6 4 6 4 2 6 2 4 6
c o s c o s
6 4
π
3 ? ( ? ) ， 故 B 不 正 确 ；
4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
π
? ( )
π π ? ( 1 ) π 2
4
因 为 < 1 ， 所 以 ? ( ) < ? ( 1 ) ， 所 以 < ， 所 以 c o s 1 ? ( ) < ? ( 1 ) ， 所 以
π
4 4 c o s 1 4 2
c o s
4
π
2 c o s 1 ? ( ) < ? ( ? 1 ) ， 故 C 不 正 确 ；
4
π π
? ( ) ? ( )
π π π π 1 π 2 π 2 π
3
4
因 为 < ， 所 以 ? ( ) < ? ( ) ， 所 以 < ， 所 以 ? ( ) < ? ( ) ， 所 以 ? ( ) <
π π
4 3 4 3 2 4 2 3 2 4
c o s c o s
4 3
π
? ( ? ) ， 故 D 不 正 确 ；
3
故 选 ： A
9 ． A D
1
【 分 析 】 证 明 数 列 的 周 期 ， 然 后 算 第 一 个 周 期 中 等 于 ? 的 项 .
3
1
【 详 解 】 ∵ ? = ? ? ∈ N
? + 1
? + 1
?
1 1 ? + 1 ? + 1
? ?
∴ ? = ? = ? = ? = ?
? + 2
1
? + 1 ? 1 + ? + 1 ?
? + 1 ? ?
? + 1
? + 1
?
1 1 ?
?
又 ? = ? = ? = ? = ?
? + 3 ? + 1 ?
?
? + 1 ? ? ? 1 + ?
? + 2 ? + 1 ? ?
?
?
∴ ? 是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列 .
?
1 1 1
Z
又 因 为 ? = 2 ， 所 以 ? = ? = ? ， 故 ? = ? 时 ? = 2 + 3 ? ? ∈
1 2 ?
? + 1 3 3
1
经 检 验 A D 都 符 合 .
故 选 ： A D
1 0 ． B C
【 分 析 】 根 据 导 数 与 原 函 数 关 系 解 决 .
【 详 解 】 从 导 函 数 图 像 可 以 看 出 函 数 ? ? 在 ? 2 , ? 1 , 2 , 4 上 为 单 调 减 函 数 ；
? ? 在 ? 1 , 2 , 4 , 5 上 为 增 函 数 ， 故 A 错 B 对 ， C 对 D 错 .
故 选 ： B C
1 1 ． A D
2 ?
6
【 分 析 】 由 ? < 0 , ? > 0 得 ? > 0 ， 再 由 ? = ? + ? = ? 1 2 可 判 断 A ； 由 ? = × 1 1 <
1 1 1 2 1 2 2 1 1 1
2
0 得 ? < 0 ， ? = ? + ? × 6 > 0 得 ? > 0 可 判 断 B ； 由 ? = ? 1 2 , ? < 0 , ? > 0 解 得 ?
6 1 2 6 7 7 2 6 7
? ? ?
? ? ?
的 范 围 可 判 断 C ； 根 据 已 知 1 ≤ ? ≤ 6 时 > 0 ， 7 ≤ ? ≤ 1 1 时 < 0 ， ? ≥ 1 2 时 > 0 ，
? ? ?
? ? ?
?
?
所 以 数 列 中 的 最 小 项 在 7 ≤ ? ≤ 1 1 之 间 ， 再 由 ? 、 ? 的 正 负 和 单 调 性 可 判 断 D .
? ?
?
?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 对 于 A ， 因 为 ? < 0 , ? > 0 ， 所 以 ? = ? + 1 1 ? > 0 ，
1 1 1 2 1 2 1
因 为 ? = ? + ? = ? 1 2 ， 所 以 ? + 1 1 ? = ? 1 2 ? ? + 1 1 ? = ? 1 2 + 1 0 ? > 0 ， 得 ? > 0 ，
2 1 1
故 数 列 ? 是 单 调 递 增 数 列 ， 所 以 选 项 A 正 确 ；
?
? + ? 2 ?
1 1 1 6
对 于 B ， 因 为 ? < 0 , ? > 0 ， 所 以 ? = × 1 1 = × 1 1 < 0 ， 可 得 ? < 0 ，
1 1 1 2 1 1 6
2 2
? + ?
1 1 2
? = × 1 2 = ? + ? × 6 > 0 ， 可 得 ? > 0 ，
1 2 6 7 7
2
?
由 数 列 是 单 调 递 增 数 列 前 6 项 都 是 负 的 且 和 最 小 ， 所 以 选 项 B 错 误 ；
?
? = ? + ? = ? 1 2
2 1
1 2
? + 5 ? < 0
对 于 C ， 由 ? = ? 1 2 , ? < 0 , ? > 0 得 ， 解 得 < ? < 3 ， 故 C 错 误 ；
1
2 6 7
5
? + 6 ? > 0
1
?
对 于 D ， ? ∈ ? ，
?
?
当 1 ≤ ? ≤ 6 时 ， ? < 0 ， ? < 0 ， 所 以 > 0 ，
? ?
?
?
?
?
7 ≤ ? ≤ 1 1 ? > 0 ? < 0 < 0
当 时 ， ， ， 所 以 ，
? ?
?
?
?
?
当 ? ≥ 1 2 时 ， ? > 0 ， ? > 0 ， 所 以 > 0 ，
? ?
?
?
?
?
所 以 数 列 中 的 最 小 项 在 7 ≤ ? ≤ 1 1 之 间 ，
?
?
1 ?
?
因 为 在 7 ≤ ? ≤ 1 1 时 ， ? > 0 且 逐 渐 增 大 但 逐 渐 减 小 ， ? < 0 且 逐 渐 增 大 ， 所 以 逐 渐 增
? ?
? ?
? ?
?
7
大 ， 故 最 小 ， 所 以 D 正 确 .
?
7
故 选 ： A D .
1 2 ． A B D
【 分 析 】 根 据 用 ? ? 替 换 ? ， ? 不 变 ， 得 方 程 不 变 ， 用 ? ? 替 换 ? ， ? 不 变 ， 得 方 程 不 变 ， 可 判 断
2 4
? ?
2 4
A 正 确 ； 根 据 曲 线 ? 的 范 围 ， 可 判 断 B 正 确 ； 先 得 到 椭 圆 + ? = 1 在 曲 线 ? : + ? = 1 内
4 1 6
( 除 四 个 交 点 外 ) ， 再 根 据 椭 圆 的 定 义 可 判 断 C 不 正 确 ； 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 、 三 角 换 元 和
三 角 函 数 知 识 求 出 最 大 值 ， 可 判 断 D 正 确 ；
4
?
4
【 详 解 】 当 ? = 4 , ? = 2 , ? = 1 时 ， 曲 线 ? ： + ? = 1 ，
1 6
4 4
? ?
4 4
对 于 A ， 用 ? ? 替 换 ? ， ? 不 变 ， 得 + ? ? = 1 ， 即 + ? = 1 ， 则 曲 线 ? 关 于 ? 轴 对 称 ； 用 ? ?
1 6 1 6
4 4
? ? ?
4 4
替 换 ? ， ? 不 变 ， 得 + ? = 1 ， 即 + ? = 1 ， 则 曲 线 ? 关 于 ? 轴 对 称 ， 故 A 正 确 ；
1 6 1 6
4
?
4
对 于 B ， 由 + ? = 1 ， 得 | ? | ≤ 2 ， | ? | ≤ 1 ， 所 以 曲 线 ? 在 由 直 线 ? = ± 2 和 ? = ± 1 所 围 成 的
1 6想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
矩 形 内 （ 除 曲 线 与 坐 标 轴 的 四 个 交 点 外） ， 所 以 曲 线 ? 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 小 于 该 矩 形
的 面 积 ， 该 矩 形 的 面 积 为 4 × 2 = 8 ， 故 B 正 确 ；
4 2
? ?
4 2
对 于 C ， 对 于 曲 线 ? : + ? = 1 和 椭 圆 + ? = 1 ，
1 6 4
4 2
? ?
4 2
设 点 ( ? , ? ) 在 + ? = 1 上 ， 点 ( ? , ? ) 在 + ? = 1 上 ，
1 2
1 6 4
4 2 2 2 2
? ? ? ? ?
4 4 2 2
因 为 ? ? ? = 1 ? ? ( 1 ? ) = ( 1 ? ) ( 1 + ) ? ( 1 ? )
1 2
1 6 4 4 4 4
2 2 2 2
? ? ? 1 ?
2
= ( 1 ? ) ( 1 + ? 1 + ) = ? ( 1 ? ) ≥ 0 ，
4 4 4 2 4
4 4
所 以 ? ≥ ? ， 所 以 | ? | ≥ | ? | ，
1 2
1 2
4 2
? ?
4 2
设 点 ( ? , ? ) 在 + ? = 1 上 ， 点 ( ? , ? ) 在 + ? = 1 上 ，
1 2
1 6 4
4 4 4 2 2 2 2 2
? ? ?
因 为 ? = 1 6 ( 1 ? ) ? 4 ( 1 ? ? ) = 1 6 ( 1 ? ? ) ( 1 + ? ) ? ( 1 ? ? )
1 2
2 2 2 2
= 1 6 ( 1 ? ? ) ? 2 ? = 3 2 ? ( 1 ? ? ) ≥ 0 ，
4 4
? ≥ ? | ? | ≥ | ? |
所 以 ， 所 以 ，
1 2 1 2
2
4
? ?
2 4
所 以 椭 圆 + ? = 1 在 曲 线 ? : + ? = 1 内 ( 除 四 个 交 点 外 ) ， 如 图 ：
4 1 6
2
?
2
设 直 线 ? ? ? + 3 = 0 交 椭 圆 + ? = 1 于 ? , ? 两 点 ， 交 ? 轴 于 ? ( ? 3 , 0 ) ，
4
2
?
2
易 知 ， ? , ? 为 椭 圆 + ? = 1 的 两 个 焦 点 ，
4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
由 椭 圆 的 定 义 可 知 ， | ? ? | + | ? ? | = 2 × 2 = 4 ， | ? ? | + | ? ? | = 2 × 2 = 4 ，
所 以 △ ? ? ? 的 周 长 为 8 ，
由 图 可 知 ， △ ?? ? 的 周 长 不 小 于 8 ， 故 C 不 正 确 ；
4
?
4
2 2
对 于 D ， 设 曲 线 ? : + ? = 1 上 的 点 ( ? , ? ) ， 则 该 点 到 原 点 ? 的 距 离 为 ? + ? ，
1 6
4 2
? ? π
4 2
因 为 + ? = 1 ， 所 以 设 = c o s ? ， ? = s i n ? ， ? ∈ [ 0 , ] ，
1 6 4 2
4 1 1
2 2
则 ? + ? = 4 c o s ? + s i n ? = 1 7 ( s i n ? ? + c o s ? ? ) = 1 7 s i n ( ? + ? ) ， 其 中 s i n ? = ，
1 7 1 7 1 7
4
c o s ? = ，
1 7
1
2 2
2 2
4
所 以 当 s i n ( ? + ? ) = 1 时 ， ? + ? 取 得 最 大 值 1 7 ， ? + ? 取 得 最 大 值 1 7 . 故 D 正 确 ；
故 选 ： A B D
1 1
1 3 ． / 5 . 5
2
【 分 析 】 由 函 数 的 图 像 可 得 ? 4 = 5 ， 以 及 直 线 ? 过 点 ( 0 , 3 ) 和 ( 4 , 5 ) ， 由 直 线 的 斜 率 公 式 可 得
′ ′
直 线 ? 的 斜 率 ?， 进 而 由 导 数 的 几 何 意 义 可 得? ( 4 ) 的 值 ， 将 求 得 的 ? 4 与 ? ( 4 ) 的 值 相 加 即
可 .
5 ? 3 1
【 详 解 】 由 函 数 的 图 像 可 得 ? 4 = 5 ， 直 线 ? 过 点 ( 0 , 3 ) 和 ( 4 , 5 ) ， 则 直 线 ? 的 斜 率 ? = = ，
4 ? 0 2
1
′
又 由 直 线 ? 是 曲 线 ? = ? ? 在 点 ( 4 , ? ( 4 ) ) 处 的 切 线 ， 则 ? ( 4 ) = ，
2
1 1 1
′
所 以 ? ( 4 ) + ? ( 4 ) = 5 + = ．
2 2
1 1
故 答 案 为 ：
2
2 0 2 3 2 0 2 3
2 ? 1 ? 1 + 2
1 4 ． /
【 分 析 】 由 ? = ? + 1 ， 利 用 ? 与 ? 的 关 系 即 可 解 出 .
? + 1 ? ? ?
【 详 解 】 解 ： 当 ? = 1 时 ， ? = ? + 1 = 2 ，
2 1
当 ? ≥ 2 时 ， 由 ? = ? + 1 ，
? + 1 ?
得 ? = ? + 1 ，
? ? ? 1
? = 2 ?
两 式 相 减 得 ，
? + 1 ?
又 ? = 2 ? ，
2 1
所 以 ? 是 以 1 为 首 项 ， 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ，
?
2 0 2 3
1 ? 2
2 0 2 3
所 以 ? = = 2 ? 1 .
2 0 2 3
1 ? 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 0 2 3
故 答 案 为 ： 2 ? 1
1 3
1 5 ．
3
2 ? ? ? 2 ? ?
【 分 析 】 根 据 直 线 ? 与 渐 近 线 方 程 联 立 可 得 ? = ， ? = ， 进 而 根 据 向 量 的 坐 标 关 系
? ?
2 ? ? ? 2 ? + ?
即 可 求 解 2 ? = 3 ? ， 进 而 可 求 离 心 率 .
?
【 详 解 】 有 题 意 可 知 ? ?, 0 ， 故 直 线 ? 方 程 为 ? = 2 ? ? ? ， 渐 近 线 ? ? , ? ?的 方 程 分 别 为 ? = ?
?
? = 2 ? ? ? ? = 2 ? ? ?
? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ?
和 ? = ? ? ， 联 立 ? ? = ， 因 此 ? = , 同 理 ? ? = ，
? ?
?
? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? + ?
? = ? ? = ? ?
? ?
? 2 ? ? 4 ? ? 2 ? ?
? = , 由 2 ?? = ? ? 得 ? 2 ? = ? , 即 = ， 化 简 得 2 ? = 3 ? ， 因 此 离 心 率 ? =
? ? ?
2 ? + ? 2 ? + ? 2 ? ? ?
2
2
? 2 1 3
1 + = 1 + = ，
2
3
? 3
1 3
故 答 案 为 ：
3
1 6 ． ? < e
2
?
【 分 析 】 根 据 “ 凹 函 数 ” 的 定 义 ， 化 为 ? < e ( + ? ? 2 ) ( ? > 0 ) 恒 成 立 ， 再 构 造 函 数 ? ( ? ) =
?
2
?
e ( + ? ? 2 ) ( ? > 0 ) ， ， 利 用 导 数 求 出 其 最 小 值 可 得 结 果 .
?
? ? ?
e e ? ? ? e ? 1 1 ?
′ ?
【 详 解 】 因 为 ? ? = ? ? ? ? l n ? ， 所 以 ? ( ? ) = ? ? + = e ( ? ) ? ? + ，
2 2
? ? ? ? ? ?
′
1 1 1 2 ? 2 2 1 ?
′ ? ? ?
所 以 ? ( ? ) = e ( ? ) + e ( ? + ) ? = e ? + ? ，
2 2 3 2 3 2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
e
因 为 ? ? = ? ? ? ? l n ? 在 区 间 0 , + ∞ 上 为 “ 凹 函 数 ” ，
?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
′
2 2 1 ? 2
′
? ?
所 以 ? ( ? ) = e ? + ? > 0 ( ? > 0 ) ， 所 以 ? < e ( + ? ? 2 ) ( ? > 0 ) ，
3 2 2
? ? ? ? ?
2
?
令 ? ( ? ) = e ( + ? ? 2 ) ( ? > 0 ) ，
?
? 2
2 2 2 2 e ( ? + 2 ) ( ? ? 1 )
′ ? ? ?
则 ? ( ? ) = e ( + ? ? 2 ) + e ( ? + 1 ) = e ? + + ? ? 1 = ，
2 2 2
? ? ? ? ?
′ ′
令 ? ( ? ) < 0 ， 得 0 < ? < 1 ， 令 ? ( ? ) > 0 , 得 ? > 1 ，
所 以 ? ( ? ) 在 ( 0 , 1 ) 上 为 减 函 数 ， 在 ( 1 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 ，
所 以 ? ( ? ) = ? ( 1 ) = e ，
m i n
? < e
所 以 .
故 答 案 为 ： ? < e
?
1 7 ． ( 1 ) ? = 2 ；
?
2 ?
( 2 ) .
? + 1
【 分 析 】 （ 1 ） 设 { ? } 的 公 比 为 ? ， 列 方 程 求 得 ? 后 可 得 通 项 公 式 ；
?
（ 2 ） 由 题 可 得 ? ， ? ， 然 后 利 用 裂 项 相 消 法 即 得 ．
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 设 { ? } 的 公 比 为 ? ( ? > 0 ) ，
?
? = 2 ? , 2 ? , ?
因 为 ， 且 成 等 差 数 列 ,
1 3 2 4
所 以 ? + ? = 4 ? = 4 ? + ? ，
3 4 2 1 2
2 3 2
所 以 2 ? + 2 ? = 4 ( 2 + 2 ? ) ， 即 ? 1 + ? = 4 ( 1 + ? ) ， 又 ? > 0 ，
所 以 ? = 2 ，
?
所 以 ? = 2 ；
?
? l o g ? = ?
（ 2 ） 由 题 可 知 = ，
? 2 ?
? ? + 1
所 以 ? = 1 + 2 + ? + ? = ，
?
2
1 2 1 1
= = 2 ? ，
? ? ? + 1 ? ? + 1
?
1 1 1 1 1 1 2 ?
所 以 ? = 2 1 ? + ? + ? + ? = 2 1 ? = .
?
2 2 3 ? ? + 1 ? + 1 ? + 1
? 3 + 6 e
1 8 ． ( 1 )
( 2 ) ? = ? 3 或 ? = 1
? 3 ? 3 ?+ ?
′
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 ? ( ? ) = 3 l n ? ? ， 所 以 ? ( ? ) = + = ( ? > 0 ) ，
2 2
? ? ? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
6 + ?
′
因 为 ? = 2 是 函 数 ? ? 的 极 值 点 ， 所 以 ? ( 2 ) = = 0 ， 得 ? = ? 6 ，
4
6 3 ?? 6
′
此 时 ? ( ? ) = 3 l n ? + ， ? ( ? ) = ，
2
? ?
′ ′
当 0 < ? < 2 时 ， ? ( ? ) < 0 ， 当 ? > 2 时 , ? ( ? ) > 0 ,
所 以 ? ( ? ) 在 ( 0 , 2 ) 上 为 减 函 数 ， 在 ( 2 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 ，
所 以 ? = 2 是 ? ( ? ) 的 一 个 极 小 值 点 ， 所 以 ? = ? 6 符 合 题 意 .
1
由 以 上 可 知 ， ? ( ? ) 在 [ , 2 ) 上 为 减 函 数 ， 在 ( 2 , e ] 上 为 增 函 数 ，
e
1 1 6 6 6
又 ? ( ) = 3 l n + = ? 3 + 6 e ， ? ( e ) = 3 l n e + = 3 + ，
1
e e e e
e
1 6 6
所 以 ? ( ) ? ? ( e ) = ? 3 + 6 e ? 3 ? = 6 e ? 6 ? > 0 ，
e e e
1
所 以 ? ? 在 , e 上 的 最 大 值 为 ? 3 + 6 e .
e
3 ?+ ?
′ ′
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， ? ( ? ) = ( ? > 0 ) ， 所 以 ? ( 1 ) = 3 + ? ，
2
?
又 ? ( 1 ) = ? ? ， 所 以 切 线 ? : ? + ? = ( 3 + ? ) ( ? ? 1 ) ， 即 ? = ( 3 + ? ) ? ? 2 ? ? 3 ，
1
2
假 设 直 线 ? 与 曲 线 ? = ? ? = ? + 3 切 于 ( ? , ? ) ，
0 0
2
1
′ ′ 2
因 为 ? ( ? ) = ? ， 所 以 ? ( ? ) = ? ， 又 ? = ? + 3 ，
0 0 0 0
2
1 1
2 2
所 以 ? = ? ( ? ) 在 ( ? , ? ) 处 的 切 线 方 程 为 ? ? ? + 3 = ? ( ? ? ? ) ， 即 ? = ? ? + ? +
0 0 0 0 0 0 0
2 2
1
2 2
3 ? ? = ? ? ? ? + 3 ,
0
0 0
2
1
2
因 为 直 线 ? = ( 3 + ? ) ? ? 2 ? ? 3 与 直 线 ? = ? ? ? ? + 3 重 合 ，
0 0
2
3 + ? = ?
0
2
所 以 1 ， 消 去 ? ， 得 ? + 2 ? ? 3 = 0 ，
2 0
? 2 ? ? 3 = ? ? + 3
0
2
解 得 ? = ? 3 或 ? = 1 .
1 9 ． ( 1 ) 详 见 解 析 ；
5
( 2 ) .
5
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 ? ? = ? ? ， ? 为 线 段 ? ? 的 中 点 ，
所 以 ? ? ⊥ ? ? ， 又 平 面 ? ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 平 面 ? ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? = ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ，
所 以 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 又 ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ，
所 以 ? ? ⊥ ? ? ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
π
所 以 ∠ ? ? ? = , ? ? = 2 , ? ? = 1 ，
3
1
2 2 2 2 2
所 以 ? ? = ? ? + ? ? ? 2 ? ? ? ? ? c o s ∠ ? ? ? = 2 + 1 ? 2 × 2 × 1 × = 3 ，
2
2 2 2
所 以 ? ? + ? ? = ? ? ， 即 ? ? ⊥ ? ? ，
由 ? , ? 分 别 为 线 段 ? ? , ? ? 的 中 点 ， 可 得 ? ? / / ? ? ，
所 以 ? ? ⊥ ? ? ， 又 ? ? ⊥ ? ? ， ? ? ∩ ? ? = ? , ? ? ? 平 面 ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ，
? ? ⊥ ? ? ?
所 以 平 面 ；
（ 2 ） 连 接 ? ? ， 因 为 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ，
π
所 以 ∠ ? ? ? 为 直 线 ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 ， 即 ∠ ? ? ? = ，
6
π
因 为 底 面 ? ? ? ? 是 平 行 四 边 形 ， ∠ ? ? ? = , ? ? = 2 , ? ? = 1 ， ? ? ? 分 别 为 线 段 ? ?? ? ? 的 中 点 ，
3
π
所 以 ? ? = 3 ， 又 ∠ ? ? ? = ，
6
3
所 以 ? ? = ? ? t a n ∠ ? ? ? = 3 × = 1 ，
3
如 图 以 ? 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
1 3 1 3
则 ? 0 , 0 , 1 , ? , , 0 , ? , ? , 0 ，
2 2 2 2
1 3
所 以 ? ? = , , ? 1 , ? ? = 0 , 3 , 0 ，
2 2
设 平 面 ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ，
1 3
? ? ? ? = ? + ? ? ? = 0
2 2
? = 1 ? = 2 , 0 , 1
则 ， 令 ， 可 得 ，
? ? ? ? = 3 ? = 0
? ? ? ? 0 , 0 , 1
由 题 可 知 平 面 的 一 个 法 向 量 为 = ，
? ? ? 1 5
所 以 c o s ? , ? = = = ，
? ? ? 5 5
5
即 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 的 余 弦 值 为 .
5想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
?
2 0 ． ( 1 ) ? = ? + 1 ， ? = ? ? 2 ；
? ?
( 2 ) [ 2 , + ∞ ) .
【 详 解 】 （ 1 ） 当 ? ≥ 2 , ? ∈ N 时 ， ? ? 1 ? ? 1 = ? ? ? ? 1 = 2 ? ? = 3 ，
1 2 1 2 2
因 为 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 = ? ? ? ? ? , ，
1 2 ? ? + 1 1 2 ? ? 1 ?
? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?
而 ? = ? ，
1 2 ? 1 2 ? ? 1
所 以 有 ? ? 1 = ? ? ? ? ? = 1 ， ? ? ? = 1 也 适 合
? + 1 ? ? + 1 ? 2 1
所 以 数 列 ? 是 以 2 为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ，
?
即 ? = 2 + ( ? ? 1 ) ? 1 = ? + 1 ，
?
? ? ? 2
? + 1 ? ?
? + 1
由 ? ? 2 ? = 2 ? ? = 1 ， 所 以 数 列 是 以 = 1 为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ，
? + 1 ?
? + 1 ? ?
2 2 2 2
?
?
?
所 以 有 = 1 + ( ? ? 1 ) ? 1 ? ? = ? ? 2 ；
?
?
2
2 3 ?
? = 1 ? 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + ? + ? ? 2
（ 2 ） ，
?
2 3 4 ? + 1
2 ? = 1 ? 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + ? + ? ? 2 ，
?
1 2 3 4 ? ? + 1
两 式 相 减 ， 得 ： ? ? = 2 + 2 + 2 + 2 + ? + 2 ? ? ? 2
?
?
2 ( 1 ? 2 )
? + 1 ? + 1 ?
? ? ? = ? ? ? ? 2 ? ? = ( ? ? 1 ) ? 2 + 2 ， 代 入 ? ? 2 ? ? < 2 中 ， 得 ：
? ? ? ?
1 ? 2
2 ? ? 2
? + 1 ?
( ? ? 1 ) ? 2 + 2 ? 2 ? + 1 ? < 2 ? ? > ，
? + 1
2 ? ? 2 4
设 ? ( ? ) = = 2 ? ( ? ∈ N ) ，
? + 1 ? + 1
4 4 4
?
因 为 ? ∈ N ， 所 以 > 0 ? ? < 0 ? 2 ? < 2 ，
? + 1 ? + 1 ? + 1
?
? ? 2 ? ? < 2 N
因 此 要 想 不 等 式 对 任 意 ? ∈ 恒 成 立 ，
? ?
只 需 ? ≥ 2 ， 即 实 数 ? 取 值 范 围 为 [ 2 , + ∞ ) .
2 1 ． ( 1 ) 见 解 析
4
( 2 ) ? ∞ , 0 ∪ , + ∞
3
′ ? 2 ?
【 详 解 】 （ 1 ） ∵ ? ? = e ? + 2 ? + 1 ? + 4 ? = e ? + 2 ? ? + 2
′ ? 2
当 ? = 1 时 ， ? ? = e ? + 2 ≥ 0 在 R 上 恒 成 立 ， 所 以 函 数 ? ? 在 R 上 单 调 递 增 .
′ ′
当 ? < 1 时 ， ? ? > 0 时 ， ? ∈ ? ∞ , ? 2 ∪ ? 2 ? , + ∞ ； ? ? < 0 时 ， ? ∈ ? 2 , ? 2 ?
所 以 函 数 ? ? 在 ? ∞ , ? 2 , ? 2 ? , + ∞ 上 单 调 递 增 ， 在 ? 2 , ? 2 ? 上 单 调 递 减 .
′ ′
当 ? > 1 时 ， ? ? > 0 时 ， ? ∈ ? ∞ , ? 2 ? ∪ ? 2 , + ∞ ； ? ? < 0 时 ， ? ∈ ? 2 ? , ? 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? 2 ? , ? 2
所 以 函 数 ? 在 ? ∞ , ? 2 ? , ? 2 , + ∞ 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 .
综 上 ： ? = 1 时 ? ? 在 R 上 单 调 递 增 .
? < 1 时 ? ? 在 ? ∞ , ? 2 , ? 2 ? , + ∞ 上 单 调 递 增 ， 在 ? 2 , ? 2 ? 上 单 调 递 减
? > 1 时 ? ? 在 ? ∞ , ? 2 ? , ? 2 , + ∞ 上 单 调 递 增 ， 在 ? 2 ? , ? 2 上 单 调 递 减 .
? ?
（ 2 ） 若 ? ? ≤ 在 区 间 ? 2 , 0 上 有 解 ， 即 求 ? ? ≤
2 m i n 2
e e
当 ? = 1 时 ? ? 在 R 上 单 调 递 增 ， 所 以 ? ? 在 ? 2 , 0 上 的 最 小 值 为 ? ? = ? ? 2 =
m i n
2 1
? 2
e 4 ? 4 + 2 = < 不 成 立 ， 故 不 满 足 题 意 .
2 2
e e
当 ? < 1 时 ? ? 在 ? ∞ , ? 2 , ? 2 ? , + ∞ 上 单 调 递 增 ， 在 ? 2 , ? 2 ? 上 单 调 递 减
当 ? ≤ 0 时 ， 所 以 函 数 ? ? 在 ? 2 , 0 单 调 递 减 ，
?
0
所 以 ? ? = ? 0 = e ? 2 ? = 2 ? ≤ 成 立 ， 满 足 题 意 .
m i n
2
e
0 < ? < 1 时 ， 函 数 ? ? 在 ? 2 , ? 2 ? 单 调 递 减 ， 在 ? 2 ? , 0 上 单 调 递 增 .
? l n 2
? 2 ?
所 以 ? ? = ? ? 2 ? = e ? 2 ? ≤ ∴ ? ≥ 1 + > 1 不 成 立 ， 舍 去
m i n 2
e 2
? > 1 ? ? 2 ? , ? 2
时 ? 在 ? ∞ , ? 2 ? , ? 2 , + ∞ 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 .
? 4
? 2
所 以 函 数 ? ? 在 ? 2 , 0 单 调 递 增 ， ? ? = ? ? 2 = e 4 ? 2 ? ≤ ， 所 以 ? >
m i n
2
e 3
4
综 上 ? 的 取 值 范 围 为 ： ? ∞ , 0 ∪ , + ∞
3
2 2
? ?
2 2 ． ( 1 ) + = 1
6 2
( 2 ) ? = ± 2 ? ? 2
【 详 解 】 （ 1 ） 由 于 ? ? = 4 ， 所 以 2 ? = 4 ， 则 右 焦 点 的 坐 标 为 ? ( 2 , 0 ) ，
1 2 2
2
?
当 ? = 2 时 ， 代 入 椭 圆 方 程 为 ? = ， 故 当 ? 是 线 段 ? ? 的 中 点 时 ， 此 时 ? ? ⊥ ? 轴 ，
2
?
2
2 ? 2 6
2 2 2
故 ? ? = = ， 又 ? = ? + ? ， 联 立 即 可 求 解
? 3
解 得 ? = 6 ， ? = 2 ， ? = 2 ，
2 2
? ?
椭 圆 ? 的 标 准 方 程 ： + = 1 ；
6 2
（ 2 ） 由 线 段 ? ? 的 中 点 ? 不 在 ? 轴 上 可 知 直 线 ? ? 有 斜 率 且 不 为 0 ，
设 过 椭 圆 ? 的 右 焦 点 的 直 线 ? 的 方 程 为 ? = ?( ? ? 2 ) ， ( ? ≠ 0 ) ，
? ? ? ?
设 ? ( ， ) ， ? ( ， ) ，
1 1 2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? = ? ( ? ? 2 )
2 2 2 2
2 2
联 立 整 理 得 ： ( 3 ? + 1 ) ? ? 1 2 ? ? + 1 2 ? ? 6 = 0 ，
? ?
+ = 1
6 2
2 2
1 2 ? 1 2 ? ? 6
由 韦 达 定 理 得 ? + ? = ， ? · ? = ．
1 2 2 1 2 2
1 + 3 ? 1 + 3 ?
4 ?
? + ? = ?( ? + ? ) ? 4 ? = ? ．
1 2 1 2 2
1 + 3 ?
2
6 ? 2 ?
∵ ? 为 线 段 ? ? 的 中 点 ， 则 可 得 点 ? , ? ， ．
2 2
1 + 3 ? 1 + 3 ?
2
2
2 2
1 2 ? 1 2 ? ? 6 2 6 1 + ?
2 2 2
? ? = 1 + ? ? + ? ? 4 ? ? = 1 + ? ? 4 × = ，
1 2 1 2
2 2 2
1 + 3 ? 1 + 3 ? 1 + 3 ?
2
1 ? 2 ? 1 6 ?
又 直 线 ? ? 的 斜 率 为 ? ， 直 线 ? ? 的 方 程 为 ： ? ? = ? ? ? ．
2 2
? 1 + 3 ? ? 1 + 3 ?
2 2
4 ? 4 ?
令 ? = 0 得 ， ? = ， 故 ? , 0
2 2
1 + 3 ? 1 + 3 ?
4 ? 4 ?
令 ? = 0 得 ， ? = , 故 ? 0 ,
2 2
1 + 3 ? 1 + 3 ?
2
2 2 4 2
6 ? 2 ? 4 ? 6 ? + ?
?? = + ? ? =
2
2 2 2
1 + 3 ? 1 + 3 ? 1 + 3 ? 1 + 3 ?
2
1 1 4 ? 2 ?
因 此 ? = ? ? ? = × × ? ,
△ ?? ? ? 2 2
2 2 1 + 3 ? 1 + 3 ?
2
4 2
1 1 1 1 2 6 1 + ? 6 ? + ?
? = ? = × ? ? ?? = × × ,
△ ? ? ? △ ? ? ?
2 2
2 2 2 4 1 + 3 ? 1 + 3 ?
2
1 4 ? 2 ?
× × ? 2
? 2 2 2 6 ?
2
1 1 + 3 ? 1 + 3 ?
故 = =
2
2
2 6 1 + ? 4 2 2
? 9
2 1 6 ? + ? 1 + ? 1 + ?
× ×
2 2
4
1 + 3 ? 1 + 3 ?
2 2
2
令 1 + ? = ? > 1 , ? = ? ? 1 ，
2 2 2
? 2 6 ? ? 1 ? ? 1 3 ? ?
1
′ ′
故 = ， 记 ? ? = , ? ? = ， 故 当 1 < ? < 3 时 ， ? ? > 0 ， ? ? 单 调 递 增 ，
3 3 4
? 9 ? ? ?
2
′
当 ? > 3 时 ， ? ? < 0 ， ? ? 单 调 递 减 ，
2 ? 2 6 2 4 2
1
2
故 当 ? = 3 时 ， ? ? 取 最 大 值 ， 故 此 时 取 最 大 值 × = ， 此 时 1 + ? = 3 ?
3 3 ? 9 3 3 2 7
2
? = ± 2 ，
此 时 直 线 ? 的 方 程 为 ? = ± 2 ? ? 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 第 一 中 学 校 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． A
【 分 析 】 根 据 方 程 是 椭 圆 方 程 ， 得 ? > 0 ， 然 后 由 ? , ? , ? 关 系 得 出 ? 值 ．
2 2
【 详 解 】 由 题 意 ? > 0 ， ? = 3 ?, ? = ?
1
2
∴ 3 ? ? ? = 1 ， ? = ，
2
故 选 ： A ．
2 ． C
【 分 析 】 利 用 的 等 比 数 列 的 下 标 和 性 质 推 得 ? = 2 ， 再 根 据 对 数 的 运 算 结 合 等 比 数 列 下 标 和
5
性 质 ， 即 可 求 得 答 案 .
? ? ? ? = 8
【 详 解 】 由 题 意 等 比 数 列 的 各 项 均 为 正 数 ， 目 ? ? ，
? 1 5 9
2 3
则 ? ? = ? ， 故 ? ? ? ? ? = ? = 8 , ∴ ? = 2 ，
1 9 1 5 9 5
5 5
所 以 l o g ? + l o g ? + l o g ? + l o g ? + l o g ? = l o g ? ? ? ? ?
5 7 5 7
2 1 2 3 2 2 2 9 2 1 3 9
5 5
= l o g ? = l o g 2 = 5 ，
2 2
5
故 选 ： C
3 ． B
′
【 分 析 】 利 用 导 数 运 算 求 得 ? 2 .
′ 2 ′
【 详 解 】 ? ? = ? ? 2 ? 2 ? + 1 ，
′ ′ ′
令 ? = 2 得 ? 2 = 4 ? 4 ? 2 + 1 , ? 2 = 1 .
故 选 ： B
4 ． D
2
? ? ? ? + ? ?
1 2 1 2
【 分 析 】 利 用 点 差 法 设 ? ? , ? 、 ? ? , ? ， 作 差 即 可 得 到 ? = ， 再 根 据 斜 率 公
1 1 2 2
? ? ? ? + ? 4
1 2 1 2
2
1 ?
式 ， 从 而 得 到 = ， 即 可 得 解 ；
2 4
2 2 2 2
? ? ? ?
1 1 2 2
, ,
【 详 解 】 解 ： 设 ? ? ? 、 ? ? ? ， 则 ? = 1 ， ? = 1 ，
1 1 2 2 2 2
4 ? 4 ?
1 1
两 式 相 减 可 得 ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? = 0 ，
1 2 1 2 2 1 2 1 2
4 ?
∵ ? 为 线 段 ? ? 的 中 点 ， ∴ 2 ? = ? + ? ， 2 ? = ? + ? ，
? 1 2 ? 1 2
2
? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? 1
1 2 1 2 1 2 1 2
∴ ? = = ? = 2 =
， 又 ， ，
? ?
? ? ? ? + ? 4 ? ? ? ? + ? 4
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 ?
2
∴ = ， 即 ? = 2 ， ∴ ? = 2 ，
2 4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
故 选 ： D .
5 ． D
【 分 析 】 根 据 给 定 的 信 息 可 得 数 列 { ? } 为 等 差 数 列 ， 再 利 用 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 及 通 项 的
?
性 质 求 解 作 答 .
{ ? } ? = 5
【 详 解 】 依 题 意 ， 数 列 为 递 增 等 差 数 列 ， 且 ，
? 1
? + ?
1 2 9
× 1 5
? + ? + ? ? ? + ? 1 5 ? 1 5
1 3 2 9 1 5
2
所 以 = = = .
? + ?
2 2 8
? + ? + ? ? ? + ? 1 4 ? 1 4
× 1 4
2 4 2 8 1 5
2
故 选 ： D
6 ． B
【 分 析 】 根 据 给 定 条 件 ， 可 得 圆 心 C 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 求 出 弦 A B 长 ， 设 出 直 线 A B 方 程 并 与
抛 物 线 方 程 联 立 ， 求 解 作 答
2 2 2
【 详 解 】 圆 ? ： ( ? ? 1 ) + ? = 1 的 圆 心 ? ( 1 , 0 ) ， 半 径 ? = 1 ， 显 然 点 ? ( 1 , 0 ) 为 抛 物 线 ? : ? = 4 ?
的 焦 点 ， 其 准 线 为 ? = ? 1 ，
? , ? ? , ? | ? ? | = | ? ? | + | ? ? | = ? + 1 + ? + 1 = ? + ? + 2 | ? ? | = 2
设 ? ( ) , ? ( ) ， 则 ， 而 ，
1 1 2 2 1 2 1 2
由 ? ? ， ? ? ， ? ? 成 等 差 数 列 得 ， ? ? + ? ? = 2 | ? ? | = 4 ， 因 此 | ? ? | = 6 ，
即 有 ? + ? + 2 = 6 ， 解 得 ? + ? = 4 ， 设 直 线 ? 的 方 程 为 ? = ? ( ? ? 1 ) ， 显 然 ? ≠ 0 ，
1 2 1 2
? = ?( ? ? 1 )
4
2 2 2 2
由 消 去 y 得 ： ? ? ? ( 2 ? + 4 ) ? + ? = 0 ， 则 有 ? + ? = 2 + = 4 ， 解 得 ? = ±
1 2 2
2
?
? = 4 ?
2 ，
所 以 直 线 ? 的 斜 率 为 ± 2 .
故 选 ： B
7 ． B
? ( ?) ? l n ? ? 2
【 分 析 】 依 题 意 令 ? ( ? ) = ， 求 导 分 析 单 调 性 ， 不 等 式 ? l n ? ≥ ? ， 可 转 化 为 ≥ ，
? l n ? 2
e e e
即 ? l n ? ≥ ? 2 ， 即 可 得 出 答 案 ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ′ ? ′
? ( ?) e ? ( ? ) ? e ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ?)
′
【 详 解 】 解 ： 依 题 意 令 ? ( ? ) = ， 则 ? ( ? ) = = < 0 ，
? 2 ? ?
e e e
所 以 ? ( ? ) 在 R 上 单 调 递 减 ，
? l n ? ? l n ?
对 于 不 等 式 ? l n ? ≥ ? ， 显 然 ? > 0 ， 则 ≥ 1 ， 即 ≥ 1 ，
l n ?
? e
? 2
2
又 ? 2 = e ， 所 以 ? 2 = = 1 ，
2
e
? l n ? ? 2
所 以 ≥ ， 即 ? l n ? ≥ ? 2 ，
l n ? 2
e e
所 以 l n ? ≤ 2 ，
2 2
0 < ? ≤ e ? l n ? 0 , e
解 得 ， 即 关 于 的 不 等 式 ? ≥ ? 的 解 集 为 .
故 选 ： B ．
8 ． A
?
e
【 分 析 】 根 据 给 定 条 件 ， 只 需 考 查 当 ? > 1 时 ， ? > 成 立 的 正 整 数 有 且 只 有 两 个 ， 再 构
2
? ? ?
造 函 数 ， 探 讨 其 性 质 即 可 作 答 .
? 2
【 详 解 】 函 数 ? ? = e ? ? ? + ? ? 中 ， ? ( 1 ) = e > 0 ， 而 恰 好 存 在 两 个 正 整 数 ? , ? 使 得 ? ? <
0 , ? ? < 0 ， 则 ? > 1 , ? > 1 ，
? ?
e e
当 ? > 1 时 ， ? ( ? ) < 0 ? ? > ， 因 此 有 且 只 有 两 个 大 于 1 的 正 整 数 使 得 ? > 成 立 ，
2 2
? ? ? ? ? ?
? 2
?
e e ( ? ? 3 ?+ 1 ) 3 + 5
′ ′
令 ? ( ? ) = , ? > 1 ， 求 导 得 ： ? ( ? ) = ， 由 ? ( ? ) < 0 得 1 < ? < ， 由
2 2 2
? ? ? ( ? ? ?) 2
3 + 5
′
? ? >
( ? ) > 0 得 ，
2
5 5 5
3 + 3 + 3 +
因 此 函 数 ? ( ? ) 在 ( 1 , ) 上 单 调 递 减 ， 在 ( , + ∞ ) 上 单 调 递 增 ， 而 2 < < 3 ，
2 2 2
2 3 2 2
e e e e e
则 必 有 ? > ? ( 2 ) = ， 又 ? ( 3 ) = = ? < = ? ( 2 ) ， 因 此 符 合 题 意 的 正 整 数 只 有 2 和 3
2 6 2 3 2
两 个 ，
4 2 4
e e e
于 是 得 ? ≤ ? ( 4 ) = ， 所 以 实 数 ? 的 取 值 范 围 是 < ? ≤ .
1 2 2 1 2
故 选 ： A
【 点 睛 】 关 键 点 睛 ： 涉 及 不 等 式 整 数 解 的 个 数 问 题 ， 构 造 函 数 ， 分 析 函 数 的 性 质 并 画 出 图 象 ，
数 形 结 合 建 立 不 等 关 系 是 解 题 的 关 键 .
9 ． B C D
【 分 析 】 根 据 给 定 的 前 ? 项 和 ， 求 出 ? ， 再 逐 项 判 断 作 答 .
?
2 2
【 详 解 】 数 列 ? 的 前 ? 项 和 ? = ? ? + 7 ? ， 当 ? ≥ 2 时 ， ? = ? ? ? = ? ? + 7 ? ? [ ?
? ? ? ? ? ? 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
( ? ? 1 ) + 7 ( ? ? 1 ) ] = ? 2 ? + 8 ，
而 ? = ? = 6 满 足 上 式 ， 所 以 ? = ? 2 ? + 8 ， B 正 确 ；
1 1 ?
数 列 ? 是 公 差 为 ? 2 的 等 差 数 列 ， 是 单 调 递 减 的 ， A 不 正 确 ；
?
当 ? > 4 时 ， ? = ? 2 ( ? ? 4 ) < 0 ， C 正 确 ；
?
? ≤ 4 ? ?
当 时 ， = ? 2 ( ? ? 4 ) ≥ 0 ， 即 数 列 前 3 项 均 为 正 ， 第 4 项 为 0 ， 从 第 5 项 起 为 负 ，
? ?
因 此 当 ? = 3 或 4 时 ， ? 取 得 最 大 值 ， D 正 确 .
?
故 选 ： B C D
1 0 ． A C D
【 分 析 】 求 出 函 数 的 导 数 ， 根 据 导 数 的 几 何 意 义 可 判 断 A ； 结 合 函 数 的 单 调 性 与 导 数 的 关 系 ，
判 断 B ; 根 据 导 数 的 正 负 与 函 数 极 值 的 关 系 ， 判 断 C , 继 而 判 断 D .
1 1 1 ?? 1
′
【 详 解 】 由 题 意 知 ? ? = ? 1 + l n ? , ( ? > 0 ) ， 故 ? ? = ? + = ，
2 2
? ? ? ?
′
故 ? ? 在 ? = 1 处 的 切 线 的 斜 率 为 ? 1 = 0 ， 而 ? 1 = 1 ? 1 + l n 1 = 0 ，
故 ? ? 在 ? = 1 处 的 切 线 方 程 为 ? ? 0 = 0 ( ? ? 1 ) ， 即 ? = 0 ，
所 以 ? ? 在 ? = 1 处 的 切 线 为 ? 轴 ， A 正 确 ；
′ ′
当 0 < ? < 1 时 ， ? ? < 0 ， 当 ? > 1 时 ， ? ? > 0 ，
故 ? ? 在 ( 0 , 1 ) 上 单 调 递 减 ， 在 ( 1 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 ， B 错 误 ；
由 此 可 得 ? = 1 为 ? ? 的 极 小 值 点 ， C 正 确 ；
由 于 在 0 , + ∞ 上 ? ? 只 有 一 个 极 小 值 点 ， 故 函 数 的 极 小 值 也 为 函 数 的 最 小 值 ，
1 = 0
最 小 值 为 ? ， D 正 确 ，
故 选 ： A C D
1 1 ． A C
【 分 析 】 求 出 抛 物 线 ? 的 焦 点 坐 标 、 准 线 方 程 ， 设 出 点 A ， B 的 坐 标 及 直 线 A B 方 程 ， 再 结 合
各 选 项 的 条 件 分 别 计 算 判 断 作 答 .
2
? ? = 8 ? ? ? 2 ? , ? ? , ?
【 详 解 】 抛 物 线 ： 的 焦 点 为 ? ( 0 , 2 ) ， 准 线 = ， 设 点 ? ( ) , ? ( ) ，
1 1 2 2
1 1 5
对 于 A ， 显 然 ? 2 , 在 抛 物 线 ? 上 ， 则 ? ? = ? ( ? 2 ) = ， A 正 确 ；
2 2 2
2 2
对 于 B ， ? ? + ? ? = ( ? ? 2 ) + ( ? ? 3 ) + ? ? ( ? 2 ) ≥ | ? ? 3 | + ? + 2 ， 当 且 仅 当
1 1 1 1 1
? = 2
时 取 等 号 ，
1
1 1
当 ? = 2 时 ， ? = ， 有 | ? ? 3 | + ? + 2 = 3 ? ? + ? + 2 = 5 ， 因 此 当 ? 2 , 时 ? ? + ? ?
1 1 1 1 1 1
2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
取 得 最 小 值 5 ， B 不 正 确 ；
对 于 C ， | ? ? | = | ? ? | + | ? ? | = ? + 2 + ? + 2 = ? + ? + 4 ， 线 段 A B 的 中 点 M 纵 坐 标 为 ? ，
1 2 1 2 0
? + ? 1
1 2
则 ? = = | ? ? | ? 2 ， 显 然 点 M 是 以 线 段 ? ? 为 直 径 的 圆 的 圆 心 ，
0
2 2
1 1
点 M 到 直 线 ? = ? 2 的 距 离 为 ? ? ( ? 2 ) = | ? ? | ? 2 + 2 = | ? ? | ， 所 以 圆 M 与 直 线 ? = ? 2
0
2 2
相 切 ， C 正 确 ；
? = ?? + 2
对 于 D ， 显 然 直 线 A B 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 A B 的 方 程 为 ： ，
? = ?? + 2
2
由 消 去 y 得 ： ? ? 8 ?? ? 1 6 = 0 ， 有 ? + ? = 8 ? , ? ? = ? 1 6 ，
1 2 1 2
2
? = 8 ?
1 3
2
由 ? ? = 3 ? ? 得 ： ? = ? 3 ? ， 于 是 得 ? = ， 解 得 ? = ± ， D 不 正 确 .
1 2
3 3
故 选 ： A C
1 2 ． A B D
′ ′ ′
【 分 析 】 根 据 给 定 条 件 ， 求 出 函 数 ? ( ? ) 的 导 数 ? ( ? ) ， 再 求 出 ? ( ? ) 的 导 数 ， 推 导 ? ( ? ) 正 负
判 断 A ； 结 合 零 点 存 在 性 定 理 推 理 判 断 B ； 利 用 导 数 探 讨 最 值 判 断 C ； 利 用 导 数 证 明 不 等 式
判 断 D 作 答 .
? ′ ?
【 详 解 】 函 数 ? ? = e ? ? ? 1 s i n ? ， 求 导 得 ? ( ? ) = e ? s i n ? ? ( ? ? 1 ) c o s ? ，
′ ? ′ ?
令 ? ( ? ) = ? ( ? ) = e ? s i n ? ? ( ? ? 1 ) c o s ? ， 求 导 得 ? ( ? ) = e ? 2 c o s ? + ( ? ? 1 ) s i n ? ，
π
? ′
对 于 A ， 当 ? < ? < 0 时 ， e > 0 , ? s i n ? > 0 , ? ( ? ? 1 ) c o s ? > 0 ， 有 ? ( ? ) > 0 ， 函 数 ? ?
2
π
在 [ ? , 0 ] 上 单 调 递 增 ， A 正 确 ；
2
π
? ′ ′
对 于 B ， 当 ? ? < ? < ? 时 ， e > 0 , ? c o s ? > 0 , ( ? ? 1 ) s i n ? > 0 ， 有 ? ( ? ) > 0 ， 函 数 ? ( ? )
2
π
在 [ ? ? , ? ] 上 单 调 递 增 ，
2
?
? ?
?
′ ? ? ′ ′
2
而 ? ( ? ? ) = e ? ? ? 1 < 0 , ? ( ? ) = e + 1 > 0 ， 则 ?? ∈ ( ? ? , ? ) 使 得 ? ( ? ) = 0 ，
0 0
2 2
?
′ ′
? ? < ? < ? ? ? ? [ ? ? , ? ]
当 时 ， ( ? ) < 0 ， 当 < ? < ? 时 ， ( ? ) > 0 ， 因 此 ? ( ? ) 在 上 递 减 ，
0 0 0
2
?
在 [ ? , ? ] 上 递 增 ，
0
2
?
? ?
由 选 项 A 知 ， ? ( ? ) 在 [ ? , 0 ] 上 递 增 ， 又 ? ( ? ? ) = e > 0 , ? ( 0 ) = 1 > 0 , ? ( ? ) < ? ( ? ) =
0 0
2
?
?
?
2
e ? ? 1 < 0 ?? ? ? ?
， 则 ∈ ( ? ? , ) , ∈ ( , 0 ) ，
1 0 2 0
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? ?
使 得 ? ( ) = ? ( ) = 0 ， 因 此 函 数 ? 在 π , 0 上 有 两 个 零 点 ， B 正 确 ；
1 2
对 于 C ， 对 ? ? ∈ ? π , 0 恒 有 ? ? ? 2 ? ≥ 0 ? 2 ? ≤ ? ( ? ) ， 由 选 项 B 知 ， ? ( ? ) = ? ( ? ) ，
m i n 0
? '' ?
0 0
则 有 2 ? ≤ ? ( ? ) = e ? ? ? 1 s i n ? ， 由 ? ( ? ) = 0 得 ： e = s i n ? + ( ? ? 1 ) c o s ? ，
0 0 0 0 0 0 0
? ( ? ) = s i n ? + ( ? ? 1 ) c o s ? ? ? ? 1 s i n ? = s i n ? + ( ? ? 1 ) ( c o s ? ? s i n ? ) ，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
?
′
? c o s ? ? ? ? < 0
令? ( ? ) = s i n ? + ( ? ? 1 ) ( c o s ? ? s i n ? ) , ? ? < ? < ? ， ( ? ) = ( 3 ? ? ) s i n ，
2
?
π ? ? ?
?
2
函 数? ( ? ) 在 [ ? ? , ? ] 上 单 调 递 减 ，? ( ? ) > ? ( ? ) = ? 2 ? ， 又 ? ( ? ) < ? ( ? ) = e ?
0
2 2 2 2
?
? 1 ，
2
?
? 1 1 ? 1
?
2
? 1 ? < ? e ? ? ? ? 2
则 有 ? ( ) < ， 因 此 整 数 的 最 大 值 为 ， C 不 正 确 ；
0
4 2 2 4 2
′
对 于 D ， 当 0 < ? < 1 时 ， 令 ? ( ? ) = s i n ? ? ? , ? ( ? ) = l n ? ? ( ? ? 1 ) ， 则 ? ( ? ) = c o s ? ? 1 <
1
0 , ? ( ? ) = ? 1 > 0 ，
?
函 数 ? ( ? ) 在 ( 0 , 1 ) 上 递 减 ， ? ( ? ) < ? ( 0 ) = 0 ， 即 0 < s i n ? < ? < 1 ， 函 数 ? ( ? ) 在 ( 0 , 1 ) 上 递 增 ，
? ( ? ) < ? ( 1 ) = 0 ， 即 l n ? < ? ? 1 ，
? ? ? 2
e ? + l n ? < e e ? ( ? ? 1 ) 0 <
令 ? ( ? ) = ? ( ? ) + l n ? = ? ( ? ? 1 ) s i n ? ( ? ? 1 ) ? + ? ? 1 = ，
? < 1 ，
2 ? 2
显 然 ? ( ? ? 1 ) 在 ( 0 , 1 ) 上 单 调 递 增 ， 则 有 函 数 ? = e ? ( ? ? 1 ) 在 ( 0 , 1 ) 上 单 调 递 增 ，
? 2
因 此 e ? ( ? ? 1 ) < e ， 即 ? ( ? ) < e ， 所 以 当 0 < ? < 1 时 ， ? ? < e ? l n ? 成 立 ， D 正 确 .
故 选 ： A B D
【 点 睛 】 关 键 点 睛 ： 涉 及 不 等 式 恒 成 立 问 题 ， 将 给 定 不 等 式 等 价 转 化 ， 构 造 函 数 ， 利 用 导 数
探 求 函 数 单 调 性 、 最 值 是 解 决 问 题 的 关 键 .
1
1 3 ． ( ? ∞ , )
3
′ ′
【 分 析 】 求 出 函 数 的 导 数 ? ( ? ) ， 再 利 用 ? ( ? ) 存 在 变 号 零 点 求 出 a 的 范 围 作 答 .
3 2 2 ′ 2
【 详 解 】 函 数 ? ? = ? ? ? + ? ? + ? 定 义 域 为 R ， 求 导 得 ： ? ( ? ) = 3 ? ? 2 ? + ? ，
′ ′
因 为 函 数 ? ( ? ) 有 极 值 ， 则 函 数 ? ( ? ) 在 R 上 存 在 变 号 零 点 ， 即 ? ( ? ) = 0 有 两 个 不 等 实 根 ，
1
2
即 有 方 程 3 ? ? 2 ? + ? = 0 有 两 个 不 等 实 根 ， 于 是 得 Δ = 4 ? 1 2 ? > 0 ， 解 得 ? < ，
3
1
所 以 实 数 ? 的 取 值 范 围 是 ( ? ∞ , ) .
3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
故 答 案 为 ： ( ? ∞ , )
3
1 4 ． ? = ? 2 ? 或 ? = 2 ?
2
【 分 析 】 求 出 抛 物 线 ? = 2 2 ? 的 准 线 及 双 曲 线 ? 的 渐 近 线 ， 再 联 立 求 出 线 段 A B 长 ， 结 合 三
?
角 形 面 积 ， 求 出 作 答 .
?
2 2
? ? ?
2
【 详 解 】 双 曲 线 ? ： ? = 1 的 渐 近 线 方 程 为 ： ? = ± ? ， 抛 物 线 ? = 2 2 ? 的 准 线 为 直 线 ：
2 2
? ? ?
2
? = ? ，
2
? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
? = ± ? ? = ? ? = ± | ? ? | = | ? ( ? ) | =
联 立 与 得 ： ， 因 此 有 ，
? 2 2 ? 2 ? 2 ? ?
? ? ?
1 2 2 2
而 △ ? ? ? 的 面 积 ? = | ? ? | ? = ? = = 1 ， 即 = 2 ，
△ ?? ?
2 2 4 ? 2 ? ?
所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ? = ? 2 ? 或 ? = 2 ? .
故 答 案 为 ： ? = ? 2 ? 或 ? = 2 ?
1 5 ． 2 0 2 3
【 分 析 】 根 据 给 定 条 件 ， 利 用 导 数 结 合 函 数 极 值 点 的 意 义 求 出 数 列 ? 的 通 项 ， 进 而 求 出 ? ，
? ?
?
再 求 作 答 .
2 0 2 3
1
4 3 2 ′ 3 2
【 详 解 】 函 数 ? ? = ? ? ? ? ? ? ? + 1 ， 求 导 得 ： ? ? = ? ? ? 3 ? ? ? 2 ? ， 依
? + 1 ? ? + 1 ?
4
′
题 意 ， ? 1 = 0 ，
即 ? = 3 ? + 2 ， 有 ? + 1 = 3 ( ? + 1 ) ， 而 ? + 1 = 3 ， 因 此 数 列 { ? + 1 } 是 首 项 为 3 ，
? + 1 ? ? + 1 ? 1 ?
公 比 为 3 的 等 比 数 列 ，
′ 3 2
此 时 ? ? = ( 3 ? + 2 ) ? ? 3 ? ? ? 2 ? = ? ( ? ? 1 ) [ ( 3 ? + 2 ) ? + 2 ] ， 而 3 ? + 2 > 0 ，
? ? ? ?
′ ′
即 当 0 < ? < 1 时 ， ? ? < 0 ， 当 ? > 1 时 ， ? ? > 0 ， 则 ? = 1 是 函 数 ? ( ? ) 的 极 值 点 ，
2 0 2 4 2 0 2 4 1 1
? ?
? = 3 ? + 2 ? + 1 = 3 ? = l o g 3 = ? = = 2 0 2 4 ( ? )
因 此 ， ， ， ，
? + 1 ? ? ? 3
? ? ? ( ? + 1 ) ? ? + 1
? ? + 1
1 1 1 1 1 1 2 0 2 4 ?
? ?
? = 2 0 2 4 [ ( 1 ? ) + ( ) + ? ? ? + ( ) ] = 2 0 2 4 ( 1 ? ) = ，
?
2 2 3 ? ? + 1 ? + 1 ? + 1
所 以 ? = 2 0 2 3 .
2 0 2 3
故 答 案 为 ： 2 0 2 3
5
1 6 ．
6
2 4
? ? 4 ? ? ? ?
1 ?
【 分 析 】 由 题 意 得 = ? = 2 ， 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 得 ? + ? = ， ? ? ? = ，
? ? 2 2 ? ? 2 2
? ? ? + 4 ? ? + 4 ?
2 ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
? + ? ? ?
? ? ? ?
再 利 用 = + 2 + ， 再 代 入 值 计 算 即 可 得 答 案 .
? ? ? ? ?
? ? ? ?
【 详 解 】 如 图 所 示 ， 由 椭 圆 定 义 可 得 ? ? + ? ? = 2 ? ， ? ? + ? ? = 2 ? ，
1 2 1 2
?
1
设 △ ? ? ? 的 面 积 为 ? ， △ ? ? ? 的 面 积 为 ? ， 因 为 = 3 ，
1 2 1 1 2 2
?
2
1 1
2 ? + 2 ? ? × 2 ? × ?
1 ?
? ? ?
1 1 ?
2 2
所 以 = = ? = ? = 2 ， 即 ? = ? 2 ? ，
1 1 ? ?
? ? ?
2 ? + 2 ? ? 2 × 2 ? × ? ? 2 ?
2 ?
2 2
设 直 线 ? : ? = 2 ? ? ? ， 则 联 立 椭 圆 方 程 与 直 线 ? ， 可 得
? = 2 ? ? ?
4
2 2 2 2
? ( ? + 4 ? ) ? ? 4 ? ?? ? ? = 0 ，
2 2 2 2 2 2
? ? + ? ? = ? ?
2 4
4 ? ? ? ?
由 韦 达 定 理 得 ： ? + ? = ， ? ? ? =
? ? ? ?
2 2 2 2
? + 4 ?
? + 4 ?
2
2
4 ? ?
2
2 2
? + ? ? ? 1 1
? ? ? ? ? + 4 ?
又 = + 2 + ， 即 = ? 2 + 2 ? = ?
4
? ?
? ? ? ? ? 2 2
? ? ? ?
2 2
? + 4 ?
2
1 6 ? 1
2 2 2 2 2 2
化 简 可 得 = ? 3 2 ? = ? + 4 ? ? ? ， 即 3 6 ? = 5 ? ，
2 2
? + 4 ? 2
5 5
2 2 2
即 3 6 ? = 5 ? 时 ， 有 ? = ? ? = .
3 6 6
5
故 答 案 为 ：
6
1 7 ． ( 1 ) ? = ? 2 ? + 1 ；
?
( 2 ) ? 3 1 3 .
?
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 给 定 条 件 ， 结 合 等 比 中 项 列 式 求 出 数 列 的 公 差 ， 即 可 求 解 作 答 .
?
（ 2 ） 利 用 （ 1 ） 的 结 论 ， 利 用 分 组 求 和 法 ， 结 合 等 差 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 计 算 作 答 .
【 详 解 （ 】 1 ） 设 等 差 数 列 ? 的 公 差 为 ? ( ? ≠ 0 ) ， 由 ? + ? = ? 1 0 得 2 ? = ? 1 0 ， 解 得 ? = ? 5 ，
?
2 4 3 3
2 2
又 ? 是 ? 和 ? 的 等 比 中 项 ， 有 ? = ? ? ， 则 ( ? + 2 ? ) = ( ? ? ? ) ( ? + 1 1 ? ) ，
5 2 1 4 5 2 1 4 3 3 3
2
整 理 得 1 5 ? = 6 ? ? ， 而 ? ≠ 0 ， 解 得 ? = ? 2 ， ? = ? + ( ? ? 3 ) ? = ? 2 ? + 1 ，
3 ? 3
? ? = ? 2 ? + 1
所 以 数 列 的 通 项 公 式 是 .
? ?
?
2 , ? ≤ 5
?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， ? ∈ N ， ? = ，
?
? 2 ? + 1 , ? ≥ 6想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
5
2 ( 1 ? 2 ) 1 5 ( ? + ? )
6 2 0
2 3 4 5
所 以 ? = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ? + ? + ? + ? = +
2 0 6 7 2 0
1 ? 2 2
= 6 2 + 1 5 ? = 6 2 + 1 5 × ( ? 2 5 ) = ? 3 1 3 .
1 3
1 8 ． ( 1 ) 极 大 值 ? ( ? 2 ) = 1 2 ， 极 小 值 ? ( 2 ) = ? 2 0 ；
1
( 2 ) ? > .
4
? = 4
【 分 析 】 （ 1 ） 把 代 入 ， 利 用 导 数 求 出 函 数 的 极 值 作 答 .
（ 2 ） 根 据 给 定 条 件 ， 求 出 函 数 的 极 大 值 与 极 小 值 ， 再 利 用 三 次 函 数 的 图 象 特 征 列 出 不 等 式
求 解 作 答 .
3 ′ 2
【 详 解 】 （ 1 ） 当 ? = 4 时 ， ? ? = ? ? 1 2 ? ? 4 ， 求 导 得 ： ? ( ? ) = 3 ? ? 1 2 = 3 ( ? + 2 ) ( ? ? 2 ) ，
′ ′
当 ? < ? 2 或 ? > 2 时 ， ? ( ? ) > 0 ， 当 ? 2 < ? < 2 时 ， ? ( ? ) < 0 ，
因 此 函 数 ? ( ? ) 在 ( ? ∞ , ? 2 ) , ( 2 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 ， 在 ( ? 2 , 2 ) 上 单 调 递 减 ，
? = ? 2 ? = 2
所 以 函 数 ? ( ? ) 在 取 得 极 大 值 ? ( ? 2 ) = 1 2 ， 在 取 得 极 小 值 ? ( 2 ) = ? 2 0 .
3 ′ 2
（ 2 ） 函 数 ? ? = ? ? 3 ? ? ? ? ， 求 导 得 ： ? ( ? ) = 3 ? ? 3 ? ，
′
当 ? ≤ 0 时 ， ? ( ? ) ≥ 0 ， 当 且 仅 当 ? = 0 且 ? = 0 时 取 等 号 ， 函 数 ? ( ? ) 在 R 上 单 调 递 增 ， ? ( ? )
最 多 一 个 零 点 ， 不 符 合 题 意 ，
′ ′
当 ? > 0 时 ， 当 ? < ? ? 或 ? > ? 时 ， ? ( ? ) > 0 ， 当 ? ? < ? < ? 时 ， ? ( ? ) < 0 ，
因 此 函 数 ? ( ? ) 在 ( ? ∞ , ? ? ) , ( ? , + ∞ ) 上 单 调 递 增 ， 在 ( ? ? , ? ) 上 单 调 递 减 ，
则 函 数 ? ( ? ) 在 ? = ? ? 取 得 极 大 值 ? ( ? ? ) = 2 ? ? ? ? ， 在 ? = ? 取 得 极 小 值 ? ( ? ) = ?
2 ? ? ? ? ，
? ( ? ? ) > 0 2 ? ? ? ? > 0
1
因 为 三 次 函 数 ? ? 有 三 个 零 点 ， 从 而 ， 即 ， 解 得 ? > ，
4
? ( ? ) < 0 ? 2 ? ? ? ? < 0
1
所 以 实 数 ? 的 取 值 范 围 是 ? > .
4
2
?
2
1 9 ． ( 1 ) ? ? = 1 ；
2
( 2 ) ? ? ? ? 2 = 0 或 7 ? ? ? ? 1 4 = 0 .
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 给 定 条 件 ， 设 出 双 曲 线 的 方 程 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 解 作 答 .
（ 2 ） 设 出 直 线 ? 的 方 程 ， 与 双 曲 线 方 程 联 立 ， 利 用 韦 达 定 理 结 合 垂 直 关 系 的 向 量 表 示 求 解 作想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
答 .
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 依 题 意 ， 设 双 曲 线 ? 的 方 程 为 ： ? ? ? ? ? = 1 , ?? > 0 ， 而 双 曲 线 ? 经 过 点 ? 3 , 4 ，
点 ? 2 , 2 ，
9 ? ? 1 6 ? = 1 1 1
2 2
则 有 ， 解 得 ? = 1 , ? = ， 即 有 ? ? ? = 1 ，
2 2
2 ? ? 2 ? = 1
2
?
2
所 以 双 曲 线 ? 的 标 准 方 程 为 ： ? ? = 1 .
2
? ? ? = ? ? + 2
（ 2 ） 显 然 直 线 不 垂 直 于 y 轴 ， 设 直 线 的 方 程 为 ： ，
? = ? ? + 2
2 2 2
由 消 去 ? 得 ： ( 2 ? ? 1 ) ? + 8 ? ? + 6 = 0 ， 显 然 2 ? ? 1 ≠ 0 ，
2 2
2 ? ? ? = 2
2 2 2
Δ = 6 4 ? ? 2 4 ( 2 ? ? 1 ) = 1 6 ? + 2 4 > 0 ， 设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? ) ，
1 1 2 2
8 ? 6
则 有 ? + ? = ? , ? ? = ， 因 为 以 线 段 ? ? 为 直 径 的 圆 刚 好 经 过 点 ? ，
1 2 2 1 2 2
2 ? ? 1 2 ? ? 1
? ? ? ? ? = 0 ? ? = ( ? ? 2 , ? + 2 ) , ? ? = ( ? ? 2 , ? + 2 )
即 有 ， 而 ，
1 1 2 2
2
于 是 得 ( ? ? 2 ) ( ? ? 2 ) + ( ? + 2 ) ( ? + 2 ) = 0 ， 即 ( ? + 1 ) ? ? + 2 ( ? + ? ) + 4 = 0 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
2
6 ( ? + 1 ) 1 6 ? 1
2
有 ? + 4 = 0 ， 整 理 得 ： 7 ? ? 8 ? + 1 = 0 ， 解 得 ? = 1 或 ? = ，
2 2
2 ? ? 1 2 ? ? 1 7
1
因 此 直 线 ? ： ? = ? + 2 或 ? = ? + 2 ，
7
所 以 直 线 ? 的 方 程 为 ? ? ? ? 2 = 0 或 7 ? ? ? ? 1 4 = 0 .
?
2 0 ． ( 1 ) ? = 2 ；
?
( 2 ) 存 在 ， 0 .
?
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 给 定 的 递 推 公 式 ， 探 讨 数 列 的 性 质 ， 再 求 出 其 通 项 公 式 作 答 .
?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 求 出 ? ， 利 用 错 位 相 减 法 求 出 ? ， 再 结 合 数 列 不 等 式 恒 成 立 求 解 作 答 .
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 数 列 ? 的 前 ? 项 和 为 ? ， ? = 2 ? ? 2 ， 当 ? ≥ 2 时 ， ? = 2 ? ? 2 ， 两 式
?
? ? ? ? ? 1 ? ? 1
相 减 得 ：
? = 2 ? ? 2 ? ， 即 有 ? = 2 ? ， 而 ? = ? = 2 ? ? 2 ， 即 ? = 2 ， 因 此 数 列 ? 是 首 项
? ? ? ? 1 ? ? ? 1 1 1 1 1 ?
为 2 ， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ，
?
所 以 数 列 ? 的 通 项 公 式 是 ? = 2 .
? ?
2 ? ? 1
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， ? = ，
?
?
2
1 3 5 2 ? ? 1
? = + + + ? +
，
? 2 3 ?
2 2 2 2
1 1 3 5 2 ? ? 3 2 ? ? 1
则 ? = + + + ? + + ，
? 2 3 4 ? ? + 1
2 2 2 2 2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1 1
( 1 ? )
1 1 1 1 1 2 ? ? 1 1 ? ? 1 2 ? ? 1 3 2 ? + 3
2
2
两 式 相 减 得 ： ? = + + + ? + ? = + ? = ? ，
? 1
2 ? ? 1 ? + 1 ? + 1 ? + 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 ?
2
2 ? + 3
?
于 是 得 ? = 3 ? ， 显 然 ? ? ∈ N ， ? < 3 ，
? ?
?
2
?
假 设 存 在 实 数 ? ， 使 得 ? < ? ? 1 ? + 3 对 任 意 ? ， ? ∈ N 恒 成 立 ，
? ?
? ? ?
则 存 在 实 数 ? ， 使 得 ? ? 1 ? + 3 ≥ 3 对 任 意 ? ∈ N 恒 成 立 ， 即 ? ? ∈ N ， ? ? 1 ? 2 ≥
?
?
0 ? ? ? 1 ≥ 0 成 立 ，
? ? ≥ 0 ? ? ≤ 0 ? = 0
当 为 正 偶 数 时 ， ， 当 为 正 奇 数 时 ， ， 从 而 ，
?
所 以 存 在 实 数 ? ， 使 得 ? < ? ? 1 ? + 3 对 任 意 ? ， ? ∈ N 恒 成 立 ， ? 的 值 为 0 .
? ?
2
?
2
2 1 ． ( 1 ) + ? = 1 ；
2
2
( 2 ) 存 在 ， ( , 0 ) .
?
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 设 点 ?( ? , ? ) ， 依 题 意 ， | ?? | = | ? ? 3 | , | ?? | = ( ? ? 1 ) + ? ， 则 | ? ? 3 | = 2 ?
2 2
( ? ? 1 ) + ? + 1 ，
2 2 2 2 2 2
? ≥ 3 ? ? 4 = 2 ( ? ? 1 ) + 2 ? ? + 2 ? + 4 ? = 1 4 ( ? + 2 ) + 2 ? = 1 8
当 时 ， ， 整 理 得 ： ， 即 ，
2 2
因 为 ( ? + 2 ) + 2 ? ≥ 2 5 > 1 8 ， 则 当 ? ≥ 3 时 ， 不 成 立 ，
2 2 2 2
当 ? < 3 时 ， 2 ? ? = 2 ( ? ? 1 ) + 2 ? ， 整 理 得 ? + 2 ? = 2 ， 显 然 符 合 题 意 ，
2
?
2
所 以 点 ? 的 轨 迹 方 程 是 + ? = 1 .
2
（ 2 ） 假 设 存 在 符 合 条 件 的 点 ? ( ? , ? ) , ? ≠ ? ， 设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? ) ，
0 0 0 1 1 2 2
? = ?? + ?
当 直 线 ? ? 不 垂 直 于 y 轴 时 ， 设 其 方 程 为 ? = ?? + ? ， 由 消 去 x 得 ：
2 2
? + 2 ? = 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ? + 2 ) ? + 2 ?? ? + ? ? 2 = 0 ， 有 Δ = 4 ? ? ? 4 ( ? + 2 ) ( ? ? 2 ) > 0 ， 即 ? + 2 ? ? >
0 ，
2
2 ?? ? ? 2 | ? ? | | ? ? | | ? |
1
? + ? = ? , ? ? = ， 由 | ? ? | ? | ? ? | = | ? ? | ? | ? ? | 得 = = ，
1 2 1 2
2 2
? + 2 ? + 2 | ? ? | | ? ? | | ? |
2
2 2
( ? ? ? ) + ( ? ? ? ) | ? |
1 0 1 0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
则 = ， 即 ? ( ) + ? ( ) = ? ( ) + ? ( ) ，
2 1 0 2 1 0 1 2 0 1 2 0
2 2
| ? |
( ? ? ? ) + ( ? ? ? ) 2
2 0 2 0
2 2 2 2 2 2 2 2
? ( ? ? + ? ? ? ) + ? ( ? ? 2 ? ? ) = ? ( ? ? + ? ? ? ) + ? ( ? ? 2 ? ? ) ，
2 1 0 2 0 0 1 1 2 0 1 0 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
? ( ? ? ? ) ? ? + ? ? ? ( ? ? ? ) ? ? + ? ? ?
+ 2 ? ( ? ? ) ? ( ? 2 ? ? ) = + 2 ?( ? ? ) ? (
2 0 0 1 2 2 0 0 1 1 0 0 1 2 1 0
2 ? ?
) ，
0 2
2 2 2 2 2 2
( ? ? ? ) ( ? ? ? ) + 2 ?( ? ? ? ) ? ? ( ? ? ? ) + ? ( ? ? ? ) ? 2 ? ? ? ( ? ? ? ) = 0 ，
0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
2 1 0 2 1
2
2
( ? + ? ) ( ? ? ? ) + 2 ?( ? ? ? ) ? ? + ? ( ? + ? ) ? 2 ? ? ? = 0
，
2 1 0 0 1 2 0 2 1 0 1 2
2 2 2 2
( ? + ? ) [ ( ? ? ? ) + ? ] + [ 2 ?( ? ? ? ) ? 2 ? ] ? ? = 0 ， ? 2 ?? [ ( ? ? ? ) + ? ] + [ 2 ? ( ? ?
2 1 0 0 0 0 1 2 0 0想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
? ) ? 2 ? ] ( ? ? 2 ) = 0 ，
0 0
2 2 2
2 2 2 2
2 ? [ ( ? ? ? ) ( ? ? 2 ) ? ? ( ? ? ? ) ? ? ? ] ? 2 ? ( ? ? 2 ) = 0 2 ?[ ? ? ? ( ? + ? + 2 ) ? +
，
0 0 0 0 0 0 0
2
2 ? ] ? 2 ? ( ? ? 2 ) = 0 ，
0 0
2 2 2 2
因 为 2 ?[ ? ? ? ( ? + ? + 2 ) ? + 2 ? ] ? 2 ? ( ? ? 2 ) = 0 对 符 合 题 意 的 任 意 m 值 恒 成 立 ，
0 0 0
0 0
2 2 2 2 2
因 此 ? ? ? ( ? + ? + 2 ) ? + 2 ? = 0 且 2 ? ( ? ? 2 ) = 0 ， 由 2 ? ( ? ? 2 ) = 0 得 ? = 0 ，
0 0 0 0 0 0 0
2 2
2 2
则 有 ? ? ? ( ? + 2 ) ? + 2 ? = 0 ， 即 ( ? ? ? 2 ) ( ? ? ? ) = 0 ， 于 是 得 ? = ， 即 点 ? ( , 0 ) 为 定
0 0 0 0 0 0
? ?
点 ，
当 直 线 ? ? 垂 直 于 y 轴 时 ， 不 妨 令 ? ( 2 , 0 ) , ? ( ? 2 , 0 ) ， 由 | ? ? | ? | ? ? | = | ? ? | ? | ? ? | 得 ：
2
2 2
2 2
| ? ? 2 | ? ( ? + 2 ) + ? = | ? + 2 | ? ( ? ? 2 ) + ? ， 当 ? = 且 ? = 0 时 ， 上 述 等 式
0 0 0 0 0 0
?
成 立 ，
2
综 上 得 ： 存 在 定 点 ? ( , 0 ) ， 使 得 | ? ? | ? | ? ? | = | ? ? | ? | ? ? | 恒 成 立 ，
?
2
所 以 存 在 不 同 于 点 ? 的 一 定 点 ? ， 使 得 | ? ? | ? | ? ? | = | ? ? | ? | ? ? | 恒 成 立 ， 点 ? 的 坐 标 是 ( , 0 ) .
?
2 2 ． ( 1 ) ? ≥ 1 ；
( 2 ) 证 明 见 解 析 .
?
e ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 ? ? = 在 0 , + ∞ 上 单 调 递 增 ，
?
? ?
?e ? e ? ?
′ ′
所 以 ? ? = ≥ 0 在 0 , + ∞ 上 恒 成 立 ， 且 ? ? 不 恒 等 于 0 ，
2
?
? ?
?e ? e ? ?
′ ?
由 ? ? = ≥ 0 可 得 ? ≥ e 1 ? ? ，
2
?
? ′ ? ? ?
令 ? ? = e 1 ? ? ， 则 ? ? = e 1 ? ? ? e = ? ? e < 0 ，
?
所 以 ? ? = e 1 ? ? 在 0 , + ∞ 上 单 调 递 减 ，
所 以 ? ≥ ? 0 = 1 ；
（ 2 ） 因 为 ? ? = ? ? ? ?l n ? ， 其 定 义 域 为 0 , + ∞ ，
?
? e ? ? ?? 1
′ ′
所 以 ? ? = ? ? ? = ，
2
? ?
? ′
① 当 ? ≤ 1 时 ， e ? ? ≥ 0 ， 所 以 当 ? ∈ 0 , 1 时 ? ? < 0 ， ? ? 单 调 递 减 ，
′
当 ? ∈ 1 , + ∞ 时 ? ? > 0 ， ? ? 单 调 递 增 ，
2
所 以 ? ? 的 极 小 值 为 ? 1 = e ? ? > 0 ， 而 ? l n ? ≤ 0 ， 不 合 题 意 ，
′
② 当 1 < ? < e 时 ， 由 ? ? = 0 可 得 ? = l n ?或 ? = 1 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
′
当 ? ∈ 0 , l n ? 时 ， ? ? > 0 ， ? ? 单 调 递 增 ，
′
当 ? ∈ l n ?, 1 时 ， ? ? < 0 ， ? ? 单 调 递 减 ，
′
当 ? ∈ 1 , + ∞ 时 ， ? ? > 0 ， ? ? 单 调 递 增 ，
2
? ? ? 1 e ? ? > 0 ? l n ? < 0
所 以 的 极 小 值 为 = ， 而 ， 不 合 题 意 ，
′
③ 当 ? = e 时 ， ? ? ≥ 0 ， ? ? 在 0 , + ∞ 上 单 调 递 增 ， 不 合 题 意 ，
′
④ 当 ? > e 时 ， 由 ? ? = 0 可 得 ? = l n ?或 ? = 1 ，
′
当 ? ∈ 0 , 1 时 ， ? ? > 0 ， ? ? 单 调 递 增 ，
′
当 ? ∈ 1 , l n ? 时 ， ? ? < 0 ， ? ? 单 调 递 减 ，
′
当 ? ∈ l n ?, + ∞ 时 ， ? ? > 0 ， ? ? 单 调 递 增 ，
2
所 以 ? ? 的 极 小 值 为 ? l n ? = ? ?l n l n ? = ? l n ? ，
? 2
令 ? = l n ? ∈ 1 , + ∞ ， 则 e l n ? = ? ，
?
l n ? ? l n e
所 以 = = ，
? ?
? e e
l n ? 1 ? l n ?
? ′
令? ? = ? > 1 ， 则? ? = ? e ，? ? = ，
2
? ?
?
所 以? ? 在 1 , e 上 单 调 递 增 ， 在 e , + ∞ 上 单 调 递 减 ， 所 以 1 < ? < e < e ，
? ? 2 e ? ? l n ? ? ? l n 2 e ? ? 1 < ? < e
令 = ，
2 e ? ? ?
′
则 ? ? = ? l n ? + ? l n 2 e ? ? +
? 2 e ? ?
2 e ? ? ? 2 e ? ? ?
2 2 2
= ? l n ? 2 e ? ? + + = ? l n ? ? ? e + e + + > ? l n e + 2
? 2 e ? ? ? 2 e ? ?
= 0
所 以 ? ? 在 1 , e 上 单 调 递 增 ， 所 以 ? ? < ? e = 0 ，
l n ? l n 2 e ? ?
所 以 当 ? ∈ 1 , e 时 有 < ，
? 2 e ? ?
?
l n e l n ? l n 2 e ? ?
?
因 为 1 < ? < e < e ， 所 以 = < ，
?
e ? 2 e ? ?
?
又 因 为? ? 在 e , + ∞ 上 单 调 递 减 ， 所 以 e > 2 e ? ? ，
?
所 以 e + ? > 2 e ， 即 ? + l n ? > 2 e .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 巴 蜀 中 学 校 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． B
′
【 分 析 】 求 导 ， 利 用 ? 1 = 0 即 可 .
′ 2
【 详 解 】 因 为 ? ? = ? + 2 ? ? ? ，
′
所 以 ? 1 = 1 + 2 ? ? = 3 ? ? = 0 ，
? = 3
则 ，
故 选 ： B .
2 ． C
【 分 析 】 由 条 件 求 出 ? = 2 , 代 入 等 比 数 列 求 和 公 式 即 可 .
2 2 2
【 详 解 】 因 为 ? = ? ? ? = 2 ? , ? = ? ? = 2 ? ， 代 入 得 ： 2 ? = 4 2 ? ? 2 ，
3 1 2 1
2
? ? 4 ? + 4 = 0 ? = 2
即 ， 解 得 ，
4
2 ( 1 ? 2 )
故 ? = = 3 0 ，
4
1 ? 2
故 选 ： C .
3 ． A
【 分 析 】 对 点 ? 的 位 置 进 行 分 类 讨 论 ， 结 合 双 曲 线 的 定 义 可 求 得 ?? 的 值 .
2
2 2
【 详 解 】 在 双 曲 线 ? 中 ， ? = 2 ， ? = 3 ， ? = ? + ? = 7 ， 设 点 ? ? , ? ， 易 知 ? ( 7 , 0 ) ，
2
若 点 ? 在 双 曲 线 ? 的 右 支 上 ， 则 ? ≥ 2 ，
2
2
7 ? 7
2
? ? = ? ? 7 + ? = ? 2 7 ? + 4 = ? ? 2 ≥ 7 ? 2 ，
2
4 2
由 双 曲 线 的 定 义 可 得 ?? ? ?? = 2 ? = 4 ， 可 得 ?? = 0 ， 不 合 乎 题 意 ；
1 2 2
若 点 ? 在 双 曲 线 ? 的 左 支 上 ， 则 ? ≤ ? 2 ，
2
2
7 ? 7
2
? ? = ? ? 7 + ? = ? 2 7 ? + 4 = 2 ? ? ≥ 7 + 2 ，
2
4 2
由 双 曲 线 的 定 义 可 得 ?? ? ?? = 2 ? = 4 ， 可 得 ?? = 8 > 7 + 2 ， 合 乎 题 意 .
2 1 2
综 上 所 述 ， ?? = 8 .
2
故 选 ： A .
4 ． D
′
【 分 析 】 由 导 数 ? ? > 0 求 单 调 递 增 区 间 .
1 2 2 ? ? 1 1
′ ′
【 详 解 】 因 为 定 义 域 是 ? , + ∞ ， 且 ? ? = 1 ? = ， 令 ? ? > 0 ， 解 得 ： ? > ，
2 2 ?+ 1 2 ? + 1 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
故 单 调 递 增 区 间 是 , + ∞ ，
2
故 选 : D .
5 ． B
【 分 析 】 由 题 意 可 得 ? < 0 ， 再 由 等 差 数 列 的 性 质 对 选 项 一 一 判 断 即 可 得 出 答 案.
【 详 解 】 因 为 等 差 数 列 ? 存 在 最 大 项 ， 故 等 差 数 列 的 公 差 ? < 0 ，
?
又 ? = ? ， 即 ? + ? + ? + ? + ? = 0 ， 即 ? = 0 ，
5 1 0 6 7 8 9 1 0 8
则 ? + ? < ? + ? = 0 ， 故 选 项 A 错 误 ；
1 1 6 1 1 5
? + ? < ? + ? = 0
， 故 选 项 B 正 确 ；
2 1 5 1 1 5
? + ? > ? + ? = 0 ， 故 选 项 C 错 误 ；
1 1 4 1 1 5
而 ? + ? = ? + ? = 0 ， 故 选 项 D 错 误 ；
1 5
2 1 4 1
故 选 ： B .
6 ． C
? = 0 ? ? ? = ? 1
【 分 析 】 当 时 ， 对 函 数 ? 求 导 ， 求 出 ? 的 单 调 性 和 最 值 ， 即 可 判 断 C ， D ； 再 令
和 ? = ? 2 ， 求 出 函 数 ? ? 的 单 调 性 和 最 值 ， 可 判 断 A ， B .
′
【 详 解 】 因 为 ? = 0 时 ， ? ? = 2 ? l n ? ? > 0 ， ? ? = 2 l n ? + 2 = 0 ? > 0 ，
1 1 1
解 得 ： ? = ， 所 以 ? ? 在 0 , 上 单 调 递 减 ， 在 , + ∞ 上 单 调 递 增 ，
e e e
1 1 1 2
而 ? = 2 ? ? l n = ? ， 当 ? 趋 近 于 正 无 穷 ， 则 ? ? 趋 近 于 正 无 穷 ，
e e e e
所 以 ? ? 存 在 零 点 ， 故 排 除 D .
1
当 ? = ? 1 时 ， 令 ? ? = 2 ? l n ? + ? + 1 = 0 ， 即 2 l n ? + 1 + = 0 ，
?
1 2 ? ? 2
′
? = ? + 1 ? 2 l n ? = 0 ? ? = ? + 1 ? 2 l n ? ? ? = 1 ? =
令 ， 即 ， 令 ， 故 ，
? ? ?
′ ′
当 ? ∈ 0 , 2 时 ， ? ? < 0 ， 当 ? ∈ 2 , + ∞ 时 ， ? ? > 0 ，
故 ? ? ≥ ? 2 = 3 ? 2 l n 2 > 0 ，
所 以 此 时 无 零 点 ， 故 ? = ? 1 时 没 有 零 点 ， 故 B 不 正 确 ；
当 ? ≤ ? 1 时 ， ? ? = 2 ? l n ? ? ? ? + 1 ≥ 2 ? l n ? + ? + 1 > 0 ， 也 不 存 在 零 点 ， 故 A 不 正
确 ；
故 选 ： C .
7 ． B想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 求 出 圆 心 、 半 径 ， 得 出 ? ? < ? ， 即 点 ? 0 , 1 在 圆 内 . 当 ? ? ⊥ ? 时 ， 弦 长 最 小 ， 根 据
勾 股 定 理 即 可 求 出 答 案 .
【 详 解 】 由 已 知 可 得 圆 心 ? 1 , 0 ， 半 径 ? = 2 .
2 2
因 为 ? ? = 1 ? 0 + 0 ? 1 = 2 < ? ， 所 以 点 ? 0 , 1 在 圆 内 .
所 以 ， 当 ? ? ⊥ ? 时 ， 弦 心 距 最 大 ， 弦 长 最 小 .
2 2
所 以 弦 长 ? ? 的 最 小 值 是 ? ? = 2 ? ? ? ? = 2 2 .
故 选 ： B .
8 ． C
?
0
【 分 析 】 根 据 导 数 的 几 何 意 义 设 切 点 坐 标 ? ? , ? ， 求 解 切 线 方 程 为 ? ? ? ? 2 e = ? ?
0 0 0 0
?
0
1 e ? ? ? ， 代 入 点 ? ? , 0 ， 得 到 关 于 ? 的 含 参 方 程 ， 孤 立 参 数 ， 构 造 函 数? ? = ? +
0 0
1
, ? ≠ 0 利 用 导 数 确 定 函 数 的 取 值 情 况 ， 满 足 方 程 的 根 又 两 个 ， 从 而 可 得 实 数 ? 的 取 值 范 围 .
?
? ′ ?
0
【 详 解 】 解 ： 设 切 点 是 ? ? , ? ， ? ∈ R ， 即 ? = ? ? 2 e ， 而 ? = ? ? 1 e
0 0 0 0 0
? ? ?
0 0 0
故 切 线 斜 率 ? = ? ? 1 e ， 切 线 方 程 是 ? ? ? ? 2 e = ? ? 1 e ? ? ? ，
0 0 0 0
? ?
0 0
又 因 为 切 线 经 过 点 ? ? , 0 ， 故 ? ? ? 2 e = ? ? 1 e ? ? ? ， 显 然 ? ≠ 1 ，
0 0
0 0
2 ? ? 1
0
则 ? = + ? = ? ? 1 + ， 在 ? ≠ 1 上 有 两 个 交 点 ，
0 0 0
? ? 1 ? ? 1
0 0
2
1 1 ? ? 1
′ ′
令 ? = ? ? 1 ， 设? ? = ? + , ? ≠ 0 ， 则? ? = 1 ? = ， 令? ? = 0 得 ? = ? 1 ，
0 2 2 1
? ? ?
? = 1 ，
2
′ ′
? ? > 0 ? ? ∈ ? 1 , 0 ? ? < 0 ?
所 以 当 ? ∈ ? ∞ , ? 1 时 ， ，? 单 调 递 增 ， 当 时 ， ，?
单 调 递 减 ，
′ ′
当 ? ∈ 0 , 1 时 ，? ? < 0 ，? ? 单 调 递 减 ， 当 ? ∈ 1 , + ∞ 时 ，? ? > 0 ，? ? 单 调
递 增 ，
? +
又? ? 1 = ? 2 ，? 1 = 2 ， 且 ? → ? ∞ 时 ，? ? → ? ∞ ， ? → 0 时 ，? ? → ? ∞ ， ? → 0
时 ，? ? → + ∞ ， ? → + ∞ 时 ，? ? → + ∞ ，
所 以 ? = ? ? 有 两 个 交 点 ， 则 ? > 2 或 ? < ? 2 ， 故 实 数 ? 的 取 值 范 围 是
? ∞ , ? 2 ∪ 2 , + ∞ .
故 选 ： C .
9 ． A D想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 将 圆 ? 的 方 程 配 成 标 准 方 程 ， 可 判 断 A B 选 项 ， 利 用 圆 的 参 数 方 程 可 判 断 C 选 项 ，
将 点 ? 坐 标 代 入 直 线 方 程 可 得 点 在 线 上 ， 再 根 据 圆 心 到 直 线 的 距 离 可 判 断 直 线 与 圆 相 切
2 2
【 详 解 】 将 圆 配 方 成 标 准 方 程 为 ： ? : ? ? 1 + ? = 4 ， 圆 心 是 1 , 0 ， 半 径 是 2 ， 故 选 项 A
正 确 ， 选 项 B 错 误 ；
?
= 1 + 2 c o s ? ?
0
? + 3 ? = 1 + 2 c o s ? + 2 3 s i n ? = 4 s i n ? + +
由 圆 的 参 数 方 程 得 ： ， 则
0 0
? = 2 s i n ? 6
0
1 ，
故 解 得 ? + 3 ? 的 最 小 值 是 ? 3 ， 故 选 项 C 错 误 ；
0 0
? ? , ? ? ? 1 ? + ? ? ? ? ? 3 = 0 ? ? , ?
将 代 入 直 线 方 程 得 ： ， 即 在 直 线 上 ，
0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 4
又 圆 心 到 直 线 的 距 离 ? = = = 2 ， 故 直 线 与 圆 相 切 ， 故 选 项 D 正 确 ；
2 2 2
2
? ? 1 + ? ? ? 2 ? + ? + 1
0
0 0 0 0
故 选 ： A D .
1 0 ． B C D
【 分 析 】 取 特 例 可 说 明 A 项 ； 根 据 函 数 的 奇 偶 性 得 到 关 系 式， 根 据 复 合 函 数 的 求 导 法 则 ， 两
边 同 时 求 导 即 可 判 断 C 、 D 项 .
′ ′
【 详 解 】 对 于 A 项 ， 令 ? ? = ? ， ? ? = ? + 1 ， 则 ? ? = ? ? = 1 ， 但 是 ? ? = ? ?
不 成 立 ， 故 A 错 误 ；
′ ′
对 于 B 项 ， 若 ? ? = ? ? ， 则 ? ? = ? ? ， 故 B 正 确 ；
? ? ?
对 于 C 项 ， 由 已 知 可 得 ? = ? ? ， 两 边 同 时 求 导 得 ：
′ ′ ′ ′ ′
? ? ? ? = ? ? ? ， 即 ? ? ? = ? ? ， 故 ? ? 是 偶 函 数 ， 故 C 项 正 确 ；
′ ′ ′
对 于 D 项 ， 由 已 知 可 得 ? ? ? = ? ? ， 两 边 同 时 求 导 得 ： ? ? ? ? = ? ? ， 所 以 ? ?
是 奇 函 数 ， 故 D 项 正 确 .
故 选 ： B C D .
1 1 ． A D
? + 1 ? ?
? ? 3 = 2 ? ? 3 ? ? ? 3 ? = 2 ? ? = 3
【 分 析 】 由 已 知 可 得 . 构 造 = ， 有 . 分 以
? + 1 ? ? ? ? + 1 ?
及 ? ≠ 3 讨 论 ， 求 出 ? 的 通 项 公 式 ， 即 可 判 断 各 项 正 误 .
?
? + 1 ?
【 详 解 】 由 已 知 可 得 ， ? ? 3 = 2 ? ? 3 .
?
? + 1
?
令 ? = ? ? 3 ， 则 ? = 2 ? .
? ? ? + 1 ?
又 ? = ? ? 3 = ? ? 3 ，
1 1
? ?
? = 3 ? ? ? 3 = 0 ? 3
当 ， = ， 所 以 = ；
? ? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
当 ? ≠ 3 时 ， ? 是 以 ? = ? ? 3 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ，
? 1
? ? 1
所 以 ? = ? ? 3 ? 2 .
?
? ? ? 1 ?
所 以 ? = ? + 3 = ? ? 3 ? 2 + 3 .
? ?
? ? 1 ? ? ?
对 于 A 项 ， 当 ? = 1 时 ， 有 ? = 1 ? 3 × 2 + 3 = 3 ? 2 ， 故 A 项 正 确 ；
?
? ? ? 1 ?
? ≠ 3 ? + 3 ? ? 3 ? 2 + 2 ? 3
对 于 B 项 ， 当 ， = 不 是 等 比 数 列 ， 故 B 项 错 误 ；
?
? ?
对 于 C 项 ， 因 为 当 ? = 3 ， ? = 3 ， ? ? 3 = 0 不 是 等 比 数 列 ， 故 C 项 错 误 ；
? ?
?
? + 1
?
对 于 D 项 ， 因 为 当 ? = 3 ， ? = 3 ， 所 以 = 3 对 ? ? ∈ N 都 成 立 ， 所 以 ? 是 等 比 数 列 ，
? + ?
?
?
故 D 项 正 确 .
故 选 ： A D .
1 2 ． A C D
?
【 分 析 】 设 出 直 线 ? ? 方 程 ， 与 抛 物 线 联 立 ， 根 据 韦 达 定 理 得 出 ? ? = ? 2 ? ? ， 当 ? = 时 ， 该
1 2
2
2
?
2 2
式 与 ? ? = ? ? 等 价 ， 即 可 说 明 A 项 ； 由 A 项 结 合 点 在 抛 物 线 上 ， 可 得 ? ? = ? ， 由 ? ? = ，
1 2 1 2 1 2
4
1 ? ?
可 得 ? = ± ? ， 与 ? = 不 等 价 ， 即 可 说 明 B 项 ； 根 据 图 象 以 及 几 何 关 系 可 得 ? ? = ，
2 2 1 ? c o s ?
? 1 1 2 9 ?
? ? = + = ? ? + 4 ? ? ≥
， 即 有 . 根 据 “ 1 ” 的 代 换 ， 结 合 基 本 不 等 式 可 求 得 ，
1 + c o s ? ? ? ? ? ? 2
1
结 合 已 知 即 可 判 断 C 项 ； 根 据 垂 直 关 系 以 及 坐 标 ， 可 用 数 量 积 求 得 ? = 2 ? . 得 出 ? = ×
△ ?? ?
2
2 ? ? ? ? ， 进 而 根 据 基 本 不 等 式 求 出 ? + ? ? ≥ 4 ? ， 即 可 判 断 D 项 .
1 2 1 2
?
【 详 解 】 对 于 A 项 ， 因 为 ? , 0 ， 假 设 ? ? 直 线 方 程 为 ? = ?? + ? ， 因 为 ? ? , ? , ? ? , ? ，
1 1 2 2
2
2
? = 2 ? ?
2
联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 ， 消 去 ? 得 ： ? ? 2 ? ?? ? 2 ? ? = 0 .
? = ?? + ?
2 2
Δ = 4 ? ? + 8 ? ? > 0 ，
?
2
由 韦 达 定 理 得 ： ? ? = ? 2 ? ? ， 当 ? ? = ? ? 时 ， 解 得 ? = ， 满 足 Δ > 0 ， 故 直 线 经 过 焦 点
1 2 1 2
2
?
? , 0 ；
2
? ?
2
当 直 线 经 过 焦 点 ? , 0 时 ， ? = ， 解 得 ? ? = ? ? ， 故 A 正 确 ；
1 2
2 2
2 2
2 2
? ? 4 ? ? ? ?
1 2
2
对 于 B 项 ， 因 为 ? = ， ? = ， 所 以 ? ? = = ? ， 故 直 线 过 焦 点 ? , 0 时 ， ? = ，
1 2 1 2 2
2 ? 2 ? 4 ? 2 2
2
?
则 ? ? = ；
1 2
4
2 2
? ? 1 ?
2
? ? = ? = ? = ± ? ? , 0
当 时 ， 即 ， 解 得 ， 则 不 一 定 过 焦 点 ， 故 选 项 B 错 误 ；
1 2
4 4 2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
对 于 C 项 ， 假 设 直 线 ? ? 的 倾 斜 角 为 ? .
? ? ? ? ? ⊥ ? ? ? ? ⊥ ? ? ? ? ? ⊥ ? ? ?
如 图 ， 为 抛 物 线 的 准 线 . 过 点 作 轴 于 点 ， 作 于 ， 于 .
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
?
? ?
1
? ? ?
2
则 在 R t △ ? ? ? 中 ， 有 ? ? = = ， 又 ? ? = ? ? = ? + ，
1 1
c o s ? c o s ? 2
?
? ?
1
? ? 1 + c o s ? ? ?
2
所 以 = ? + ， 解 得 ? = ? ， 所 以 ? ? = ? + = .
1 1 1
c o s ? 2 2 1 ? c o s ? 2 1 ? c o s ?
?
同 理 可 得 ， ? ? = .
1 + c o s ?
1 1 2
所 以 + = .
? ? ? ? ?
? ?
? 1 1 ? 4 ? ? ? ? ? 4 ? ?
所 以 ? ? + 4 ? ? = ? ? + 4 ? ? + = + + 5 ≥ 2 ? +
2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ?
9 ?
5 = ，
2
4 ? ? ? ?
当 且 仅 当 = ， 即 ? ? = 2 ? ? 时 ， 等 号 成 立 .
? ? ? ?
9 ?
所 以 ? ? + 4 ? ? 有 最 小 值 ，
2
9 ?
又 ? ? + 4 ? ? 的 最 小 值 是 9 ， 所 以 = 9 ， 解 得 ? = 2 . 故 C 正 确 ；
2
π
对 于 D 项 ， ? ? 直 线 方 程 为 ? = ?? + ? ， 因 为 ∠ ? ? ? = ， 即 ? ? ⊥ ? ? ， 即 ? ? ? ? ? = 0 ， 故 ? ? +
1 2
2
? ? = 0 ，
1 2
2 2
由 A 知 ， ? ? = ? 2 ? ? ， ? ? = ? ， 所 以 ? ? 2 ? ? = 0 ， 解 得 ? = 2 ? 或 ? = 0 （ 舍 ） .
1 2 1 2
故 直 线 A B 在 ? 轴 上 的 交 点 坐 标 为 ? 2 ? , 0 .
1 1 1
故 ? = ? + ? = × 2 ? ? + × 2 ? ? = × 2 ? ? ? ? ，
△ ?? ? △ ?? ? △ ?? ? 1 2 1 2
2 2 2
2
根 据 ? ? = ? 2 ? ? ， 且 ? = 2 ? 得 ? ? = ? 4 ? ，
1 2 1 2
2
2
故 ? × ? ? = 4 ? ， 故 ? + ? ? ≥ 2 4 ? = 4 ? ，
1 2 1 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
2
所 以 ? = × 2 ? ? ? ? ≥ 4 ? .
△ ?? ? 1 2
2
又 ? 的 面 积 最 小 值 是 1 6 ， 故 解 得 ? = 2 ， 故 D 正 确 ；
△ ?? ?
故 选 ： A C D .
【 点 睛 】 方 法 点 睛 ： 利 用 韦 达 定 理 法 解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 问 题 的 基 本 步 骤 如 下 ：
（ 1 ） 设 直 线 方 程 ， 设 交 点 坐 标 为 ? , ? , ? , ? ；
1 1 2 2
（ 2 ） 联 立 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 方 程 ， 得 到 关 于 ? （ 或 ? ） 的 一 元 二 次 方 程 ， 必 要 时 计 算 Δ ；
（ 3 ） 列 出 韦 达 定 理 ；
? + ? ? ? ? + ? ? ?
（ 4 ） 将 所 求 问 题 或 题 中 的 关 系 转 化 为 、 （ 或 、 ） 的 形 式 ；
1 2 1 2 1 2 1 2
（ 5 ） 代 入 韦 达 定 理 求 解 .
1
1 3 ． ? / ? 0 . 5
2
?
′
【 分 析 】 对 函 数 ? ? 求 导 ， 即 可 求 出 ? 的 值 .
3
? 2 1
′ 2 2 ′
【 详 解 】 因 为 ? ? = s i n ? c o s ? ， 故 ? ? = c o s ? ? s i n ? = c o s 2 ? , ? = c o s ? = ? .
3 3 2
1
故 答 案 为 ： ? .
2
1 4 ． 3
? ? ? = 6 ? + 2 ? ≥ 2 ? ?
【 分 析 】 由 与 的 关 系 转 化 求 出 ， 由 也 符 合 求 得 的 值 .
? ? ? 1
2 2
【 详 解 】 因 为 ? = 3 ( ? + 1 ) ? ? ? ? = 3 ? + 5 ? + 3 ? ? ，
?
2 2
当 ? ≥ 2 时 , ? = ? ? ? = 3 ? + 5 ? + 3 ? ? ? 3 ( ? ? 1 ) + 5 ? ? 1 + 3 ? ? = 6 ? + 2 ，
? ? ? ? 1
因 为 { ? } 是 等 差 数 列 , 所 以 当 ? = 1 时 ， ? = 1 1 ? ? 也 符 合 上 式 , 故 ? = 3 ；
? 1
故 答 案 为 : 3
4
1 5 ． / 0 . 8
5
2 2
? + ? = 2 5
? ? = 1 2
°
【 分 析 】 根 据 已 知 可 得 ， 解 出 ? , ? 的 值 . 又 由 题 意 可 推 得 ∠ ? ? ? ≥ 9 0 ， 进 而
1 2
? > 0
? > 0
2 5
2
可 得 出 ? ≥ ， 求 出 ? = 4 ， 即 可 得 出 离 心 率 .
2
2 2 2
【 详 解 】 因 为 ? = 2 5 ， ? + ? = 2 5 ，
又 ? ? = 1 2 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
? + ? = 2 5
? = 3 ? = 4
? ? = 1 2
联 立 ， 解 得 或 .
? = 4 ? = 3
? > 0
? > 0
2 2
设 椭 圆 的 上 顶 点 为 ? ， 则 ? 0 , ? ， 则 ? ? = ? ? = ? + ? = ? .
1 1 1 1 2 1
°
因 为 椭 圆 ? 上 存 在 一 点 ? ， 满 足 ∠ ? ? ? = 9 0 ，
1 2
°
所 以 ∠ ? ? ? ≥ 9 0 .
1 1 2
2 5
2 2 2 2 2 2
? ? ≥ ? ? + ? ? 4 ? ≥ 2 ? = 5 0 ? ≥ ? = 4
即 ， 即 ， 即 ， 所 以 .
1 2 1 1 1 2
2
? 4
所 以 ， ? = = .
? 5
4
故 答 案 为 ： .
5
1
1 6 ． 1 ?
? + 1
? + 1 2 ? 1
【 分 析 】 将 数 列 ? 的 通 项 公 式 进 行 裂 项 ， 利 用 裂 项 相 消 法 求 和 .
?
? + 1 ?
?
? + 2 2 ? + 1 2 ? 1 ? ? × 2 ? 1 1 1
? = = = ?
【 详 解 】 因 为 ，
? 2 ? ? ? + 1 ? ? ? + 1
2 ? + 2 ? ? 4 ? 3 ? + 2 ? 2 + 1 ? + 1 2 ? 1 ? × 2 ? 1 ? × 2 ? 1 ? + 1 2 ? 1
1 1 1 1 1
故 ? = 1 ? ， ? = ? ， ? ， ? = ? ，
1 2 ?
? ? + 1
7 7 ? × 2 ? 1
2 3 ? + 1 2 ? 1
1 1 1 1 1 1
所 以 ? = ? + ? + ? + ? = 1 ? + ? + ? + ? = 1 ? ，
? 1 2 ?
? ? + 1 ? + 1
7 7 2 3 ? × 2 ? 1 ? + 1 2 ? 1 ? + 1 2 ? 1
1
故 答 案 为 ： 1 ? .
? + 1
? + 1 2 ? 1
? = 2 ? ? 1
1 7 ． ( 1 ) ；
?
2 ? + 1
2 2
( 2 ) ? = ? .
?
3 3
2 ? + 5 ? = 1 2 ? = 1 ? = 2
【 分 析 】 （ 1 ） 由 已 知 可 得 ， 代 入 ， 求 出 ， 即 可 得 到 通 项 公 式 ；
1 1
1
?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， ? = × 4 ， 得 到 ? 是 ? = 2 为 首 项 ， 以 4 为 公 比 的 等 比 数 列 . 进 而 根
? ? 1
2
据 等 比 数 列 前 ? 项 和 公 式 ， 即 可 求 出 答 案 .
? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 设 公 差 为 .
?
由 ? + ? = 1 2 可 得 ， 2 ? + 5 ? = 1 2 .
2 5 1
又 ? = 1 ， 所 以 ? = 2 .
1
所 以 ? = 1 + 2 ? ? 1 = 2 ? ? 1 .
?
1
? 2 ? ? 1 ?
?
（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， ? = 2 = 2 = × 4 .
?
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
?
? + 1
则 = 4 ， 故 ? 是 ? = 2 为 首 项 ， 以 4 为 公 比 的 等 比 数 列 .
? 1
?
?
? ? 2 ? + 1
2 × 1 ? 4 2 × 4 ? 2 2 2
所 以 ? = ? + ? + ? ? = = = ? .
? 1 2 ?
1 ? 4 3 3 3
1 8 ． ( 1 ) 5 ；
2 2
? ?
( 2 ) ? = 1
9 3 6
? ?
2 2 2
【 分 析 】 （ 1 ） 依 题 意 可 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 ? = ± ? ， 从 而 得 到 = 2 ， 再 根 据 ? = ? + ?
? ?
即 可 求 出 离 心 率 ；
（ 2 ） 首 先 得 到 直 线 ? 方 程 为 ? = ? + ? ， 设 ? ? , ? ， 联 立 直 线 与 双 曲 线 方 程 ， 即 可 求 出 ?
? ?
点 纵 坐 标 ， 根 据 弦 长 公 式 求 出 ? 的 值 ， 即 可 得 解 .
2 2
? ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 因 为 双 曲 线 ? : ? = 1 ( ? > 0 , ? > 0 ) ， 故 渐 近 线 方 程 是 ： ? = ± ? ， 又
2 2
? ? ?
?
2 2 2 2
渐 近 线 方 程 是 2 ? ± ? = 0 ， 故 = 2 ， 即 ? = 2 ? ， 故 ? = ? + ? = 5 ? ，
?
2
故 ? = 5 ， ∴ ? = 5 ；
?
（ 2 ） 解 ： 因 为 直 线 ? 的 倾 斜 角 为 ， 故 直 线 ? 斜 率 是 1 ， 又 直 线 ? 经 过 ? ? , 0 ， 则 直 线 ? 方 程 为 ? =
4
? + ? ， 设 ? ? , ? ，
? ?
2 2
? ?
? = 1
2 2 2
2 2
由 ? 4 ? ， 消 去 ? 得 4 ( ? + ? ) ? ? ? 4 ? = 0 ，
? = ? + ?
8
2
故 3 ? + 8 ? ? = 0 ， 解 得 ? = ? ? ， 又 ? = 0 ，
? ?
3
8
2 2 2
则 ? ? = 1 + 1 ? ? ? = 2 × ? = 8 2 ， 解 得 ? = 3 ， 故 ? = 9 ， ? = 4 ? = 3 6 ，
? ?
3
2 2
? ?
故 双 曲 线 ? 的 方 程 是 ? = 1 .
9 3 6
1 9 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析 ；
2 2
( 2 ) .
3
1
【 分 析 】 （ 1 ） 取 ? ? 中 点 ? ， 连 接 ? ? , ? ? ， 可 推 出 ? ? / / ? ? ， 且 ? ? = ? ? . 进 而 结 合 已 知 可
2
得 ， 四 边 形 ? ? ? ? 为 平 行 四 边 形 . 所 以 ? ? / / ? ? ， 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 得 出 证 明 ；
（ 2 ） 以 点 ? 为 坐 标 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 写 出 各 点 的 坐 标 . 求 出 平 面 ? ? ? 以 及 平 面 ?? ?
的 法 向 量 ， 根 据 向 量 法 即 可 得 出 面 面 角.想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： 如 图 1 ， 取 ? ? 中 点 ? ， 连 接 ? ? , ? ? .
1
因 为 ? 是 ?? 的 中 点 ， ? 是 ? ? 中 点 ， 所 以 ? ? / / ? ? ， 且 ? ? = ? ? .
2
°
又 因 为 底 面 ? ? ? ? 是 直 角 梯 形 ， 且 ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? = 9 0 ，
1
所 以 ? ? / / ? ? ， 且 ? ? = ? ? .
2
? ? = ? ? ? ? / / ? ? ? ? ? ?
故 ， 且 ， 即 四 边 形 为 平 行 四 边 形 .
则 ? ? / / ? ? ， 且 直 线 ? ? 不 在 平 面 ?? ? 内 ， ? ? 在 平 面 ?? ? 内 ，
则 ? ? / / 平 面 ?? ? .
°
（ 2 ） 解 ： 因 为 ?? ⊥ 底 面 ? ? ? ? ， 且 ∠ ? ? ? = 9 0 ，
如 图 2 ， 以 ? ? 为 ? 轴 正 方 向 ， 以 ? ? 为 ? 轴 正 方 向 ， 以 ? ? 为 ? 轴 正 方 向 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ? ?
? ? ?
.
因 为 ? ? = ? ? = 1 ， ?? = ? ? = 2 .
故 ? 0 , 0 , 0 ， ? 1 , 0 , 0 ， ? 1 , 1 , 0 ， ? 0 , 2 , 0 ， ? 0 , 0 , 2 ，
因 为 ? 是 ?? 的 中 点 ， 则 ? 0 , 1 , 1 ，
则 ? ? = 1 , 1 , 0 ， ? ? = 0 , 1 , 1 ， ?? = 1 , 1 , ? 2 ， ? ? = ? 1 , 1 , 0 .
设 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 是 ? = ? , ? , ? ，
1 1 1 1
? ? ? ? = 0 ? + ? = 0
1 1
1
则 ， 即 ，
? + ? = 0
1 1
? ? ? ? = 0
1
? = ? 1 ? = 1 = 1 ? 1 , ? 1 , 1
令 ， 则 ， ? ， 则 = ；
1 1 1 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
设 平 面 ?? ? 的 一 个 法 向 量 是 ? = ? , ? , ? ，
2 2 2 2
? ? ?? = 0 ? + ? ? 2 ? = 0
2 2 2
2
则 ， 即 ，
? ? + ? = 0
2 2
? ? ? ? = 0
2
? = 1 ? = 1 = 1 ? 1 , 1 , 1
令 ， 则 ， ? ， 故 = .
2 2 2 2
? ? ? 1 ? 1 + 1 1
1 2
故 ? 与 ? 夹 角 的 余 弦 值 c o s ? , ? = = = ，
1 2 1 2
? ? ? 3 ? 3 3
1 2
2
1 2 2
2
? ? ? ? ? ? s i n ? = 1 ? c o s ? , ? = 1 ? =
故 二 面 角 的 正 弦 值 .
1 2
3 3
2 0 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析 ；
? ? ? 1
( 2 ) ? = 3 ? 3 × 2 + 1 .
?
? ? 2 ? + 1 = 3 ? ? 2 ? + 1 ? , ?
【 分 析 】 （ 1 ） 由 已 知 变 形 可 得 ， 代 入 ， 即 可 得
? + 2 ? + 1 ? + 1 ? ? ? + 1
出 ? = 3 ? ； 由 已 知 变 形 可 得 ? ? 3 ? + 2 = 2 ? ? 3 ? + 2 ， 代 入 ? , ? ， 即 可
? + 1 ? ? + 2 ? + 1 ? + 1 ? ? ? + 1
得 出 ? = 2 ? ；
? + 1 ?
? ? ? 1
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， ? = 3 ， ? = 3 ? 2 . 作 差 即 可 得 出 ? .
? ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 证 明 ： 因 为 ? = 5 ? ? 6 ? + 2 ，
? + 2 ? + 1 ?
? ? 2 ? + 1 = 3 ? ? 6 ? + 3 = 3 ? ? 2 ? + 1
故 .
? + 2 ? + 1 ? + 1 ? ? + 1 ?
又 ? = ? ? 2 ? + 1 ， 则 ? = ? ? 2 ? + 1 ，
? ? + 1 ? ? + 1 ? + 2 ? + 1
所 以 ? = 3 ? .
? + 1 ?
又 ? = ? ? 2 ? + 1 = 3 ，
1 2 1
?
? + 1
所 以 对 任 意 的 ? ∈ N 时 ， = 3 ，
+
?
?
故 ? 是 以 ? = 3 为 首 项 ， 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ；
?
1
又 因 为 ? = 5 ? ? 6 ? + 2 ， 所 以 ? ? 3 ? + 2 = 2 ? ? 6 ? + 4 = 2 ? ? 3 ? +
? + 2 ? + 1 ? ? + 2 ? + 1 ? + 1 ? ? + 1 ?
2 .
? ? ? 3 ? + 2 ? ? ? 3 ? + 2
又 = ， 则 = ，
? ? + 1 ? ? + 1 ? + 2 ? + 1
所 以 ? = 2 ? .
? + 1 ?
又 ? = ? ? 3 ? + 2 = 3 ，
1 2 1
?
? + 1
所 以 对 任 意 的 ? ∈ N 时 ， = 2 ，
+
?
?
故 ? 是 以 ? = 3 为 首 项 ， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 .
? 1
? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1
（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， ? = ? ? 3 = 3 ， ? = ? ? 2 = 3 ? 2 .
? 1 ? 1
? ? ? 1
即 ? ? 2 ? + 1 = 3 ， ? ? 3 ? + 2 = 3 ? 2 ，
? + 1 ? ? + 1 ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? 1
两 式 作 差 可 得 ? ? 2 ? + 1 ? ? ? 3 ? + 2 = 3 ? 3 ? 2 ，
? + 1 ? ? + 1 ?
? ? ? 1
整 理 可 得 ? = 3 ? 3 × 2 + 1 .
?
2 1 ． ( 1 ) 单 调 递 增 区 间 是 0 , 1 ， 单 调 递 减 区 间 是 1 , + ∞ ， 极 大 值 1 ， 无 极 小 值 ；
( 2 ) ? ≥ 1
【 分 析 】 （ 1 ） 直 接 求 导 ， 根 据 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 与 极 值 ；
1 1 + 2 l n ? 1
（ 2 ） 构 造 ? ? = ? ? + ? ? 1 ， 由 ? 1 ≥ 0 ， 可 得 ? ≥ 1 ， 可 得 ? ? ≥ ? + ? 1 ?
2
? ? ?
2
1 + 2 l n ? 1 1 + l n ?
， 又 ? + ? 1 ≥ 1 ， ≤ 1 ， 即 得 ? ? ≥ 0 ， 可 得 ? ≥ 1 时 ， ? ? ≥ ? 恒 成 立 .
2 2
? ? ?
1 + l n ? l n ?
′
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为 ? ? = ， 所 以 ? ? = ? ，
2
? ?
′ ′
故 当 ? ∈ 0 , 1 时 ， ? ? > 0 ， 当 ? ∈ 1 , + ∞ 时 ， ? ? < 0 ，
所 以 ? ? 在 0 , 1 上 单 调 递 增 ， 在 1 , + ∞ 上 单 调 递 减 ，
所 以 ? ? 的 单 调 递 增 区 间 是 0 , 1 ， 单 调 递 减 区 间 是 1 , + ∞ ，
故 ? ? 在 ? = 1 处 取 得 极 大 值 ? 1 = 1 ， 无 极 小 值 ；
1 + 2 l n ?
2
（ 2 ） 因 为 ? ∈ 0 , + ∞ 时 ， ? ? ≥ ? ， 即 ? ? + 1 ? ≥ ? ，
?
1 1 + 2 l n ?
故 ? ? + ? ? 1 ≥ 0 ，
2
? ?
1 1 + 2 l n ?
令 ? ? = ? ? + ? ? 1 ，
2
? ?
? ? ≥ 0 ? 1 = 2 ? ? 2 ≥ 0 ? ≥ 1
故 ? ∈ 0 , + ∞ 时 ， 恒 成 立 ， 故 ， 即 （ 必 要 性 ） ，
1 1 1 + 2 l n ? 1 1 + 2 l n ?
当 ? ≥ 1 时 ， 因 为 ? + > 0 ， ? ? = ? ? + ? ? 1 ≥ ? + ? 1 ? ，
2 2
? ? ? ? ?
2 2
1 1 + 2 l n ? 1 + l n ? 1 + l n ?
2
因 为 ? + ? 1 ≥ 1 ， 又 由 = ， 由 （ 1 ） 知 ， = ? ? ≤ ? 1 = 1 ，
2 2 2
? ? ? ?
2
1 1 + l n ?
故 ? + ? 1 ≥ ， 故 ? ≥ 1 时 ， ? ? ≥ 0 恒 成 立 （ 充 分 性 ） ，
2
? ?
即 ? ≥ 1 时 ， ? ? ≥ ? 恒 成 立 ，
综 上 所 述 ： 实 数 ? 的 取 值 范 围 是 ? ≥ 1 .
【 点 睛 】 导 数 是 研 究 函 数 的 单 调 性 、 极 值 ( 最 值 ) 最 有 效 的 工 具 ， 而 函 数 是 高 中 数 学 中 重 要 的
知 识 点 ， 对 导 数 的 应 用 的 考 查 主 要 从 以 下 几 个 角 度 进 行 ： ( 1 ) 考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 往 往 与
解 析 几 何 、 微 积 分 相 联 系 ． ( 2 ) 利 用 导 数 求 函 数 的 单 调 区 间 ， 判 断 单 调 性 ； 已 知 单 调 性 ， 求
参 数 ． ( 3 ) 利 用 导 数 求 函 数 的 最 值 ( 极 值 ) ， 解 决 生 活 中 的 优 化 问 题 ． ( 4 ) 考 查 数 形 结 合 思 想想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
的 应 用 ．
2
2 2 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析 ， ?
3
( 2 ) 证 明 见 解 析
2 4
( 3 )
2 5
2
?
0
? ? , ? ? ≠ ± 3 ? ? ? , ? ? ? ? ? = ?
【 分 析 】 （ 1 ） 设 ， 则 ， 求 得 ， 结 合 在 椭 圆 上 ，
2
0 0 0 0 0 1 2
? ? 3
0
即 可 得 出 答 案 ；
? ? 2 2
0 0
（ 2 ） 因 为 ? 是 线 段 ? ? 的 中 点 ， 可 得 ? = , ? = = ? ， 类 比 （ 1 ） 可 得 ： ? ? ? = ? ，
? ? ?? 3 ? ? ? ? ? ?
? 3 3
0 ?
0
2
2
又 ? = ? = ? ， 从 而 得 ? ? ? = ? 1 ， 即 可 证 得 结 论 ；
?? ? ? ? ? ? ? ? ?
3
?? ? , ? , ? ??
（ 3 ） 设 直 线 为 ? = ?? ( ? > 0 ) ， 与 椭 圆 方 程 联 立 求 得 的 坐 标 ， 进 而 求 出 ， 设 出
? ? 直 线 的 方 程 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 由 韦 达 定 理 得 ? + ? ， 结 合 （ 2 ） 中 结 论 求 得 ?? ， 可
? ?
1
得 ? = ?? ? ?? 的 解 析 式 ， 通 过 变 形 处 理 ， 利 用 基 本 不 等 式 及 函 数 的 单 调 性 求 得 最 大
△ ? ? ?
2
值 .
【 详 解 】 （ 1 ） 设 ? ? , ? ? ≠ ± 3 ， 则 ? ? ? , ? ? ，
0 0 0 0 0
2 2 2 2
? ? ? ?
0 0
因 为 ? 在 椭 圆 ? : + = 1 上 ， 故 + = 1 ，
3 2 3 2
? ? ? ?
0 0 0
因 为 ? ? 3 , 0 ， 故 ? = ， ? = = ，
1 2
? + 3 ? ? + 3 ? ? 3
0 0 0
2
? ? ?
0 0 0
故 ? ? ? = ? = ，
1 2 2
? + 3 ? ? 3 ? ? 3
0 0
0
2 2
? ? 3
0 0 2 2
因 为 + = 1 ， 故 ? ? 3 = ? ?
0 0
3 2 2
2 2
? ? 2
0 0
? ? ?
代 入 得 ： = = = ? .
1 2 2 3
2
? ? 3 3
? ?
0
0
2
1 1 1
（ 2 ） 因 为 ? 是 线 段 ? ? 的 中 点 ， 所 以 ? ? , ? ， 则 ? ? , 0 ，
0 0 0
2 2 2
? ? 2
0 0
故 ? = , ? = = ? ，
? ? ?? 3 ? ?
? 3
?
0
0
2
2
类 比 （ 1 ） 知 ， ? ? , ? 在 椭 圆 上 ， 同 理 可 得 ： ? ? ? = ? ，
? ? ? ? ? ?
3
2 2 2
又 ? = ? = ? 代 入 得 ： ? ? ? = ? ，
?? ? ? ? ? ? ? ? ?
3 3 3
所 以 ? ? ? = ? 1 ， 故 ?? ⊥ ?? ；
? ? ? ?
（ 3 ） 设 直 线 ?? 为 ? = ?? ( ? > 0 ) ， ? ? , ? , ? ? , ? , ? ? , ? ，
? ? ? ? ? ?想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2 2
? ?
+ = 1 6
2 2 2
3 2
由 消 去 ? 得 ： ( 2 + 3 ? ) ? ? 6 = 0 ， 故 ? = ，
? 2
3 ? + 2
? = ??
6 6 ?
又 因 为 点 ? 在 第 一 象 限 ， 故 ? = ， 故 ? = ，
? ?
2 2
3 ? + 2 3 ? + 2
6 6 ? 6 6 ? 6
故 ? , ， ? ? , ? ， 故 ? , 0 ，
2 2 2 2 2
3 ? + 2 3 ? + 2 3 ? + 2 3 ? + 2 2 3 ? + 2
2 6
2 2
故 ? ? = 1 + ? ? ? ? = 1 + ? ，
? ?
2
3 ? + 2
6
令 ? = ， 故 ? ? , 0 ， 设 ? ? 直 线 ： ? = ?? + ? ,
2
2 3 ? + 2
2 2 3
因 为 ? = ? = ?， 故 ? = ，
?? ? ?
3 3 2 ?
? = ?? + ?
? 4 ??
2 2 2
2 2
? 2 ? + 3 ? + 4 ?? ? + 2 ? ? 6 = 0 ? + ? =
由 ? ? 消 去 得 ： ， 则 ，
? ? 2
2 ? + 3
+ = 1
3 2
1
2 2
因 为 ? ? ? = ? 1 , ? = ? ， 故 ?? = 1 + ( ? ?) ? ? ? = 1 + ? ? + ? ，
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
?
4 ?? 6 3 4 ??
2 2 2
故 ? ? = 1 + ? ? ， 将 ? = , ? = 代 入 得 ： ?? = 1 + ? ? = 1 + ? ?
2 2
2
2 ? + 3 2 ? 2 ? + 3
2 3 ? + 2
3
4 ×
6 2 ? 6
2 ?
2
? = 1 + ? ? ? ，
9
2
2 2
2 ? + 3
2 × + 3 2 3 ? + 2 3 ? + 2
2
4 ?
2
1 2 ? 1 + ?
1 1 2 6 2 ? 6
2 2
所 以 ? = ?? ? ?? = 1 + ? ? 1 + ? ? ? = ，
△ ? ? ? 2 2 2
2 2
2 2 2 ? + 3 3 ? + 2 2 ? + 3
3 ? + 2 3 ? + 2
1 1
1 2 + ? 1 2 + ?
2 ? ?
分 子 分 母 同 除 以 ? ， 得 ? = = ，
△ ? ? ? 6 2
2 1
6 ? + + 1 3
2 6 + ? + 1
?
?
1 1 1
? = ? + ≥ 2 ? ? = 2 ? = 1
令 ? = ? + ， 故 ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 ，
? ? ?
1 2 ? 1 2
所 以 ? = = ， ? ≥ 2 ，
△ ? ? ? 1
2
6 ? + 1
6 ? +
?
1
令 ? ( ? ) = 6 ? + , ? ∈ [ 2 , + ∞ ) ，
?
1 1 1 1 6 ? ? ? 1
1 2
? ( ? ) ? ? ( ? ) = 6 ? + ? ( 6 ? + ) = 6 ( ? ? ? ) + ( ? ) = ( ? ? ? ) ，
1 2 1 2 1 2 1 2
? ? ? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
当 ? , ? ∈ [ 2 , + ∞ ) 且 ? < ? 时 ， ? ? ? < 0 , 6 ? ? ? 1 > 0 , ? ? > 0 ， 则 ? ( ? ) ? ? ( ? ) < 0 ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 5
可 得 ? ( ? ) 在 [ 2 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 ， 则 ? ( ? ) = ? ( 2 ) = ，
m i n
2
1 2 2 4
所 以 ? = ≤ ， 当 且 仅 当 ? = 2 ， 即 ? = 1 时 取 等 号 ，
△ ? ? ? 1
2 5
6 ? +
?
2 4
故 △ ? ?? 面 积 的 最 大 值 是 .
2 5想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 九 龙 坡 区 2 0 2 1 - 2 0 2 2 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． D
1 1 1
2
【 详 解 】 ? = ? ，2 ? = ，所以抛 物线的焦点到其准线的距离是 ，故选 D.
2 2 4
2 ． C
【 分 析 】 利 用 点 的 坐 标 表 示 向 量 坐 标 ， 即 可 求 解.
【 详 解 】 设 ? ? , ? , ? ， ? ? = ? ? 1 , ? ? 1 , ? ，
1 ?? 1 ? ? 1 ?
? ? = , , = ? 2 , 0 , ? 1 ，
2 2 2 2
? ? 1 ? ? 1 ?
所 以 = ? 2 ， = 0 ， = ? 1 ， 解 得 ： ? = ? 3 ， ? = 1 ， ? = ? 2 ，
2 2 2
即 ? ? 3 , 1 , ? 2 .
故 选 ： C
3 ． A
2 2 2
【 分 析 】 由 焦 距 为 2 2 可 得 ? = 2 ， 又 ? + ? = ? ， 进 而 可 得 ? = 1 ， 最 后 根 据 焦 点 在 ? 轴
?
上 的 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ? = ± ? 即 可 求 解 .
?
2
?
2
【 详 解 】 解 ： 因 为 双 曲 线 ? : ? ? = 1 的 焦 距 为 2 2 ， 所 以 ? = 2 ，
?
2
2 2
所 以 ? + ? = ? + 1 = 2 ， 解 得 ? = 1 ， 所 以 ? = 1 , ? = 1 ，
?
所 以 双 曲 线 ? 的 渐 近 线 方 程 为 ? = ± ? = ± ? ， 即 ? ± ? = 0 ，
?
故 选 ： A .
4 ． D
2
【 分 析 】 由 等 比 中 项 转 化 ? ? = 4 ? ? 4 得 ? = 4 ? ? 4 ， 可 得 ? = 2 ， 求 解 基 本 量 ? ， 由 等
2 4 3 3 3
3
比 数 列 通 项 公 式 即 得 解
1
【 详 解 】 设 公 比 为 ? ， 则 由 ? = ，
1
2
2 2
? ? = 4 ? ? 4 得 ? = 4 ? ? 4 ， 即 ( ? ? 2 ) = 0 , ? = 2
2 4 3 3 3 3
3
1
2 2
故 ? = ? ? = × ? = 2 ， 解 得 ? = ± 2
3 1
2
1
4 4
? = ? ? = × 2 = 8 ．
5
1
2
故 选 ： D
5 ． A
?
【 分 析 】 求 出 函 数 的 导 数 ， 利 用 导 数 的 定 义 求 解 ， 然 后 求 解 切 线 的 斜 率 即 可 ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
1
2 ''
【 详 解 】 解 ： 函 数 ? ( ? ) = ? ? + l n ? ， 可 得 ? ( 1 ) = 2 ? ? + ，
?
? ( 1 + 2 △ ? ) ? ? ( 1 ) 2 ? ( 1 + 2 △ ? ) ? ? ( 1 )
l i m = 2 ， 可 得 l i m = 2 ，
3 △ ? 3 2 △ ?
△ ? → 0 △ ? → 0
2
′ ′
即 ? ( 1 ) = 2 ， 所 以 ? ( 1 ) = 3 ，
3
3 = 2 ? + 1 ? = 1
可 得 ， 解 得 ， 所 以 ? ( 1 ) = 1 ，
所 以 曲 线 ? = ? ( ? ) 在 点 ( 1 , ? ( 1 ) ) 处 的 切 线 方 程 为 ? ? 1 = 3 ( ? ? 1 ) , ∴ 3 ? ? ? ? 2 = 0
故 选 ： A
6 ． C
?
【 分 析 】 由 题 设 ? = 1 5 ? + 1 ∈ ( 2 , 2 0 2 1 ) 且 ? ∈ N ， 应 用 不 等 式 求 ? 的 范 围 ， 即 可 确 定 项 数 .
?
?
? ? ∈ N
【 详 解 】 由 题 设 ， = 1 5 ? + 1 ∈ ( 2 , 2 0 2 1 ) 且 ，
?
?
所 以 2 < 1 5 ? + 1 < 2 0 2 1 ， 可 得 1 ≤ ? ≤ 1 3 4 且 ? ∈ N .
所 以 此 数 列 的 项 数 为 1 3 4 .
故 选 ： C
7 ． C
3
【 分 析 】 由 椭 圆 的 性 质 可 先 求 得 ? ? = ? ， 故 可 得 ∠ ? ? ? = 3 0 ° ， 再 由 椭 圆 的 定 义 得 a ，
1
3
c 的 关 系 ， 故 可 得 答 案 ．
【 详 解 】 ∵ ? ? | = ? ? = ? ? | ，
2 1
∴ ∠ ? ? ? = 9 0 ° ， 又 ? ? = 3 ? ? ，
1 2 2
3
∴ ? ? = ? ，
3
?? 3
则 t a n ∠ ? ? ? = = ，
1
? ? 3
1
∴ ∠ ? ? ? = 3 0 ° ， 则 ? ? = ? ， ? ? = 3 ? ，
1 2 1
由 椭 圆 的 定 义 得 ， 3 ? + ? = 2 ? ，
∴ ? = 3 ? 1 ，
故 选 ： C
8 ． A
【 解 析 】 根 据 题 意 ， ?? ? ? ? 为 四 边 形 ?? ? ? 的 面 积 的 2 倍 ， 即 ?? ? ? ? = 2 ? 2 ? = 4 ?
△ ? ? ?
1
? ?? ? ? ? ， 然 后 利 用 切 线 长 定 理 ， 将 问 题 转 化 为 圆 心 到 直 线 ? ? ? ? 1 = 0 的 距 离 求 解 .
2
2 2
【 详 解 】 圆 ? ： ? + 1 + ? ? 1 = 1 的 圆 心 为 ? ? 1 , 1 ， 半 径 ? = 1 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
设 四 边 形 ?? ? ? 的 面 积 为 ? ，
1
由 题 设 及 圆 的 切 线 性 质 得 ， ?? ? ? ? = 2 ? = 2 ? 2 ? = 4 ? ? ?? ? ? ? ，
△ ? ? ?
2
? ? = ? = 1
∵ ，
2 2 2
∴ ? ? ? ? ? = 2 ?? = 2 ?? ? ? = 2 ?? ? 1 ，
3 2
圆 心 ? ? 1 , 1 到 直 线 ? ? ? ? 1 = 0 的 距 离 为 ? = ，
2
3 2
∴ ? ? 的 最 小 值 为 ，
2
2
3 2
则 ? ? ? ? ? 的 最 小 值 为 2 ? 1 = 1 4 ，
2
故 选 ： A
9 ． B C D
?
【 分 析 】 通 过 的 范 围 ， 判 断 曲 线 的 形 状 ， 判 断 选 项 即 可 ．
【 详 解 】 解 ： ? < ? 1 ， 则 ? 表 示 的 轨 迹 不 存 在 ， 所 以 A 不 正 确 ；
若 ? > 3 ， 则 ? 表 示 焦 点 坐 标 的 ? 轴 上 的 椭 圆 ， 所 以 B 正 确 ；
若 ? 1 < ? < 3 ， 则 ? 表 示 焦 点 坐 标 在 ? 轴 上 的 双 曲 线 ， 所 以 C 正 确 ；
若 ? > ? 1 且 ? ≠ 3 ， 则 ? 的 焦 距 为 4 ， 正 确 ， 所 以 D 正 确 ；
故 选 ： B C D ．
1 0 ． A B C
? , ? = 1
1
【 分 析 】 利 用 ? = 并 结 合 等 差 等 比 数 列 的 定 义 即 可 判 断 选 项 A ， B ； 根 据 等
?
? ? ? , ? ≥ 2
? ? ? 1
? = 1
差 求 和 公 式 和 等 差 数 列 性 质 即 可 判 断 选 项 C ； 举 反 例 时 ， 即 可 判 断 选 项 D .
2 2
2
【 详 解 】 对 于 选 项 A ： 由 ? = ? + 2 ? ， 得 S = （ n ﹣ 1 ） + 2 ( n - 1 ) = n - 1 ，
? n ﹣ 1
2 2
两 式 相 减 得 a = S ﹣ S = ? + 2 ? ? ( ? ? 1 ) = 2 ? + 1 ，
n n n ﹣ 1
2
又 当 n = 1 时 ， a = S = 1 + 2 = 3 ， 满 足 上 式 ，
1 1
所 以 a = 2 ? + 1 , ? ? ? = 2 ( ? ≥ 2 ) ， 故 ? 是 等 差 数 列 ， 选 项 A 正 确 ；
n ? ? ? 1 ?
? ? ? 1
? 2 ? 1 ? 2 ? 1
对 于 选 项 B ： 由 = ， 得 = ，
? ? ? 1
? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1
两 式 相 减 得 ? = ? ? ? = 2 ? 1 ? 2 ? 1 = 2 2 ? 1 = 2 ，
? ? ? ? 1
? ? 1
又 ? = ? = 2 ? 1 = 1 ， 满 足 上 式 ， 所 以 ? = 2 ，
1 1 ?
?
? 2
? + 1
故 = = 2 ， 即 ? 是 以 1 为 首 项 ， 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 选 项 B 正 确 ；
?
? ? 1
? 2
?
1 3 1 3
对 于 选 项 C ： 由 ? 是 等 差 数 列 ， 得 ? = ( ? + ? ) = × 2 ? = 1 3 ? ， 选 项 C 正 确 ；
? 1 3 1 1 3 7 7
2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
对 于 选 项 D ： 若 等 比 数 列 ? 的 公 比 ? = 1 ， 则
?
2
2
2
? ? ? ? = ? ( ? + ? + ? ) ? ( ? + ? ) = ? ? < 0 ， 选 项 D 错 误 .
1 3 2 1 1 1 1 1 1 1
故 选 ： A B C .
1 1 ． A D
2
? + ?
【 分 析 】 由 题 意 有 ? = ， 写 出 ? 、 ? 判 断 A 、 B ； 根 据 递 推 式 判 断 C 、 D 的 正 误 .
? 5 1 0 0
2
2
? + ? 2 5 + 5 1 0 0 0 0 + 1 0 0
【 详 解 】 由 题 设 ， ? = ， 故 ? = = 1 5 ， ? = = 5 0 5 0 ， A 正 确 ， B 错 误 ；
? 5 1 0 0
2 2 2
? ( ? + 1 ) ( ? + 2 ) ( ? + 3 )
又 2 ? = ( ? + 1 ) ( ? + 2 ) ， ? ? ? = ， 显 然 2 ? ≠ ? ? ? ， C 错 误 ；
? + 1 ? ? + 2 ? + 1 ? ? + 2
4
? ( ? + 1 ) ( ? + 1 ) ( ? + 2 )
? + ? + 1 = + ? + 1 = = ? ， D 正 确 .
? ? + 1
2 2
故 选 ： A D
1 2 ． A C
【 分 析 】 由 ? ， ? ， ? 成 等 比 数 列 可 及 ? ， ? ， ? 之 间 的 关 系 求 出 离 心 率 的 值 ， 即 可 判 断 A ； 由 A
可 得 ? 的 坐 标 ， 进 而 求 出 ∠ ?? ? 的 正 切 值 即 可 判 断 B ； 设 ? 的 坐 标 代 入 双 曲 线 的 方 程 可 得 ?
1 2
的 横 纵 坐 标 的 关 系 ， 求 出 直 线 ?? ， ?? 的 斜 率 之 积 ， 即 可 判 断 C ； 不 妨 设 ? ? ? = ?? ， △ ?? ?
1 2 3 1 2
的 内 切 圆 半 径 为 ? ， 由 题 意 及 双 曲 线 的 定 义 可 得 ? 的 值 ， 即 可 判 断 D .
2
【 详 解 】 解 ： 对 A ， 因 为 ? ， ? ， ? 成 等 比 数 列 ， 所 以 ? = ? ? ，
2 2 2
所 以 可 得 ? ? ? = ? ? ， 可 得 ? ? ? ? 1 = 0 ， 又 ? > 1 ，
5 + 1
? =
解 得 ： ， 故 A 正 确 ；
2
2
?
对 于 B ， ?? ⊥ ? 轴 时 ， 令 ? = ? ， 则 ? = ± = ± ?，
2
?
故 ? 的 坐 标 为 ?, ± ? ， 则 ?? = ?
2
| ? ? | ? 1
2
t a n ∠ ? ? ? ? ?
所 以 = = = ， 所 以 ∠ ? ≠ 3 0 ° ， 故 B 错 误 ；
1 2 1 2
| ? ? | 2 ? 2
1 2
2
2 2 2
? ? ? ? ?
0 0 0
2 2
对 于 C ， 设 ? ( ? ， ? ) ， 则 ? = 1 ， 所 以 ? = ? ? ，
0 0
2 2 0 2
? ? ?
2
2
? ? ? ?
0 0 0
由 题 意 可 得 ? ( ? ? , 0 ) ， ? ( ? , 0 ) ， 所 以 ? ? = ? = = ，
1 2 2 2
2
? + ? ? ? ? ? ? ? ?
0 0 0
? 1 + 5
2
由 ? = ? ? ， 可 得 ? ? = = ， 故 C 正 确 ；
1 2
? 2
对 于 D ， 不 妨 设 ? ? ? = ?? ， △ ?? ? 的 内 切 圆 半 径 为 ? ，
1 2 3 1 2
1 1 1
则 有 | ? ? | ? ? ? | ? ? | ? ? = ? ? | ? ? | ? ? ，
1 2 1 2
2 2 2
| ? ? | ? | ? ? | 2 ? 2 5 ? 1
1 2
可 得 ? = = = = ，
| ? ? | 2 ? 1 + 5 2
1 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
5 ? 1
所 以 ? ? ? = ? ， 故 D 错 误 .
1 2 3
2
故 选 ： A C .
1 3 ． 2
′
【 分 析 】 根 据 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 加 法 法 则 ， 对? ( ? ) 求 导 ， 再 求 ? ( 0 ) 即 可 .
′ ?
【 详 解 】 由 题 设 ， ? ( ? ) = c o s ? + ( ? + 1 ) e ，
′ 0
所 以 ? ( 0 ) = c o s 0 + e = 2 .
2
故 答 案 为 ：
1 4 ． 1 0
【 分 析 】 由 直 线 平 行 求 参 数 m ， 再 利 用 平 行 直 线 的 距 离 公 式 求 ? 与 ? 之 间 的 距 离 .
1 2
【 详 解 】 由 题 设 ， ? + 3 = 0 ， 即 ? = ? 3 ，
所 以 ? : 3 ? + ? ? 3 = 0 ， ? : 3 ? + ? + 7 = 0 ，
1 2
| 7 ? ( ? 3 ) |
所 以 直 线 ? 与 ? 之 间 的 距 离 为 = 1 0 .
1 2
1 0
故 答 案 为 ： 1 0
1 5 ． 2
? | ? ? |
【 分 析 】 求 出 直 线 过 的 定 点 ， 当 圆 心 和 定 点 的 连 线 垂 直 于 直 线 时 ， 取 得 最 小 值 ， 结 合
2 2
| ? ? | = 2 ? ? ? 即 可 求 解 .
【 详 解 】
2 2
? : ? ? 1 + ? = 1 ? 1 , 0 ? = 1
由 题 意 知 ， 圆 ， 圆 心 ， 半 径 ，
直 线 ? : ?? ? ( 2 ? ?) ? + 1 ? ? = 0 ， ? ? + ? ? 1 ? 2 ? + 1 = 0 ，
1
? =
? + ? ? 1 = 0
1 1
2
， 解 得 ， 故 直 线 ? 过 定 点 ? , ，
1
2 2
? 2 ? + 1 = 0
? =
2
2 2 2
设 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ? ， 则 | ? ? | = 2 ? ? ? = 2 1 ? ? ， 可 知 当 距 离 ? 最 大 时 ，
2 2
1 1 2
| ? ? | 有 最 小 值 ， 由 图 可 知 ， ? ? ⊥ ? 时 ， ? 最 大 ， 此 时 ? = 1 ? + 0 ? = ，
2 2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
2
2
此 时 | ? ? | = 2 1 ? ? = 2 × 1 ? = 2 . 故 | ? ? | 的 最 小 值 为 2 .
2
故 答 案 为 ： 2 .
2
1 6 ． / 0 . 4
5
【 分 析 】 应 用 等 比 中 项 的 性 质 及 等 差 数 列 通 项 公 式 求 公 差 d ， 进 而 写 出 等 差 数 列 的 通 项 公 式 、
前 n 项 和 公 式 ， 再 求 目 标 式 的 最 小 值 .
2 2 2
( ? ? 1 ) ? ? ( 2 ? + 4 ) 4 ? ? 9 ? ? 9 = 0
【 详 解 】 由 题 设 ， = ， 则 = 5 ( 5 ? + 5 ) ， 整 理 得 ，
3 1 6
又 ? > 0 ，
? ( 3 ? + 7 )
解 得 ? = 3 ， 故 ? = 3 ? + 2 ， ? = ，
? ?
2
? ? ? ? 3 ? + 1 6 2
?
所 以 = = 1 ? ， 故 当 ? = 1 时 目 标 式 有 最 小 值 为 .
2 ? 3 ? + 7 3 ? + 7 5
?
2
故 答 案 为 ：
5
1 7 ． ( 1 ) ? = 4 ? ? 2
?
?
( 2 ) ? =
?
2 ? + 1
【 分 析 】 （ 1 ） 由 等 差 数 列 基 本 量 的 计 算 即 可 求 解 ；
（ 2 ） 由 裂 项 相 消 求 和 法 即 可 求 解 .
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 由 题 意 ， 设 等 差 数 列 { ? } 的 公 差 为 ? ， 则 3 ? + 3 ? = 1 8 , 3 ? + 1 2 ? = 5 4 ，
? 1 1
解 得 ? = 2 , ? = 4
1
?
∴ ? ? ∈ ?
= 2 + 4 ( ? ? 1 ) = 4 ? ? 2 , ；
?
4 4 1 1 1 1 1 1 1
（ 2 ） 解 ： ∵ ? = = = = ? ， ∴ ? = 1 ? + ?
? ?
?
? ? 4 ? ? 2 4 ? + 2 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 3 3
? ? + 1
1 1 1 1 1 1 1 ?
+ ? + ? + ? = 1 ? = .
5 5 7 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 2 ? + 1 2 ? + 1
5
1 8 ． ( 1 )
5
4
( 2 )
3
? ? ? ? ?
1
【 分 析 】 （ 1 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用 向 量 法 由 c o s ? ? , ? ? = | | 求 解 ；
| ? ? | ? | ? ? |
1
| ? ? ? ? |
1
（ 1 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 先 取 得 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 ? = ( ? ， ? ， ? ) ， 然 后 由? =
| ? |
求 解 ．想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 以 ? 为 原 点 ， ? ? 为 ? 轴 ， ? ? 为 ? 轴 ， ? ? 为 ? 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
1
则 ? ( 2 ， 0 ， 0 ) ， ? ( 1 ， 2 ， 0 ) ， ? ( 0 ， 2 ， 1 ) ， ? ( 0 ， 0 ， 0 ) ， ? ( 0 ， 0 ， 2 ) ，
1
? ( 2 ， 0 ， 2 ) ， ? ( 2 ， 2 ， 1 ) ，
1
所 以 ? ? = ( 0 ， 2 ， ? 1 ) ， ? ? = ( ? 2 ， 2 ， 1 ) ，
1
? ? ? ? ? 5
1
则 直 线 ? ? 与 直 线 ? ? 所 成 角 的 余 弦 值 为 c o s ? ? , ? ? = | | = ；
1
| ? ? | ? | ? ? | 5
1
（ 2 ） ? ? = ( ? 1 ， 2 ， 0 ) ， ? ? = ( ? 2 ， 2 ， 1 ) ，
设 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 ? = ( ? ， ? ， ? ) ，
? ? ? ? = ? ? + 2 ? = 0
? = 1 ? = ( 2 2 )
则 ， 取 ， 得 ， 1 ， ，
? ? ? ? = ? 2 ? + 2 ? + ? = 0
又 ? ? = ( 0 , 0 , 2 ) ，
1
| ? ? ? ? | 4 4
1
∴ 点 ? 到 平 面 ? ? ? 的 距 离? = = = ．
1
| ? | 9 3
2
1 9 ． ( 1 ) ? = 4 ?
4 3
( 2 )
3
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 直 接 列 或 根 据 抛 物 线 的 定 义 求 轨 迹 方 程
（ 2 ） 待 定 系 数 法 设 直 线 方 程 ， 联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程 ， 根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 利 用 韦 达 定 理
解 出 直 线 方 程 ， 再 求 △ ? ? ? 面 积
2
1
2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 解 法 1 ： 配 方 法 可 得 圆 ? 的 方 程 为 ? ? 1 + ? = ，
4
即 圆 ? 的 圆 心 为 ? ( 1 , 0 ) ，
2 2
设 ? 的 坐 标 为 ( ? , ? ) ， 由 已 知 可 得 ( ? ? 1 ) + ? = ? + 1 ，
2
? ? = 4 ?
化 简 得 ， 曲 线 的 方 程 为 ．
2
1
2 2
解 法 2 ： 配 方 可 得 圆 ? 的 方 程 为 ? ? 1 + ? = ，
4想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
即 圆 ? 的 圆 心 为 ? ( 1 , 0 ) ，
由 题 意 可 得 ? 上 任 意 一 点 ? 到 直 线 ? = ? 1 的 距 离 等 于 该 点 到 圆 心 ? 的 距 离 ，
由 抛 物 线 的 定 义 可 得 知 ， 点 ? 的 轨 迹 为 以 点 ? ( 1 , 0 ) 为 焦 点 的 抛 物 线 ，
2
所 以 曲 线 ? 的 方 程 为 ? = 4 ? ．
2
? : ? = 4 ? ? = ? 1
（ 2 ） 抛 物 线 的 焦 点 为 ? ( 1 , 0 ) ， 准 线 方 程 为 ，
8
由 | ? ? | ? | ? ? | = ， 可 得 ? ? 的 斜 率 存 在 ， 设 为 ? ， ? ≠ 0 ，
3
过 ? 的 直 线 ? ? 的 方 程 为 ? = ?( ? ? 1 ) ，
2 2 2 2 2
? = 4 ? ? ? ? ? = 0
与 抛 物 线 的 方 程 联 立 ， 可 得 ? ( 2 + 4 ) ? + ，
4
设 ? ， ? 的 横 坐 标 分 别 为 ? ， ? ， 可 得 ? + ? = 2 + ， ? ? = 1 ，
1 2 1 2 2 1 2
?
2
由 抛 物 线 的 定 义 可 得 ? ? ? ? ? = ? + 1 ? ? ? 1 = ? ? ? = ? + ? ? 4 ? ?
1 2 1 2 1 2 1 2
2
4 8
= 2 + ? 4 = ， 解 得 ? = ± 3 ，
2
? 3
即 直 线 ? ? 的 方 程 为 ? = ± 3 ( ? ? 1 ) ，
3 3
可 得 ? 到 直 线 ? ? 的 距 离 为 ? = = ，
1 + 3 2
4 1 6
? ? = ? + ? + 2 = 2 + + 2 = ，
1 2
3 3
1 1 3 1 6 4 3
所 以 Δ ? ? ? 的 面 积 为 ? = ? ? ? ? = × × = ．
2 2 2 3 3
2 0 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析 ；
1 5
( 2 ) .
5
【 分 析 】 （ 1 ） 由 菱 形 及 线 面 垂 直 的 性 质 可 得 ?? ⊥ ? ? 、 ? ? ⊥ ? ? ， 再 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 、
性 质 即 可 证 结 论 .
?? = ? ?? ? ?? ?
（ 2 ） 构 建 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 ， 结 合 已 知 确 定 相 关 点 坐 标 ， 进 而 求 面 、 面
的 法 向 量 ， 结 合 已 知 二 面 角 的 余 弦 值 求 出 参 数 t ， 再 根 据 空 间 向 量 夹 角 的 坐 标 表 示 求 ? ? 与 平
面 ? ? ? 所 成 角 的 正 弦 值 ．
【 详 解 】 （ 1 ） 由 ?? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ， 则 ?? ⊥ ? ? ，
又 ? ? ? ? 是 菱 形 ， 则 ? ? ⊥ ? ? ， 又 ? ? ∩ ?? = ? ，
? ? ⊥ ?? ? ? ? ? ?? ?
所 以 平 面 ， 平 面
所 以 ? ? ⊥ ? E .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
（ 2 ） 分 别 以 ? ? ， ? ? ， ? ? 为 ? ， ? ， ? 轴 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
?
设 ? ? = ? ， 则 ? ( 1 , 0 , 0 ) , ? ( 0 , 3 , 0 ) , ? ( ? 1 , 0 , 0 ) , ? ( 0 , 0 , ) , ?( 0 , ? 3 , ? ) ，
2
?? ? ?
由 （ 1 ） 知 ： 平 面 的 法 向 量 为 = ( 1 , 0 , 0 ) ，
1
? ? ? ? = ? ? + 3 ? = 0
2
令 面 ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ( ? , ? , ? ) ， 则 { ， 令 ? = 1 ， 可 得 ? =
2 2
? ? ? ? = ? ? ? 3 ? + ? ? = 0
2
2 3
( 3 , 1 , ) ，
?
1 5 3 1 5
因 为 二 面 角 ? ? ?? ? ? 的 余 弦 值 为 ， 则 | c o s < ? , ? > | = = ，
1 2
1 2
5 5
4 +
2
?
可 得 ? = 2 3 ， 则 ? ( 0 , ? 3 , 2 3 ) ，
设 ? ? 与 平 面 ?? ? 所 成 的 角 为 ? ， 又 ? ? = ( ? 1 , 0 , ? 3 ) ， ? = ( 3 , 1 , 1 ) ，
2
2 3 1 5
所 以 s i n ? = | c o s < ? ? , ? > | = = .
2
2 5 5
2 1 ． ( 1 ) ? = 2 ? ；
?
( 2 ) ? 2 < ? < 3 .
2 2 2
【 详 解 】 （ 1 ） 由 题 设 ， 当 ? ≥ 2 时 4 ? = ? ? 4 ? ， 则 4 ? ? 4 ? = ? ? ? ? 4 ，
? ? 1 ? ? ? ? 1 ? + 1 ?
2 2
整 理 得 ? = ( ? + 2 ) ， ? > 0 ， 则 ? ? ? = 2 ，
? ? ? + 1 ?
? + 1
2
当 ? = 1 时 ， 4 ? = ? ? 8 ， 又 ? = 2 得 ： ? = 4 ， 故 ? ? ? = 2 ，
1 2 1 2 2 1
所 以 数 列 { ? } 是 首 项 、 公 差 均 为 2 的 等 差 数 列 ， 故 ? = 2 ? .
? ?
? ? 2 ? ?
（ 2 ） 由 （ 1 ） ， ? = = = ，
?
? ? ? ? 1
2 2 2
1 1 1 1 1 ? 1 1
?
所 以 ? = 1 × + 2 × + 3 × + … + ( ? ? 1 ) × + ? × ， = 1 × + 2 × + … +
?
0 1 2 ? ? 2 ? ? 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
( ? ? 1 ) × + ? × ，
? ? 1 ?
2 2
? 1 1 1 1 1 ? + 2 ? + 2
?
两 式 相 减 得 = + + + … + ? ? × = 2 ? ， 故 ? = 4 ? ，
0 1 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1
2 2 2 2 2 2 2 2
? + 2 ? 2
?
所 以 ( ? 1 ) ? < 4 ? + = 4 ? ．
? ? 1 ? ? 1 ? ? 1
2 2 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
?
令 ? ( ? ) = 4 ? ( ? ∈ ? ) ， 易 知 ： ? ( ? ) 单 调 递 增 ，
? ? 1
2
2
若 ? 为 偶 数 ， 则 ? < 4 ? ? ? ( ? ) ， 所 以 ? < 3 ；
2 ? 1
2
2
若 ? 为 奇 数 ， 则 ? ? < 4 ? ? ? ( ? ) ， 所 以 ? ? < 2 ， 即 ? > ? 2 ．
1 ? 1
2
? 2 < ? < 3
综 上 ， ．
2
?
2
2 2 ． ( 1 ) + ? = 1
2
1
( 2 ) , 1
3
? 2
=
? 2
? =
2
4 1
【 详 解 】 （ 1 ） 由 题 意 可 知 ： ， 解 得 ：
? = 1
3 3
+ = 1
2 2
? ?
? = 1
2 2 2
? = ? + ?
2
?
2
∴ 椭 圆 ? 的 标 准 方 程 为 ： + ? = 1 ．
2
1 1
（ 2 ） ① 当 直 线 ? ? 斜 率 不 存 在 ， 方 程 为 ? = 0 ， 则 ? ? = ? ? ， ∴ ? = .
3 3
② 当 直 线 ? ? 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 ? ? 方 程 为 ? = ?? + 2 ，
? = ?? + 2
1
2 2
2
联 立 得 ： ( + ? ) ? + 4 ?? + 3 = 0 .
?
2
2
+ ? = 1
2
1 3
2 2 2
由 Δ = 1 6 ? ? 1 2 （ + ? ） > 0 得 ： ? > .
2 2
? , ? ? , ?
设 ? ( ) ， ? ( ) ，
1 1 2 2
? 4 ? ? 8 ? 3 6
则 ? + ? = = ， ? ? = = ，
1 2 1 1
2 1 2 2
2 2
1 + 2 ? 1 + 2 ?
+ ? + ?
2 2
?
1
又 ? ? = ?? ? ， （ ? , ? ? 2 ） = ?（ ? , ? ? 2 ） ， ? = ? ? ， 则 ? = ，
1 1 2 2 1 2
?
2
2 2
? + ? ? ? 1 3 2 ? 3 2
1 2 1 2
∴ = + + 2 = ? + + 2 = =
2
1
? ? ? ? ? 3 1 + 2 ?
1 2 2 1
3 2 +
2
?
3 3 2 1 6 1 1 6 1
2
? > ， 所 以 4 < < ， 所 以 4 < ? + + 2 < ， 解 得 ： < ? < 3 ,
1
2 3 ? 3 3
3 ( + 2 )
2
?
1
又 0 < ? < 1 ， ≤ ? < 1
3
1
综 上 所 述 ： ? 的 取 值 范 围 为 [ , 1 ) .
3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
重 庆 市 育 才 中 学 校 2 0 2 2 - 2 0 2 3 学 年 高 二 上 学 期 期 末 参 考 答 案 ：
1 ． B
【 分 析 】 根 据 等 比 数 列 下 标 和 性 质 计 算 可 得.
【 详 解 】 解 ： 在 等 比 数 列 ? 中 ， ? = 1 ， ? = 4 ，
?
1 8
则 ? ? = ? ? = ? ? = ? ? = 4 ，
2 7 3 6 4 5 1 8
3
所 以 ? ? ? ? ? ? = 4 = 6 4 .
2 3 4 5 6 7
故 选 ： B
2 ． C
【 分 析 】 由 双 曲 线 的 定 义 求 解 即 可.
【 详 解 】 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 ? ， 右 焦 点 为 ? ，
1 2
2 2
? ?
2 2
因 为 双 曲 线 方 程 为 ? : ? = 1 ， 所 以 ? = 3 ， ? = 4 ， ? = ? + ? = 5 ，
9 1 6
由 双 曲 线 的 定 义 ? ? ? ? ? = 2 ? 得 ?? ? ?? = 6 ， 则 ?? ? ?? = ± 6 ，
1 2 1 2 1 2
又 因 为 ?? = 9 ， 所 以 ? ? = 1 5 或 3 ，
1 2
由 双 曲 线 的 性 质 可 知 ， ? 到 焦 点 距 离 的 最 小 值 为 ? ? ? = 5 ? 3 = 2 < 3 ，
故 选 ： C
3 ． A
′
【 分 析 】 根 据 导 数 的 几 何 意 义 可 知? ( 1 ) ， 再 根 据 导 数 值 的 定 义 即 可 选 出 答 案 .
? 1 + Δ ? ? ? 1
′ ′
【 详 解 】 由 导 数 值 的 定 义 ， l i m = ? ( 1 ) ， 根 据 导 数 的 几 何 意 义 ， ? ( 1 ) = 4 ，
Δ ?
Δ
?→ 0
? 1 + Δ ? ? ? 1
即 l i m = 4 .
Δ ?
Δ ?→ 0
故 选 ： A
4 ． A
【 分 析 】 根 据 递 推 公 式 求 得 数 列 中 的 前 几 项 ， 从 而 得 到 数 列 的 周 期 ， 由 此 即 可 求 得 ? 的
2 0 2 3
值 .
1
【 详 解 】 因 为 ? = ， ? = 3 ，
? + 1 1
1 ? ?
?
1
1 ?
1 1 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1
? + 1 ? + 1 1 ? ? ?
?
所 以 ? = = = = = = = ? ，
? + 3 1 1 ?
1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1
? + 2 1 ? ? + 1 ? + 1 ?
1 ? ? 1 ? ?
?
? + 1
?
所 以 数 列 是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列 ，
?
故 ? = ? = ? = 3 .
2 0 2 3 1 + 3 × 6 7 4 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
故 选 ： A .
5 ． C
【 分 析 】 过 抛 物 线 外 一 定 点 ?( 0 , 1 ) 的 直 线 恰 好 与 该 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 ， 则 分 两 种 情 况 分 别
讨 论 ， 一 是 直 线 与 抛 物 线 的 对 称 轴 平 行 ， 二 是 直 线 与 抛 物 线 相 切 ， 根 据 这 两 种 情 况 进 而 求 解 .
2
? ? : ? = ? 4 ? ?
【 详 解 】 过 点 ?( 0 , 1 ) 的 直 线 与 抛 物 线 仅 有 一 个 公 共 点 ， 则 该 直 线 可 能 与 抛 物 线
的 对 称 轴 平 行 ， 也 可 能 与 抛 物 线 相 切 ， 下 面 分 两 种 情 况 讨 论 ：
当 直 线 ? 与 抛 物 线 的 对 称 轴 平 行 时 ， 则 直 线 ? 的 方 程 为 ： ? = 1 ， 满 足 条 件 ；
当 直 线 ? 与 抛 物 线 相 切 时 ， 由 于 点 ?( 0 , 1 ) 在 ? 轴 上 方 ， 且 在 抛 物 线 外 ， 则 存 在 两 条 直 线 与 抛 物
线 相 切 ， 易 知 ： ? = 0 是 其 中 一 条 ，
2 2
? ? = ?? + 1 ? ? ?
不 妨 设 另 一 条 直 线 的 方 程 为 ， 联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程 可 得 ： + ( 2 ? + 4 ) ? +
2 2
1 = 0 ， 则 有 Δ = ( 2 ? + 4 ) ? 4 ? = 0 ， 解 得 ： ? = ? 1 ，
所 以 过 点 ?( 0 , 1 ) 的 直 线 ? 的 方 程 为 ： ? = 1 或 ? = 0 或 ? = ? ? + 1 ，
故 选 ： C .
6 ． C
? ? + 1
? + 1
【 分 析 】 根 据 题 意 可 得 = ， 再 利 用 累 乘 法 计 算 可 得 ；
? ?
?
【 详 解 】 解 ： 由 ? = ? ? ? ? ， 得 ? + 1 ? = ? ? ，
? ? + 1 ? ? ? + 1
? ? + 1
? + 1
即 = ，
? ?
?
? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
? ? ? 1 ? ? 2 2
= = = =
则 ， ， ， … ， ，
? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? 1
? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 1
?
?
由 累 乘 法 可 得 = ? ， 因 为 ? = 2 ， 所 以 ? = 2 ? ，
1 ?
?
1
故 选 ： C ．
7 ． B
{ ? } ? = 6 5
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 设 每 天 派 出 的 人 数 组 成 数 列 ， 可 得 数 列 是 首 项 ， 公 差 数 7
? 1
的 等 差 数 列 ， 解 方 程 可 得 所 求 值 ．
【 详 解 】 解 ： 设 第 ? 天 派 出 的 人 数 为 ? ， 则 { ? } 是 以 6 5 为 首 项 、 7 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 且 ? +
? ? 1
? + ? = 2 1 6 ， ? + ? + ? = 3 0 0 ，
2 3 ? ? 2 ? ? 1 ?
3 0 0 + 2 1 6
∴ ? + ? = = 1 7 2 ， ? = 1 0 7 ，
1 ? ?
3
? ? ?
? 1
? = + 1 = 7
∴ 天
7想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
7 ? + ?
1 7
则 目 前 派 出 的 人 数 为 ? = = 6 0 2 人 ，
7
2
故 选 ： B ．
8 ． C
【 分 析 】 将 问 题 转 化 为 以 ? ? 为 直 径 的 圆 ? 与 圆 ? 有 公 共 点 的 问 题 来 列 不 等 式 ， 解 不 等 式 求 得
? 的 取 值 范 围 ， 由 此 求 得 ? 的 最 小 值 .
2 2 2
【 详 解 】 解 ： 以 ? ? 为 直 径 的 圆 ? 的 方 程 为 ? + ? = ? ， 圆 心 为 原 点 ， 半 径 为 ? = ? . 圆 ? : ? ?
1
2 2
5 + ? ? 1 2 = 1 的 圆 心 为 ? 5 , 1 2 ， 半 径 为 ? = 1 .
2
要 使 圆 ? 上 存 在 点 ? ， 使 得 ∠ ? ? ? = 9 0 ° ， 则 圆 ? 与 圆 ? 有 公 共 点 ，
2 2
所 以 ? ? ? ≤ ? ? ≤ ? + ? ， 即 ? ? 1 ≤ 5 + 1 2 ≤ ? + 1 ，
1 2 1 2
? 1 3 ≤ ? ? 1 ≤ 1 3 ? 1 2 ≤ ? ≤ 1 4
? ? 1 ≤ 1 3
所 以 ? ? ，
? + 1 ≤ ? 1 3 或 ? + 1 ≥ 1 3 ? ≤ ? 1 2 或 ? ≥ 1 2
? + 1 ≥ 1 3
? > 0 1 2 ≤ ? ≤ 1 4 ? 1 2
又 ， 所 以 ， 所 以 的 最 小 值 为 .
故 选 ： C
9 ． A D
【 分 析 】 根 据 首 项 和 公 差 求 出 ? 和 ? ， 利 用 ? 和 ? 计 算 可 得 答 案 .
? ? ? ?
【 详 解 】 依 题 意 ? = 1 0 , ? = ? 3 ， 所 以 ? = ? + ( ? ? 1 ) ? = 1 0 ? 3 ( ? ? 1 ) = ? 3 ? + 1 3 ， 故
1 ? 1
A 正 确 ；
3 8
由 ? = ? 3 ? + 1 3 = ? 2 5 ， 得 ? = ≠ 1 3 ， 故 B 不 正 确 ；
?
3
由 ? = ? 3 ? + 1 3 ≥ 0 ， 得 ? ≤ 4 ， 由 ? = ? 3 ? + 1 3 < 0 ， 得 ? ≥ 5 ， 所 以 该 数 列 的 前 4 项 和
? ?
最 大 ， 故 C 不 正 确 ；
2
? ( ? ? 1 ) ? 3 ? + 2 3 ?
? = 1 0 ? + × ( ? 3 ) = ，
?
2 2
| ? | + | ? | + | ? | + ? + | ? | = ? + ? + ? + ? ? ( ? + ? + ? + ? ) = 2 ? ? ?
1 2 3 8 1 2 3 4 5 6 7 8 4 8
2 2
? 3 × 4 + 2 3 × 4 ? 3 × 8 + 2 3 × 8
= 2 × ? = 4 8 ， 故 D 正 确 .
2 2
故 选 ： A D
1 0 ． A B D
? ? + ? ? 1 = 0
【 分 析 】 根 据 点 的 坐 标 与 圆 的 方 程 的 关 系 判 断 A ， 判 断 点 与 直 线 的 位 置 关 系 ，
判 断 B ； 配 方 后 得 到 圆 的 半 径 ， 判 断 C ； 利 用 弦 长 公 式 求 弦 长 判 断 D .
2 2 2 2
【 详 解 】 ? + ? ? 2 ? ? 3 = 0 整 理 得 ： ? ? 1 + ? = 4 ，
2 2
因 为 ? = 2 ， ? = 0 时 ? + ? ? 2 ? ? 3 = ? 3 < 0 ， ∴ 点 2 , 0 在 圆 M 内 ， A 正 确 ；想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
因 为 圆 心 ? 1 , 0 在 直 线 ? + ? ? 1 = 0 上 ， 所 以 圆 M 关 于 ? + ? ? 1 = 0 对 称 ， B 正 确 ；
因 为 圆 M 半 径 为 2 ， 故 C 错 误 ；
2
∵ 圆 心 ? 1 , 0 到 直 线 ? ? 3 ? + 1 = 0 的 距 离 为 ? = = 1 ，
1 + 3
所 以 直 线 ? ? 3 ? + 1 = 0 与 圆 M 的 相 交 所 得 弦 长 为 2 4 ? 1 = 2 3 ， D 正 确 .
故 选 ： A B D .
1 1 ． A C D
【 分 析 】 令 ? = 1 可 求 ? ； 利 用 已 知 ? 求 ? 的 方 法 求 数 列 ? 通 项 公 式 ； 根 据 递 减 数 列 的 定
1 ? ? ?
? ?
义 判 断 数 列 的 单 调 性 ， 利 用 裂 项 相 消 法 求 数 列 的 前 n 项 和 ， 由 条 件 求 的 范 围 .
?
【 详 解 】 因 为 ? + 3 ? + ? + 2 ? ? 1 ? = ? ，
1 2 ?
所 以 当 ? ≥ 2 时 ， ? + 3 ? + ? ? + 2 ? ? 3 ? = ? ? 1 ，
1 2 ? ? 1
1
两 式 相 减 得 2 ? ? 1 ? = 1 ， 所 以 ? = ，
? ?
2 ? ? 1
又 因 为 当 ? = 1 时 ， ? = 1 满 足 上 式 ，
1
1
所 以 数 列 ? 的 通 项 公 式 为 ： ? = ， 故 A 正 确 ， B 错 误 ，
? ?
2 ? ? 1
1 1 1 2
?
因 为 ? = ， ? ∈ N ， 所 以 ? ? ? = ? = ? < 0 ，
? ? + 1 ?
2 ? ? 1 2 ? + 1 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 ? ? 1
所 以 ? < ? ， 所 以 数 列 ? 为 递 减 数 列 ， 故 C 正 确 ；
? + 1 ? ?
? 1 1 1 1
?
?
? = = = ，
?
2 ? + 1 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 2 ? ? 1 2 ? + 1
所 以 ? = ? + ? + ? + ?
? 1 2 ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?
= 1 ? + ? + ? + ? = ? = ，
2 3 2 3 5 2 2 ? ? 1 2 ? + 1 2 4 ? + 2 2 ? + 1
?
因 为 对 于 任 意 的 ? ∈ N 都 有 ? < ? ， 所 以 < ? ， 其 中 ? ∈ N ，
?
2 ? + 1
m a x
? 1 1 1
又 = < ， 所 以 ? ≥ ， 故 D 正 确 .
1
2 ? + 1 2 2
2 +
?
故 选 ： A C D .
1 2 ． A C D
【 分 析 】 设 出 直 线 ? 的 方 程 ， 与 双 曲 线 方 程 联 立 ， 根 据 题 意 ， 两 交 点 的 横 坐 标 异 号 ， 利 用 韦
A ? B △ ? ? ?
达 定 理 即 可 求 解 ， 判 断 选 项 ； 求 出 右 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 ， 进 而 判 断 选 项 ； 要 使
2
?
为 锐 角 三 角 形 ， 则 ∠ ? ? ? < 4 5 ° ， 所 以 ? + 4 > ， 进 行 等 量 代 换 求 出 离 心 率 的 取 值 即 可 判
2
?
断 选 项 C ； 根 据 三 角 形 内 切 圆 的 特 点 先 求 出 两 圆 的 内 心 在 ? = ? 上 ， 然 后 利 用 三 角 形 相 似 求
? ? D
出 的 值 ， 进 而 求 出 ， 即 可 判 断 选 项 .想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 详 解 】 对 于 A ， 由 题 意 知 ： 直 线 ? 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 ? 的 方 程 为 ： ? = ?( ? + 4 ) ，
设 直 线 ? 与 双 曲 线 左 右 两 支 的 交 点 分 别 为 ?( ? , ? ) ， ? ( ? , ? ) ，
1 1 2 2
2 2
? ?
? = 1
2 2 2 2 2 2 2
4 ? ( ? ? 4 ? ) ? ? 3 2 ? ? ? 6 4 ? ? 4 ? = 0
联 立 方 程 组 ， 整 理 可 得 ： ，
? = ?( ? + 4 )
2 2
? 6 4 ? ? 4 ? ? ?
2 2
则 ? ? ? = < 0 ， 也 即 ? ? 4 ? > 0 ， 解 得 ： ? < ? < ， 故 选 项 A 正 确 ；
1 2
2 2
? ? 4 ? 2 2
对 于 B ， 设 右 焦 点 为 ? ( ?, 0 ) ， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ： ? ? ± ? ? = 0 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公
2
? ?
2
式 可 得 ： 点 ? 到 双 曲 线 渐 近 线 的 距 离 ? = = ? ≠ ? + 4 ， 故 选 项 B 错 误 ；
2
2 2
? + ?
2 2
? ?
对 于 C ， 若 直 线 A B 垂 直 于 x 轴 ， 则 直 线 ? ? 的 方 程 为 ： ? = ? ， 设 点 ? ( ?, ) ， ? ( ? , ? ) ， 要
? ?
使 △ ? ? ? 为 锐 角 三 角 形 ， 由 双 曲 线 的 对 称 性 可 知 ： ∠ ? ? ? < 4 5 ° ，
2
2
?
2
则 ? ? > ? ? ， 即 ? + 4 > ， 所 以 ? < ? ? + 4 ? ，
2 2
?
2 2 2 2 2 2
又 因 为 ? = 2 ， 则 ? < ? ? + 4 ? = ? ? + 2 ? ， 也 即 ? ? ? < ? ? + 2 ? ， 整 理 可 得 ： ? ? ? ? ?
1 ? 1 3 1 + 1 3
2 2
3 ? < 0 ? ? ? ? 3 < 0 < ? < ? > 1
， 则 ， 解 得 ： ， 因 为 ，
2 2
1 + 1 3
所 以 ? ∈ ( 1 , ) ， 故 选 项 C 正 确 ；
2
对 于 D ， 过 ? 分 别 作 ? ? , ? ? , ? ? 的 垂 线 ， 垂 足 为 ? , ? , ? ，
1 1 2 1 2
? ? ? ? , ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 ?
则 = = = ， 因 为 ，
1 1 2 2 1 2
则 ( ? ? + ? ? ) ? ( ? ? + ? ? ) = ? ? ? ? ? = 2 ? ， 又 因 ? ? = ? ? + ? ? = 2 ? ，
1 2 1 2 1 2 1 2
则 ? ? = ? ? + ? ? = ? + ? ， 所 以 ? ? = ? ， 即 ? 在 直 线 ? = ? 上 ， 同 理 ? 也 在 直 线 ? = ?
1
1 1 2
上 ， 所 以 ? ? ⊥ ? 轴 ，
1 2
因 为 ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? , ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? ，
1 2 1 2 1 2 2 2 2 1
则 ∠ ? ? ? + ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? + ∠ ? ? ? = ∠ ? ? ? ， 所 以 ∠ ? ? ? = 9 0 ° ，
1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ? ? ?
1 2
2 2
由 △ ? ? ? ～△ ? ? ? 可 知 ： = ， 则 ? ? ? ? ? = ? ? ， 也 即 ? ? ? = ( ? ? ? ) ，
1 2 2 2 2 1 2 1 2
? ? ? ?
2 2
2 2
因 为 ? = 2 ， ? ? = 4 ， 所 以 ? = 4 ， ? = ? ? ? = 2 3 ， 故 选 项 D 正 确 ，
1 2
A C D
故 选 ： .
1
1 3 ． ? / ? 0 . 5
2
【 分 析 】 根 据 若 ? ⊥ ? ， 则 ? ? + ? ? = 0 ， 运 算 求 解 .
1 2 1 2 1 2
1
【 详 解 】 若 ? ⊥ ? ， 则 1 × ? + 1 + ? × 1 = 0 ， 解 得 ? = ? .
1 2
2
1
故 答 案 为 ： ? .
2
1 4 ． 7
′
【 分 析 】 求 出 ? ( ? ) 的 导 数 ? ( ? ) ， 再 将 ? = 1 代 入 ， 即 可 得 答 案 .
2
? ? 1
【 详 解 】 解 ： 因 为 ? ( ? ) = ? l n ? + 3 ，
1
′
所 以 ? ( ? ) = l n ? + ? ? + 6 ? = l n ? + 6 ? + 1 ，
?
′
所 以 ? ( 1 ) = l n 1 + 6 ? 1 + 1 = 7 .
故 答 案 为 ： 7
5
1 5 ．
3
【 分 析 】 根 据 几 何 分 析 确 定 四 边 形 ? ? ? ? 为 矩 形 ， 根 据 勾 股 定 理 构 造 齐 次 式 即 可 求 出 离 心
1 2
率 .
【 详 解 】 依 题 意 ， 作 图 如 下 ，
因 为 点 ? , ? 关 于 原 点 ? 对 称 ， 所 以 ? 为 ? ? 的 中 点 ，
°
且 ? 为 ? ? 的 中 点 ， ∠ ? ? ? = 9 0 ， 所 以 四 边 形 ? ? ? ? 为 矩 形 ，
1 2 1 1 2
由 2 ? ? = ? ? ， 设 ? ? = ? , ? ? = 2 ? ,
2 2 2 1
2 ? 4 ?
由 椭 圆 的 定 义 知 ， ? ? + ? ? = 2 ? , 解 得 ： ? ? = , ? ? = ,
2 1 2 1
3 3
2 2
2 ? 4 ?
2
所 以 + = 2 ?
3 3想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
5
2
整 理 得 ： ? = ， 因 为 0 < ? < 1 ，
9
5
所 以 ? = ，
3
5
故 答 案 为 ： .
3
3 4 9 5 6
1 6 ．
【 分 析 】 根 据 递 推 公 式 一 一 计 算 即 可 求 出 ? ， 再 归 纳 出 ? 的 通 项 ， 最 后 结 合 高 斯 函 数 的 定
3 ?
义 并 项 求 和 计 算 可 得 .
【 详 解 】 解 ： 因 为 ? = 1 ， ? + ? = 2 ? ，
1 ? ? + 1
当 ? = 1 时 ? + ? = 2 ， 则 ? = 1 ，
1 2 2
? = 2 ? + ? = 4 ? = 3
当 时 ， 则 ，
3 2 3
当 ? = 3 时 ? + ? = 6 ， 则 ? = 3 ，
3 4 4
当 ? = 4 时 ? + ? = 8 ， 则 ? = 5 ，
5 5
4
? ? ，
由 此 可 归 纳 得 ， 当 ? 为 奇 数 时 ? = ? ， 当 ? 为 偶 数 时 ? = ? ? 1 ，
? ?
? = 1 ? = 1 ? = ? ? ? = ? ? + ? = 2 ?
显 然 当 时 成 立 ， 假 设 当 （ 为 奇 数 ） 时 成 立 ， 即 ， 则 ，
1 ? ? ? + 1
即 ? = ? 也 成 立 ，
? + 1
假 设 当 ? = ? （ ? 为 偶 数 ） 时 成 立 ， 即 ? = ? ? 1 ， 则 ? + ? = 2 ? ， 即 ? = ? + 1 也 成 立 ，
? ? ? + 1 ? + 1
故 归 纳 成 立 ；
因 为 ? = 1 g? ，
? ?
1 ≤ ? ≤ 1 0 1 ≤ ? ≤ 9 ? 1 g? = 0
当 时 ， 则 = ，
? ? ?
当 1 1 ≤ ? ≤ 1 0 0 时 1 1 ≤ ? ≤ 9 9 ， 则 ? = 1 g? = 1 ，
? ? ?
当 1 0 1 ≤ ? ≤ 1 0 0 0 时 1 0 1 ≤ ? ≤ 9 9 9 ， 则 ? = 1 g? = 2 ，
?
? ?
当 1 0 0 1 ≤ ? ≤ 2 0 2 2 时 1 0 0 1 ≤ ? ≤ 2 0 2 1 ， 则 ? = 1 g ? = 3 ，
? ? ?
2 3 2 3
∴ ? = 0 × 1 0 + 1 × ( 1 0 ? 1 0 ) + 2 × ( 1 0 ? 1 0 ) + 3 × 2 0 2 2 ? 1 0
2 0 2 2
= 1 × 9 0 + 2 × 9 0 0 + 3 × 1 0 2 2
= 4 9 5 6 ．
故 答 案 为 ： 3 ， 4 9 5 6 ．
1 7 ． ( 1 ) 证 明 过 程 见 详 解
?
3 ( 3 ? 1 )
( 2 ) ? = 2 ? +
?
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
【 分 析 】 ( 1 ) 根 据 递 推 公 式 和 等 比 数 列 的 定 义 即 可 使 问 题 得 证 ；
( 2 ) 利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 ， 分 组 求 和 即 可 求 解 .
【 详 解 】 （ 1 ） 由 题 意 知 ： ? = 3 ? ? 4 ， 所 以 ? ? 2 = 3 ? ? 6 = 2 ( ? ? 2 ) ，
? + 1 ? ? + 1 ? ?
?
? 2
? + 1
即 = 2 ， 又 ? ? 2 = 3 ≠ 0 ，
1
? ? 2
?
所 以 数 列 ? ? 2 是 以 3 为 首 项 ， 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列 .
?
? ?
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ： ? ? 2 = 3 ， 所 以 ? = 2 + 3 ，
? ?
? ? + ? + ? + ? + ? + ?
所 以 =
? 1 2 2 ? ? 1 ?
1 2 3 ? ? 1 ?
= ( 2 + 2 + 2 + ? + 2 + 2 ) + ( 3 + 3 + 3 + ? + 3 + 3 )
?
3
3 ( 1 ? )
= 2 ? +
1 ? 3
?
3 ( 3 ? 1 )
= 2 ? + .
2
1 8 ． ( 1 ) 证 明 见 详 解
π
( 2 )
6
【 分 析 】 （ 1 ） 建 系 ， 利 用 空 间 向 量 证 明 线 面 平 行 ；
（ 2 ） 先 求 平 面 ? ? ? ? 的 法 向 量 ， 再 利 用 空 间 向 量 求 线 面 夹 角.
1 1
【 详 解 】 （ 1 ） 如 图 ， 以 D 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
? 2 , 0 , 0 , ? 2 , 2 , 0 , ? 0 , 2 , 0 , ? 0 , 0 , 2 , ? 1 , 1 , 0 , ? 0 , 1 , 1 ，
1
可 得 ? ? = ? 1 , 0 , 1 ， 平 面 ? ? ? ? 的 法 向 量 ? = 0 , 1 , 0 ，
1 1
? ? ? ? = ? 1 × 0 + 0 × 1 + 1 × 0 = 0 ?? ? ? ? ? ?
∵ ， 且 平 面 ，
1 1
∴ P Q ∥ 平 面 ? ? ? ? .
1 1
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 ： ? ? = 0 , 2 , 0 , ? ? = ? 2 , 0 , 2 , ? ? = 0 , ? 2 , 2 ，
1 1
? ? ? ? = 2 ? = 0
设 平 面 ? ? ? ? 的 法 向 量 为 ? = ? , ? , ? ， 则 ，
1 1
? ? ? ? = ? 2 ? + 2 ? = 0
1
令 ? = 1 ， 则 ? = 0 , ? = 1 ， 故 ? = 1 , 0 , 1 ，
? ? ? ? 2 1
1
∵ c o s ? , ? ? = = = ，
1
×
? ? ? 2 2 2 2
1
1 π
故 直 线 ? ? 与 平 面 ? ? ? ? 所 成 角 的 正 弦 值 为 ， 则 其 大 小 为 .
1 1 1
2 6想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
1 9 ． ( 1 ) ? = 2 ?
( 2 ) ? = ? ? 2
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 抛 物 线 的 定 义 ， 列 方 程 求 出 ? 即 可 ；
? , ? ? , ? ? ? ⊥ ? ? ? ? ? + ? ? = 0
（ 2 ） 联 立 直 线 和 抛 物 线 方 程 ， 设 出 ? ( ) , ? ( ) ， ， 然 后
1 1 2 2 1 2 1 2
用 韦 达 定 理 求 解 .
3 1 ?
? = +
【 详 解 】 （ 1 ） 根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 到 焦 点 的 距 离 等 于 到 准 线 的 距 离 ， 即 ， 结 合 题
2 ? 2
2
0 < ? < 2 ? = 1 ? = 2 ?
干 条 件 ， 解 得 ， 故 抛 物 线 方 程 为 ：
? , ? ? , ?
（ 2 ） 设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? ) ， 依 题 意 ： ? ? ⊥ ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 ? ? = 0 ?
1 1 2 2 1 1 2 2
2
? = 2 ?
2
? ? + ? ? = 0 ， 联 立 直 线 和 抛 物 线 ： ， 得 到 ? ? 2 ? + 2 ? = 0 ， Δ = 4 ? 8 ? > 0 ，
1 2 1 2
? = ? + ?
2
? = 2 ?
1
1 1
? < ? ? = 2 ? ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? )
解 得 ， 由 韦 达 定 理 ： ， 在 抛 物 线 上 ， 故 ， 于 是
1 2 1 1 2 2
2
2
? = 2 ?
2 2
2 2
? ?
1 2 2 2
? ? = = ? ， 于 是 ? + 2 ? = 0 ， 解 得 ? = 0 或 ? = ? 2 ， 但 ? = 0 时 ， ? , ? 其 中 一 点 和
1 2
4
? 重 合 ， 不 符 题 意 ， ? = ? 2 时 ， 符 合 判 别 式 条 件 . 综 上 可 知 ， ? = ? 2 ， 此 时 直 线 方 程 为 ： ? =
? ? 2
2 0 ． ( 1 ) ? = ? + 1
?
( 2 ) 证 明 见 解 析
【 分 析 】 （ 1 ） 先 根 据 ? = ? + ? + 1 推 出 数 列 { ? } 为 等 差 数 列 ， 公 差 ? = 1 . 若 选 ① ， 根
? + 1 ? ? ?
据 等 差 中 项 求 出 ? ， 再 求 出 ? ， 根 据 ? 和 ? 可 得 通 项 公 式 ； 若 选 ② ， 根 据 等 比 中 项 列 式 求 出 ? ，
6 1 1 1
可 得 ? ； 若 选 ③ ， 根 据 等 差 数 列 求 和 公 式 列 式 求 出 ? ， 可 得 ? .
? 1 ?
? + 3
（ 2 ） 利 用 错 位 相 减 法 求 出 ? ， 根 据 为 正 数 ， 得 ? < 3 ， 根 据 ? 为 递 增 数 列 ， 可 得
? ? ?
?
2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
? ≥ ? = 1 .
? 1
【 详 解 】 （ 1 ） 由 ? = ? + ? + 1 ， 得 ? ? ? = ? + 1 ， 得 ? ? ? = 1 ，
? + 1 ? ? ? + 1 ? ? ? + 1 ?
所 以 数 列 { ? } 为 等 差 数 列 ， 公 差 ? = 1 .
?
若 选 ① ， 因 为 ? + ? = 1 4 ， 所 以 2 ? = 1 4 ， ? = 7 ，
3 9 6 6
? ? + 5 ? = 7 ? = 2
所 以 = ， ，
6 1 1
所 以 ? = ? + ( ? ? 1 ) ? = 2 + ? ? 1 = ? + 1 ，
? 1
2
? ? ? ? ? ?
若 选 ② ， 因 为 ， ， 成 等 比 数 列 ， 所 以 = ，
2 5 1 1 5 2 1 1
2 2
所 以 ( ? + 4 ? ) = ( ? + ? ) ( ? + 1 0 ? ) ， 所 以 ( ? + 4 ) = ( ? + 1 ) ( ? + 1 0 ) ，
1 1 1 1 1 1
所 以 ? = 2 ， 所 以 ? = ? + ( ? ? 1 ) ? = 2 + ? ? 1 = ? + 1 .
1 ? 1
8 × 7
若 选 ③ ， 因 为 ? = 8 ? + = 4 4 ， 所 以 ? = 2 ，
1
8 1
2
所 以 ? = ? + ( ? ? 1 ) ? = 2 + ? ? 1 = ? + 1 ，
? 1
? + 1
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， ? = ? + 1 ， 则 ? = ，
? ?
?
2
2 3 4 ? + 1
则 ? = + + + ? + ，
?
1 2 3 ?
2 2 2 2
1 2 3 4 ? + 1
? = + + + ? + ，
?
2 3 4 ? + 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 ? + 1
所 以 ? ? ? = 1 + + + + ? + ? ，
? ? 2 3 4 ? ? + 1
2 2 2 2 2 2
1 1
( 1 ? )
1 ? ? 1 ? + 1
4
2
所 以 ? = 1 + ? ，
? 1
? + 1
2 2
1 ?
2
? + 3 ? + 3
所 以 ? = 3 ? ， 因 为 为 正 数 ， 所 以 ? < 3 ，
? ?
? ?
2 2
? + 4 ? + 3 2 ? + 6 ? ? ? 4 ? + 2
因 为 ? ? ? = 3 ? ? 3 + = = > 0 ，
? + 1 ?
? + 1 ? ? + 1 ? + 1
2 2 2 2
? > ? { ? }
所 以 ， 所 以 数 列 为 递 增 数 列 ，
? + 1 ? ?
4
所 以 ? ≥ ? = 3 ? = 1 ，
? 1
2
?
综 上 所 述 ： 1 ≤ ? < 3 ( ? ∈ N ) .
?
2 1 ． ( 1 ) 证 明 见 解 析
2 5
( 2 )
5
? ? ? ? ? , ? ? ? ? ⊥ ? ? ? ? ⊥ ? ?
【 详 解 】 （ 1 ） 在 图 1 中 ， 取 的 中 点 ， 连 ， 依 题 意 得 ， ， 如 图 ：想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
3
则 ? ? = ? ? = 3 ， ? ? = × 2 = 3 ，
2
折 叠 后 ， 在 图 2 中 ， ? ? ⊥ ? ? ， 如 图 ：
2 2 2
在 △ ? ? ? 中 ， ? ? = 3 ， ? ? = 3 ， ? ? = 6 ， 所 以 ? ? = ? ? + ? ? ， 所 以 ? ? ⊥ ? ? ，
由 ? ? ⊥ ? ? ， ? ? ⊥ ? ? ， ? ? ∩ ? ? = ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ， ? ? ? 平 面 ? ? ? ? ，
得 ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? ， 又 ? ? ? 平 面 ? ? ? ，
所 以 平 面 ? ? ? ⊥ 平 面 ? ? ? ? 。
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， ? ? , ? ? , ? ? 两 两 垂 直 ，
? ? ? , ? ? , ? ? ? , ? , ?
以 为 原 点 ， 分 别 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 ：
则 ? ( 0 , 1 , 0 ) ， ? ( 3 , 1 , 0 ) ， ? ( 0 , 0 , 3 ) ， ? ( 3 , 0 , 0 ) ， ? ? = ( 3 , 1 , 0 ) ， ? ? = ( 0 , 0 , 3 ) ， ? ? = ( 0 , 1 , 0 ) ，
? ? 1
因 为 = ， 所 以 ? ? = 3 ? ? ， 所 以 ? ? ? ? ? = 3 ? ? ? 3 ? ? ，
? ? 3
1 2 3 1 2 3 3 1 2 3
所 以 ? ? = ? ? + ? ? = ( , , 0 ) + ( 0 , 0 , ) = ( , , ) ，
3 3 3 3 3 3 3 3
? ? ? ? ? = ( 3 , 0 , 0 )
取 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ，想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
设 平 面 ? ? ? 的 一 个 法 向 量 为 ? = ( ? , ? , ? ) ，
3 1 2 3
? ? ? ? = ? + ? + ? = 0 ? + 2 ? = 0
3 3 3
则 ， 得 ， 令 ? = 1 ， 得 ? = ? 2 ， 得 ? = ( ? 2 , 0 , 1 ) ，
? = 0
? ? ? ? = ? = 0
?? ? ? ? 2 3 2 5
所 以 c o s < ? ? , ? > = = = ? ，
| ?? | | ? | 3 × 4 + 0 + 1 5
由 图 形 可 知 ， 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 为 锐 角 ，
2 5
所 以 二 面 角 ? ? ? ? ? ? 的 余 弦 值 为 .
5
2
?
2
2 2 ． ( 1 ) + ? = 1 ( ? ≠ ± 2 ) ；
2
( 2 ) ( 0 , 1 ] .
【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 设 ? ( ? , ? ) ( ? ≠ ± 2 , ? ≠ 0 ) ，
? ?
则 有 ? = , ? = ,
? ? ? ?
?+ 2 ?? 2
2
? ? ?
所 以 ? ? ? = ? = ，
? ? ? ? 2
?+ 2 ?? 2 ? ? 2
2
? 1
所 以 = ? ，
2
? ? 2 2
2
?
2
化 简 得 ： + ? = 1 ( ? ≠ ± 2 ) ，
2
2
?
2
所 以 曲 线 Γ 的 方 程 为 ： + ? = 1 ( ? ≠ ± 2 ) ；
2
（ 2 ） 解 ： 设 直 线 ? 的 方 程 为 ： ? = ?? + ? ，
? = ?? + ?
2 2 2
则 由 ， 可 得 ( 2 ? + 1 ) ? + 4 ?? ? + 2 ? ? 2 = 0 ，
2 2
? + 2 ? = 2
2 2 2 2 2
则 Δ = ( 4 ?? ) ? 4 ( 2 ? + 1 ) ( 2 ? ? 2 ) = 8 ( 2 ? ? ? + 1 ) > 0 ，
2 2 2 2
所 以 2 ? ? ? + 1 > 0 ， 即 2 ? + 1 > ? ，
设 ? ( ? , ? ) , ? ( ? , ? ) ，
1 1 2 2
2
4 ? ? 2 ? ? 2
则 有 ? + ? = ? ， ? ? = ，
1 2 2 1 2 2
2 ? + 1 2 ? + 1
2 2
2 2 ? 2 ? ? ? + 1
2 2 2
1 + ? ( ? + ? ) ? 4 ? ? 1 + ?
所 以 | ? ? | = ? = ? ，
1 2 1 2 2
2 ? + 1
| ? |
又 因 为 原 点 ? 到 直 线 ? 的 距 离 ? = ，
2
1 + ?
2 2 2 2
1 1 2 2 ? 2 ? ? ? + 1 | ?| 2 ? | ?| ? 2 ? ? ? + 1
2
所 以 ? = | ? ? | ? = ? 1 + ? ? ? = ，
2 2
2
2 2 2 ? + 1 2 ? + 1
1 + ?
2
?
2 2 1
又 因 为 | ? ? | = ? + ? = 1 + ，
1 1
2
2
1 π π ?
2 2 1
所 以 ? = π ? ( | ? ? | ) = ? | ? ? | = ? ( 1 + ) ，
1
2 4 4 2想 都 是 问 题 ， 做 才 是 答 案 老 张 讲 义
2
π ?
2
同 理 可 得 ? = ? ( 1 + ) ，
2
4 2
? ? ? ?
1 2
又 因 为 以 ? = = ? + ， ? = = ? + ，
1 2
? ? ? ?
1 1 2 2
又 因 为 ? , ? , ? 成 等 比 数 列 ，
1 2
2
所 以 ? = ? ? ，
1 2
2
? ? 1 1 ?
2 2
所 以 ? = ( ? + ) ( ? + ) = ? + ?? ( + ) + ，
? ? ? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
2
1 1 ?
所 以 ? ? ( + ) + = 0 ，
? ? ? ?
1 2 1 2
2
? + ? ?
2 1
? ? ? + = 0
即 ，
? ? ? ?
1 2 1 2
2 2
即 有 ( 2 ? ? 1 ) ? = 0 ，
又 因 为 ? > 0 ， ? ≠ 0 ，
2
? ≠ 0 2 ? ? 1 = 0
所 以 ， ，
2
解 得 ? = ，
2
2
2
所 以 ? = ? | ?| ? 2 ? ? ，
2
2
2
3 π ( ? | ? | ? 2 ? ? ) 2 2
3 π ? 6 | ? | ? 2 ? ? 6 | ?| ? 2 ? ?
2
所 以 = = =
2 2 2 2 2
( ? + ? ) ? 2 ? ?
2 ? + 2 ? π ? π ? ? + ?
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 +
2 [ ? ( 1 + ) + ? ( 1 + ) ] 2 +
2
4 2 4 2 2
2 2 4 2 2
= | ? | ? 2 ? ? = 2 ? ? ? = 1 ? ( ? ? 1 ) ≤ 1 ， 当 ? =± 1 时 取 等 号 .
2 2
2 ? + 1 > ?
又 因 为 ，
2
即 0 < ? < 2 ，
2 2
所 以 0 < 1 ? ( ? ? 1 ) ≤ 1 ，
3 π ?
即 ∈ ( 0 , 1 ] .
+
2 ? 2 ?
1 2 |
|
