贾会新 | 教育数学视域下初中数学教学的优化策略探究——以 《新思路数学》 读本为例

摘要

教育数学思想从内容和方法上对初中数学知识体系和逻辑结构进行了优化和完善，《新思路数学》读本在培养学生适应现代社会发展和终身学习所需要的数学学科核心素养方面优势明显。以《新思路数学》优化初中数学教学，可以从三角提前下放、知识点集中呈现等特点出发，秉持“化繁为简”的理念，遵循“一线贯通，重建三角”的构想，从以单位菱形为纽带，重建三角新天地；代数运算挑大梁，掌握通法好抓手；三角整合降难度，打造学习高质量等方面展开，落实学科核心素养

关键词：教育数学；《新思路数学》；单位菱形；正弦；面积公式

初中数学既是义务教育阶段的汇总和概括，也是高中阶段的铺垫和起点。初中数学难度大，是数学教师关切的问题，张景中院士提出的教育数学思想从内容和方法上对知识体系和逻辑结构进行了优化，建立了教育数学新体系。《新思路数学》读本（以下简称《读本》）在培养学生适应现代社会发展和终身学习所需要的数学学科核心素养方面优势明显。本文以《读本》为例，从初中数学教学中存在的问题、《读本》的优势分析、以《读本》优化初中数学教学的实践策略三个方面，探究教育数学视域下初中数学教学的优化策略。

一

初中数学中存在的问题

初中学生认为数学学习很困难，是因为现行各种教材版本在知识体系编排、方法优化、数学核心素养的培养等方面，还有进一步调整、改进和加强的实际需要。

（一）三角地位未突出

初中数学教材版本较多，使用比较广泛的是北师大版和人教版，这些教材内容虽然涉及代数、几何和三角，但其中三角内容的比例和难度明显少于代数和几何，三角内容重点放在高中进行研究，加上其综合性强、难度大，使得三角函数成为高中学习的难点之一。如果能将三角函数的研究下沉到初中，可以适当降低高中生的学习难度。比如关于面积公式与正弦的知识点，人教版只在九年级下册第二十八章锐角三角函数中有简单介绍。八年级下册第十八章平行四边形中菱形部分拓展延伸内容也较少。可见，各种版本涉及的三角知识受限，三角地位未突出。

（二）教学内容跨度大

人教版初中数学教材在章节内容和逻辑编排方面，采用螺旋式交替上升的编排形式。以“代数式”专题为例，人教版七年级上册第二章整式的加减，设计了单项式、多项式、整式加减运算、去括号法则等知识点，内容单薄，难度较低。学生从单项式到多项式再到整式，认知顺序是由分到总、由局部到整体的归纳，而且与整式相关的延伸知识点，直到八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解才再现。学生的认知是断断续续的“时空间断、体系孤立”。

（三）学科关联不顺畅

师生对个别知识编排会产生迷惑，比如学了坐标和正切知识，为何两点间距离公式、斜率公式、一次函数不顺势呈现？再比如学科关联方面，教材中有两处知识的编排滞后于物理教学需要，一处是负指数幂的学习，物理八年级上册要用到该知识点，而数学教材安排在八年级上册最后一章；另一处是正比例函数的学习，物理八年级上册要用到该知识点，而数学教材安排在八年级下册。学科关联不顺畅，会出现卡顿现象，增加了知识的难度，不利于学习。

二

读本的优势分析

张景中院士提出“一线贯通，重建三角”的构想和“减负”要从“删繁就简”到“化繁为简”的理念。数学教学中，减负最有效、最根本的一个方法，就是把数学本身变得更有效、更容易学。现举例对《读本》与现行教材进行简单的分析。

（一）下放三角好处多

张院士受弗赖登塔尔“能否提前两年先学正弦”的启发，经过多年探索，找到三角在小学知识基础上的生长点，即“教什么”往往比“怎么教”更重要。因为如果内容不好，怎么教都不行。比如三角函数，学生普遍觉得难学，是因为在三角函数这里，一下子就出现了sin、cos、tan、cot四个概念和很多定义。因为涉及相似三角形的知识，且这些关于三角函数的定义一开始就比较复杂，需要很多的储备知识，因而这些内容到九年级下册才整体引进，加大了学生学习的难度。如果改变定义，在七年级甚至小学引进正弦概念，之后让三角、代数、几何与之相结合，学起来就容易了。所以他用“顶角为A的单位等腰三角形的面积的2倍，记作sinA”和“边长为1的菱形（有一个内角的大小为A）的面积等于sinA”这两个定义，实现在七年级甚至小学高年级成功引入sinA的夙愿。

（二）同类知识更集中

人教版七年级上册第二章整式的加减与《读本》七年级上册第二章代数式讲述内容相似，但结构还是有一定差异。《读本》从内容结构上进行了优化，在人教版基础上增加了部分内容，如第1节字母表示数、第7节整式的混合运算；并且把人教版八年级知识前移到本章，如第4节幂的运算、第5节整式乘法、第6节零指数与负指数幂，最终以大单元主题式教学呈现，让学生整体感知系统建构。这是专题式的深度研究，能将相关知识点系统研究，完整科学且牢不可破，是集中力量办“代数式”的大事。

教师以统编教材为主进行教学时，可以《读本》为辅强化渗透，将相关优化的知识点和思想方法及时融入拓展训练，将《读本》作为学生的兴趣班和加油站。

三

以《读本》优化初中数学教学的实践策略

（一）单位菱形为纽带，重建三角新天地

《读本》引入有一个内角大小为A的单位菱形的面积sinA，是教学实践创新。通过三角形面积引入正弦，所需预备知识少，在三角形中直接推证，既能降低“重建三角”难点，又能符合正弦的课本定义方法，学生易于接受。该法与菱形面积法配套使用，能有效培养学生动态数学思维能力，优化教学效果，提升数学修养，让学生能获得探究未知的无穷动力。教师针对sinA在《读本》中多次出现的情形，要注意讲解的逻辑顺序，帮助学生自然认知。

1.教育数学关于sinA的定义推导

在统编教材中sinA的定义是九年级上册引入的，即Rt△ABC中，若∠C=90°，则。从学段来讲，略显滞后。学生学完不久就马上面临高中三角函数等知识体系。知识衔接上紧凑自然，但是学生在高中起始阶段的理解消化难度较大。《读本》提出关于sinA的新定义是现实需要。《读本》七年级下册直接定义,“我们规定sinA是有一个角为A的单位菱形的面积”。将单位菱形面积定义为sinA，学生在理解上比较突兀有一定难度，但使用起来简洁明快，是深受广大师生喜爱的好方法。其他相关延展定义如下：

第一，最直接的图形定义—面积算两次。要想获得关于sinA的知识，可以到面积公式中去寻找。

如图1，在△AEF中，ED是AF边上的高，则这个公式的推导过程告诉我们，无需等到九年级直角三角形正弦学习时给出定义，这就是正弦的定义.

第二，最智慧的补形定义—三角形面积公式推导之一。如图2，在单位菱形FMAN中，延长一边FM至点D，使MD=b，以1和b为邻边构造平行四边形MDCA，可知，延长DC到点E，使得CE=c，以CA、CE为邻边构造平行四边形CEBA，可知

第三，最丰富的面积定义—三角形面积公式推导之二。平面几何的构成要素是长度、角度、面积。所有的证明、计算都是在这三个量之间的转换。如果能找到这三个量之间的普遍联系，就可以用这个普遍联系解决形式多样的几何问题。而恰好就是众望所归、博采众长的那个“普遍联系”。

如图3，在△AOB中，过点O作OD丄AB于点D，令OD=h1，或者过点B作BE丄OA于点E，令BE=h。

第四，最新颖的动感定义—折扣率。如图4，设AC=b，AB=AM=c，将三角形面积公式变形可得，上式右边的分子是△ABC的面积的2倍，也就是以AC、AB为邻边的平行四边形ACEB的面积，分母bc是与平行四边形ACEB边长相同的矩形ACNM的面积。就是平行四边形与矩形的面积之比。

面积随着角的变化而变化，其中最大的面积是矩形ACNM的面积bc，其余的平行四边形面积均由最大面积“打折”得到，因此“折扣率”就是每个平行四边形面积与最大面积bc之比，就是sinA。折扣率sinA由∠A决定，只要∠A不变，不同的b、c算出的折扣率sinA相同。不妨取最简单的b=c=1，则有sinA=，计算折扣率sinA，单位正方形面积等于1。面积比sinA=S菱形ACEB就是最初定义的单位菱形面积。这实际是对平行四边形在动态变化中面积变化规律的探究，体现了处理几何图形的整体思想。

2.以sinA教学重建三角

在初中运用《读本》进行sinA教学，可以重建三角，实现教学优化。具体策略如下：

其一，定义分析。单位菱形、三角形面积公式和折扣率均来自《读本》七年级下册，与人教版九年级定义相比有较大提前量，从知识体系、推导需要、难度处理上都恰逢其时，是sinA“亮相”的黄金时段。该证法类似于勾股定理证明中的向外补形法，向读者直观地展示了三角形面积公式的推导过程。教师在教学中，可在运用单位菱形面积定义时，借助比例知识，巧妙推导出，将三角形面积公式毫无悬念地推导出来。三角形面积公式是集“角度、长度、面积”于一身的“黄金公式”，有边有角有面积，面面俱到。教师要深刻理解几种几何证法的逻辑顺序是“定义单位菱形→平行四边形补形证法→三角形面积公式推导→折扣率”，注意按此链条教学，以符合学生认知规律。

其二，答疑分析。前面定义推导中，解出，教学中常有师生都提出共同的问题：“既然sinA是推导出正弦定义的结论，那么在中，AEsinA表示的不就是DE吗？如果是这样的话，不就是用到直角三角形正弦定义的结论了吗？用正弦定义推出正弦定义，是数学推导中的大忌，这是逻辑上的矛盾，就不能算是九年级之前推导出正弦定义了”。答疑如下：公式并不是表示在Rt△AED中的底乘高的一半，而是直接用到了三角形的面积公式，面积等于两边乘积乘以其夹角正弦的一半，如此一来，思路就通了。得到的sinA=，就是正弦的定义。最初为了需要，简单命名sinA，却在这里直接推出了sinA就是直角三角形中角A的对边比斜边。这个定义比九年级才出来的定义提前了两年。把疑惑讲透彻了，学生的认知会更加前瞻，更加自信。

其三，算两次分析。与前面面积算两次相似，精妙直观。Rt△ABC中，若∠C=90°，求sinA。由，同样可以得到正弦的定义。如此神奇、惬意、简单，彰显着数学的魅力。

其四，证明分析。如图5，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠1=∠2，AB=c，AC=b，BD=m，DC=n。求证：

这是经典的平面几何证明题，如未学过sinA以及正弦定理，必须作辅助线才能完成证明，过C作AD的平行线交BA延长线于点E。可知∠1=∠E，∠2=∠3，等量代换∠3=∠E，则AC=AE=b。由平行线分线段成比例定理可知。

学了正弦定理知识后，证明更为简便，在△ABD和△ACD中分别由正弦定理得到：

本题是三角形角平分线性质定理的证明，两种证法，两种风格。前一种是作辅助线运用转化思想等量代换，而后一种正弦定理证法却避开作辅助线的难点，直奔主题构造三角等式，比前者更能训练学生的学科素养。其解题思路与高中立体几何中求二面角相似，传统的几何法需要作辅助线找到二面角，难度非常大，而向量法不需要知道二面角的平面角，可直接通过法向量计算出二面角的平面角。

（二）代数运算挑大梁，掌握通法好抓手

运算是一种推理，代数运算挑大梁，可培养“寓理于算，算理合一”的解题思路，让学生对“用字母表示数”有普遍抽象的认识，有利于培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。比如《读本》对七年级上册第二章代数式知识进行了高度整合和拓展。

1.树立符号意识，培养抽象能力

第1节主题“字母表示数”，是全章的开篇起首，五个关键点“字母运算识破玄机”“字母才能算无穷”“规律指挥案例”“字母表示公式”“字母表示运算律”，都配有引人入胜的案例。学生通过案例感受字母的神奇，教师恰当的引导，吸引学生更积极主动探究。教师要深刻领会并重视第1节的意图，树立符号意识，培养抽象能力。

如“手机号码泄露年龄”问题。“把自己的手机号码加20，再乘25，再乘4，再加17，再减去自己的出生年份，最后得到的数字的末两位就是你的年龄”，这是一个学生容易判断为假的常识，怎么让七年级学生信服呢？可以列代数式，每个人手机号码各不相同，用字母α表示，据题意列式得100α+2017，再减去出生年份（设为b），则有100α+2017-b，上式中100α是手机号码α的100倍，末两位都是0，对整个式子计算结果不产生影响，可剔除掉100α,得到简化年龄表达式为2017-b，其2017年时的年龄完全由出生年份b决定，与手机号码α毫不相关，由此可辨真伪。

2.优化学习方式，创设真实情境

相同知识点，教师为学生创设的学习情境不同，产生的效果就不一样。同样是sinA，七年级引入和九年级下册引入，天壤之别，早引入早受益。在《读本》七年级上册第二章教学中，有许多设计新颖的情境教学片段，教师既要借助《读本》的精彩文本，更要积极研读，优化学习方式，创设真实学习情境。学生对带有情境设计的现实问题更有探究积极性。教师在教学中要优化学习方式，贯彻新课标提出的“把知识的获得与学生已有的经验、现实的生活以及社会实践之间的关系紧密结合起来，给学生最大限度地呈现真实情境”。

如“去括号”问题。人教版七年级上册第二章在设计“去括号”时，是通过给出引言研究冻土和非冻土的代数表达式观察带括号和不带括号的规律，即通过两个代数式的比较直接定义去括号；《读本》七年级上册第二章第3节第2模块中，也讲到“去括号”法则，但并没有以枯燥的代数式给出，而是创设情境，以求几何图形面积引出“去括号”。“如图6，长为α,宽为b的长方形铁片，四个角上剪去边长为x的小正方形，而在中央部分又剪去边长为y的小正方形，求这块铁片剩下的面积。”铁片原来的面积为αb，剪去的总面积为，剩下的面积是；从另一个角度看，铁片原来的面积为αb，先在四个角上剪去边长为x的四个小正方形，再在中央部分剪去边长为y的小正方形，剩下的面积是，这两个结果应该相同，于是，去括号后，括号前面是“-”时，括号内各项全变号。如此情境设计，直观形象，通俗易懂，不仅调动了学生探究的积极性，而且能自我感知、自我享受探究过程带来的无限乐趣和成就感。比人教版冻土的应用题效果更好。教师在课前备课中，通过比较不同教材版本的内容，才能获得再次给学生引导的最佳状态。

（三）三角整合降难度，实现学习高质量

现行初中数学教材体系中，三角与代数、几何之间的融合度不是很高。准确地讲，三角是在九年级相似三角形知识之后才出现，成为相似三角形的延伸和补充内容。在《读本》中，整合三角降低学习难度的思路比较清晰，有如下几步：第一步，张景中院士提出“重建三角”新体系，用几何引出三角，即用面积法定义正弦。第二步，以三角形面积公式为起点，以三角为纽带，将代数计算和推理，几何图形的变换之间进行了生动的转换。将计算、推理、变换一线串通，将代数、三角、几何一线串通，一气呵成。第三步，构建四弦方案、三共定理方案，贯通几何、代数与三角，提出消去定理，使学生用最少的知识就可以贯通和构建新的初等数学体系，解决了许多平面几何问题，构建了几何的逻辑体系，提升了学生对平面几何学习的自信心，使数学更容易

比如《读本》七年级下册第六章面积与正弦就具有承上启下的作用。本章引入正弦内容，打破了初中几何教学格局，将几何知识和代数知识借助正弦有机联系起来。增加了正弦增减性质导出“类比三角形两边之和大于第三边”的重要性质；拓展了由三角形面积公式推出正弦定理、和角公式、勾股定理等知识，“上下求索”栏目探究了勾股数，习题中呈现了三共定理（共高定理、共边定理、共角定理）。“本章小结”就是众多知识结论的荟萃。

结语

综上，以《读本》为例探究教育数学视域下初中数学教学的优化策略，对数学教师来说，是一件很有意义的事情。教育数学思想引领下的《读本》，知识架构设置科学合理，大单元知识有利于学生系统掌握知识，正弦定义提前两年下放，给学生带来无穷乐趣。学生在重返三角的引领下，妙用“四弦”方案和三共定理方案，实现以最小的力量解决最复杂的问题。这样的教学有助于提升学生的学习兴趣和自信心，最终落实育人目标