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一、数与式
有理数
定义:整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)统称有理数。
数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上的点与有理数一一对应。
相反数:绝对值相等,符号相反的两个数。例如,5 和 -5 互为相反数,0 的相反数是 0。
绝对值:数轴上表示数 a 的点与原点的距离,记作 |a|。正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0 的绝对值是 0。
有理数的运算:包括加法、减法、乘法、除法和乘方。加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则要熟练掌握。
实数
无理数:无限不循环小数。常见的无理数有π、等。
实数的分类:实数分为有理数和无理数;也可以分为正实数、0、负实数。
实数的运算:实数的运算法则和运算顺序与有理数相同,并且有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
代数式
整式:单项式和多项式统称为整式。单项式是数或字母的积,单独的一个数或字母也是单项式;几个单项式的和叫做多项式。
整式的运算:包括加减乘除。同底数幂相乘、相除法则;幂的乘方、积的乘方法则;整式的乘法(单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式);平方差公式:(a + b)(a - b) = a² - b² ;完全平方公式:(a ± b)² = a² ± 2ab + b² ;整式的除法(单项式除以单项式、多项式除以单项式)。
因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式。常用的方法有提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)、十字相乘法等。
分式:形如 A/B(A、B 是整式,且 B 中含有字母,B ≠ 0)的式子。分式有意义的条件是分母不为 0;分式的值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0。
分式的运算:分式的加减(通分)、乘除(约分)。
二次根式:形如 (a ≥ 0)的式子。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。二次根式的性质:(a ≥ 0); 。二次根式的运算:化简、加减、乘除。
二、方程与不等式
一元一次方程
定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1 的整式方程。
一般形式:ax + b = 0(a ≠ 0)。
解法:通过移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤求解。
二元一次方程组
定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程组成的方程组。
解法:代入消元法和加减消元法。
一元二次方程
一般形式:ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。
解法:
直接开平方法:适用于形如(x + m)² = n (n ≥ 0)的方程。
配方法:将方程通过配方转化为完全平方式。
公式法:x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a) 。
因式分解法:将方程左边因式分解为两个一次因式的积。
根的判别式:Δ = b² - 4ac ,用于判断根的情况。当 Δ > 0 时,方程有两个不相等的实数根;当 Δ = 0 时,方程有两个相等的实数根;当 Δ < 0 时,方程没有实数根。
不等式(组)
不等式的性质:
不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
一元一次不等式的解法:与一元一次方程类似,但要注意不等式两边乘除负数时,不等号方向的改变。
一元一次不等式组:几个一元一次不等式组成的集合。求解时,先分别求出每个不等式的解集,再找出它们的公共解集。
三、函数
一次函数
定义:形如 y = kx + b(k、b 为常数,k ≠ 0)的函数。
图像:是一条直线。当 k > 0 时,图像从左到右上升;当 k < 0 时,图像从左到右下降。
性质:当 k > 0 时,y 随 x 的增大而增大;当 k < 0 时,y 随 x 的增大而减小。
求解析式:通常用待定系数法,即已知两点坐标,代入解析式求出 k、b 的值。
反比例函数
定义:形如 y = k/x(k 为常数,k ≠ 0)的函数。
图像:是双曲线。当 k > 0 时,图像在一、三象限;当 k < 0 时,图像在二、四象限。
性质:在每个象限内,当 k > 0 时,y 随 x 的增大而减小;当 k < 0 时,y 随 x 的增大而增大。
二次函数
一般式:y = ax² + bx + c(a ≠ 0)。
顶点式:y = a(x - h)² + k(a ≠ 0),顶点坐标为 (h, k) 。
交点式:y = a(x - x₁)(x - x₂)(a ≠ 0),其中 x₁、x₂ 是抛物线与 x 轴交点的横坐标。
图像:是一条抛物线。对称轴为直线 x = -b/2a ,顶点坐标为 (-b/2a, (4ac - b²)/4a) 。
性质:当 a > 0 时,抛物线开口向上,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而减小;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大。当 a < 0 时,抛物线开口向下,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而增大;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小。
四、三角形
三角形的基本性质
内角和定理:三角形内角和为 180°。
外角性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
全等三角形
定义:能够完全重合的两个三角形。
判定定理:
SSS(边边边):三边对应相等的两个三角形全等。
SAS(边角边):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA(角边角):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS(角角边):两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
HL(斜边、直角边):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
相似三角形
定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形。
两角对应相等,两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
三边对应成比例,两个三角形相似。
性质:相似三角形的对应边成比例,对应角相等;相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
直角三角形
勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。即 a² + b² = c² (a、b 为直角边,c 为斜边)。
三角函数:
正弦:sin A = 对边/斜边
余弦:cos A = 邻边/斜边
正切:tan A = 对边/邻边
五、四边形
平行四边形
性质:对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分。
判定:两组对边分别平行;两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形
性质:具有平行四边形的所有性质,四个角都是直角,对角线相等。
判定:有一个角是直角的平行四边形;对角线相等的平行四边形;三个角是直角的四边形是矩形。
菱形
性质:具有平行四边形的所有性质,四条边相等,对角线互相垂直且平分每组对角。
判定:一组邻边相等的平行四边形;对角线互相垂直的平行四边形;四条边相等的四边形是菱形。
正方形
性质:具有矩形和菱形的所有性质。
判定:先判定是矩形,再判定是菱形;或者先判定是菱形,再判定是矩形。
六、圆
圆的基本性质
圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
点与圆的位置关系
设圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,则有:
d > r ,点在圆外。
d = r ,点在圆上。
d < r ,点在圆内。
直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则有:
d > r ,直线与圆相离,没有公共点。
d = r ,直线与圆相切,有一个公共点。
d < r ,直线与圆相交,有两个公共点。
圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为 R、r(R > r),圆心距为 d,则有:
d > R + r ,两圆外离,有 4 条公切线。
d = R + r ,两圆外切,有 3 条公切线。
R - r < d < R + r ,两圆相交,有 2 条公切线。
d = R - r ,两圆内切,有 1 条公切线。
d < R - r ,两圆内含,没有公切线。
圆的周长和面积
周长:C = 2πr 或 C = πd (r 为半径,d 为直径)。
面积:S = πr² 。
弧长和扇形面积
弧长公式:l = nπr/180 (n 为圆心角度数,r 为半径)。
扇形面积公式:S = nπr²/360 或 S = 1/2 lr (l 为弧长)。
七、图形的变换
平移
定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离。
性质:平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置;对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等,对应角相等。
旋转
定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度。
性质:旋转不改变图形的形状和大小;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等。
轴对称
定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合。
性质:对称轴垂直平分对应点所连的线段;对应线段、对应角相等。
中心对称
定义:把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果它能够与另一个图形重合。
性质:中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;中心对称的两个图形全等。
八、统计与概率
数据的收集、整理与描述
数据的收集:普查和抽样调查。
数据的整理:频数、频率的概念,频数分布表、频数分布直方图。
数据的描述:平均数、中位数、众数;方差。
概率的初步
事件的分类:必然事件、不可能事件、随机事件。
概率的定义:某个事件发生的可能性大小。
简单随机事件的概率计算:如果一个试验有 n 种等可能的结果,事件 A 包含其中的 m 种结果,那么事件 A 发生的概率 P(A) = m / n 。
来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》
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