初中数学知识点总结

一、数与式

1. 有理数

• 定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数。

• 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上的点与有理数一一对应。

• 相反数：绝对值相等，符号相反的两个数。例如，5 和 -5 互为相反数，0 的相反数是 0。

• 绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作 |a|。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。

• 有理数的运算：包括加法、减法、乘法、除法和乘方。加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则要熟练掌握。

2. 实数

• 无理数：无限不循环小数。常见的无理数有π、等。

• 实数的分类：实数分为有理数和无理数；也可以分为正实数、0、负实数。

• 实数的运算：实数的运算法则和运算顺序与有理数相同，并且有理数的运算律在实数范围内仍然适用。

3. 代数式

• 整式：单项式和多项式统称为整式。单项式是数或字母的积，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式。

• 整式的运算：包括加减乘除。同底数幂相乘、相除法则；幂的乘方、积的乘方法则；整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）；平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b² ；完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b² ；整式的除法（单项式除以单项式、多项式除以单项式）。

• 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式。常用的方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等。

• 分式：形如 A/B（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B ≠ 0）的式子。分式有意义的条件是分母不为 0；分式的值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0。

• 分式的运算：分式的加减（通分）、乘除（约分）。

• 二次根式：形如 （a ≥ 0）的式子。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。二次根式的性质：（a ≥ 0）； 。二次根式的运算：化简、加减、乘除。

二、方程与不等式

1. 一元一次方程

• 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的整式方程。

• 一般形式：ax + b = 0（a ≠ 0）。

• 解法：通过移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤求解。

2. 二元一次方程组

• 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程组成的方程组。

• 解法：代入消元法和加减消元法。

3. 一元二次方程

• 一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。

• 解法：

• 直接开平方法：适用于形如(x + m)² = n (n ≥ 0)的方程。

• 配方法：将方程通过配方转化为完全平方式。

• 公式法：x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a) 。

• 因式分解法：将方程左边因式分解为两个一次因式的积。

• 根的判别式：Δ = b² - 4ac ，用于判断根的情况。当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根。

4. 不等式（组）

• 不等式的性质：

• 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

• 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

• 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

• 一元一次不等式的解法：与一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘除负数时，不等号方向的改变。

• 一元一次不等式组：几个一元一次不等式组成的集合。求解时，先分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共解集。

三、函数

1. 一次函数

• 定义：形如 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数。

• 图像：是一条直线。当 k > 0 时，图像从左到右上升；当 k < 0 时，图像从左到右下降。

• 性质：当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。

• 求解析式：通常用待定系数法，即已知两点坐标，代入解析式求出 k、b 的值。

2. 反比例函数

• 定义：形如 y = k/x（k 为常数，k ≠ 0）的函数。

• 图像：是双曲线。当 k > 0 时，图像在一、三象限；当 k < 0 时，图像在二、四象限。

• 性质：在每个象限内，当 k > 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而增大。

3. 二次函数

• 一般式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0）。

• 顶点式：y = a(x - h)² + k（a ≠ 0），顶点坐标为 (h, k) 。

• 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂ 是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

• 图像：是一条抛物线。对称轴为直线 x = -b/2a ，顶点坐标为 (-b/2a, (4ac - b²)/4a) 。

• 性质：当 a > 0 时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。当 a < 0 时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。

四、三角形

1. 三角形的基本性质

• 内角和定理：三角形内角和为 180°。

• 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

• 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2. 全等三角形

• 定义：能够完全重合的两个三角形。

• 判定定理：

• SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

• SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

• ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

• AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

• HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

3. 相似三角形

• 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

• 判定定理：

• 两角对应相等，两个三角形相似。

• 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

• 三边对应成比例，两个三角形相似。

• 性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

4. 直角三角形

• 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。即 a² + b² = c² （a、b 为直角边，c 为斜边）。

• 三角函数：

• 正弦：sin A = 对边/斜边

• 余弦：cos A = 邻边/斜边

• 正切：tan A = 对边/邻边

五、四边形

1. 平行四边形

• 性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

• 判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2. 矩形

• 性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。

• 判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形是矩形。

3. 菱形

• 性质：具有平行四边形的所有性质，四条边相等，对角线互相垂直且平分每组对角。

• 判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形是菱形。

4. 正方形

• 性质：具有矩形和菱形的所有性质。

• 判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形。

六、圆

1. 圆的基本性质

• 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

• 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

• 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

2. 圆周角定理

• 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

• 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3. 点与圆的位置关系

• 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：

• d > r ，点在圆外。

• d = r ，点在圆上。

• d < r ，点在圆内。

4. 直线与圆的位置关系

• 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：

• d > r ，直线与圆相离，没有公共点。

• d = r ，直线与圆相切，有一个公共点。

• d < r ，直线与圆相交，有两个公共点。

5. 圆与圆的位置关系

• 设两圆的半径分别为 R、r（R > r），圆心距为 d，则有：

• d > R + r ，两圆外离，有 4 条公切线。

• d = R + r ，两圆外切，有 3 条公切线。

• R - r < d < R + r ，两圆相交，有 2 条公切线。

• d = R - r ，两圆内切，有 1 条公切线。

• d < R - r ，两圆内含，没有公切线。

6. 圆的周长和面积

• 周长：C = 2πr 或 C = πd （r 为半径，d 为直径）。

• 面积：S = πr² 。

7. 弧长和扇形面积

• 弧长公式：l = nπr/180 （n 为圆心角度数，r 为半径）。

• 扇形面积公式：S = nπr²/360 或 S = 1/2 lr （l 为弧长）。

七、图形的变换

1. 平移

• 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。

• 性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。

2. 旋转

• 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度。

• 性质：旋转不改变图形的形状和大小；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。

3. 轴对称

• 定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。

• 性质：对称轴垂直平分对应点所连的线段；对应线段、对应角相等。

4. 中心对称

• 定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合。

• 性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；中心对称的两个图形全等。

八、统计与概率

1. 数据的收集、整理与描述

• 数据的收集：普查和抽样调查。

• 数据的整理：频数、频率的概念，频数分布表、频数分布直方图。

• 数据的描述：平均数、中位数、众数；方差。

2. 概率的初步

• 事件的分类：必然事件、不可能事件、随机事件。

• 概率的定义：某个事件发生的可能性大小。

• 简单随机事件的概率计算：如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) = m / n 。