【原】可视化矩阵乘法，一种理解线性代数的全新视角，展现无穷的数学之美

大学中有一门数学课程，叫线性代数，是最重要的课程之一。线性代数主要涉及矩阵和向量空间的理论，这是数学的一个基础领域，在数学的各个领域都有广泛应用，从概率论到微分方程，再到群论和解析数论等等！

它几乎适用于任何事物，但有些学科特别与矩阵相关，比如图论。

图论是数学的一个分支，主要研究图的性质和图中各种结构之间的关系。在图论中，一个“图”是由一组顶点（或节点）和连接这些顶点的边组成的结构。图可以用来模拟和研究现实世界中的许多类型的网络，如社交网络、交通网络、通信网络，以及任何可以表示为实体之间关系的系统。

我们长期以来一直通过将图转换成矩阵、保留它们的拓扑结构，然后使用线性代数的丰富理论，如特征理论、子空间理论等，来获取有关图的信息。

然而，这实际上是一种等价。我们也可以将矩阵转换成图，并通过图来理解矩阵。例如，矩阵：

可以通过图来表示：

图中的三个节点代表矩阵的三行和三列，节点之间的带权重和方向的边对应矩阵的元素。

例如，A1和A2之间有一个权重为5的边，这对应于矩阵第一行第二列的元素为5，这种模式继续下去。从节点出发的边对应于行，进入节点的边对应于列。这也让我们可以将向量作为图来表示。

事实上，我们很快就会意识到，这种等价意味着我们可以对图做一些奇怪且令人兴奋的事情，比如对它们应用函数，寻求它们的“特征图”，将不同的图相乘，找到图的行列式等等。我们甚至可以使用图来可视化实数和复数，这将在文章后面看到。

图算法

大的启示是，矩阵乘法被证明等同于在图中遍历特定路径！

你们中的一些人可能会记得两个矩阵相乘的公式。假设有两个一般的2×2矩阵并将它们相乘，得到如下看起来非常可怕的公式：

所有的字母都代表实数。从图的角度来看，从左边开始。有两个对应的图表示想要相乘的矩阵：

请注意，红色节点是相同的节点，黄色节点也是相同的，但我选择将它们分成两个不连通的图有教学的原因！将它们分别称为“顶部图”和“底部图”。

这里有一个相乘的规则：要找到结果矩阵第一行第一列的元素值，从节点A1开始，并检查我们可以通过使用两次“跳跃”从顶部图（对应左矩阵）开始并在底部图（右矩阵）结束的方式回到A1本身的路径。

所以我们可以沿着顶部图上的路径a，然后沿着底部图上的路径e，这将使我们回到A1节点。另一种方式是先走路径b然后是g。这两条路径是唯一的组合，可以使我们从A1通过这种方式用两次跳跃回到自己，因此上左角的值是ae+bg。

让我们再计算一个，比如左下角的元素。为此需要从顶部图的A2找到通往A1的路径。可以从A2到A1走路径c，然后从A1到自己走路径e。也可以先走d然后是g。这个元素是ce+dg。

其他元素读者可以自己计算。重点是，现在我们有了一种可视化矩阵和矩阵乘法的方法。

现在，我们可以定义如何通过图乘法来乘以两个图。我们将看到这如何帮助我们理解复数。通过上述两个图的相乘得到的图是：

注意：对于那些对代数感兴趣的人，我们可以定义图的加法和标量乘法，从而使带有N个节点和实数权重的有向图集合成为一个环（当然与N×N方阵的环同构，矩阵的元素为实数ℝ）。

复数作为图

提醒一下，实数和复数可以用矩阵表示。例如，一个实数a可以由矩阵表示：

然后，实数的乘法等同于矩阵乘法，加法等同于矩阵加法。表示实数a的相应图由以下图给出：

在全面表示复数之前，让我们看看如何表示数字i：

让我们尝试通过图乘法来平方i。用最近定义的乘法对一个图进行平方时，我们只需要在一个图上跟踪路径。

具体来说，从A1到自身有一条路径，通过-1然后1。因此，从A1到自身的结果权重是这些权重的乘积：-1。使用正好2次跳跃，从A1到A2没有路径，同样如果必须使用两次跳跃，从A2到A1也没有路径。从A2到自身唯一的路径是通过1然后-1，这再次得到-1。总的来说，得到以下图：

这是实数-1的图表示，这是合理的，因为i^2 = -1。

形式为a + bi的复数可以通过将表示a和bi的图粘合在一起形成图来表示：

图的函数

让我们通过其幂级数定义一个解析函数，假设它收敛。然后我们可以定义该函数对图的作用。由于幂级数保留图结构，这是明确定义的。

一个例子，考虑下图：

通过对该图应用指数函数e^x，得到一个收敛的图，

在极限中，由于sin(π) = 0，权重为零的路径等同于不存在的路径，所以上面图上应用指数函数的结果实际上是

这等同于数学的皇冠上的宝石：