大学中有一门数学课程,叫线性代数,是最重要的课程之一。线性代数主要涉及矩阵和向量空间的理论,这是数学的一个基础领域,在数学的各个领域都有广泛应用,从概率论到微分方程,再到群论和解析数论等等! 它几乎适用于任何事物,但有些学科特别与矩阵相关,比如图论。
我们长期以来一直通过将图转换成矩阵、保留它们的拓扑结构,然后使用线性代数的丰富理论,如特征理论、子空间理论等,来获取有关图的信息。 然而,这实际上是一种等价。我们也可以将矩阵转换成图,并通过图来理解矩阵。例如,矩阵: 可以通过图来表示: 图中的三个节点代表矩阵的三行和三列,节点之间的带权重和方向的边对应矩阵的元素。 例如,A1和A2之间有一个权重为5的边,这对应于矩阵第一行第二列的元素为5,这种模式继续下去。从节点出发的边对应于行,进入节点的边对应于列。这也让我们可以将向量作为图来表示。 事实上,我们很快就会意识到,这种等价意味着我们可以对图做一些奇怪且令人兴奋的事情,比如对它们应用函数,寻求它们的“特征图”,将不同的图相乘,找到图的行列式等等。我们甚至可以使用图来可视化实数和复数,这将在文章后面看到。 图算法大的启示是,矩阵乘法被证明等同于在图中遍历特定路径! 你们中的一些人可能会记得两个矩阵相乘的公式。假设有两个一般的2×2矩阵并将它们相乘,得到如下看起来非常可怕的公式: 所有的字母都代表实数。从图的角度来看,从左边开始。有两个对应的图表示想要相乘的矩阵: 请注意,红色节点是相同的节点,黄色节点也是相同的,但我选择将它们分成两个不连通的图有教学的原因!将它们分别称为“顶部图”和“底部图”。 这里有一个相乘的规则:要找到结果矩阵第一行第一列的元素值,从节点A1开始,并检查我们可以通过使用两次“跳跃”从顶部图(对应左矩阵)开始并在底部图(右矩阵)结束的方式回到A1本身的路径。 所以我们可以沿着顶部图上的路径a,然后沿着底部图上的路径e,这将使我们回到A1节点。另一种方式是先走路径b然后是g。这两条路径是唯一的组合,可以使我们从A1通过这种方式用两次跳跃回到自己,因此上左角的值是ae+bg。 让我们再计算一个,比如左下角的元素。为此需要从顶部图的A2找到通往A1的路径。可以从A2到A1走路径c,然后从A1到自己走路径e。也可以先走d然后是g。这个元素是ce+dg。 其他元素读者可以自己计算。重点是,现在我们有了一种可视化矩阵和矩阵乘法的方法。 现在,我们可以定义如何通过图乘法来乘以两个图。我们将看到这如何帮助我们理解复数。通过上述两个图的相乘得到的图是:
复数作为图提醒一下,实数和复数可以用矩阵表示。例如,一个实数a可以由矩阵表示: 然后,实数的乘法等同于矩阵乘法,加法等同于矩阵加法。表示实数a的相应图由以下图给出: 在全面表示复数之前,让我们看看如何表示数字i: 让我们尝试通过图乘法来平方i。用最近定义的乘法对一个图进行平方时,我们只需要在一个图上跟踪路径。 具体来说,从A1到自身有一条路径,通过-1然后1。因此,从A1到自身的结果权重是这些权重的乘积:-1。使用正好2次跳跃,从A1到A2没有路径,同样如果必须使用两次跳跃,从A2到A1也没有路径。从A2到自身唯一的路径是通过1然后-1,这再次得到-1。总的来说,得到以下图: 这是实数-1的图表示,这是合理的,因为i^2 = -1。 形式为a + bi的复数可以通过将表示a和bi的图粘合在一起形成图来表示: 图的函数让我们通过其幂级数定义一个解析函数,假设它收敛。然后我们可以定义该函数对图的作用。由于幂级数保留图结构,这是明确定义的。 一个例子,考虑下图: 通过对该图应用指数函数e^x,得到一个收敛的图, 在极限中,由于sin(π) = 0,权重为零的路径等同于不存在的路径,所以上面图上应用指数函数的结果实际上是 这等同于数学的皇冠上的宝石: |
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