音乐和分形之间的关联是一个深奥而迷人的主题。在科学和数学领域中，分形是指一个自相似的结构，这意味着其各个部分在某种程度上与整体具有相同或类似的形状或模式。当这一概念应用于音乐时，我们可以探索音乐作品中重复出现的模式和结构，以及这些模式是如何在不同的尺度上展示相似性的。 作为一名作曲家，巴赫因其将审美感受与数学启发的音乐转换完美结合的非凡技巧而广受赞誉。虽然他的六首大提琴组曲并不像他的其他作品（例如《勃兰登堡协奏曲》或《哥德堡变奏曲》）那样出名，但它们已成为大提琴曲目的主要内容，并在古典音乐宝典中占有一席之地。 令人惊奇的是，巴赫去世后一个世纪，这些组曲基本上被遗忘了。尽管在19世纪中后期偶尔出现，但直到20世纪30年代末传奇大提琴家帕勃罗·卡萨尔斯录制并不懈地在公众面前演奏这些组曲，它们迷人的美才得到广泛的赞赏。正如卡萨尔斯后来所写的：“它们是巴赫的精髓，巴赫是音乐的精髓。” 音高相关缩放的分析方法音高与节奏一样，是音乐的基本特征。它是音乐音符的感知基频。两个同时演奏的音高形成一个和声间隔。顺序演奏的两个音高被称为旋律间隔。我们可以将旋律间隔视为音高的导数，或者说是第一差分。一系列旋律间隔中的变化序列，反过来可以被视为音高的二阶导数。我们将这种二阶导数称为旋律瞬变。 一般来说，音乐音高的标准光谱不是连续的。在西方音乐中，半音是两个音高之间的最小距离。这对应于钢琴上任何一对相邻键之间的距离。在现代平均律调音系统中，音符频率通过对数关系相关联：
其中 F_p 是我们希望计算的音高的基频，F_ref 是参考音高的频率，k 是以半音为单位测量的两个音高之间的音程距离。12个半音的距离称为一个八度。公式 1中的关系意味着每个八度对应于频率的加倍——我们感知八度间隔为同一个音符，只是音高高或低。 根据音乐风格、乐器范围、作品的调性以及作曲家的心意，这些可用频率中的一个较小子集实际上被认为是适合用于任何给定作品的“适当”频率。
结果是，最常见的是，作曲上有用的音高集在频率上不规则分布。因此，在分析音高相关的分布时，将数据“分箱”（有时称为“粗粒化”数据）可能会有所帮助。实现这一目标有几种不同的方法。 就我们而言，我们将数据分组到大小相等的箱中；每个箱覆盖相等的值范围。对于数据集 D = {y1, y2, y3, ...}，其范围 r = D_max - D_min，我们将 D 划分为 n 个大小为 r/n 的箱。每个箱子 B1, B2, ... Bn 包含所有在大小上接近的元素。例如，n = 4 时：
将单个值分配给一组相邻值可以帮助我们注意到我们可能无法注意到的趋势。从某种意义上说，分箱放宽了我们的焦点，以帮助我们看到更大的图景。它不能做的是在不存在的地方制造出幂律。 箱子的代表大小通常使用最低值、最高值或平均值来指定，选择在所有箱子中一致应用。如果 N_i表示箱子 B_i 中的元素数量，s_i表示其元素的指定大小，则将 Log(N_i) 与 Log(s_i) 绘制在所有 B_i上，如果绘制的点落在一条直线上，则显示出幂律关系的存在。这是因为取幂律关系的对数将其转换为线性方程：
在公式2中，如果设 y = Log(N) 和 x = Log(1/s)，那么得到的是直线方程 y = mx + b，其中 d = m 且 b = 0。 实际操作中，通过对分箱数据进行线性回归来找到最佳拟合线，并查看其 R^2 值以评估线条与数据的拟合程度。作为参考，R^2值在 0.9 附近（1是最高的）按照大多数标准，被认为是极好的拟合。 需要注意的是，音乐的分形特征通常表现为统计上的自相似分布。在这些情况下，我们在异质元素集合的背景下寻找幂律。 有时，一个数据集可以用多种方式有效地进行分箱。因为绘制的点的数量对应于缩放的级数，通常我们希望使用提供有意义结果的最小箱子来粗粒化数据。 从音乐理论的角度看，对音高相关值进行分箱也是有意义的。例如，三全音（六个半音）的间隔传统上被认为是不愉快的。然而，在特定上下文中，它可以在“解决”到一个更愉快的相邻四个、五个或七个半音的间隔中发挥重要作用。因此，尽管三全音出现的频率可能不高，但它与类似大小的间隔具有强烈的功能性关联。从这个角度看，将其与一个或多个相邻间隔放在同一个箱子中是自然的。 大提琴组曲数据巴赫的六首大提琴组曲，每首包含六个乐章，其中一些有两部分。为了简单起见，我们将按照组曲编号、乐章编号和适当的部分编号来引用它们，因此第三组曲的布雷舞曲（第五乐章）的第一部分表示为“3.5（I）”。
考虑到我们的目的是要处理一个明确的旋律间隔序列。然而，许多乐章包含和声间隔。因此，我们将只研究几乎没有和声间隔的乐章。 个别乐章的音符数量从大约200到1400个不等（包括重复部分）。按科学标准，它们代表相对较小的样本大小。因此，我们将假设歌曲的旋律特征与其潜在的音程分布(即，音阶旋律听起来与包含大跳跃的旋律非常不同)之间存在很强的关系。从这个角度来看，在存在音程音阶的情况下，以相同的旋律方式继续进行的作品也将继续在几个测量音阶上表现出自相似的元素分布，这并不是不合理的。 小样本也支持对异质性的宽松解释。就我们的目的而言，如果一个作品的相关时间序列没有显示出明显的、大规模的同大小事件的聚集，我们将认为该作品“足够异质”。 现在，让我们将这种方法应用于组曲1.2。这个allemande提供了一个特别坚实的分形缩放例子。 详细分析在这个乐章的938个音符中，我们将移除24个其目的是为旋律提供和声支持的音符。以下是旋律间隔的分布情况：
总体来看，它显示了一个相当异质的间隔大小混合体。 数据的直方图，分布暗示了对数轮廓的迹象：
事实上，我们发现这部作品具有稳健的缩放对称性。这反映在它可以使用几种不同大小的箱子进行有效的粗粒化上。 以下是每种分箱方案的回归图以及每条线的各自斜率。斜率的绝对值对应于音程分布的分形维数：
所有这些回归图的R^2值均大于0.99 —— 非常好的拟合。 以相同的方式分析，六个组曲中的十三个不同乐章显示出分形缩放的强有力证据。音程缩放的测量维数范围从3.78到5.95。旋律瞬间缩放的测量维数范围从2.72到7.09。 下面是详细结果表：
以下是表中的关键元素： 音符数量（Note Count）：用于分析的音符数量。在删除了提供和声支持的音符的情况下，删除的音符数量会显示在括号中。 箱子（bins）：用于计算的箱子数量。 d_f：从分箱数据的线性回归得到的频率维数。因为这不是一个拓扑维数，我们在统计意义上使用“频率”这个词。 R^2：分箱数据拟合的置信度。 EB/DC：扩展箱或删除案例。要么包含最大元素的箱子比其他等大小的箱子稍大，要么已删除异常大的元素（是或否）。 这一切意味着什么？从根本上说，音程的分析处理的是旋律的动态。分形尺度的存在意味着，在给定的旋律或音程序列变化的方式中，存在着一种潜在的、非平凡的一致性。 就维度的解释而言，越低的值表明小跳跃和大跳跃之间的平衡越好；相对而言，大的跳跃经常发生。相比之下，较高的值表明有许多较小的跳跃被较大的跳跃打断的频率较低。对于音程缩放，这意味着旋律跳跃可能倾向于在更高维度的作品中更“突出”。同样的道理也适用于瞬间缩放，尽管事实上它并没有被正式认可为一种音乐特征，这使得听起来很困难。 一个有趣且开放的问题是，是否有可能听出作品之间的维数差异。困难是，我们在这里分析的是纯粹的旋律特征。另一方面，我们对动态、活泼和粗糙/平滑的感知受到节奏和速度的强烈影响。使用等时的某些大提琴组曲版本（去除了它们的休息符）的非正式实验似乎表明，能够感知分形维数的差异。
作为音乐和声与对位法的杰出和开创性探索者，巴赫在伟大作曲家的殿堂中占有独特的位置。鉴于他的地位，他的作品在不同的作品中展示了某种形式的分形结构，这似乎值得注意，这些作品包括他的创作、大提琴组曲、赋格曲和长笛帕提塔。他天生倾向于创作包含固有幂律的音乐，这是否有助于他广泛被认为是天才？ 巴赫的音乐常被称为具有透明质感和永恒魅力。我喜欢认为这种透明感是一扇窗户，让我们能够看到并感受到他所经历的世界的分形本质——一个与我们通过时代共鸣的和声世界。 |
|
|
