对称性在基础物理学中的作用

安喜的空间 2024-08-01

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二十世纪之前，对称性在理论物理学中并未得到明确强调。尽管古希腊人和其他一些人对物体的对称性着迷，并且像开普勒这样的科学家试图将它们应用于行星模型，但这些思想并未成为当时主流框架的核心。牛顿的定律体现了一些对称性，例如惯性系的等价性，但这些被视为定律本身的结果，而不是作为底层原理。同样，麦克斯韦在1865年提出的麦克斯韦方程组中存在的对称性，直到几十年后才得到充分认识。

这种情况在20世纪发生了戏剧性的变化，以爱因斯坦为首的科学家们引领了变革。他1905年的开创性工作将对称性原则置于首位。他认为，电磁场的变换性质不应该从麦克斯韦方程组中推导出来，而是相对论不变性的结果。这种对称性本质上决定了麦克斯韦方程组的形式。这与Lorentz的方法有很大不同。爱因斯坦认识到麦克斯韦方程组中固有的对称性，并将其提升为时空本身的属性。这是将对称性嵌入时空结构的第一个例子。十年后，爱因斯坦的广义相对论再次取得了重大成功。等价原理，一个局部对称性原理，它指出物理定律在时空坐标的局部变化下是不变的，它决定了引力的动力学和时空本身的性质。

随着量子力学的兴起，对称性原则在理论物理学中变得更加中心。在20世纪的后半叶，它们一直是探索和制定基本定律的主导概念。今天，对称性仍然是我们在寻求进一步统一和理解的工具。

经典对称性

在经典动力学中，连续对称性的后果在使用哈密顿作用原理时最为明显。根据这一原理，经典运动由极值原理决定。因此，如果我们用广义坐标x(t)描述系统（例如空间中一个点粒子的位置），那么在给定t = t₁和t = t₂时x(t)的值的情况下，系统的实际运动使得作用量S[x(t)]是极值。作用量是x(t)的局部泛函，即它可以写成x(t)及其时间导数的函数——拉格朗日量 (L[x(t), x'(t)]) 随时间的积分。

哈密顿原理意味着，如果x(t)是实际运动，那么对于任何使t = t₁和t = t₂处的值不变的 x(t)的微小变化 (δ{x}(t))，有 (S[x(t) δ{x}(t)] = S[x(t)])。这通常被称为最小作用原理，尽管极值可以是作用的最小值或最大值。x(t)的经典运动方程由此原理得出。

对称性在物理学中更重要的含义是守恒定律的存在。对于每一个全局连续对称性——即在任何地方和任何时间都以相同方式作用于物理系统的变换——存在一个相关的不变量：守恒量。这个联系直到1918年才被注意到，当时艾米·诺特证明了她著名的关于对称性和守恒定律的定理。

因此，由于物理定律在空间变换下的不变性，动量守恒；由于时间平移不变性，能量守恒；由于带电粒子波函数相位变化的不变性，电荷守恒。对称性必须是连续的，即它由一组可以连续变化的参数指定，并且对称变换可以任意接近于恒等变换（对系统没有任何影响）。自然界的离散对称性（所有这些都是近似对称性），不会导致新的守恒量。

量子力学中的对称性

叠加原理意味着我们可以构造态的线性组合，这些态在对称变换下简单地变换。因此，叠加所有与旋转相关的状态，我们得到一个旋转不变的状态 |Φ〉=Σ_R R|Ψ〉，它是旋转群的单态表示。例如，能量最低的状态，即氢原子的基态，就是这样一个旋转不变的单态。

旋转态的其他叠加将产生对称群的其他不可约表示。实际上，任何状态都可以写成根据对称群的不可约表示变换的状态的和。这些特殊状态可以用于分类所有具有对称性系统的状态，并在分析此类系统中发挥基础作用。因此，连续群和离散群的表示理论在推导量子力学中对称性的结果方面起着重要作用。利用群论工具，可以揭示对称性的许多结果。例如，控制原子光谱的选择规则只是旋转对称性的结果。

量子力学还揭示了一种新的对称性，即全同粒子的交换对称性。这导致将所有基本粒子分类为玻色子（其波函数在交换两个全同粒子时不变）或费米子（其波函数在交换两个全同粒子时改变符号）。这些粒子的量子统计特性不同，对其整体行为具有深远的影响。

在相对论量子力学中，对称性的影响更大。这里的对称群是庞加莱群，它包括时空平移、旋转和洛伦兹变换。这种群论分析清楚地表明，无质量自旋粒子与有质量粒子在本质上是不同的。这种差异对动力学有深远的影响，事实上，它要求无质量自旋粒子用规范场理论来描述。

规范对称性

在自然界中发现的传统对称性是全局对称性，即物理系统的变换，其方式在空间中任何地方都是一样的。应用对称变换会产生不同的物理情况，但所有观察在变换下都是不变的。规范对称性则完全不同，应用对称变换仅改变我们对同一物理情况的描述，不会导致不同的物理情况。

规范对称性最早出现在麦克斯韦电动力学中。这里的物理可观测量是电场和磁场，分别记为 E 和 B。人们很早就发现，可以通过引入矢量势 Aμ 来简化方程，电场和磁场都可以用它来表达。然而，这种描述并不是唯一的，我们可以进行规范变换，A_μ(x) → A_μ(x) ∂_μφ(x)，而不会改变 E 和 B 的值。几十年来，这种对称性被认为是相当人为的。

后来，人们对规范不变性的态度发生了巨大变化。规范场论在自然界的基本理论中占据了核心地位。它们为极度成功的标准模型奠定了基础，标准模型是描述自然界非引力基本相互作用（电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用）的理论。规范不变性是我们对自然对称性的描述，但它却支配着动力学。

规范不变性迫使存在特殊的粒子，即规范玻色子。这些是无质量的自旋粒子，与矢量势相关并介导力。因此，标准模型的 SU(3) × SU(2) × U(1) 规范对称性意味着存在八个介导强相互作用的胶子，三个介导弱相互作用的规范玻色子（W 和 Z 玻色子）以及光子。

此外，认识到规范对称性基于纤维丛，为规范对称性提供了深刻而美丽的几何基础。纤维丛是一种巧妙的数学结构，它将内部空间与时空结合起来，形成一个统一的几何对象，表现出规范对称性。

在麦克斯韦发现他的方程一个世纪之后，人们也理解到矢量势不仅仅是人为的结构，而且具有直接的可观测意义。这在玻姆-阿哈罗诺夫效应中最为明显，其中电子束在没有电磁场的区域传播，但由于几何原因，矢量势是非零的。由于带电粒子在背景矢量势中移动所伴随的相位变化，可以直接观察到干涉效应。

事实上，今天我们认为全局对称性是不自然的，它们让人联想到超距作用。我们现在怀疑所有基本对称性都是局部规范对称性。全局对称性要么全部被破坏（例如宇称、时间反演不变性和电荷对称性），要么是近似（例如同位旋不变性），要么它们是自发破缺的局部对称性的残余。

对称性破缺

虽然自然的奥秘在于对称性，但世界的大部分纹理都归因于对称性破缺的机制，存在多种机制可以隐藏或打破自然界的对称性。第一个是显式对称性破缺，其中动力学仅近似对称，因此可以将对称性破坏视为一个小修正。这种近似的对称性导致近似的守恒定律，核力的同位旋对称性就是一种近似对称性，由于上夸克和下夸克质量较小以及电磁力较弱，这种对称性表现得很好。

一种更深层次的隐藏对称性方式是自发对称性破缺现象。在这种情况下，物理定律是对称的，但系统的状态不是对称的。这种情况在经典物理学中很常见，地球轨道是牛顿方程的一个解，该解不是旋转不变的，尽管方程本身是旋转不变的。因此，对于太阳系观测者来说，引力定律的旋转不变性并不明显。特定的轨道由行星的不对称初始条件选出。因此，这种隐藏物理对称性的机制与不对称初始值引起的不对称有关。

在量子力学中，情况有所不同。具有有限自由度的量子力学系统总是具有对称的基态。经典上，一个在重力作用下的粒子可以在平面上任意位置停留；然而，量子力学中最低能量状态（基态）是所有这些经典允许状态的叠加。因此，量子力学粒子无处不在——一种表现出运动定律平移不变性的状态。

然而在具有无限自由度的系统中，还存在第二种模式，基态是不对称的。这种自发对称性破缺导致了晶体的存在（打破平移不变性）、磁性（其中旋转不变性被打破）、超导性（其中带电粒子的相位不变性被打破）以及统一电弱理论的结构等等。事实上，全局规范对称性和局部规范对称性的自发破缺是现代理论物理学中的一个反复出现的主题。

与自发对称性破缺相关的是对称性恢复现象。如果加热一个具有破缺对称性的系统，它往往会在高温下恢复。因此，铁磁材料可以在低温下被磁化，所有小原子磁体都朝同一方向排列。这是一种破坏旋转对称性的状态。随着温度的升高，原子振动越来越剧烈。最终，当温度超过某个临界值时，波动胜过了使原子磁体对齐的力，平均磁化强度消失。在临界温度以上，系统表现出旋转对称性。

这种从破缺对称状态到对称性恢复状态的转变是一种相变。我们相信，在自然基本力的对称性中也会发生同样的现象。许多这些对称性在低温下被破坏，在宇宙历史的早期，当温度非常高时，所有这些自然对称性可能都得到了恢复。随着宇宙的膨胀和冷却，从对称状态到破缺对称状态的相变具有重要的宇宙学意义。

新对称性

当前寻找进一步统一自然力（包括引力）的理论探索，在很大程度上基于寻找新的自然对称性。理论学家们推测越来越大的局部对称性和更复杂的对称性破缺模式，以进一步统一分离的相互作用。其中最重要的是超对称性，它能够将玻色子和费米子统一成一个模式，将物质和力统一起来，并有助于解释原子和核物理的质量尺度为何比引力确定的尺度小得多。

近年来我们开始认真探索一种基于局部量子场论概念框架的激进扩展的新理论：弦理论。弦理论是最有雄心的候选者，旨在统一所有相互作用，并以一致的方式自然地体现量子引力。它包含了我们发现的所有在自然界中起作用的熟悉对称性。它似乎具备了我们需要的所有成分来推导或解释标准模型。此外，理论中有迹象表明它包含了我们现在试图理解的新奇对称性。

来源：万象经验