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在折纸数学的背景下，一个自然的问题是：如果我们允许纸无限大呢？
欢迎来到折纸世界
折纸（origami）——来自日语中的“折叠”（oru）和“纸”（kami）——是一种将纸张折成特定形状的艺术，其简单的限制是不允许切割或粘合纸的任何部分。折纸设计的进步已经产生了一些惊人的艺术甚至科学成果！ 如果你曾经尝试过折纸，你就会知道，一旦折出一个特定的形状，你就可以展开纸来看到所有的折痕（这些纸上的直线，可能相交，也可能不相交）。折痕图案还告诉你应该如何折叠纸张以获得某些形状。这里有一些纸鹤前几个步骤的图片（由前贝茨学院学生周吴越（音译）制作）。
折纸鹤的四个阶段：空白纸，两条对角折痕，三条折痕，以及完成后的鹤 图源：Wuyue Zhou 有趣的是，这里还有一个Manda Riehl折叠的海贝壳，有对应的折痕图案：
折纸折成带有方形螺旋点的海贝壳
展开后的纸展示了海贝壳的折痕图案 图源和折叠：Manda Riehl 埃里克·德梅恩（Erik Demaine）是所谓的“数学”折纸的领先专家之一，他在自己的网站Folding and Unfolding“折叠与展开”（ https:///folding/ ）上将其描述为两种风格： “折纸数学是数学的一个新分支（其主要研究始于1980年左右），它研究折纸的特性，例如当你展开一个平面折纸时可能会得到什么图案。计算折纸是计算机科学的一个更新颖的分支，它探索用于创建折纸或解决折纸问题的算法。这个领域始于北美，当时罗伯特·朗（Robert Lang）在TreeMaker上工作（大约1993年）。 在折纸数学的背景下，一个自然的问题是：如果我们允许纸无限大呢？这导致了折痕留下的各种设计，更重要的是，折痕相交的点。 乔·布勒（Joe Buhler，1950 -）、史蒂夫·巴特勒（Steve Butler，1977 -）、沃里克·德·劳内（Warwick De Launay）和葛立恒（Ron Graham，1935 - 2020）受到Demaine的一个问题的启发，在他们2012年的论文《折纸环》（ https://mathweb./~ronspubs/12_04_origami.pdf ）中首次提出了“折纸结构”的想法，以更正式地描述这些想法。在本专栏中，我们将描述这些结构背后的主要思想，以及出现的一些自然问题。
就像传统的折纸一样，我们为数学折纸设置了一些约束：我们被允许在平面上从两个点开始，通常是 0 和 1。这些被称为“种子点”（seed points），它们将向外“生长”到我们的折纸结构中。我们还被允许有一组有限的角度或方向，在这些角度或方向上，我们可以“折叠”平面（读作：画一条线）。每对折痕都在一点相交，除非它们是平行的。当以这种方式创建新的点时，它将与种子点一起添加到我们的点集合中。 因此，如果你有一条过点p的角为α的直线 ，和一条过点q的角为β的直线 ，则它们的交点（参见下图黑点）将添加到我们的点集中。
直线p和q的交点，由角α和β定义 只能过已添加到集合中的两个点进行折叠，因此起初选项有限。随着过程的继续，点越来越多，因此，可能会画出越来越多的直线。下面是一个序列，从种子点和角度 0、 π/4 和 π/2 开始。
种子点
首先生成的点
更多点
折纸点开始提示在中部附近有一个方格
随着更多点的加入，方格的提示变得明确 这个过程无限地持续下去，因而想想最终结果可能会感觉很奇怪，但通常可以描述最后的一组点，有时它们甚至会形成一个很好的图案（稍后会详细介绍）。从现在开始，我们将这组点称为折纸集（origami set）。
经过多次折纸过程的迭代，我们看到了方格的一部分 在上面开始的折纸过程的多次迭代之后，一个图案是显而易见的。 一旦你开始玩折纸点的构建算法，你可能会问自己很多问题。例如，我们什么时候能得到一个很好的“视觉”图案（如上例所示）？我们是否得到其他“好”的属性？既然平面也可以看作是复数，你也可以问：这个子集什么时候也是一个子环？给定一个子环，是否有相应的折纸结构？如果我们在更高的维度上尝试会发生什么？
以下是使用不同角度的折纸结构的前几次迭代的一些示例（由贝茨学院的Adriana的一些暑期研究生制作）。你注意到什么了？
三个种子点在经过几次迭代后产生了格的一部分，而四个种子点则形成了看似混沌的云状图案 似乎唯一“好”的例子（至少在视觉上）是第一个。事实上，Buhler、Butler、de Launay 和 Graham 已经证明，当有4个或更多允许的角度时，折纸集在复平面中会很密集，这意味着对于你希望选择的整个平面中的任何点，你都可以在折纸集中找到一个与你想要的原始点尽可能接近的点。另一种查看方式是，对于你在复平面中绘制的任何圆，圆内将有无限多的折纸点。这需要跟踪很多点！（请注意上面的“放大”图片。） 我们的第一个“好”的例子实际上是一个格。这是ℝ²（或者更一般地说，ℝⁿ ）的一种特殊类型的离散无限子集。（如果你想更深入地研究格的特殊性质，最近有一些关于这个主题的很棒的特性专栏。https://mathvoices./featurecolumn/tag/lattices-groups/ ） 但是，当你使用三个角度时，你总是得到一个格吗？答案是肯定的，只要你的一个角度是 0，Dmitri Nedrenco在2015年证明了此结论 （ https:///abs/1502.07995 ）。
有趣的事实：当你在谷歌上搜索“折纸环”时，你会发现像这样的东西，制作起来可能非常有趣（我们还没有尝试过），但不是我们正在谈论的那种“环”（在英文中指环戒指、数学概念中的代数结构之一——环都是单词ring，作者用作双关，zzllrr小乐译注）。
在白人手上由折纸制成的两个花形戒指 该玫瑰戒指由 Hyo Ahn 设计，由 Origami Sophy 折叠 CC BY-SA 2.0 哪些折纸结构产生了复数的子环？这实际上是Buhler等人论文的中心问题，答案很酷——如果你的角度集构成了单位圆的一个子群，那么你的折纸集就是一个环。代数结构产生代数结构！ 他们在同一篇论文中提出的一个问题基本上是相反的——哪些环可以“折纸构造”出来？Juergen Kritschgau 在他 2015 年的高级Bates论文中证明了通过折纸构造可以获得虚二次域的整数环（该论文发表在2017年的 INTEGERS 期刊上 https://math./~integers/r34/r34.pdf ）。 最后，弗洛里安·穆勒（Florian Moller）在2018年明确回答了这个问题（ https:///abs/1804.10449 ）：他给出了一套准则，精确地确定了何时构建成一个环。 注意：折纸结构既可以是格，也可以是环（就像我们展示的第一个示例一样，最终是高斯整数），但这两个“好”特征是独立的。
由于我们生活在三维世界中，大家可能希望在更高维度上做数学折纸。规则是相同的，只是允许的角度不需要包含在复平面中。如下图所示，标准基元素称为 1、i 和 j。对于希望考虑乘法的读者来说，这些属于4维汉密尔顿四元数代数。可悲的是，为了有一个封闭的乘法结构，所有四个维度都是必需的。
一个立方体，其顶点由1、i和j的和与差确定 较高维度的一个主要区别是，如果两条线歪斜，则不再保证它们可以相交。幸运的是，这不会造成任何问题；如果交点不存在，我们根本不记录交点。但是，这确实允许包含任意数量的“不相关”角度，这些角度除了种子点和集合中已有的其他点之外根本不与任何别的点相交。获得格的角度数量没有限制，但保证存在一个格的角度数量最少是：2n+1，其中 n 是空间的维数。如果仔细选择，只需一个额外的角度就可以迫使格变得致密，这是非常了不起的！ 尽管在三维空间中没有一个很好的乘法结构，但三维格还是引起了化学家和晶体学家的兴趣。特别是，Bravais格（ https://chem./Bookshelves/Inorganic_Chemistry/Book%3A_Introduction_to_Inorganic_Chemistry_(Wikibook)/06%3A_Metals_and_Alloys-_Structure_Bonding_Electronic_and_Magnetic_Properties/6.03%3A_Bravais_Lattices ）已被分类，人们可能希望研究其中哪些可以通过数学折纸获得。 那么更高的维度呢？我们和当时的贝茨学生Deveena Banerjee一起思考了这个问题，并发现了许多其他很酷的结果。有关更多信息，请参阅我们的论文！（ https:///abs/2110.08119 ）
确实有很多选择，因为这些想法太新了。我们在这里描述的也不是“数学化”折纸的唯一方法！例如，如果你从折纸中提取某些几何“公理”，你可以对一个角度进行三等分！（ https:///2012/06/01/angle-trisection-using-origami/ ）我们也没有讨论计算折纸（ https:///article/computational-origami/ ）领域，以及折纸的所有其他科学应用。 让我们以邀请结束：你最喜欢的折纸设计是什么？它的折痕图案是什么样子的？
绿色纸张上的折纸折痕图案
同一张折纸纸张折叠成了一个内部为红色、外部为绿色的盒子 图源和折叠：Jill M. Bean
https://mathvoices./featurecolumn/2024/08/01/welcome-to-the-fold/ https:///folding/ https://mathweb./~ronspubs/12_04_origami.pdf https://mathvoices./featurecolumn/tag/lattices-groups/ https:///abs/1502.07995 https://math./~integers/r34/r34.pdf https:///abs/1804.10449 https://chem./Bookshelves/Inorganic_Chemistry/Book%3A_Introduction_to_Inorganic_Chemistry_(Wikibook)/06%3A_Metals_and_Alloys-_Structure_Bonding_Electronic_and_Magnetic_Properties/6.03%3A_Bravais_Lattices https:///abs/2110.08119 https:///2012/06/01/angle-trisection-using-origami/ https:///article/computational-origami/
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