试题内容
解法分析(1)
根据AAS证明：△ABE≅△EGF. 解法分析(2)①易证：△AEF是等腰直角三角形，
∵EP⊥AF，
∴点P是AF的中点，
∴EP=AP=FP. 方法1：角平分线的定义
连接BP.
∵∠ABE=∠APE=90°，
∴点A、B、E、P四点共圆.
∵EP=AP，
∴=，
∴∠3=∠4，
∴点P在∠ABC的平分线上. 方法2：角平分线的定义
连接BP.
∵∠ABE=∠APE=90°，
∴点A、B、E、P四点共圆.
∴∠3=∠EAP=45°，
∴点P在∠ABC的平分线上. 方法3：角平分线的判定
作PQ⊥AB于点Q，作PR⊥BC于点R.
根据“同角的补角相等”证明：∠5=∠6.
根据AAS证明：△APQ≅△EPR，
∴PQ=PR，
∴点P在∠ABC的平分线上. 解法分析(2)②结论的应用
由(2)①得，点P在∠ABC的平分线上，
∴点P在BD上.
设DH=，则CH=，AB=(+1).
易证：△APB∼△HPD，
∴===+1，
∴AP=(+1)PH. 解法分析(2)③隐圆1-四点共线(类比(2)①)
连接BN、DN.
∵∠ANH=∠ADH=90°，
∴点A、N、H、D四点共圆，
∴∠5=∠NAH=45°，
∴点N在∠ADC的平分线上，
∴点B、N、P、D四点共线. 隐圆2-平行线
连接MH.
∵∠MPH=∠MDH=90°，
∴点M、P、H、D四点共圆，
∴∠6=∠5=45°，
∴∠6=∠AEP，
∴MH∥AE.
∴∠MHN=∠ENH=90°. 相似三角形(类比(2)②)
易证：四边形MNEH是平行四边形，
△MHQ是等腰直角三角形.
设MH=QH=t，则EN=，AN=HN=2.
∵AD∥BC，
∴△AND∼△ENB，
∴=，即=，
∴BE=3.
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