【原】万有引力定律

在圆轨道的假设下，利用开普勒第三定律推导出万有引力的表达式。

我们利用万有引力是有心力和保守力这两个特点，从角动量守恒和能量守恒出发，讨论了天体的运动轨道问题。物体之间的万有引力是主导天体绕太阳转动的主要因素，因此，研究太阳系内天体的运动规律的工具主要就是牛顿的万有引力定律，这个定律是在研究天体运动的力学原因时被发现的。

从 1609 年到 1619 年间，开普勒对当时已有的观测资料作了详细的分析，在总结前人工作的基础上，对天体的运动规律作了深入的研究，先后发现了行星运动的三条基本定律。

第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于这些椭圆的一个公共焦点上。这条定律也被称为轨道定律；

第二定律：连接太阳和行星的向径在相等的时间间隔内扫过相等的面积。这条定律也被称为面积定律；

第三定律：行星绕太阳运动的轨道半长径的立方与其周期的平方成正比：其中的  被称为开普勒常量，  是椭圆运动轨道的长半径，  是轨道运动的周期。这条定律也被称为调和定律。

上述关于行星运动所遵循的规律通常被称为开普勒定律，后来发现，它们是太阳和行星通过万有引力相互作用的具体表现。

开普勒定律的发现打破了天体沿圆轨道运动的传统观念，更准确地描写了太阳系中天体运动的状况。但是，为什么行星会如此有秩序地绕太阳运动？维持这一运动的因素是什么？对这些问题的思考为牛顿发现万有引力定律打下了基础。

根据力学原理，物体绕一个中心的运动可以被分解为两部分，其一是物体在轨道切线方向上的直线运动，它具有使该物体脱离中心并沿切线方向离开的倾向；其二是指向中心的向心运动，它使物体的运动不断改变方向，最终沿封闭轨道运动。造成向心运动的原因是物体受到指向中心的向心力。因此，在太阳系中，行星绕太阳运动时必然要受到向心力的作用。开普勒提出，这个向心力是太阳对行星的引力。但是，要精确地算出太阳对行星的引力，证明在这个引力作用下行星能够沿椭圆轨道运动，需要运用微积分方法。在当时，只有牛顿和莱布尼兹等少数人掌握着这种运算方法。于是，发现万有引力定律的任务就落到了牛顿的肩上。

牛顿是英国著名的物理学家和数学家，也是科学史上划时代的人物，是经典力学的集大成者。在 1555 年到 1556 年间，他深入地研究了地球对月球的引力，提出这种力本质上就是地球的重力。后来，他又把这种引力推广到太阳系中的所有天体，认为任何两个天体间都存在着相互吸引的作用力，这种引力也存在于地面上任何两个物体间，因此，称之为万有引力。牛顿的这些想法打破了自亚里士多德以来天上与地上的严格界限，天体和地面上的物体按照同样的规律运动。

牛顿根据万有引力的猜想，重新推算出开普勒三定律，证明天体在万有引力的作用下，的确按照开普勒定律运动，万有引力是维持太阳系 “秩序” 的力学原因。

在目前的知识层面上，要遵循牛顿当年的思路导出万有引力的数学表达式并不是一件容易的事情。不过，可以从开普勒的第三定律出发，轻易地推导出正确的结果。

为了简单起见，假定行星绕太阳运动的轨道是一个圆周，由向心加速度公式可以得到太阳对行星的万有引力的基本形式：由于圆轨道上的所有空间点具有同等的地位，因此，天体在圆轨道上各点受到的万有引力的数值必定相等。这意味着天体运动的速率是一个常量，由此便有  。于是，万有引力的表达式就可以改写成结合开普勒第三定律，将运动周期消去，就可以得到：

经验告诉我们，相互作用具有倒易性，也就是我们熟悉的作用力与反作用力定律。这意味着，太阳同样受行星的作用力，这个力对距离的依赖关系与行星受到的力具有相同的特点，它的数值应该与行星受到的力的数值相等，并且应该与太阳的质量成正比。由此可以断定，开普勒常量必定与太阳的质量成正比。于是，行星受到的向心力就可以表述成其中  被称为引力常量，它与开普勒常量有如下关系：如果再考虑到行星所受的力永远指向太阳中心，则以太阳中心为原点建立坐标系，行星的受力就可以表述成矢量的形式：

通过研究天体的运动规律，我们得到了天体和太阳之间的万有引力的表达式。可以将这个表达式推广到任意两个有质量的物体，就得到万有引力定律的一般表达式，这个表达式在《基本相互作用》中已经做过表述。