【原】双曲复数

双曲复数，是异于复数而对实数所做的推广。

定义

考虑数z=x+jy，其中x,y是实数，而量j不是实数，但j2是实数。选取j2=-1，得到一般复数。若选取j2=1的话，便得到双曲复数。

加法和乘法
定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：
(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)
(x+jy)(u+jv)

=(x+jy)(u)+(x+jy(jv)

=xu+jyu+jxv+j^{2}yv

=(xu+yv)+j(xv+yu)

共轭、范数
对于z=x+jy，其共轭值为

z*=x-jy

对于任何双曲复数z,w，

(z+w)*=z*+w*

(zw)*=z*w*

(z*)*=z

可见它是自同构的。

定义z=x+jy与w=u+jv的内积为

⟨z,w⟩=Re(zw*)=xu-yv

若⟨z,w⟩=0，就称z,w(双曲)正交。

双曲复数的平方范数(范数的平方)就取自己和自己的内积的，即自身和其共轭值之乘积(闵可夫斯基范数)：

||z||=⟨z,w⟩=zz*=z*z=x2-y2

这个范数非正定。可以证明：

||zw||=||z||||w||

除法
除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

z-1=1/z=z*/(zz*)=z*/||z||

由此可见，当且仅当其平方范数非零时双曲复数可逆。

欧拉公式

双曲复数也有欧拉公式(三角函数的欧拉公式；用幂级数证明欧拉公式)

其形式与复数的欧拉公式非常相似。

双曲旋转与狭义相对论

双曲复数跟双曲函数(三角函数的近亲——双曲函数)之间的关系类似于复数跟三角函数之间的关系(同类三角函数与双曲函数间的相互转化)。复数可以表示旋转(复数的几何意义)，双曲复数也可以表示双曲旋转。1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的洛伦兹变换(洛伦兹变换)的工具，因为不同参考系之间的速度变换(相对论速度变换)可由双曲旋转转化。