公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。 开号宗旨:为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台,提升教学能力,促进专业发展。本公众号致力传播数学文化,发表教研成果,交流教学经验,探讨数学问题,展示解题方法,分享教学资源,为服务高中教学作贡献。 邹生书,男,1962年12月出生,本科学历,理学士学位,中学数学高级教师,黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。 换元惊现对称式 猜出取等解法多 浙江平阳 洪一平 湖南永州 唐 佳 北京 孙丕训 安徽阜阳 陶兴红 湖北阳新县高级中学 邹生书 编辑整理 思路一:换元转化成新问题求解 且分子是二次单项式而分母是一次多项式,为运算推理方便,将两个分式的分母换元化为单项式,为此 到此,我们发现:换元前所求式子是非对称式,换元后却奇迹般变成了轮换对称式。 猜想:当a=b时式子取得最小值。此时,原式为 即当a=b=1时,取得最小值8。此时,x=1,y=2. 知道了最小值成立的条件,解题就有了明确的方向,下面诸多解法思路都是围绕取等条件展开的,最小值成立的条件就是下面解法中不等式的取等条件。 题目题目,题就是问题,目就是问题的眼晴。对于本题而言,a=b=1就是换元转化后问题的眼晴,x=1,y=2就是原问题的眼晴。我们可以通过眼晴这个窗户寻找解决问题的思路和方法。换元获得对称式,猜出取等解法多。 解法1:换元后用均值不等式求解 洪一平 提供 解法2: 换元后用权方和不等式和均值不等式求解 唐佳 提供 解法3:换元后多次用均值不等式求解 孙丕训 提供 解法4:换元后用均值不等式求解 孙丕训 提供 思路二:不换元,直接求解 解法5:巧添项妙配凑,用均值不等式求解 陶兴红 提供 评注:陶老师的解法确实很巧妙,配凑项的系数是怎么想到的? (1)如果知道了取等条件x=1,y=2,可以这样去思考:当x=1,y=2时,4x2/(y-1)=4,y-1=1,所以在用均值不等式时要使两项相等,就自然要在(y-1)的前面配上系数4.同样,当x=1,y=2时,y2/(2x-1)=4,2x-1=1,所以在用均值不等式时要使两项相等,就自然要在(2x-1)的前面配上系数4. (2)如果不知道取等条件,我们可以顺着陶老师配凑法和均值不等式的思路,考虑用待系数法来确定配凑项的系数,解法如下: 解法6:待定系数法助力均值不等式 引入正的待定常数m,n,由均值不等式得 解法7:活用均值不等式将分母二项式变成单项式求解 唐 佳 提供 解法8:用偏微分方程求解 唐 佳 提供 |
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