|
由于电子文档以外部链接存放具有不稳定性与不可控性，为此，封面图片原始高清文件和推文中明确有PDF文档免费分享的电子文档下载请通过考研竞赛交流圈（点击打开）文件或美图分类获取。 在前面内容的讨论中，我们利用矩阵和向量组的理论陆陆续续地得到了一些线性方程组的重要结论. 比如，给出了判断线性方程组有解的条件、线性方程组的求解方法等. 对于线性方程组无解或者解唯一的情况相对是比较确定的，如果线性方程组的解有无穷多个时，从有限到无穷我们说一般会产生新的问题，那么，当解的集合中包含无穷多解向量时具有怎样的特点？通解表达式会包含怎样的原理？在这一讲中我们将对这类情况进行进一步的研究与探讨。 本讲的任务：在向量组和向量空间理论相关理论的基础上，研究线性方程组解之间的关系，给出一些线性方程组的解的结构性质，方便更好的给出方程组的求解方法与给出更有效的解的描述形式。 一、关于线性方程组解的一些基本结论对于齐次线性方程组 如果将系数矩阵分割为列向量描述， 则齐次方程组有矩阵形式 和向量形式 如果常数项为 ，则有非齐次线性方程组有矩阵形式 和向量形式
(1) 有非零解（只有零解）； (2) 存在一组不全为 0 的数 （当且仅当全为 0 时），使得 (3) 矩阵的列向量组 线性相关（线性无关）； (4) . 【注】(1) 特别地，当 (未知数的个数大于方程个数) 时， 一定 线性相关. (2) 当系数矩阵为方阵，且 时，则 只有零解，此时 ，矩阵的列向量组 线性无关. (3) 齐次线性方程组始终有一个零解.
(1) 有解； (2) 能被 线性表出，即 (3) 的极大线性无关组也是 的极大线性无关组； (4) . 【注】当 时，方程组 有无穷多个解；当 ，方程组有唯一解. 二、齐次线性方程组解的结构性质1 如果 是齐次线性方程组 的解，则 也是它的解. 【证明】：因为 是齐次线性方程组 的解，故 ，于是 即 也是它的解. 性质 2 如果 是齐次线性方程组 的解，则 也是它的解. 【证明】：因为 是齐次线性方程组 的解，故 ，故可得 即 也是它的解. 当 时也成立. 定义1 记齐次线性方程组 的全体解的集合为 则 构成 的向量子空间，并称 称为齐次线性方程组 的解空间 。 性质3 如果 是齐次线性方程组 的解，则它们的线性组合 也是 的解, 其中. 【证明】: 因为 是齐次线性方程组 的解，故 ， ，由于 所以 也是它的解. 定义 2 齐次线性方程组 的解空间 的任意一组基称为该方程组的基础解系. 即若 为 的一个基础解系，则它满足以下条件 (1) ; (2) 线性无关; (3) 该方程组的任意解 都可以表示为 的线性组合. 【注】(1) 的基础解系不唯一。 (2) 仅当 有非零解时才有基础解系. (3) 当 为 的一个基础解系时，齐次线性方程组的通解或一般解可以描述为 其中 。 定理 设含有 个未知数的齐次线性方程组 的系数矩阵 ，则方程组有含解向量个数为 的基础解系，即方程组解空间的维数 我们知道，方程组 的系数 经过初等行变换可化成最简行阶梯形
与之对应的同解齐次线性方程组为
取 为基本末知量， 为自由末知量，取 则方程组的通解可以写为
其中 。取
由上式知道，它的线性组合表示了方程组 的所有解，即表示了 的解空间中的元素；其次，可以可看到该 个向量线性无关，由此可以得到如下结论： (1) 是 的 个解； (2) 线性无关; (3) 任意一个解都可由 线性表示. (4) 是 解空间 的一个基础解系. (5) . (6) 的通解为 其中 . 【注】(1) 系数矩阵 的齐次线性方程组 的基础解系 是通过分别取自由未知数 其中一个为 1 ，其它为 0 得到的解向量. (2) 系数矩阵 的齐次线性方程组 的任意 个线性无关的解都能构成基础解系。 (3) 该定理不仅给出了齐次线性方程组解空间的维数，而且在向量空间维数与矩阵的秩之间建立了内在联系，为分析和解决与矩阵秩有关的问题提供了一种重要的方法。 (4) 以上分析过程也进一步明确了求解齐次线性方程组 通解的过程，概括起来大致有如下几步: 第一步：解的判定：把系数矩阵 化为行阶梯形，如果是方阵也可计算行列式. 如果系数矩阵 （ 为末知数的个数），或者行列式 ，则方程组只有零解，直接得解。如果 ，或 在有非零解的情况下，将系数矩阵通过行初等变换化简为最简行阶梯形，并记作 ，并写出同解方程组 ； 第二步: 求基础解系. 在方程组 中，分别取自由未知数 其中一个为 1 ，其它为 0 得到的解向量，即 依次代入方程组 中，即解得基础解系 向量。 第三步: 利用基础解系直接写出通解，通解的形式为 其中。 例1 求 的通解. 【解】：对系数矩阵进行初等行变换 故 ，并且可知化简后的同解方程组为 取自由未知数为 ，并分别取 和 ，代入同解方程组，得 对应的基础解系则为 因此齐次线性方程组的通解为 其中 为任意实数. 例 2 证明：与 基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系. 【证明】：设 是 的一个基础解系，故 线性无关. 由于两个等价的线性无关的向量组所含向量个数是相等的，故可设 是之等价的一个线性无关的向量组，则 可由 线性表出，故由齐次线性方程组的解的结构性质知， 也 的解。 由于齐次线性方程组 任一解均可由基础解系 线性表出，而由两向量组等价知， 也可以由 线性表出，从而可知齐次线性方程组 的任一解也可由 线性表出. 又 线性无关，于是由基础解系的定义知 也是 的一个基础解系。 例 3 设 ，证明： 【证明】：将 分块为列向量，即 则由 知 这说明 是齐次线性微分方程 的解，所以向量值 的秩小于等于 解空间的维数，而解空间的维数为 ，所以有 移项即得 【证明】：先证明两个齐次线性方程组 是同解方程组。 （1）设 是 的一个解，两边左乘 得 ，因此 也是 的一个解。 (2) 设 是 一个解，两边左乘 得 ，即 记 ，得 因此 ，即 。 所以 也是 的一个解. 综合可知两个方程组的解空间相同，从而可知 所以 . 【注】：对于复矩阵 等式 不一定成立. 例如， ，其中 ，则 ，而 . 三、非齐次线性方程组解的结构类似 的解的结构性质的讨论，对于齐次线性方程组 的解集也有一些独特的结构性质. 对于非齐次线性方程组 ，称齐次线性方程组 称为 的导出方程组。 性质1 设 是非齐次线性方程组 的两个解，则 是其导出方程组 的解。 【证明】：因为 是 的解，故有 ，所以 即 是对应的齐次线性方程组 的解。 性质2 设 是非齐次线性方程组 的解， 是导出方程组 的解，则 是非齐次线性方程组 的解. 【证明】：由题设可知 ，于是可得 即 是 的解. 性质3 (结构定理) 设 为非齐次线性方程组 的一个解（特解）， 是导出方程组 的通解，则 为非齐次线性方程组 的通解. 也即如果 是 的一个特解， 是 的一个基础解系，则 的通解为 其中为任意常数. 性质4 (线性叠加) 设 为非齐次线性方程组 的解， 为非齐次线性方程组 的解，则 为 的解. 进一步，如果 是非齐次线 性方程组 的解，则对任意实数 是 的解，且当 时， 是 的解；当 时， 是 的解. 性质 5 非齐次线性方程组 有唯一解的充要条件是导出方程组 只有零解. 【注】：(1) 非齐次线性方程组 的解不包括 0 向量，因此，由向量空间的定义知，非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间. (2) 有无穷多解，则 有非零解（无穷多解）；但 有非零解（无穷多解)， 不一定有无穷多解（可能无解）。 (3) 由结构性质可以得到求非齐次线性方程组 通解的步骤： 第一步：把增广矩阵 化为最简行阶梯形，记为 ，写出同解方程组 第二步：求 的一个解 ，最简单的方法是令所有自由未知量为 0 代入 进行求解； 第三步: 求导出方程组 基础解系 ；最直接的方法是对自由末知量依次令其中一个为 1 ，其余为 0 代入求得解向量构成基础解系； 第四步：直接利用结构定理写出 通解为 其中 为任意常数. 例 5 求非齐次线性方程组的通解 【解】：对增广矩阵做初等行变换，有
由于 ，所以方程组有无穷多解. 同解方程组为 取 为基本末知数， 为自由末知数，令 ，解得非齐次线性方程组的一个特解为 导出齐次线性方程组的通解方程组为 令 代入求解得基础解系为 即导出方程组的通解为 故由解的结构定理得非齐次线性方程组的通解为 其中 为任意实数. 例6 设 线性无关，且 记 ，求 的通解。 【解】:由已知条件 ，知 有一个特解 再考虑 的通解. 因为 线性无关，且 可由 线性表示，所以 的解空间维数为 1，即 的基础解系只包含一个非零解向量.将 移项得 得一个基础解系为 . 故由解的结构性质可得 的通解为 其中为任意实数. 例7 设四阶方阵 的秩为 ，且 ，其中 求非齐次方程组 的通解。 【解】：由于系数矩阵 ，故方程组 的基础解系包含两个线性无关的解向量. 由解的结构性质可知 为 的解且线性无关，可知这两个向量可作为 的基础解系. 又由非齐次线性方程组的解的线性叠加性质可知 是 的一个解. 所以由非齐次线性方程组解的结构定理知 的通解为 其中为任意实数. 练习题1、选择题. (1) 已知 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是其导出方程组 的非零解，则（ ）。 (A) 线性相关 (B) 线性相关 (C) 线性无关 (D) 线性无关 (2) 已知 是非齐次方程组 的两个不同的解， 是其对应齐次方程组 的基础解系， 为任意实数，则 的通解为（ ）。 (A) (B) (C) (D) (3) 设 为 矩阵， 是 的导出方程组，则下列结论正确的是 ( ) . (A) 若 仅有零解，则 有唯一解 (B) 若 有非零解，则 有无穷多解 (C) 若 有无穷多解，则 仅有零解 (D) 若 有无穷多解，则 有非零解 2、设 阶矩阵 的秩 ，证明： ，其中 为 的伴随矩阵. 3、已知三阶矩阵 , 且其列向量都是方程组 (1) 求 ; (2) 证明 . 4、求以下齐次线性方程组的基础解系与通解. (1) (2) 5、求解以下非齐次线性方程组. (1) (2) 6、已知线性方程组 有两个不同的解，求 及线性方程组的通解. 7、写出一个以 为通解的齐次线性方程组，其中 为任意实数. 8、已知4 阶方阵 ，其中 线性无关， ，如果 ，求线性方程组 的通解。 9、设 为 阶方阵， ， (1) 若 且 的各行元素之和为 0 ，求线性方程组 的通解； (2) 若 的某元素 的代数余子式 ，证明: 是 的基础解系. |
|
|
